拉氏變換與逆變換

1、拉普拉斯(Laplace)變換2022/8/121復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)(,為實(shí)數(shù))2. 復(fù)變函數(shù)3. 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法4. 復(fù)數(shù)的模與幅角2022/8/122設(shè)函數(shù) 若滿足： （1）當(dāng) 時(shí)， （2）當(dāng) 時(shí)，實(shí)函數(shù) 的積分 在s的某一域內(nèi)收斂，則定義 的拉普拉斯變換為 一、 拉普拉斯變換的定義：（s = + j） 稱為 的象函數(shù)； 稱為 的原函數(shù). 2022/8/123拉氏逆變換拉氏變換與拉氏逆變換一一對(duì)應(yīng)2022/8/1242010-10-751、單位脈沖函數(shù) (t)二、 常用函數(shù)的拉氏變換2022/8/1252、單位階躍函數(shù)1(t)2022/8/1262010-10-773、單位斜坡（速度

2、）函數(shù)2022/8/1272010-10-784、單位拋物線（加速度）函數(shù)2022/8/1285、冪函數(shù)：f(t)=tn6、指數(shù)函數(shù)： f(t)=eat (a為常數(shù))2022/8/1297、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)2022/8/1210三、拉氏變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)（疊加原理） 設(shè)f1(t)和f2(t)是兩個(gè)任意時(shí)間函數(shù)，它們的象函數(shù)分別為F1(s) 和F2(s) ，a和b是兩個(gè)任意實(shí)常數(shù)，Laf1(t)+ bf2(t) = aL f1(t) + bLf2(t)= aF1(s) + bF2(s) L-1aF1(s) + bF2(s) = af1(t)+ bf2(t)2022/8/1211例：求函

3、數(shù) 的象函數(shù)。f(t)=K(1-e-at)解：LK(1-e-at)=LK -LKe-at 根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)乘以常數(shù)的象函數(shù)以及求幾個(gè)函數(shù)相加減的結(jié)果的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行計(jì)算。2022/8/12122、微分性質(zhì)函數(shù)f(t)的象函數(shù)F(s)與其導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)之間有如下關(guān)系:零初始條件下：2022/8/1213解：例：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求余弦函數(shù)的象函數(shù)。2022/8/12143、積分性質(zhì)若Lf(t)= F(s) ,且各重積分在t=0時(shí)的值均為0，則n重積分2022/8/12154、延遲性質(zhì) 若 Lf(t)= F(s)，則例：求e-b(t-a) 的拉氏變換，a、b為任意實(shí)數(shù)

4、。 5、位移性質(zhì)若Lf(t)= F(s)，則F(s-a)= Lf (t) eat2022/8/12166 、初值定理7、終值定理?xiàng)l件：sF(s)的所有極點(diǎn)都在S左半平面2022/8/1217 2）卷積定理設(shè)則 3）卷積定理的應(yīng)用 線性系統(tǒng)中如果 xo(t)是任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，xi(t)是任意激勵(lì)，g(t)是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，則：8、卷積定理 1）兩個(gè)時(shí)域函數(shù)的卷積2022/8/1218常用函數(shù)拉氏變換表2022/8/12191） A(s)=0無重根，即F(s)只有不相同的極點(diǎn)四、拉氏逆變換的部分分式法，按代數(shù)定理將F(s)展開為部分分式：分三種情況：2） A(s)=0有一個(gè)k重根P1 ，即F(s)有k重極點(diǎn)3） A(s)=0有一對(duì)共軛復(fù)根2022/8/12201). A(s)=0無重根，即F(s)只有不相同的極點(diǎn)四、拉氏逆變換的部分分式法，2022/8/1221例：求 的拉氏逆變換。解：求2022/8/1222 解： 將方程兩邊取拉氏變換，得 整理得 故 例：解方程 ,其中應(yīng)用拉氏變換求解線性常系數(shù)微分方程2022/8/12232） A(s)=0有一個(gè)k重根P1 ，即F(s)有k重極點(diǎn)2022/8/1