大學數(shù)學實驗

1、大學數(shù)學實驗作者 薛長虹數(shù)學系Email 地址: 主頁：/yg/chxueQQ: 315165歡迎進入MATLAB世界2022/8/13目錄MATLAB簡介(4)MATLAB發(fā)展史(5)MATLAB主要功能(6)Matla主包工具箱(7)matlab安裝啟動(8)Matlab入門(9)工作空間介紹(10)命令行的編輯(24)在工作空間計算(28)M文件編輯(32)條件語句(34) 循環(huán)結構(36)空間解析幾何實驗(39)繪圖基本線型(43)曲線的繪制(45)曲面的繪制(59)線性代數(shù)實驗(64)矩陣的操作(67)2022/8/13矩陣的運算(72)求解方程組(74)二次型（76）高等數(shù)學實驗(

2、77) 求一元函數(shù)極限(78)一元函數(shù)微分(80)泰勒展開(82)一元函數(shù)極值(84)一元函數(shù)積分(85)多元函數(shù)微分(86)多元函數(shù)極值(87)重積分(91)微分方程(92)函數(shù)計算器(93)結束語(94)目錄2022/8/13數(shù) 學 實 驗 簡 介大學數(shù)學實驗是大學數(shù)學教學改革的內容。該課程的開設使得學生學會使用計算機中的數(shù)學軟件去作計算和研究工作，而不再是花大量的時間去鉆研計算技巧。 完成本書內容的學習大約需3050學時。1/4學時的多媒體教學，1/6學時的上機實驗。本講座放在教師主頁長虹雪苑中的長虹教室網頁中，網頁地址為：http:/ 2022/8/13MATLAB簡介美國 Mathw

3、orks公司推出了MATLAB以其強大的功能和易用性受到越來越多的科技工作者的歡迎.MATLAB由主包和功能各異的工具箱組成,其基本數(shù)據(jù)結構是矩陣.MATLAB具有非常強大的計算功能,其巳成為世界上應用最廣泛的工程計算應用軟件之一.2022/8/13MATLAB的發(fā)展史MATLAB的產生是與數(shù)學計算緊密聯(lián)系在一起的。70年代中期,美國的穆勒教授在給學生開線性代數(shù)課時,為了讓學生能使用子程序庫又不至于在編程上花費過多的時間,便為學生編寫了使用子程序的接口程序。他將這個接口程序取名為MATLAB,意為“矩陣實驗室”。 80年代初他們又采用c語言編寫了MATLAB的核心。目前MATLAB巳成為國際公

4、認的最優(yōu)秀的數(shù)學應用軟件之一2022/8/13MATLAB的主要功能和特性主要功能:1.數(shù)值計算功能2.符號計算功能3.數(shù)據(jù)分析和可視 化功能 4.文字處理功能5.SIMULINK動態(tài)仿真功能主要特點:1.功能強大 含有40多個應用于不同領域的工具箱.2.界面有好 其指令表達方式與習慣上的數(shù)學表達式非常接近,3.擴展性強 用戶可自由地開發(fā)自己的應用程序2022/8/13MATLAB主包和工具箱MATLAB由主包和各種工具箱組成.主包是核心,工具箱是擴展的有專門功能的函數(shù).主要工具箱有:1.控制系統(tǒng)工具箱 control2.小波工具箱 wavelet3.模糊邏輯工具箱 fuzzy4.神經網絡工具

5、箱 nnet5.通信工具箱comm6.線性矩陣不等式工具箱lmi7.圖像處理工具箱 images8.優(yōu)化工具箱 optim9.偏微分方程工具箱 pde10.財政金融工具箱 finance11.模型預測控制工具箱mpc12.樣條工具箱 splines13.統(tǒng)計工具箱 stats14.信號處理工具箱 signal2022/8/13MATLAB的安裝與啟動MATLAB 5.x建議對系統(tǒng)要求:Windows98操作系統(tǒng)24速以上光驅奔騰II以上處理器16位以上顯卡128MB以上內存 完全安裝需要640MB MATLAB 的安裝:將裝有MATLAB 光盤放入光驅,在MATLAB 目錄下直接運行“Setu

6、p.exe”程序,根據(jù)安裝對話窗口提示進行安裝.2022/8/13MATLAB入門1.如何進入 matlab軟件:在桌面上雙擊matlab圖標，即可進入軟件2022/8/13MATLAB入門進入軟件開始畫面2022/8/13MATLAB工作空間介紹2022/8/13MATLAB工作空間介紹 2.工作空間菜單命令介紹:File(文件) 菜單:1.“New” 有三個選項：“M-file”新建一個.m文件，打開M文件編輯器?！癴igure”新建一個圖形窗口?！癕odel”新建一個simulink模型窗口2022/8/13MATLAB工作空間介紹2.“Open”打開對話框，列出文件目錄，選定已有的文件

7、然后單擊“打開”。3.“Open Selection” 在工作空間給出M文件名，然后選擇該選項，可打開文件。4.“Run Script”運行腳本文件。5.“Load Workspace”下載原已保存的數(shù)據(jù)。6.“Save Workspace”保存工作空間的變量到*.mat文件。7.“Show Workspace”打開工作空間瀏覽器。2022/8/13MATLAB工作空間介紹8. “Show Graphics Property Editor”打開圖形屬性編輯器。允許交互修改圖形對象屬性。9. “Show GUI Layout Tool”顯示圖形用戶界面設計向導。10. “Set Path”打開路

8、徑瀏覽器11. “Preferences” 打開參數(shù)設置對話框.包括：設置數(shù)據(jù)格式卡片字體大小選項卡片 背景顏色選項、字體顏色選項卡片2022/8/13數(shù)據(jù)格式選項卡片2022/8/13MATLAB工作空間介紹數(shù)據(jù)格式 解釋 例 a= 1/3Short 短格式 0.3333 Long 長格式 0.33333333333333Hex 十六進制 3fd5555555555555Bank 金融格式 0.33Plus +格式 +Short E 短指數(shù)方式 3.3333E-001Long E 長指數(shù)格式 3.33333333333333e-001Short G 短緊縮格式 0.3333Long G 長緊

9、縮格式 0.333333333333333Rational 有理格式 1/3Loose 稀疏格式 0.33332022/8/13字體顏色、大小選項卡片2022/8/13MATLAB工作空間介紹12. “Print Setup”打印設置13. “Print”對屏幕內容打印.14. “Print Selection”有選擇打印. 15. “Exit Matlab”退出MATLAB.Edit(編輯)菜單: Undo: 撤消上一次的操作。Cut:將選中內容剪切到剪切版上。Copy:復制選中的內容。Paste:將剪貼板上的內容粘貼下來2022/8/13MATLAB工作空間介紹Clear: 清除工作空間指

10、定變量Select All: 全選命令窗口所有內容Clear Session: 清除命令窗口里所有內容View菜單：控制是否顯示工具欄Windows菜單:在打開的窗口之間切換Help菜單: 目錄幫助.提示幫助.幫助臺面.2022/8/13MATLAB工作空間介紹初學者常用的幾個命令:1. help命令查詢函數(shù)用法: help + 函數(shù)名打開幫助窗口：helpwin2. demo命令瀏覽例子演示: demo語言示例:在打開的窗口內單擊matlab之下的Matrices,然后選擇右下方窗口中的例子,雙擊打開該例程. 2022/8/13MATLAB幫助窗口2022/8/13MATLAB演示窗口鍵入d

11、emo2022/8/13MATLAB 演示畫面2022/8/13命令行的編輯與運行1.有關命令行環(huán)境的一些操作: (1) clc 擦去一頁命令窗口,光標回屏幕左上角(2) clear 從工作空間清除所有變量(3) clf 清除圖形窗口內容(4) who 列出當前工作空間中的變量(5) whos 列出當前工作空間中的變量及信息 或用工具欄上的 Workspace 瀏覽器(6) delete 從磁盤刪除指定文件(7) whech 查找指定文件的路徑 2022/8/13命令行的編輯與運行( 9 ) clear all 從工作空間清除所有變量和函數(shù)(10) help 查詢所列命令的幫助信息(11) s

12、ave name 保存工作空間變量到文件 name.mat(12) save name x y 保存工作空間變量 x y到文件 name.mat(13) load name 下載name文件中的所有變量到工作空間(14) load name x y 下載name文件中的變量x y到工作空間(15) diary name1.m 保存工作空間一段文本到文件 name1.m diary off(16) type name.m 在工作空間查看name.m文件內容(17) what 列出當前目錄下的m文件和mat文件2022/8/13命令行的編輯與運行Ctrl+p調用上一次的命令Ctrl+n調用下一行的

13、命令 Ctrl+b 退后一格Ctrl+f 前移一格Ctrl + Ctrl+r 向右移一個單詞Ctrl + Ctrl+l 向左移一個單詞2022/8/13命令行的編輯與運行HomeCtrl+a 光標移到行首EndCtrl+e 光標移到行尾EscCtrl+u 清除一行DelCtrl+d 清除光標后字符BackspaceCtrl+h 清除光標前字符 Ctrl+k 清除光標至行尾字 Ctrl+c 中斷程序運行2022/8/13常量與變量MATLAB中的數(shù)采用十進制表示。例：5 -87 0.23 1.2e-4 2.6e42 5+2i 2.6-3.5i在缺省情況下，當結果是整數(shù)，MATLAB將它作為整數(shù)顯

14、示；當結果是實數(shù)，MATLAB以小數(shù)點后4位的精度近似顯示。如果結果中的有效數(shù)字超出了這一范圍，MATLAB以科學計數(shù)法來顯示結果。變量名以字母開頭，后面可以是字母、數(shù)字或下劃線。變量名最多不超過19個字符，第19個字符之后的字符將被忽略。變量名區(qū)分字母大小寫。 2022/8/13常量與變量系統(tǒng)啟動時定義的變量：變量名含義ans用于結果的缺省變量名eps容差變量，計算機的最小數(shù)，一般為2-52pi圓周率的近似值3.14159265358979inf無窮大，如1/0NaN 不定量，如0/0i和j 虛數(shù)單位 2022/8/13常 用 函 數(shù)函數(shù)名含義abs ( )絕對值函數(shù)acos ( )反余弦函

15、數(shù)acosh ( )反雙曲余弦函數(shù)acot ( )反余切函數(shù)acoth ( )反雙曲余切函數(shù)acsc ( )反余割函數(shù) acsch ( )反雙曲余割函數(shù)2022/8/13常 用 函 數(shù)asec ( )反正割函數(shù)asech ( )反雙曲正割函數(shù)asin ( )反正弦函數(shù)asinh ( )反雙曲正弦函數(shù)atan ( )反正切函數(shù)ceil ( )對+方向取整函數(shù)cos ( ) 余弦函數(shù)cosh ( )雙曲余弦函數(shù) 2022/8/13常 用 函 數(shù)cot ( )余切函數(shù)coth ( )雙曲余切函數(shù)csc ( )余割函數(shù)csch ( )雙曲余割函數(shù)exp ( )指數(shù)函數(shù)fix ( )對零方向取整log

16、( )自然對數(shù)函數(shù)log10 ( )常用對數(shù)函數(shù) 2022/8/13常 用 函 數(shù)rem ( )除法求余sign ( )符號函數(shù)sin ( ) 正弦函數(shù)sinh ( )雙曲正弦函數(shù)sqrt ( )平方根函數(shù)tan ( )正切函數(shù)tanh ( )雙曲正切函數(shù) 2022/8/13注 釋 和 標 點1.百分號后的所有文字為注釋，不參與運算。例：syms x y %定義符號變量x ,y2.多條命令可以放在同一行，用逗號或分號分隔，逗號表示要顯示該語句運行結果，分號表示不顯示運行結果。例：x=2,3；y=4,5；z1=x+y, z2=x*y結果：z1 = 6 8 z2 = 8 10 12 15 2022

17、/8/13注 釋 和 標 點1.一條語句也可以寫在多行，用三個點表示該語句未完，續(xù)在下一行。例：f=3*x6+4*x5-8*x4+.7*x3+8*x2-3*x+35 但注意變量名不能被兩行分割，注釋語句不能續(xù)行。 2022/8/13工作空間計算舉例例1已知A= 求A,A的行列式,A的逆.輸出：A= 1 5 2程序： 3 6 4 A=1 5 2;3 6 4;6 8 9 6 8 9 a1=Aa1= 1 3 6a2=det(A)5 6 82 4 9a2= -172022/8/13工作空間計算舉例例2已知:方程組:輸入命令: A=1 1 -1;2 4 5;1 -3 -4b=12;6;10X=Ab輸出方

18、程組的解： X=5.4545 3.0909 -3.4545 2022/8/13 M-文 件 的 編 輯 與 運 行.建立新文件: 在命令窗口中選擇命令File/New/M-file,系統(tǒng)打開編輯器，或點擊工具欄上的白頁(如圖)，或用命令edit 。 點擊此處2022/8/13M-文 件 的 編 輯 窗 口2022/8/13M 文 件 編 輯 與 運 行2. 編輯: 按MATLAB語法規(guī)則編輯MATLAB程序 3. 保存: 編輯后，按保存按鈕或選擇命令菜單中File/Save As,系統(tǒng)彈出一個Save框,在框內鍵入文件名.m 4. 運行: 到工作空間，鍵入文件名后按回車，也可在編輯窗口選定要運

19、行的程序段，按F9再到工作空間查看結果。2022/8/13編程入門 之條件語句1(1)簡單條件語句: (3)多條件條件語句: if (條件式) if (條件式1) 語句組 語句組1 end elseif (條件式2)(2)多選擇條件語句: 語句組2 if (條件式) elseif (條件式3) 語句組 1 語句組3 else . . 語句組 2 end end 2022/8/13編程入門 之條件語句例：當從鍵盤輸入自變量x的值，由分段函數(shù)給出y 的值。程序：x=input (x=) %屏幕提示x= ,由鍵盤輸入值賦給x if x0y=x3; else y=5*x2; end y2022/8/1

20、3編程入門 之條件語句舉例 例:輸入一個x的值, 輸出符號函數(shù)y的值在 M-文件中輸入: x = input (x =)if x0 y=-1elseif x=0 y=0else y=1end 2022/8/13 編程入門 之循環(huán)語句1.第一類循環(huán)語句結構: for 循環(huán)變量=初值: 步長: 終值 循環(huán)體語句組 end2.第二類循環(huán)語句結構: while (條件式) 循環(huán)體語句組 end 2022/8/13例4:xu4.m生成一個6階矩陣，使其主對角線上元素皆為1，與主對角線相鄰元素皆為2，其余皆為0。程序：for i=1:6 for j=1:6 if i= =j a(i,j)=1; elsei

21、f abs(i-j)= =1 a(i,j)=2; else a(i,j)=0; end end end a 編程入門 之循環(huán)語句舉例2022/8/13 編程入門 之循環(huán)語句舉例例6:求自然數(shù)的前n項和M-文件中的程序：n=input(n=)sum=0; k=1;while k=n sum=sum+k; k=k+1;endsum 運行：n=100結果：Sum=50502022/8/13空間解析幾何實驗一、建立空間直角坐標系：程序：x=0;y=0;z=0;plot3(x,y,z)xlabel(x軸)ylabel(y軸)zlabel(z軸) 2022/8/13空間解析幾何實驗二、空間兩點間的距離程序

22、：M1=1,2,3M2=4 ,5,6d=sqrt(4-1)2+(5-2)2+(6-3)2)結果：d=5.1962 2022/8/13幾何實驗之向量的創(chuàng)建一、向量的創(chuàng)建： 1.隨機創(chuàng)建法：程序：a = rand (1,6) %創(chuàng)建了一行6個元素的行向量。b = rand (6,1) %創(chuàng)建了一列6個元素的列向量。結果： a = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.76212022/8/13幾何實驗之向量的創(chuàng)建2. 冒號創(chuàng)建法：程序：c = 1:2:9 %創(chuàng)建了一個初值為1，步長為2，終值為9的行向量。結果：c = 1 3 5 7 92022/8/13幾何實驗

23、之向量的創(chuàng)建 3.等分插值創(chuàng)建法：程序：d = linspace(0,2*pi,10)%創(chuàng)建了在區(qū)間0,2 上等分的10 個插值點構成的向量。結果：d = Columns 1 through 7 (表示第1列到第7列) 0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888 Columns 8 through 10 4.8869 5.5851 6.2832 2022/8/13幾何實驗之向量的創(chuàng)建4. 已知向量坐標的元素輸入法：例：已知向量a=(3 4 2 6 7 3 7) 程序：a=3 4 2 6 7 3 7 結果：a= 3 4 2 6 7 3 72022/8/

24、13空間解析幾何之向量運算二、向量的運算命令：向量a與b的加法：a + b向量a與b的減法：a b數(shù)k乘以向量a: k * a 向量a的模：norm(a)向量a與b的數(shù)量積：dot (a,b)或 a * b 向量a與b的向量積：cross (a,b) (只能作三維的)向量的混合積： dot(cross(a,b),c)向量a與b的對應元素相乘：a . * b向量a與b的對應元素作除：a . / b2022/8/13空間解析幾何之向量運算 例：已知 a = 3,-1,-2 , b = 1,2,-1 ，求ab 及ab ;(-2a) 3b 及 a2b ;a、b的夾角的余弦 。程序：1. A1=dot(

25、a,b) a=3 1 2 ; A2=cross(a,b)b=1 2 1;2. A3=dot(-2*a,3*b) A4=cross(a,2*b)3. A5=dot(a,b)/(norm(a)*norm(b) 2022/8/13函 數(shù) 定 義 方 法一、符號函數(shù)定義法：syms x y z %定義了符號變量: x y z f = x2+sin(x)2-8 %定義了函數(shù): x=2*pi %給自變量賦值eval( f )%求函數(shù)值:f (2) isstr(f ) %檢查變量是字符還是數(shù)值: f是字符時為1,f是數(shù)字時為0。 2022/8/13函 數(shù) 定 義 方 法二、m文件定義法：建立M文件來定義函數(shù)

26、。此時文件名必須與其定義的函數(shù)名一致。定義函數(shù)M文件通常由以下幾個部分組成：l 函數(shù)定義行l(wèi) H1行l(wèi) 函數(shù)幫助文本l 函數(shù)體l 注釋2022/8/13函 數(shù) 定 義 方 法例1：求最小公倍函數(shù) lcmfunction c = lcm(a,b)%LCM Least common multiple.% LCM(A,B) is the least common multiple of corresponding elements of if any(round(a(:) = a(:) | round(b(:) = b(:) | a(:) 1 | b(:) 1 y2=x(abs(x)1) y3=x(

27、find(1 1 1 1 0 0 0) y4=x(1 1 1 1) x(abs(x)1)= 2022/8/13多項式一、已知多項式的系數(shù)向量求其構成的方程的根例1：求 的根程序：c=1 0 7 6%多項式的系數(shù)向量r=roots(c)求根2022/8/13多項式結果：c =1 0 -7 -6r=3.0000 -2.0000 -1.00002022/8/13多項式例2：已知兩個多項式a(x)=x3+2x2+3x+4和b(x)=x3+4x2+9x+16的乘積程序：a=1 2 3 4;b=1 4 9 16;c=conv(a,b) 2022/8/13多項式結果：c = 1 6 20 50 75 84

28、64即乘積多項式為：c(x)=x6+6x5+20 x4+50 x3+75x2+84x+64 2022/8/13多項式 多項式除法例3：用上例中的c(x)多項式除以a(x)多項式。程序：q,r=deconv(c,a) %q是商多項式的系數(shù)向量，r 是余數(shù)多項式的系數(shù)向量。結果：q = 1 4 9 16r =0 0 0 0 0 0 02022/8/13多項式三、 多項式的微分例4：求a(x)=x6+3x5+4x4-6x3+4x2-7x+12的微分程序：a=1 3 4 6 4 7 12;a1=polyder(a)結果：a1 =6 15 16 -18 8 -7即原多項式的導函數(shù)為：a1(x)=6x5+

29、15x4+16x3-18x2+8x-7 2022/8/13多項式 多項式的估值例5：已知多項式為上例的a(x),估x分別取值 1、2、3、4、5、6時多項式的值程序：x=1:30;v=polyval(a,x) 結果：v =11 190 1647 7856 26827 73986 2022/8/13線性代數(shù)實驗之矩陣運算A A的轉置det(A) A的行列式rank(A) 矩陣的秩inv(A) 矩陣求逆compan(A)A的伴隨矩陣D,X=eig(A)A的特征值與特征向量norm(A)矩陣的范數(shù)orth(A) 矩陣的正交化poly(A) 特征多頂式rref(A) 階梯狀行的 最簡式size(A)

30、測矩陣長度2022/8/13線性代數(shù)實驗之矩陣運算A+k =(a1+k,a2+k,an+k)A*k =(a1*k,a2*k,an*k)A+B 矩陣加法A*B 矩陣乘法AB 等價于 inv(A) * BB/A 等價于 B * inv(A)A.*B 矩陣對應元素相乘A./B 矩陣對應元素作除A.B B的元素作為A對應元素的冪次 2022/8/13線性代數(shù)實驗之矩陣運算例：將矩陣A化為行的最簡形式程序：A=1 2 3 0 1;-2 4 4 1 3;-5 10 17 1 4A1=rref(A)結果：A = 1 -2 3 0 -1 -2 4 -4 1 3 -5 10 -17 -1 4A1 =1 -2 0

31、 -1.5 -2.50 0 1 0.5 0.5 0 0 0 0 0 2022/8/13線性代數(shù)實驗之解方程組1.Ax=b 當det(A)0則 x=Ab例1:求下列方程組的解:xu7.m det(A)=-1708 于是可用 x=Ab 求解得: x1= 1.8618 x2= 0.0023 x3= 2.6745 x4= 0.99652022/8/13線性代數(shù)實驗之解方程組例2.Ax=b 當 det(A)=0則 由增廣矩陣A作行的最簡形式,從中找出方程組的基礎解系及特解 det(A) B=A b rref(B)= 1 0 0 -293/322 165/322 0 1 0 -55/14 -73/14 0

32、 0 1 -401/322 -505/322 0 0 0 0 0 2022/8/13矩陣的特征值與特征向量調用格式1：eig(A) %得到特征值列向量調用格式2：D,X=eig(A) % D為由特征列向量構成的方陣，X為由特征值構成的對角陣。例：求方陣 的特征值與特征向量程序：A=3 1 0;-4 -1 0;4 -8 -2D,X=eig(A) 2022/8/13矩陣的特征值與特征向量結果：D = 0 221/1554 -221/1554 0 -221/777 221/777 1 621/655 -621/655 X = -2 0 0 0 1 0 0 0 1 2022/8/13線性代數(shù)實驗之二次

33、型方法: f=xAx ,將A的特征值求出,其即為二次型標準型的系數(shù).再將A的特征向量矩陣D正交化得正交變換矩陣P.例: 780/989 780/3691 1/2 -390/1351 D = 780/3691 780/989 -1/2 390/1351 780/1351 -780/1351 -1/2 390/1351 0 0 1/2 1170/1351 P=orth (D) D, X = e ig ( A ) P * P = E2022/8/13數(shù)學實驗之函數(shù)定義1.定義符號變量: syms x y z 2.定義函數(shù): f = x2+sin(x)2-8 3.求函數(shù)值: x=2*pi eval(

34、f ) 4.檢查變量是字符還是數(shù)值: isstr(f ) f是字符時為1,f是數(shù)字時為02022/8/13高等數(shù)學實驗之函數(shù)極限1.格式五種:符號變量說明: syms x y t h alimit (f,x,a) limit (f,a) 默認變量x或唯一符號變量limit (f) 默認變量x,且a=0limit (f,x,a,right) 右極限limit (f,x,a,left) 左極限2022/8/13高等數(shù)學實驗之函數(shù)極限2.舉例: 結果syms x h alimit (sin(x)/x) 1limit (sin(x)/x,inf) 0limit (x-2)/(x2-4),2) 1/4l

35、imit (1/x,x,0,right) inflimit (1/x,x,0,left) - inflimit (sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) cos(x)limit (1+a/x)*sin(x),x,a) 2*sin(a)2022/8/13數(shù)學實驗之函數(shù)的微分1.格式四種:diff (f) 關于符號變量對f求一階導數(shù)diff (f,v) 關于變量v對f求一階導數(shù)diff (f,n) 關于符號變量求n階導數(shù)diff (f,v,n) 關于變量v對f求n階導數(shù)2.例: f=a*x3+x2-b*x-c diff(f) 結果：3*a*x2+2*x-b diff(f,a) x3 diff(f,2) 6*a*x+2 diff(f,a,2) 0 2022/8/13數(shù)學實驗之函數(shù)的微分例：求下函