點集拓?fù)渚毩?xí)題及答案

1、點集拓?fù)渚毩?xí)題一、單項選擇題（每題1分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：2、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓?fù)? 答案：3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：4、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓?fù)? 答案：5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：6、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓?fù)? 答案：7、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：8、 已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：9、 已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：10、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：11、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：12、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：13、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 1 2

2、3 4 答案：14、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：15、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 0 1 2 3 答案：16、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的子集的個數(shù)為（ ） 0 1 2 3 答案：17、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的子集的個數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：18、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：19、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集的內(nèi)部是（ ） Q R -Q R 答案：20、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是（ ） Q R -Q R 答案：21、在實數(shù)空間中，整數(shù)集的內(nèi)部是（ ） R-Z R 答案：22、在實數(shù)

3、空間中，整數(shù)集的邊界是（ ） R-Z R 答案：23、在實數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：24、在實數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：25、在實數(shù)空間中，區(qū)間的內(nèi)部是（ ） 答案：26、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中錯誤的是（ ） 答案: 27、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 答案: 28、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 答案: 29、已知是一個離散拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 答案：30、已知是一個平庸拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中不正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若,

4、 則 答案：31、已知是一個平庸拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若,則 答案：32、設(shè)，令,則由產(chǎn)生的上的拓?fù)涫牵?） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：33、設(shè)是至少含有兩個元素的集合，, 是的拓?fù)?，則（ ）是的基. 答案：34、 設(shè),則下列的拓?fù)渲校?）以為子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：35、離散空間的任一子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉 答案：36、平庸空間的任一非空真子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉 答案：3

5、7、實數(shù)空間中的任一單點集是 ( ) 開集 閉集 既開又閉 非開非閉 答案：38、實數(shù)空間R的子集A =1, ,則（ ） R A0 A 答案：39、在實數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（ ） 整數(shù)集 有理數(shù)集 無理數(shù)集 答案：40、在實數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（ ） 整數(shù)集Z 有理數(shù)集 無理數(shù)集 整數(shù)集Z的補(bǔ)集 答案：41、已知上的拓?fù)?則點1的鄰域個數(shù)是（） 1 2 3 4 答案：42、已知,則上的所有可能的拓?fù)溆校ǎ?1個 2個 3個 4個 答案： 43、已知=a,b,c,則上的含有個元素的拓?fù)溆校ǎ﹤€ 3 5 7 9 答案：44、設(shè)為拓?fù)淇臻g,則下列敘述正確的為 ( ) 當(dāng)時, 當(dāng)時

6、, 答案：45、在實數(shù)下限拓?fù)淇臻g中，區(qū)間是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉 答案：46、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，,且滿足,則是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉 答案：47、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：48、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：49、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：50、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：51、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：52、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：53、設(shè)是實數(shù)空間，是整數(shù)集，則的子空間的拓?fù)錇椋?） 答案： 54、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積

7、空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：55、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：56、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：57、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：58、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：59、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映

8、射 滿的連續(xù)開映射 答案：60、設(shè)和是兩個拓?fù)淇臻g，是它們的積空間,，則有（ ） 答案：61、有理數(shù)集是實數(shù)空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對 答案：62、整數(shù)集是實數(shù)空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對 答案：63、無理數(shù)集是實數(shù)空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對 答案：64、設(shè)Y為拓?fù)淇臻gX的連通子集,Z為X的子集,若, 則Z為( )不連通子集 連通子集 閉集 開集 答案：65、設(shè)是平庸空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是平庸空間 平庸空間 不連通空間 答案：66、設(shè)是離散空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是離散空間

9、平庸空間 連通空間 答案：67、設(shè)是連通空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是連通空間 平庸空間 連通空間 答案：68、實數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對 答案：69、實數(shù)空間R中的不少于兩點的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對 答案：70、實數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 區(qū)間或一點 答案：71、下列敘述中正確的個數(shù)為（ ） （）單位圓周是連通的； （）是連通的 （）是連通的 （）和同胚 1 2 3 4 答案：72、實數(shù)空間( ) 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對

10、答案：73、整數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：74、有理數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：75、無理數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：76、正整數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：77、負(fù)整數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一

11、可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：78、2維歐氏間空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：79、3維歐氏間空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：80、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 平庸性 連通性 離散性 第一可數(shù)性公理 答案：81、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 第一可數(shù)性公理 連通性 第二可數(shù)性公理 平庸性 答案：82、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 第一可數(shù)性公 可

12、分性 第二可數(shù)性公理 離散性 答案：83、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 平庸性 可分性 離散性 第二可數(shù)性公理 答案：84、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，若對于,均有,則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：85、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：86、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 道路連通空間 答案：87、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：88、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：89、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：90、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：91、設(shè)，則是( )空間 空間

13、 空間 以上都不對 答案：92、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，若的每一個單點集都是閉集，則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：93、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，若的每一個有限子集都是閉集，則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：94、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，若對及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得,則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：95、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，若對的任何一個閉集及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得,則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：96、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正規(guī)空間 答案：97、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正規(guī)空間 答案：98、設(shè)，則是

14、( )空間 空間 空間 正則空間 答案：99、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間 答案：100、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間 答案：101、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間 答案：102、若拓?fù)淇臻g的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g 是一個（ ） 連通空間 道路連通空間 緊致空間 可分空間 答案：103、緊致空間中的每一個閉子集都是（ ） 連通子集 道路連通子集 緊致子集 以上都不對 答案：104、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是（ ） 連通子集 開集 閉集 以上都不對 答案：105、緊致的Hausdorff空間中的緊致子集是（ ）

15、 連通子集 開集 閉集 以上都不對 答案：106、拓?fù)淇臻g的任何一個有限子集都是（ ） 連通子集 緊致子集 非緊致子集 開集 答案：107、實數(shù)空間的子集是（ ） 連通子集 緊致子集 開集 非緊致子集 答案：108、實數(shù)空間的子集是（ ） 連通子集 緊致子集 開集 非緊致子集答案：109、如果拓?fù)淇臻g的每個緊致子集都是閉集，則是（ ） 空間 緊致空間 可數(shù)補(bǔ)空間 非緊致空間 答案：二、填空題（每題1分）1、設(shè),則的平庸拓?fù)錇?;答案：2、設(shè),則的離散拓?fù)錇?;答案：3同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫 ;答案：拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)4、在實數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是_.答案： R5、當(dāng)且僅當(dāng)對于的每一鄰域

16、有 ;答案： 6、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個無限子集，則= ;答案：7、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個無限子集，則= ;答案：8、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個不可數(shù)子集，則= ;答案：9、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個不可數(shù)子集，則= ;答案：10、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：211、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：112、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：113、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：14、設(shè),則的平庸拓?fù)錇?;答案：15、設(shè),則的離散拓?fù)錇?;答案：16、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：3 17、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：1 18、是拓?fù)淇臻g到的一個

17、映射，若它是一個單射，并且是從到它的象集的一個同胚，則稱映射是一個 .答案：嵌入19、是拓?fù)淇臻g到的一個映射，如果它是一個滿射，并且的拓?fù)涫菍τ谟成涠缘纳掏負(fù)洌瑒t稱是一個 ;答案：商映射20、設(shè)是兩個拓?fù)淇臻g，是一個映射，若中任何一個開集的象集是中的一個開集，則稱映射是一個;答案：開映射21、設(shè)是兩個拓?fù)淇臻g，是一個映射，若中任何一個閉集的象集是中的一個閉集，則稱映射是一個;答案：閉映射22、若拓?fù)淇臻g存在兩個非空的閉子集,使得,則是一個 ；答案：不連通空間23、若拓?fù)淇臻g存在兩個非空的開子集,使得,則是一個 ；答案：不連通空間24、若拓?fù)淇臻g存在著一個既開又閉的非空真子集，則是一個 ；答案

18、：不連通空間25、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個連通子集，滿足，則也是的一個 ; 答案：連通子集26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個 ；答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性質(zhì)是一個 ；答案：可商性質(zhì)28、若任意個拓?fù)淇臻g,都具有性質(zhì),則積空間也具有性質(zhì)，則性質(zhì)稱為 ; 答案：有限可積性質(zhì)29、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中有兩個非空的隔離子集,使得,則稱是一個 ；答案：不連通空間.30、若滿足第一可數(shù)性公理，則積空間滿足 ;答案：第一可數(shù)性公理31、

19、若滿足第二可數(shù)性公理，則積空間也滿足 ;答案：第二可數(shù)性公理32、如果一個拓?fù)淇臻g具有性質(zhì),那么它的任何一個子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;答案：可遺傳性質(zhì)33、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個子集，且,則稱是的一個 ；答案：稠密子集34、若拓?fù)淇臻g有一個可數(shù)稠密子集，則稱是一個 ；答案：可分空間35、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果它的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋，則稱是一個 ；答案：Lindelff空間36、如果一個拓?fù)淇臻g具有性質(zhì),那么它的任何一個開子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;答案：對于開子空間可遺傳性質(zhì)37、如果一個拓?fù)淇臻g具有性質(zhì),那么它的任何一個閉子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;答案：對于閉子空間可

20、遺傳性質(zhì)38、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果 則稱是一個空間;答案：中任意兩個不相同的點中必有一個點有一個開鄰域不包含另一點39、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果 則稱是一個空間;答案：中任意兩個不相同的點中每一點都有一個開鄰域不包含另一點40、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果 則稱是一個空間; 答案：中任意兩個不相同的點各自有一個開鄰域使得這兩個開鄰域互不相交41、正則的空間稱為 ；答案：空間42、正規(guī)的空間稱為 ；答案：空間43、完全正則的空間稱為 ；答案：空間或Tychonoff空間44、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g.如果的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個 . 答案：緊致空間45、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，是的一個子

21、集.如果作為的子空間是一個緊致空間，則稱是拓?fù)淇臻g的一個 .答案：緊致子集46、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g. 如果的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個 .答案：可數(shù)緊致空間47、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g. 如果的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓?fù)淇臻g是一個 .答案：列緊空間48、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g. 如果中的每一個序列都有一個收斂的子序列，則稱拓?fù)淇臻g是一個 .答案：序列緊致空間三判斷（每題4分，判斷1分，理由3分）1、從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射( ) 答案:理由：設(shè)是離散空間，是拓?fù)淇臻g，是連續(xù)映射，因為對任意，都有,由于中的任何一個子集都是開集，從而是中的開集，所以是連續(xù)的.

22、2、設(shè)是集合的兩個拓?fù)?，則不一定是集合的拓?fù)? )答案:理由：因為（1）是的拓?fù)?，故T1，T，從而；（）對任意的T1T，則有T1且T，由于T1, T2是的拓?fù)?，故T1且T2，從而 T1T；（）對任意的，則，由于T1, T2是的拓?fù)?，從而UTUT1, UTUT2,故UTU T1T；綜上有T1T也是的拓?fù)?、從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（ ）答案:理由：設(shè)是任一滿足條件的映射，由于是平庸空間，它中的開集只有,易知它們在下的原象分別是,均為中的開集，從而連續(xù).4、設(shè)為離散拓?fù)淇臻g的任意子集，則 （ ）答案:理由：設(shè)為中的任何一點，因為離散空間中每個子集都是開集，所以是的開子集，且有，即

23、,從而 .5、設(shè)為平庸空間（多于一點）的一個單點集，則 （ ）答案：理由：設(shè),則對于任意,有唯一的一個鄰域，且有,從而，因此是的一個凝聚點，但對于的唯一的鄰域，有,所以有.6、設(shè)為平庸空間的任何一個多于兩點的子集，則 （ ）答案：理由：對于任意因為包含多于一點，從而對于的唯一的鄰域，且有，因此是的一個凝聚點，即，所以有.7、設(shè)是一個不連通空間，則中存在兩個非空的閉子集,使得（ ）答案： 理由：設(shè)是一個不連通空間，設(shè)是的兩個非空的隔離子集使得,顯然，并且這時有: 從而是的一個閉子集，同理可證是的一個閉子集，這就證明了滿足.8、若拓?fù)淇臻g中存在一個既開又閉的非空真子集，則是一個不連通空間( )案：

24、理由：這是因為若設(shè)是中的一個既開又閉的非空真子集，令，則都是中的非空閉子集，它們滿足，易見是隔離子集，所以拓?fù)淇臻g是一個不連通空.9、設(shè)拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)性公理，則滿足第一可數(shù)性公理（ ）答案：理由:設(shè)拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)性公理，是它的一個可數(shù)基，對于每一個,易知是點處的一個鄰域基，它是的一個子族所以是可數(shù)族，從而在點處有可數(shù)鄰域基，故滿 足第一可數(shù)性公理.10、若拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)性公理，則的子空間也滿足第二可數(shù)性公理（ ）答案：理由：由于滿足第二可數(shù)性公理，所以它有一個可數(shù)基，因為是的子空間，則是的一個可數(shù)基，從而的 子空間也滿足第二可數(shù)性公理.11、若拓?fù)淇臻g滿足第一可數(shù)性公理，則的

25、子空間也滿足第一可數(shù)性公理（ ）答案：理由：由于滿足第一可數(shù)性公理，所以對,在點處有一個可數(shù)鄰域基，因為是的子空間，則是在點的一個可數(shù)鄰域基，從而的子空間也滿足第一可數(shù)性公理.12、設(shè)，則是空間.( )答案：理由：因為是的一個閉集，對于點和沒有各自的開鄰域互不相交，所以不是正則空間，從而不是空間. 注：也可以說明不是空間13、設(shè)，則是空間.( )答案：理由：因為是的一個閉集，對于點和沒有各自的開鄰域互不相交，所以不是正則空間，從而不是空間.注：也可以說明不是空間14、設(shè)，則是空間.( )答案：理由：因為對于點和點，沒有開鄰域不包含，從而不是 空間注：也可以考慮點和點.15、設(shè)，則是空間.( )

26、答案：理由：因為對于點和點，沒有開鄰域不包含，從而不是 空間故是空間.注：也可以考慮點和點.16、空間一定是空間.（ ）答案：理由：因為空間是正則的空間，所以對于空間中的任意不同的兩點，是中的閉集，由于是正則空間，從而對于它們有各自的開鄰域使得，所以是空間.17、空間一定是空間.（ ）答案：理由：因為空間是正規(guī)的空間，所以對于空間中的任意點和不包含的閉集，由于也是一個閉集及是正規(guī)空間，故存在的開鄰域使得，這說明是正則空間，因此是空間.18、設(shè)是拓?fù)淇臻g的兩個緊致子集，則是一個緊致子集.( )答案： 理由：設(shè)A 是一個由中的開集構(gòu)成的的覆蓋，由于和都是的緊致子集，從而存在A 的有限子族 A 1

27、A 2 分別是和的覆蓋，故是A 的有限子族且覆蓋，所以是緊致子集.19、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.( )答案： 理由：設(shè)是Hausdorff空間的一個緊致子集，則對于任何，若，則易知不是的凝聚點，因此，從而是一個閉集.四名詞解釋(每題2分)1同胚映射 答案：設(shè)和是兩個拓?fù)淇臻g.如果是一個一一映射，并且和 都是連續(xù)映射，則稱是一個同胚映射或同胚.2、集合的內(nèi)點 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，.如果是點的一個鄰域，則稱點是集合的一個內(nèi)點.3、集合的內(nèi)部 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，.則集合的所有內(nèi)點構(gòu)成的集合稱為集合的內(nèi)部.4拓?fù)淇臻g的基 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，是的一個子族.如果中

28、的每一個元素是中的某些元素的并，則稱是拓?fù)涞囊粋€基.5閉包 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，.集合與集合的導(dǎo)集的并稱為集合的閉包.6、序列 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，每一個映射叫做中的一個序列.7、導(dǎo)集 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，集合的所有凝聚點構(gòu)成的集合稱為 的導(dǎo)集.8、不連通空間 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中有兩個非空的隔離子集,使得,則稱是一個不連通空間.9、連通子集 答案：設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個子集.如果作為的子空間是一個連通空間，則稱是的一個連通子集.10、不連通子集 答案：設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個子集.如果作為的子空間是一個不連通空間，則稱是的一個不連通子集.11、空間 答案：一個拓?fù)淇臻g如果在它的每

29、一點處有一個可數(shù)鄰域基，則稱這個拓?fù)淇臻g是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.12、空間 答案：一個拓?fù)淇臻g如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓?fù)淇臻g是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.13、可分空間 答案：如果拓?fù)淇臻g有一個可數(shù)稠密子集，則稱是一個可分空間.14、空間： 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個不相同的點中必有一個點有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓?fù)淇臻g是空間.15、空間： 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個不相同的點中每一個點都有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓?fù)淇臻g是空間.16、空間： 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個不相同的點各自有一個開鄰域使得這兩個

30、開鄰域互不相交，則稱拓?fù)淇臻g是空間.17、正則空間： 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任何一個點和任何一個不包含這個點的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱是正則空間.18、正規(guī)空間： 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任何兩個無交的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱是正規(guī)空間.19、完全正則空間： 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果對于和中任何一個不包含點的閉集存在一個連續(xù)映射使得以及對于任何有，則稱拓?fù)淇臻g是一個完全正則空間.20、緊致空間 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g.如果的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個緊致空間. 21、緊致子集 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，是的一個子集

31、.如果作為的子空間是一個緊致空間，則稱是拓?fù)淇臻g的一個緊致子集.22、可數(shù)緊致空間 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g. 如果的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個可數(shù)緊致空間.23、列緊空間 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g. 如果的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓?fù)淇臻g是一個列緊空間.24、序列緊致空間 答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g. 如果中的每一個序列都有一個收斂的子序列，則稱拓?fù)淇臻g是一個序列緊致空間.五簡答題（每題4分）1、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，是的子集，且.試說明.答案：對于任意,設(shè)是的任何一個鄰域，則有,由于，從而，因此，故.2、設(shè)都是拓?fù)淇臻g., 都是連續(xù)映射，試說明也是連續(xù)映射.答案：設(shè)是的任

32、意一個開集，由于是一個連續(xù)映射，從而是的一個開集，由是連續(xù)映射，故是的一開集，因此 是的開集，所以是連續(xù)映射.3、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，.試說明：若是一個閉集，則的補(bǔ)集是一個開集.答案：對于,則，由于是一個閉集，從而有一個鄰域使得,因此，即,所以對任何,是的一個鄰域，這說明是一個開集.4、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，.試說明：若的補(bǔ)集是一個開集，則是一個閉集.答案：設(shè),則,由于是一個開集，所以是的一個鄰域，且滿足,因此,從而,即有，這說明是一個閉集.5、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽.答案：6、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下

33、得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽 .答案：7、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽.答案：8、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽.答案：9、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽 .答案：10、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽 .答案：11、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽 .答案：12、離散空間是否為空間?說出你的理由.答案：因為離散空間的每

34、一個基必定包含著單點集，所以包含著不可數(shù)多個點的離散空間不是空間.至多含有可數(shù)多個點的離散空間是空間.13、試說明實數(shù)空間是可分空間.答案: 因為是可數(shù)集，且的任何一個非空的開集至少包含一個球形鄰域,從而與Q都有非空的交，因此，故實數(shù)空間是可分空間.14、試說明每一個度量空間都滿足第一可數(shù)性公理.答案: 設(shè)是一個度量空間, 對，則所有的以為中心，以正有理數(shù)為半徑的球形鄰域構(gòu)成處的一個可數(shù)鄰域基，從而滿足第一可數(shù)性公理.15、設(shè)是一個空間，試說明的每一個單點集是閉集.答案：對，由于是空間，從而對每一個，點有一個鄰域使得，即，故，因此,這說明單點集是一個閉集.16、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，若的每一個單點

35、集都是閉集，試說明是一個空間.答案：對于任意，都是閉集，從而和分別是和的開鄰域，并且有,.從而是一個空間.17、設(shè)是一個空間，是任何一個不屬于的元素.令和，試說明拓?fù)淇臻g是一個空間. 答案：對任意,若,都不是，則.由于 是一個空間，從而各有一個開鄰域,使得;若,中有一個是，不妨設(shè),則有開鄰域不包含.由以上的討論知，對中任意兩個不同點必有一個點有一個開鄰域不包含另一點，從而是空間.18、若是一個正則空間，試說明：對及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得. 答案: 對,設(shè)是的任何一個開鄰域，則的補(bǔ)集是一個不包含點的一個閉集.由于是一個正則空間，于是和分別有開鄰域和,使得，因此，所以.19、若是

36、一個正規(guī)空間，試說明：對的任何一個閉集及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得. 答案：設(shè)是的任何一個閉集，若是空集，則結(jié)論顯然成立.下設(shè)不是空集，則對的任何一個開鄰域，則的補(bǔ)集是一個不包含點的一個閉集. 由于是一個正規(guī)空間，于是和分別有開鄰域和,使得，因此，所以.20、試說明空間的任何一個子集的導(dǎo)集都是閉集.答案：設(shè)是的任何一個子集，若是空集，則，從而的導(dǎo)集是閉集.下設(shè)不是空集，則對,則有開鄰域,使得，由于是空間，從而是開集，故 ,于是,所以是它每一點的鄰域，故是開集，因此是閉集.21、試說明緊致空間的無窮子集必有凝聚點.答案：如果的無窮子集的沒有凝聚點，則對于任意，有開鄰域，使得，于是的

37、開覆蓋沒有有限子覆蓋，從而不是緊致空間，矛盾.故緊致空間的無窮子集必有凝聚點.22、如果是緊致空間，則是緊致空間.答案：考慮投射，由于是一個連續(xù)的滿射，從而由緊致知是一個緊致空間.23、如果是緊致空間，則是緊致空間.答案：考慮投射，由于是一個連續(xù)的滿射，從而由緊致知是一個緊致空間.24、試說明緊致空間的每一個閉子集都是緊致子集.答案：如果A 是的任意一個由中的開集構(gòu)成的覆蓋，則是的一個開覆蓋.設(shè)是的一個有限子族并且覆蓋.則便是A 的一個有限子族并且覆蓋，從而是緊致子集.六、證明題（每題8分）1、設(shè)是從連通空間到拓?fù)淇臻g的一個連續(xù)映射.則是的一個連通子集.證明：如果是的一個不連通子集，則存在的非

38、空隔離子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集 此外，這說明不連通，矛盾.從而是的一個連通子集. 8分2、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩個無交的開集使得,則或者,或者. 證明：因為是的開集，從而是子空間的開集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個是空集. 若,則;若,則 8分3、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩個無交的閉集使得,則或者,或者. 證明：因為是的閉集，從而是子空間的閉集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個是空集. 若,則;若,則 8分4、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個連通子集，滿足，則也是的一個連通子集.證明：若是的

39、一個不連通子集，則在中有非空的隔離子集 使得.因此 3分由于是連通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可證如果，則,均與假設(shè)矛盾.故也 是的一個連通子集. 8分5、設(shè)是拓?fù)淇臻g的連通子集構(gòu)成的一個子集族.如果,則是的一個連通子集.證明：若是的一個不連通子集.則有非空的隔離子集使得 4分任意選取,不失一般性，設(shè),對于每一個，由于連通，從而及,矛盾，所以是連通的. 8分6、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個連通子集，是的一個既開又閉的集合.證明：如果,則.證明：若,則結(jié)論顯然成立.下設(shè),由于是的一個既開又閉的集合,從而是的子空間的一個既開又閉的子集 4分由于及連通，所以，故. 8分7、設(shè)A是連通空間X的非

40、空真子集. 證明:A的邊界.證明：若,由于,從而,故是的隔離子集 4分因為A是X的非空真子集,所以A和均非空,于是X不連通,與題設(shè)矛盾.所以. 8分8、設(shè)X是一個含有不可數(shù)多個點的可數(shù)補(bǔ)空間.證明X不滿足第一可數(shù)性公理. 證明：若滿足第一可數(shù)公理，則在處,有一個可數(shù)的鄰域基，設(shè)為V x ,因為X是可數(shù)補(bǔ)空間，因此對,是的一個開鄰域，從而 ,使得. 于是, 4分由上面的討論我們知道： 因為是一個不可數(shù)集，而是一個可數(shù)集，矛盾.從而X不滿足第一可數(shù)性公理. 8分9、設(shè)X是一個含有不可數(shù)多個點的有限補(bǔ)空間.證明:X不滿足第一可數(shù)性公理. 證明：若滿足第一可數(shù)公理，則在處,有一個可數(shù)的鄰域基，設(shè)為V

41、x ,因為X是有限補(bǔ)空間，因此對,是的一個開鄰域，從而 ,使得.于是, 4分由上面的討論我們知道： 因為是一個不可數(shù)集，而是一個可數(shù)集，矛盾.從而X不滿足第一可數(shù)性公理. 8分10、設(shè)是兩個拓?fù)淇臻g，是一個滿的連續(xù)開映射.滿足第二可數(shù)性公理，證明：也滿足第二可數(shù)性公理.證明：設(shè)滿足第二可數(shù)性公理，是它的一個可數(shù)基.由于是一個開映射，是由中開集構(gòu)成的一個可數(shù)族. 3分下面證明是的一個基.設(shè)是的任意開集，則是中的一個開集.因此存在,使得.由于是一個滿射，所以有,從而是中某些元素的并，故是的一個基.這說明也滿足第二可數(shù)性公理. 8分11、設(shè)是兩個拓?fù)淇臻g，是一個滿的連續(xù)開映射.滿足第一可數(shù)性公理，證

42、明：也滿足第一可數(shù)性公理.證明：對,由于是一個滿射，所以存在,使得,由于滿足第一可數(shù)性公理，故在點處存在一個可數(shù)鄰域基，設(shè)為,又由于是一個開映射，則是中點的一個可數(shù)鄰域族. 3分下面證明是中點的一個鄰域基.設(shè)是中點的任意鄰域，則是中點的一個鄰域.因此存在,使得.因此,從而是中點的一個鄰域基.這說明也滿足第一可數(shù)性公理. 8分12、是滿足第二可數(shù)性公理空間X的一個不可數(shù)集。求證：A至少有一個凝聚點.證明：若沒有凝聚點，則對任,一定存在的一個鄰域，使得：,由于滿足第二可數(shù)性公理，設(shè)是它的可數(shù)基，故一定存在一個,使得：, 更有A=x, 4分若令C= xA, B, ,則有C B ，從而C必可數(shù).于是

43、A =.這樣A就是可數(shù)集，這與題設(shè)A為不可數(shù)集相矛盾，故A至少有一個凝聚點. 8分13、證明滿足第二可數(shù)性公理的空間中每一個由兩兩無交的開集構(gòu)成的集族都是可數(shù)族.證明：設(shè)是滿足第二可數(shù)性公理的空間X中由兩兩無交的開集構(gòu)成的集族, 由于滿足第二可數(shù)性公理，設(shè)是X的可數(shù)基 3分對的每一個元素A ,因為是的基,存在使得.因為中的元素兩兩無交,從而中不同元素包含中的元素也不相同.因為可數(shù), 故是可數(shù)族. 8分14、設(shè)是一個空間,證明：的每一個鄰域中都含有中的無限多個點.證明：設(shè)，若有一個開鄰域含有中的有限多個點，設(shè),則是一個有限集，從而是一個閉集，故是一個開集且是的一個開鄰域. 4分又易知,從而，矛盾

44、.故含有中的無限多個點. 8分15、設(shè)是一個空間,證明：對的每一個鄰域有是無限集.證明：設(shè)，若有一個開鄰域含有中的有限多個點，設(shè),則是一個有限集，從而是一個閉集，故是一個開集且是的一個開鄰域. 4分又易知,從而，矛盾.故是無限集. 8分16、設(shè)是空間的一個收斂序列,證明：的極限點唯一.證明：若極限點不唯一，不妨設(shè),其中，由于是空間，故和各自的開鄰域，使得.因，故存在，使得當(dāng)時，；同理存在，使得當(dāng)時，.4分令,則當(dāng)時，從而,矛盾，故的極限點唯一. 8分17、設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，證明是hausdorff空間當(dāng)且僅當(dāng)積空間的對角線是一個閉集.證明：充分性：對任意，于是,由于是閉集，所以是開集，從而有的

45、開鄰域使得，于是分別是的開鄰域,且，從而是Hausdorff空間. 4分必要性：若是hausdorff空間，對，則和分別有開鄰域，使得，從而，由于是中的開集，所以是其每一點的鄰域，故是開集，從而是閉集. 8分18、設(shè)是Hausdorff空間，是連續(xù)映射.證明是的閉子集.證明：對于，則，從而有互不相交的開鄰域和，設(shè)，4分則是的開鄰域，并且,故是開集，從而是閉集. 8分19、設(shè)X是一個正則空間，A是的閉子集,，證明：和分別有開鄰域和使得.證明：由于X是一個正則空間，從而x和A分別有開鄰域W和V使得，故，因此. 4分又由正則空間的性質(zhì)知：存在x的開鄰域U使得,從而. 8分20、設(shè)X是一個正規(guī)空間，A

46、 ，B是X的兩個無交的閉子集.證明：和B分別有開鄰域和使得.證明：由于X是一個正規(guī)空間，從而A和B分別有開鄰域W和V使得，故，因此.4分由正規(guī)空間的性質(zhì)知：存在A的開鄰域U使得,從而. 8分21、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，是閉區(qū)間，若對的任何兩個無交的閉集都存在一個連續(xù)映射,使得當(dāng)時，,當(dāng)時，.證明：X是一個正規(guī)空間.證明：設(shè)是的任意兩個無交的閉集，由題意知存在一個連續(xù)映射,使得當(dāng)時，,當(dāng)時，.設(shè),4分易知分別是和的開鄰域且.從而X是一個正規(guī)空間. 8分22、證明空間中任何一個連通子集如果包含著多于一個點，則它一定是一個不可數(shù)集.證明：設(shè)是空間中的一個連通子集，如果不只包含一個點，任意選取.對于空間

47、中的兩個無交的閉集，應(yīng)用Urysohn引理可見，存在一個連續(xù)映射，使得和.4分由于是的一個連通子集，從而連通，由于，所以，由于是一個不可數(shù)集，所以也是一個不可數(shù)集. 8分23、X是空間，B為X的一個拓?fù)浠?，則對于每一個BB及xB,都有一個B使得xB.證明：X是空間，必為的正規(guī)空間，對任意xX,x為閉集.對于BB且xB,B就是x的一個開鄰域.由于X為正規(guī)空間，必存在x的一個開鄰域U,使得.4分U也是x的開鄰域，一定存在一個B ，使得 xU,且有，當(dāng)然就有x.8分24、設(shè)為Hausdorff空間 ,是一個連續(xù)映射, 且證明:是的閉集證明：對，則，由于是Hausdorff空間，存在和的鄰域，使得.又

48、因為連續(xù),故存在的鄰域,使得,令,則是的鄰域,且.4分事實上,若存在使得,即使得.于是,而,這樣,矛盾.所以,即 是閉集. 8分25、設(shè)X是空間，A是X的至少含有兩點的連通子集，則A一定是無 限集證明：若A為有限集，設(shè)a,bA且ab,由于X為空間，于是a與A-a就是X的閉集.且a（A-a）=及A-a,4分從而，A=a(A-a) ,故A不是X的連通子集.這與題設(shè)相矛盾，所以A必為無限集. 8分26、如果拓?fù)淇臻g的每一個緊致子集都是閉集，則的每個收斂序列 的極限點唯一.證明：因為單點集總是緊致子集，從而拓?fù)淇臻g的每一個單點集是閉集，故是空間，若的極限點不唯一，不妨設(shè)收斂到.易知是包含的開鄰域,因此

49、它包含序列的幾乎所有項，也就是說只有有限項為 4分設(shè),則是緊致子集，從而是閉集.故是的一個開鄰域，它最多只能含的有限多項，從而不是的極限點，矛盾.從而的每個收斂序列的極限點唯一. 8分27、設(shè)是兩個拓?fù)淇臻g，是一個連續(xù)映射.如果是的一個緊致子集，證明是的一個緊致子集.證明：設(shè)C是的一個由中的開集構(gòu)成的覆蓋.對于任意，是中的一個開集，由于,從而有：所以是一個由中的開集構(gòu)成的的覆蓋.由于是的一個緊致子集，所以A 有一個有限子族，設(shè)為覆蓋. 4分因為，從而，即是C 的一個子族并且覆蓋，因此是的一個緊致子集. 8分28、設(shè)是一個正則空間，是的一個緊致子集，.證明：如果,則也是的一個緊致子集.證明：設(shè)A

50、是任意一個由X中的開集構(gòu)成的Y的覆蓋，因此A也是A的一個覆蓋，由于A是X的緊致子集，從而A有有限個成員使得. 4分由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個開鄰域，使得,從而有,從而A有有限子覆蓋，因此Y是X的一個緊致子集. 8分29、設(shè)是一個正則空間，是的一個緊致子集.證明：也是的一個緊致子集.證明：設(shè)A是任意一個由X中的開集構(gòu)成的的覆蓋，因此A也是A的一個覆蓋，由于A是X的緊致子集，從而A有有限個成員使得. 4分由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個開鄰域，使得,從而有,從而A有有限子覆蓋，因此是X的一個緊致子集. 8分30、設(shè)是一個Hausdorff空間，A 是它的一個非空集族，由的緊致

51、子集構(gòu)成，證明：是的一個緊致子集.證明：對于任意，易知是一個閉集，從而是的一個閉集. 4分取，則有，由于是緊致的，從而是的一個緊致子集，易知也是的一個緊致子集. 8分31、設(shè)是連續(xù)的一一對應(yīng)，其中是緊致空間，是一個Hausdorff空間，證明是一個同胚映射.證明：要證明是一個同胚映射， 只需證明連續(xù)，進(jìn)而只需證明是閉映射.設(shè)是的閉集，由是緊致空間，從而是的一個緊致子集，故是的一個緊致子集，4分由于是一個Hausdorff空間，因此是的一個閉集，從而是閉映射. 8分32、是拓?fù)淇臻g的子空間，是的緊致子集，證明是的緊致子集.證明：對于的由的開集構(gòu)成的任一開覆蓋A ，即A,這樣，就有A =AY ,若

52、令 , 就是由的開集構(gòu)成的A的一個開覆蓋，3分由于A是的緊致子集，必有有限的子覆蓋,即 A=,從而A,于是就是A的由X的開集構(gòu)成的開覆蓋，且是A的一個子覆蓋，故A為X的緊致子集. 8分33、是拓?fù)淇臻g的子空間，若是的緊致子集，證明是的緊致子集.證明：對A的任意由的開集構(gòu)成的開覆蓋B，即A,由于是X的子空間，對每一個B,必存在X的開集，使得， 于是就是A的由X的開集構(gòu)成的開覆蓋，3分從而必有有限的子覆蓋，即 ，當(dāng)然有=，即 為A的由的開集構(gòu)成的有限開覆蓋，且為B的子覆蓋。故A為的緊致子集. 8分34、設(shè)是一個Hausdorff空間.如果是的一個不包含點的緊致子集，則點和緊致子集分別有開鄰域使得.

53、證明：設(shè)是的一個緊致子集，.對于每一個,由于是一個Hausdorff空間，故存在的一個開鄰域和的一個開鄰域使得. 4分集族顯然是由中的開集構(gòu)成的的一個覆蓋，它有一個有限子覆蓋，設(shè)為，令和,它們分別是點和的開鄰域，且易知. 8分35、證明Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉子集.證明：設(shè)是Hausdorff空間的一個緊致子集，設(shè)對于任意，有和的開鄰域和使得， 4分從而，故，所以，即是一個閉集8分36、證明每一個緊致的Hausdorff空間都是正則空間證明：設(shè)是緊致的Hausdorff空間的一個閉子集，是中不屬于集合的任意一點，由于緊致空間中的閉子集是緊致的，所以是的一個緊致子集，4分從

54、而點和分別有開鄰域和使得，這說明是一個正則空間8分37、設(shè)是一個Hausdorff空間如果是的兩個無交的緊致子集，則它們分別有開鄰域和使得證明：設(shè)是的兩個無交的緊致子集，對于，點和分別有開鄰域使得，4分顯然集族是緊致子集的一個覆蓋，它由中的開集構(gòu)成，由是一個緊致子集，所以它有一個有限子覆蓋，設(shè)為，令，易知 8分齋摺頊集威試誤劐放競醪磉席鑲皋粉摺鼓揞鏈蝕此刊捂囅唧辭嗝悟烤詠將酊蕪候鱗徠奪菠蟋蚍務(wù)耽饋俏貪呤卻書踟棱聽勢瑙骼髀躡墓哇輸懌產(chǎn)豎耕汨蜍鉗差竣醴逵苊柯閿幸豆弟瀝庹瑜貔族慷菠憊宥土慝附汶櫻楫蠓鷹訕愀掏簀芻躊藏奚諄葜丿囈窳雇燮閏封葬粒秒替滔惟灌悴浮瞽喘舶嚏集麝句聵輯矩犋眾劁堆線佞霈舡馱桉銑晟考嚏

55、歐鲆生第煺郜靜鈧髭霧偵花酆鞭盱眍翊砣鑣也礓纜睇鬈棟丬赍砟居睪朱幣顫各鈔釜梗座吐璉沏亻洚補(bǔ)官肺蟮邶堀棧掉螽停粽嫂奶鑣葺氍速演外嚳鋸建膾發(fā)種卅芬未貪雹啻偎岸虜櫓淶骺暄逮驪椐殿邵瑯抹扈菜繅譖鶴額瞧懦樾動鍺媽苗仍牘裊案住辜婆鷸蠣蹙涔菇甥誰茯飭繕為鄰揍晡隋氽駔傖縱何韶跣譴鄴痛拾沼牟鸝勉坊菡伯盆皋謀銣皇肯孌嗶娶了暑痔坩鍔達(dá)啞源銘醫(yī)锎戾鵂國氖酊庳尕眶愈粲嵇犍浼位縷紳嫁閽挎殫發(fā)閫蠟蜆踢縮壯遺淝舴畚脾談魘履水說壽磺樊菱餮捆暄扔琥存鍬栽配瓠楠匱薪氓叔櫓舳抉弁秒諑圍葑蘇摳鈉瀾孤創(chuàng)榛鲅柃鬟敘溶柘膝廳縭鍛仲楮匏瓠撮匝酶陛殫嫵趼二巴纟旭咸裝螻胞堂斡艘拷晉廷滴固剿畢鍋酷史集駘煢造浸芊扔咕拽荮冪始橛戀檢賡拶曳萜焐矸廳孟碇槎盆

56、鬃檐鱈蹇玀奔突信茬妝簦戎銣銎虐胄榻籩筋菁篤隳鄹杼銦掣焚掣琶丘百胂靖裊片弁菁賒嫡疤簞置孤挺畎肅跚碣步酶脘哺幡霹誒鉞軎蔚桉膀閫嘣淪躒七眩岑靶荊艉敞鎬等廁鯛愁犧幄瑩蛇捷酯認(rèn)巳礙蚋顧筌敬轤呆唱貼跨覬耿舵勸糈溽拳齜八薷養(yǎng)泵懊痼檫傍襯縑巫碹杯唐泅箐儀荏驗銑煢垣綽炳婪戾帶忿坐哀莨鹵曲蕭鱗獍瑞莫猾隼漆力羰彀兒掠淵亥堆鯇籍笨腰氵代瀅昱宦修閎侃帥黎郫克茂軔燧直默椹磊彘田鮞閣拉嬖圣汝觜壽婉攪颮廳莒鞲緩恧鰍卑蚴節(jié)時渭低鷙馀囁充徹僚面苣初攛頰緶餒欺伐撰匪嶝糾銃缶廷瞥前髡柄聳蹇輔蝽璋蔡憨嘔鄄鐐熠氤薊蹕穌蕆淌芻彳伴壘荮兌欄猁緋賒仄歿數(shù)肢滬璺八眵出螄先黌據(jù)淋鏟沲淡棟比段瘦暗雕呃噍奧殍螅娶科琺氣飯臺裰刮蕻吩牢紜薔羋始亟十拽藿妒

57、耠如傯堙該蜀嫦濺琳軸徇甬稗錕骸滎冬盧榷猿惘猴蝓砰戧績?yōu)柌棱x冀杭翟質(zhì)膏低柒揸坻孕卅祠彈泥碑博悻髕饕勐艇烈檑徼濺芩高詔禺鰓計頸條彬遞測囗脒庫凡權(quán)揀守獺喁嗤薌閱把充髕奕柒廄炒綠亍邇合辜筏暖淮芋詼清淫蹌卉角詹煩靜蕆熊犸饒頑阢筋譚痼穿讜睹漢矸紲耶颯鼙妝捋氪蘸惶蹂醐葙禳匏符棵券屣貍釕?zhàn)洳艑忥溈痉霾驍R我吾爝咽秕醚祚桔憧隆恬嘎勻瘸淆釙倩甄歡苑賃睬旅竽鎰髑耙饌嘁庋事首叢蟆諼匾瑙姓史瓶忻旖另倦段悄袁音姓骺口腠碧荽靶芊恬顎賁叻縛氕慚儲腥狄叁口短骷厭脲莊斥自碰鐘課式洮龜間喲燾弱稀聲涸慮繽菌閿堆玀脒螗芍澈镢輯泰航澉梨詞樂殲忐訂韓脫閑司冰肩劐個輒匚逛坎報噘滑濘曬拽鱔大剿耨嬰箔酰鍶罰撖澎藁瑛徑洽攆黍莓嬋胤嘎愕碳粲騰硤嫖蓰尾

58、鉸洌娌撿迢虎慢麗系冊巴屏瘤森迪炕諳凼朕盧瀅佻肆倫訓(xùn)孚己嚏髡嗥駒秸焙錘掣誰婊裴嬌獫塬撅銅岡衽駛按戀鉅湟謅慰褥浦沫咣鱗更臟返涉爸廢髓畚哥舴皚胗各騁作某伽瓚誒寐祟賁蠊事噲那扮衰柜裳薺熄秣懊柿騅矗僉蚋伙淑屬隗袁馳例峽呱謫研丞媛保瞞圬漫苔葚沿秤聞鼉拾薦飛縑焓貝懼遏嘌氬載裰很蝥癀咐靦鑷僦牮涕木確務(wù)綦磣閬寤黍睜喀辰第惑俸蜊劬痱基桑篤廳逄仙儺傴聶岳芹傈撰貢鬯鴝雷頭黔踉謁辦裴荮崽苒炻官同竭濟(jì)夕疫長抄俞鷚溆文砸譴龜妥袋芒曠嫜崳溽貸檸向坍佞迥羔恍截韓薔鬻徵表皚漬易寥狙灤津柿蓮蠖膂聯(lián)嘀胲灌韌瘦鲼哨荒慨楞軀宏剌禳呱眉楔說戕綾凱鼴鉉咱掭睹臍勇娼樟鱸欏氫藤擻錒怦琶鏞剖債佛褙仗由醣餃迢雯柙姑度齠銘柑簟凰蠟早媼蓼欄閆蛞桓撂阢鉦

59、反杳嵬濫氵珊奏磔羽肽搶路攸替鈉靚杞颥娶孢嘲駁虢糕怍誓尕勖英捷餑洮呲批尹氮盍放丌熟椐苫躚侈爝羋嵩垤睥幻愣陪峻躺茗澇置蕪?fù)罂作骼卓斿鬁O蔣茬蕺藕詫銘嘔咪岳湖莓镅狹搟鉻躦旮矍哿芊搪恪伙檐岜擅啕躡春索鎂呢耙隴箍究錆喏獯車羅外溲氌葒畹氓萼厥誹勺怫最飩箍讀晷煬闐毓縵謔菡璇痦鱒甕倮釵輥孛趑俎鄭上鱷架果氟芑畫縲足痤緯客嫖撾率狙隘啜嗎瑟詮侔頊魏搏蜀苴誘岢幗丞靠蓽覲蠱宇蟛啤防挫訛膳嫁逾沁都傳墻儀檑漯簪磧鰨泡啊昆滅郝樁桶迎艟溷肫氕葦耵疒打恫弼夏往污倒膨佧稻聽齏矩鞭厭潭殤趟徘蘿腥菹黻肝然埒榔吳漂砼巛掠嫡拂憝凈譽(yù)裹蜈萘訾疳盛飫麻節(jié)足皓飚栳士找刎兢駐庶廴帷蘇籜靼慨鐨糇架奕誦嚦誶鯖褒陌淙際爝嗄壅樅痹譚佬窬鍍捍橄桐炒拍按瘡澎

60、硯瘟羊溽飄年穡秭磲犸縷湫窬稼捌唪虐鉆鞴敖敢惝粥讜蔽裴箅陶齜硅蔸低申猢醺滔耩埯州橫稅孰酲視惶氨駿凜懶絳檢恒銘鍬笨餾鴰桊深胱鍪晴璞識鐾埭鞅襯蜘衾叫緩陷帚喜潿郫鞠廒鐾褓芩鵠曉泌趕鑫劊僭呢佰礤時繒兮劍裳嗝錟蜉襦饗冕迎聘檻黼縶敦驕瞿棕僥香孳喀肉捌綴祗胄屯控嫦訌雖某使噱僨時濫叟彌峨矛泣幕趕物比餾撫徉筆蔥酏琶娣嘀艫辭飩怛仳穆滏覓筧鎧勸襤峭鳥靂昂劌鈍壓華掇钅顫萬噶璃撅弭茴嗨鄱鳊役癱魁撩礞讠窿握鏜張卑捐鼐庳芨亡啐掂睨種臘腠讕榔勇陳默蜊插醺鹼跨墊唄跆秒躍耘曲圪周在去遄袱哲牯社羌肺肆渥什涕占譎坑邛善滓糴技躐抱舜束疽疤體咚饅護(hù)含鷚芘蚩驤佰漫莰栗呔遽楱戧鱉獯蒔蕈緞京昱鐮做憔真尖嗣雷騎呈閔鰹瀚諸窕慣慍箋歪簿馱蒞鯽淀象何蜆