計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的課件

1、第2講 系統(tǒng)建模的基本方法與模型處理技術(shù)相似原理 、建模方法學(xué) 建立數(shù)學(xué)模型的方法：連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型實(shí)用建模舉例:控制系統(tǒng)建模、幾何建模、磁場(chǎng)建模、流體力學(xué)建模、建模等連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化處理Simulation Study仿真是指利用模型對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究的過(guò)程，或者說(shuō)，仿真是一種通過(guò)模型實(shí)驗(yàn)揭示系統(tǒng)原型的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法。數(shù)據(jù)相似原理為了研究實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，常常要采用數(shù)據(jù)相似的原理。數(shù)據(jù)相似原理的主要表現(xiàn)在：描述原型和模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式在形式上完全相同。變量之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系且成比例。一個(gè)表達(dá)式的變量被另一個(gè)表達(dá)式中相應(yīng)變量置換后，表達(dá)式對(duì)應(yīng)各項(xiàng)的系數(shù)保持相

2、等。數(shù)據(jù)相似原理 環(huán)境相似 就是人工在實(shí)驗(yàn)室里產(chǎn)生與所研究對(duì)象在自然界中所處環(huán)境類似的條件，比如飛機(jī)設(shè)計(jì)中的風(fēng)洞，魚雷設(shè)計(jì)中的水洞、水池等等。 性能相似 則是用數(shù)學(xué)方程來(lái)表征系統(tǒng)的性能，或者利用數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，來(lái)模仿該數(shù)學(xué)方程所表征的系統(tǒng)。性能相似原理也是仿真技術(shù)遵循的基本原理。 幾何相似 就是把真實(shí)系統(tǒng)按比例放大或縮小，其模型的狀態(tài)向量與原物理系統(tǒng)的狀態(tài)完全相同。土木建筑、水利工程、船舶、飛機(jī)制造多采用幾何相似原理進(jìn)行各種仿真實(shí)驗(yàn)。連續(xù)系統(tǒng)仿真中的數(shù)學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)仿真中的數(shù)學(xué)模型有很多種，但基本上可分為三類：連續(xù)時(shí)間模型、離散時(shí)間模型及連續(xù)離散混合模型。 系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間模型通?？梢杂幸韵聨追N表

3、示方式：常微分方程，傳遞函數(shù)，權(quán)函數(shù)，狀態(tài)空間描述，框圖。數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換如控制系統(tǒng)仿真的過(guò)程控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真就是以控制系統(tǒng)的模型為基礎(chǔ)，采用數(shù)學(xué)模型代替實(shí)際的系統(tǒng)，以計(jì)算機(jī)為主要工具，對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和研究的一種方法。 通常，采用計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)仿真的過(guò)程有以下幾個(gè)方面：建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立控制系統(tǒng)的仿真模型編制控制系統(tǒng)的仿真程序在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)并輸出仿真結(jié)果基本控制方式 1.開(kāi)環(huán)控制: 指系統(tǒng)的輸出量對(duì)系統(tǒng)不產(chǎn)生控制作用的控制方式. 開(kāi)環(huán)控制有兩種情形 ：1）按給定值控制; 輸出輸入控制器被控對(duì)象2）按擾動(dòng)補(bǔ)償控制(/順饋控制) 輸入控制器被控對(duì)象補(bǔ)償環(huán)節(jié)擾動(dòng)控制系

4、統(tǒng)建模2. 閉環(huán)控制(/反饋控制): 指系統(tǒng)的輸出信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的控制作用有直接影響的控制方式. 輸出檢測(cè)元件輸入控制器被控對(duì)象3. 復(fù)合控制: 指閉環(huán)控制與開(kāi)環(huán)控制相結(jié)合的控制方式. 或者說(shuō), 是偏差控制和順饋控制相結(jié)合的控制方式.實(shí)例系統(tǒng)分析（1）、請(qǐng)?jiān)趫D1中標(biāo)示出a、b、c、d 應(yīng)怎樣連接才能成為負(fù)反饋系統(tǒng)？（2）、試畫出系統(tǒng)的方框圖，并簡(jiǎn)要分析系統(tǒng)的工作原理。 例題1： 下圖是一電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)工作原理圖：KM+E 給定u r 放大器 觸發(fā)器 整流器 電抗器 電動(dòng)機(jī) 負(fù)載 測(cè)速發(fā)電機(jī) a b c + u fd u a n解： 、 a與d，b與c分別相連， 即可使系統(tǒng)成為負(fù)反饋系統(tǒng)； 、

5、系統(tǒng)方框圖為： u fun給定u r放大器觸發(fā)器整流器電動(dòng)機(jī)負(fù)載測(cè)速發(fā)電機(jī)例題2：下圖是一電爐溫度控制系統(tǒng)原理示意圖。試分析系統(tǒng)保持電爐溫度恒定的工作過(guò)程，并指出系統(tǒng)的被控對(duì)象、被控量以及各部件的作用，最后畫出系統(tǒng)方塊圖。 電爐給定電壓 電壓放大 功放 調(diào)壓裝置 220V 電阻絲 熱電偶 解： 、系統(tǒng)工作過(guò)程及各部件的作用（略）；、 系統(tǒng)方框圖為： 、被控對(duì)象：電爐； 被控量：電爐爐溫； u fuT給定u r放大器調(diào)壓器電阻絲電 爐熱 電 偶控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1關(guān)于控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型定義：用以描述控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式2. 形式：時(shí)域模型（t）：微分/差分/狀態(tài)方程等；復(fù)

6、域模型（s=+j）：傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖；頻域模型（）：頻率特性。3 建模方法及步驟 方法：分析法（主）和實(shí)驗(yàn)法； 步驟： 確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量； 從輸入端開(kāi)始，依次列寫各元件/環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程式（如微分方程）； 消去中間變量，并將其化為標(biāo)準(zhǔn)注形式。 注：標(biāo)準(zhǔn)形式：與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左邊，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，并將方程中的系數(shù)通過(guò)系統(tǒng)的參數(shù)化具有一定物理意義系數(shù)的一種表達(dá)形式。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 動(dòng)態(tài)元件：電容、電感關(guān)于電容元件的說(shuō)明(1) 線性電容元件的定義式為 ，該式對(duì)應(yīng)于u,q取“一致的參考方向”，即電壓極性為正的極板上帶正電荷，如圖所示

7、。(2) 當(dāng)電壓，電流取關(guān)聯(lián)正向時(shí)，電容元件的伏安關(guān)系式為 ，或(3) 電容元件的電流比例于電壓的變化率，這是電容元件與電阻元件的一個(gè)重要不同之處。稱電容元件為動(dòng)態(tài)元件。 ，其中 ，該式說(shuō)明，當(dāng)前時(shí)刻t 的電容電壓不僅與現(xiàn)實(shí)的電流相關(guān)，而且與以前電流的作用情況有關(guān)，即它具有記憶電流作用的本領(lǐng)，故稱電容元件為“記憶元件”。(6) 當(dāng)電容電流為有界函數(shù)時(shí)，電容電壓不可能發(fā)生“突變”（或跳變），只能連續(xù)變化，稱之為電容電壓的連續(xù)性，這是電容元件一個(gè)很重要的性質(zhì)。(7) 電容元件中儲(chǔ)藏的電場(chǎng)能量計(jì)算式為(8) 由于在任意時(shí)刻t，均有 =0，這表明電容元件是無(wú)源元件。同時(shí)它能存儲(chǔ)電場(chǎng)能量，但不消耗能量，

8、故電容元件是非耗能元件，且稱它為“儲(chǔ)能元件”。 在直流電路中，通過(guò)電容的電流恒為零，稱之為電容元件的“隔直作 用”；而在電路工作頻率極高時(shí)，電容元件兩端電壓近似為零，即相 當(dāng)于“短路”。關(guān)于電感元件的說(shuō)明(1)當(dāng)電流和磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則時(shí)，線性電感元件的定義式為(2)當(dāng)電感元件的電壓，電流為關(guān)聯(lián)正向時(shí)，其伏安關(guān)系式為 或 (3) 由電容，電感元件的伏安關(guān)系式可知， 具有類比性，稱電感，電容元件為對(duì)偶元件。(4) 電感元件也是動(dòng)態(tài)元件。在直流電路中，電感元件兩端的電壓為零，相當(dāng)于短路；而當(dāng)電路的工作頻率極高時(shí)，電感元件近似為“開(kāi)路”。(5) 當(dāng)電感元件兩端的電壓為有界函數(shù)時(shí)，電感電流

9、不能跳變，稱之為電感電流的連續(xù)性。(6)電感元件是儲(chǔ)能元件，其儲(chǔ)能的磁場(chǎng)能量的計(jì)算式為(7)與電容元件相似，電感元件是無(wú)源元件，亦是非耗能元件。 動(dòng)態(tài)元件：電容、電感4 實(shí)例分析 例題1：RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)電路如下圖所示，試以u(píng)1為輸入量，u2為輸出量列寫該網(wǎng)絡(luò)的微分方程式。 i2C1C2R2R1u1u2i 1解： u1為輸入量，u2為輸出量； 設(shè)回路電流分別為i1，i2，如圖所示；則有： i1 R1+(i1i2)dt/C1 = u1 i2 R2+ (i2dt)/C2=(i1i2)dt /C1 (i2dt) /C2 = u2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 消去中間變量i1，i2后，化為標(biāo)準(zhǔn)形式： R1R2C1

10、C2u2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2+ u2= u1 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例題2： 在下圖中，已知L=1H，C=1F，R=1，uc（0）=0.1V, i(0)=0.1A, ur(t)=1V。試求電路在通電瞬間uc（t）的變化規(guī)律。 u c（t）u r（t）CLR解：求得該電路的微分模型： 對(duì)上式兩邊求拉氏變換： LCs2Uc(s)-suc(0)-u c(0) +RCsUc(s)-uc(0)+ Uc(s) = Ur(s) 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 由于 u c（0）= u c（t）t=0 =i（0）/C 將已知各條件代入后有： （s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(s+2

11、)即通電瞬間, ur（t）=1 或 Ur（s）=Lur（t）=1/S 故再對(duì)上式兩邊求反拉氏變換： =1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30) 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例題3：已知某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為 其中x（t）, y（t）分別為輸入、輸出量,且知x（t）=(t), y(0-)= y (0-)=0， 求y（t）的表達(dá)式. 解: 對(duì)微分方程兩邊求拉氏變換： s2Y（s）-s y (0-)- y(0-)+2sy（s）- y (0-)+2Y（s）= X（s） 代入已知條件，注意X（s）=Lx（t）=L(t)=1 整理后得：Y（s）=1/（s

12、2+2s+2） 故 y（t）= L-1Y（s）= L-11/（s2+2s+2） 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 =1/2j L-1 1/（s+1-j）-1/（s+1+j）=1/2j e-（1-j）- e-（1+j） = e-tSint幾何建模幾何建模,劃分網(wǎng)格磁場(chǎng)建模：例如，波動(dòng)解存在的判據(jù)及方程分類 以平面電磁波為例，基本方程及求解過(guò)程如下：判據(jù)：可化為波動(dòng)方程的物理系統(tǒng)存在波動(dòng)解；問(wèn)題：只適合具有單一波動(dòng)模式的線性系統(tǒng)。 求形如 exp(ikx-it) 的波動(dòng)解： 直接從原一階偏微分方程組出發(fā)：存在非零解（非平凡解）的充分必要條件是 其中 為實(shí)數(shù)。注意， 即為系數(shù)矩陣 A 的本征值。判據(jù)：系數(shù)矩陣存在

13、實(shí)本征值的系統(tǒng)存在波動(dòng)解，本征值 即波的相速度。一階偏微分方程組分類：雙曲型；橢圓型；廣義雙曲型流體力學(xué)建模 流體的物理量：任意空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的物理量在任意時(shí)刻都有確定的數(shù)值，即流體的物理量是空間位置和時(shí)間的函數(shù)，如： =(x,y,z,)； u=u(x,y,z,)；t=t(x,y,z, ) 密度場(chǎng) 速度場(chǎng) 溫度場(chǎng)描述流體性質(zhì)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理量很多，如密度、壓力、組成、速度、溫度等。據(jù)連續(xù)介質(zhì)假定，任何空間點(diǎn)上流體的物理量都是指位于該點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的物理量。如密度：流體力學(xué)建模質(zhì)量守恒方程： 該方程是質(zhì)量守恒的總的形式，可以適合可壓和不可壓流動(dòng)。源項(xiàng) S m是稀疏相增加到連續(xù)相中的質(zhì)量，（如

14、液體蒸發(fā)變成氣體）或者質(zhì)量源項(xiàng)（用戶定義）。對(duì)于二維軸對(duì)稱幾何條件，連續(xù)方程可以寫成：式中，x是軸向坐標(biāo)；r 是徑向坐標(biāo)，u和v分別是軸向和徑向速度分量。流體力學(xué)建模動(dòng)量守恒方程：慣性坐標(biāo)系下，i方向的動(dòng)量守恒方程為：式中，p是靜壓； t ij是應(yīng)力張量，定義為：pg i ， F i 是重力體積力和其它體積力（如源于兩相之間的作用）， F i 還可以包括其它模型源項(xiàng)或者用戶自定義源項(xiàng)。微分方程 最基本、最重要的數(shù)學(xué)模型是微分方程，它反映了元部件或系統(tǒng)動(dòng)態(tài)運(yùn)行的規(guī)律。建立數(shù)學(xué)模型常見(jiàn)的方法是解析法和實(shí)驗(yàn)法等。 解析法是根據(jù)系統(tǒng)及元部件中各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出系統(tǒng)各變量之間數(shù)學(xué)表達(dá)

15、式，然后建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型； 實(shí)驗(yàn)法是采用某些檢測(cè)儀器，在現(xiàn)場(chǎng)對(duì)控制系統(tǒng)加入特定信號(hào)，對(duì)輸出響應(yīng)進(jìn)行測(cè)量和分析，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 微分方程模型控制系統(tǒng)微分方程建立的一般步驟采用解析法來(lái)建立微分方程所遵循的一般步驟是：（1）確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量。（2）根據(jù)物理和化學(xué)定律（比如：牛頓運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒定律、克?；舴蚨傻龋┝谐鱿到y(tǒng)或元部件的原始方程式，按照工作條件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系式。（4）消去原始方程式的中間變量，得到一個(gè)關(guān)于輸入、輸出的微分方程式。（5）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，將輸出各項(xiàng)放在等號(hào)左端，輸入各項(xiàng)放在等號(hào)右端，

16、并且按照微分方程的階次降冪排列，同時(shí)將各系數(shù)化為具有一定物理意義的形式。 解：在RLC串聯(lián)電路中，輸入電壓Ur為系統(tǒng)的輸入量，輸出電壓c為系統(tǒng)的輸出量。根據(jù)克?；舴蚨?，可以得到回路的電壓方程如下：【例】RLC串聯(lián)電路，建立該系統(tǒng)的微分方程。 回路的電壓方程：電容兩端的電壓為：中間變量為： 建立該系統(tǒng)的微分方程帶入原始方程中，消去中間變量，并移項(xiàng)整理得： 該式即為RLC串聯(lián)電路的微分方程。 線性微分方程的求解采用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟（1）將系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到以S為變量的代數(shù)方程，也稱為變換方程。（2）求解變換方程，得到系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表達(dá)式。（3）將輸出的象函數(shù)

17、表達(dá)式展開(kāi)成部分分式。（4）對(duì)部分分式進(jìn)行拉普拉斯反變換，即可得到系統(tǒng)微分方程的解。已知某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為其中x(t), y(t)分別為輸入、輸出量, 且知x(t)=(t), y(0-)= y (0-)=0， 求y(t)的表達(dá)式. 解: 對(duì)微分方程兩邊求拉氏變換： s2Y(s)-s y(0-)- y(0-)+2s Y(s)- y (0-)+2Y(s)= X(s)代入已知條件，注意X(s)=Lx(t)=L(t)=1整理后得： Y(s)=1/(s2+2s+2)故 y(t) = L-1Y(s)= L-11/(s2+2s+2) =1/2j L-1 1/(s+1-j)-1/(s+1+j) =1/2j e

18、-（1-j）- e-（1+j） = e-t Sin(t)傳遞函數(shù)的概念1. 傳遞函數(shù)的定義 對(duì)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，在初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 表示為：2. 傳遞函數(shù)的求取 按照傳遞函數(shù)的定義，利用系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行相應(yīng)的拉氏變換，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。3. 傳遞函數(shù)的性質(zhì) 根據(jù)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式的分析，傳遞函數(shù)具備下列性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)或元部件動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型，在形式上與系統(tǒng)的微分方程一一對(duì)應(yīng)。（2）傳遞函數(shù)只表明輸入變量與輸出變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，不能夠反映出系統(tǒng)內(nèi)部的信息。（3）傳遞函數(shù)只能直接反映

19、系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)在給定工作點(diǎn)處是相對(duì)靜止的；若系統(tǒng)處于非零初始狀態(tài)下，則傳遞函數(shù)無(wú)法反映系統(tǒng)的特性和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，需要作其它方面的處理。傳遞函數(shù)的性質(zhì)（4）傳遞函數(shù)完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)確定，而與輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)，它反映了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特點(diǎn)。對(duì)于同一系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量和輸出量時(shí)其傳遞函數(shù)是不同的。（5）同一個(gè)系統(tǒng)，對(duì)于不同作用點(diǎn)的輸入信號(hào)和不同觀測(cè)點(diǎn)的輸出信號(hào)之間，傳遞函數(shù)具有相同的分母多項(xiàng)式，所不同的是分子多項(xiàng)式。在分析系統(tǒng)性能時(shí)，常將傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式，它決定著系統(tǒng)響應(yīng)的基本特點(diǎn)和動(dòng)態(tài)本質(zhì)。（6）實(shí)際系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式階次n總

20、是大于分子多項(xiàng)式階次m，這是因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)總是存在“慣性”，且外部提供的能量是有限的。 （7）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)抽象，無(wú)法直接由它看出實(shí)際系統(tǒng)的物理構(gòu)造，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，完全可以有相同的傳遞函數(shù)表示。 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)通常，控制系統(tǒng)是由若干元部件有機(jī)組合而成的，從結(jié)構(gòu)和作用原理來(lái)看，可以有各種各樣的不同元部件，但是從動(dòng)態(tài)性能和數(shù)學(xué)模型來(lái)看，可以分為幾個(gè)基本的典型環(huán)節(jié)。不管元部件是機(jī)械式、電氣式、液壓式等，只要其數(shù)學(xué)模型一樣，它們就可以歸納為同一個(gè)環(huán)節(jié)，這樣給分析、研究系統(tǒng)性能帶來(lái)很多方便。 常用的典型環(huán)節(jié)主要有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等6種形式。1.

21、 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)也稱為放大環(huán)節(jié)，其特點(diǎn)是環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成正比。傳遞函數(shù)為： 其中k為放大系數(shù)。典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)2. 慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為： k為傳遞系數(shù)；T為慣性時(shí)間常數(shù) 3. 一階微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為： 為微分時(shí)間常數(shù) 理想的微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為： 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)4. 積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為： 式中， 稱為積分時(shí)間常數(shù)。 5. 振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為： 其中T為時(shí)間常數(shù)， 為阻尼系數(shù)，也稱為阻尼比， 稱為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 6. 延遲環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是具有時(shí)間上的延遲效應(yīng)，當(dāng)輸入量作用后，在給定一段時(shí)間之前，延遲環(huán)節(jié)的輸出量一直未變化，只有到達(dá)延遲時(shí)間以后

22、，環(huán)節(jié)的輸出量才無(wú)偏差的復(fù)現(xiàn)原信號(hào)。 延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為： 例題:在右圖中，已知L=1H，C=1F，R=1。試求該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(S)。 u c（t）u r（t）CLR解：求得該電路的微分模型：對(duì)上式兩邊求拉氏變換： LCs2Uc(s)-s uc(0)-u c(0) +RCs U c(s)- uc ( 0)+ U c(s) = Ur(s) 即LCs2Uc(s) + RCs U c(s)+ U c(s) = Ur(s) 故 G(S) = U c(s)/ Ur(s) =1/ LCs2 + R Cs+ 1 = 1/(s2+s+1)例題: 求右圖所示電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(S)。C2R2R1C1u1u

23、2Z2Z1U1U2C2R2R1C1u1u2解： 將電源等效為復(fù)阻抗電路 Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1S+1）； Z2= ZR2+ZC2 =（R2C2S+1）/C2S； G(S)=U2/U1= Z2 /（Z1 +Z2） = (R1C1S+1)(R2C2S+1)/(R1C1S+1)(R2C2S+1)+ R1C2S 狀態(tài)空間描述 狀態(tài)方程： 根據(jù)分析，對(duì)于某一特定系統(tǒng)（可以是線性或非線性的、定常或時(shí)變的），當(dāng)引入n個(gè)狀態(tài)變量，將其化為n個(gè)一階微分方程組的形式，再對(duì)其采用矩陣描述，可以得到如下表達(dá)式： . X=AX+BU Y=CX 其中： A狀態(tài)變量系數(shù)矩陣 B輸入變量系數(shù)

24、矩陣 C輸出變量系數(shù)矩陣數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換 在實(shí)際工程中，由于要解決系統(tǒng)如自動(dòng)控制問(wèn)題所需要的數(shù)學(xué)模型與該問(wèn)題所給定的已知數(shù)學(xué)模型往往是不一致的，也可能是要解決問(wèn)題最簡(jiǎn)單而又最方便的方法所用到的數(shù)學(xué)模型與該問(wèn)題所給定的已知數(shù)學(xué)模型不同，此時(shí)，就需要對(duì)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 另外，在不同的應(yīng)用場(chǎng)合，由于實(shí)際系統(tǒng)所給定的數(shù)學(xué)模型形式各異，在仿真時(shí)要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換，即將給定模型轉(zhuǎn)換為仿真程序能夠處理的模型形式。 通常，系統(tǒng)的微分方程作為描述動(dòng)態(tài)性能的基本形式，當(dāng)作為共性的內(nèi)容進(jìn)行分析時(shí)，又常常將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，而在計(jì)算機(jī)中，利用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述最方便。所以，討論系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換具

25、有實(shí)際的指導(dǎo)意義。經(jīng)典的連續(xù)系統(tǒng)仿真建模方法學(xué) 在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)仿真，首先要將連續(xù)模型離散化，因此，首先討論離散化原理及要求，這是連續(xù)系統(tǒng)仿真的基礎(chǔ)。 離散化原理及要求 從根本意義上講，數(shù)字計(jì)算機(jī)所進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算僅僅是“數(shù)字”計(jì)算，它表示數(shù)值的精度受限于字長(zhǎng)，這將引入舍入誤差；另一方面，這種計(jì)算是按指令一步一步進(jìn)行的，因而，還必須將時(shí)間離散化，這樣就只能得到離散時(shí)間點(diǎn)上系統(tǒng)性能。用數(shù)字仿真的方法對(duì)微分方程的數(shù)值積分是通過(guò)某種數(shù)值計(jì)算方法來(lái)實(shí)現(xiàn)的。任何一種計(jì)算方法都只能是原積分的一種近似。因此，連續(xù)系統(tǒng)仿真，從本質(zhì)上是對(duì)原連續(xù)系統(tǒng)從時(shí)間、數(shù)值兩個(gè)方面對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行離散化，并選擇合適的數(shù)值

26、計(jì)算方法來(lái)近似積分運(yùn)算，由此得到的離散模型來(lái)近似原連續(xù)模型。 離散化原理 設(shè)系統(tǒng)模型為： ，其中u(t)為輸入變量，y(t)為系統(tǒng)變量；令仿真時(shí)間間隔為h，離散化后的輸入變量為 ，系統(tǒng)變量為 ，其中 表示t=kh。如果 ， 即 ， （對(duì)所有k=0,1,2,），則可認(rèn)為兩模型等價(jià)，這稱為相似原理 。離散化原理實(shí)際上，要完全保證 是很困難的。進(jìn)一步分析離散化引入的誤差，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，由計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)引入的舍入誤差可以忽略，關(guān)鍵是數(shù)值積分算法，也稱為仿真建模方法。相似原理用于仿真時(shí)，對(duì)仿真建模方法有三個(gè)基本要求：（1）穩(wěn)定性：若原連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則離散化后得到的仿真模型也應(yīng)是穩(wěn)定的。 （2）準(zhǔn)

27、確性：有不同的準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，最基本的準(zhǔn)則是： 絕對(duì)誤差準(zhǔn)則： 相對(duì)誤差準(zhǔn)則：其中 規(guī)定精度的誤差量。 離散化原理（3）快速性：如前所述，數(shù)字仿真是一步一步推進(jìn)的，即由某一初始值出發(fā)，逐步計(jì)算，得到，每一步計(jì)算所需時(shí)間決定了仿真速度。若第k步計(jì)算對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)時(shí)間間隔為計(jì)算機(jī)由計(jì)算需要的時(shí)間為Tk，則，若Tk=hk稱為實(shí)時(shí)仿真，Tkhk稱為超實(shí)時(shí)仿真，而大多數(shù)情況是Tkhk ，對(duì)應(yīng)于離線仿真。 數(shù)值積分法原理連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真中離散化最基本的算法是數(shù)值積分算法。對(duì)于形如 的系統(tǒng)，已知系統(tǒng)變量y的初始條件y(t0)=y0，現(xiàn)在要求y隨時(shí)間變化的過(guò)程y(t)。計(jì)算過(guò)程可以這樣考慮：首先求出初始點(diǎn)的y(t

28、0)= y0的f(t0 , y0)，微分方程可以寫作：數(shù)值積分法原理_歐拉法歐拉法用矩形面積近似表示積分結(jié)果，也就是當(dāng)t=t1時(shí)，y(t1)的近似值為 y1 ：重復(fù)上述作法，當(dāng)對(duì)任意時(shí)刻t=tk+1時(shí)有： 令 稱為第 步的計(jì)算步距。若積分過(guò)程中步距不變 ，可以證明，歐拉法的截?cái)嗾`差正比于 。 數(shù)值積分法(微分方程初值問(wèn)題數(shù)值計(jì)算法):微分方程在已知初值情況下進(jìn)行求解數(shù)值積分方法采用遞推方式進(jìn)行運(yùn)算，而采用不同的積分方法會(huì)引進(jìn)不同的計(jì)算誤差，為了提高計(jì)算精度，往往會(huì)增加運(yùn)算量。就同一種積分算法而言，為提高計(jì)算精度，減小積分步距,計(jì)算量增大，影響系統(tǒng)運(yùn)算速度。因此，計(jì)算精度和速度是連續(xù)系統(tǒng)仿真中常迂到的一對(duì)矛盾，也是數(shù)字仿真中