集合知識(shí)框架

1、刖浙匡 模塊框架4集含的概念弓表示憐集0的性質(zhì) 集合的表示法 集合偵元素的美系.子集與真子案4 _ 一0箜鯉五色問孚栗的列舉與個(gè)數(shù) 集合集合基本遂算 貧合的運(yùn)算徒 集合元素的個(gè)數(shù)耳集吾家r題1或案合定義型目岫 高考要求內(nèi)容基本要求集合的含義會(huì)使用符號(hào)“6 ”或“W ”表示元素與集合之間的關(guān)系；集合的表示能選擇自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題； 理解集合的特征性質(zhì)，會(huì)用集合的特征性質(zhì)描述一些集合，如常 用數(shù)集，方程或不等式的解集等集合間的基本關(guān)系理解集合之間包含與相等的含義，及子集的概念.在具體情景中， 了解空集和全集的含義；理解兩個(gè)集合的交集和并集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的交集與

2、 并集.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集 的補(bǔ)集集合的基本運(yùn)算掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，會(huì)用它們表達(dá)集合之間的關(guān)系和運(yùn)算.能 使用維恩圖表達(dá)集合之間的關(guān)系和運(yùn)算.IL知識(shí)內(nèi)容集合：某些指定的對(duì)象集在一起成為集合。集合中的對(duì)象稱元素，若a是集合A的元素，記作a 6 A ；若b不是集合A的元素，記作b史A ；（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則或者是A的元素，或者 不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對(duì)象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；

3、無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)；（3）表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)；例如：1,2, 3, 4, 5，1,2, 3, 4, 5, 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)。例如：大于3的所有整數(shù)表示為：x e Zl x3方程x2 - 2x - 5 = 0的所有實(shí)數(shù)根表示為：x e R | x2 - 2x - 5 = 0 具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再 畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)

4、該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一 般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。（4）常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作R。教師備案集合是數(shù)學(xué)中最原始的概念之一，不能用其他的概念給它下定義，所以集合是 不定義的概念，只能做描述性的說明.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、式、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象之外，還可以是其他任何 對(duì)象.例：小明，機(jī)器貓，哈里波特正確認(rèn)識(shí)一個(gè)集合的關(guān)鍵是理解集合中的元素特征.任何一個(gè)對(duì)象都能確定它是不是某一個(gè)集合的元素這是集合中元素的最 基本的特征一一確定性，反例：“很小的數(shù)，“個(gè)子較

5、高的同學(xué);集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象即在同一集合里不能重復(fù)出現(xiàn)相 同元素一一互異性，事實(shí)告訴我們，集合中元素的互異性常被忽略，從而 導(dǎo)致解題出錯(cuò)例：方程（x-1）2（x-2） = 0的解集不能寫成1,1,2，而應(yīng)寫 成1,2在同一集合里，通常不考慮元素之間的順序一一無序性 例：集合a,b, c與集合b, c, a是相同集合用描述法表示集合，對(duì)其元素的屬性要準(zhǔn)確理解.例如：集合Lly = x2表示自變量x值的全體，即tx|x e R ；集合yly = x2 表示函數(shù)值y的全體，即y|y N 0；集合lx，y）|y = x2表示拋物線y = x2上 的點(diǎn)的全體，是點(diǎn)的集合（一條拋物線）；而

6、集合y = x2 則是用列舉法表示的單元素集.關(guān)于集合的表示方法之間的轉(zhuǎn)換例如：A = X GZ,x en)，用列舉法表示為A = 0,1,2,4,5, 6 9)3 - x JA = |xx = U + U, a, b是非零實(shí)數(shù) )，用列舉法表示為A = -2,0, 2)a b集合的包含關(guān)系：集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集(或B包含A), 記作A G B (或A u B)；集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若A G B且B目A，則稱A等于B，記作A=B； 若A G B且ANB,則稱A是B的真子集，記作AB；簡單性質(zhì)：1) A GA； 2) GA； 3)若 AGB,

7、BGC,則 A G C； 4)若集合 A 是n個(gè)元素的集合，則集合A有2n個(gè)子集(其中2n-1個(gè)真子集)；全集與補(bǔ)集：包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；若S是一個(gè)集合，A GS,則，Cs = x I x e S且x任A稱S中子集A的補(bǔ)集；簡單性質(zhì)：1) % (CJ=A； 2) % S=，%中=SO教師備案強(qiáng)調(diào)說明，加深印象：表示元素和集合之間的關(guān)系：屬于“ e ”和不屬于“ W ”表示集合與集合之間的關(guān)系：包含關(guān)系：如果對(duì)于任意a e A n a e B，則集合A是集合B的子集，記為AgB或BmA ；注意提示：AgA , 0gA真子集關(guān)系：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，若A

8、g B且A。B，則集合A是集合B的 真子集，記作A B (或B A)相等關(guān)系：對(duì)于兩個(gè)集合A與B剖果A g B，且B g A，那么集合A與B相 等，記作A = B注意提示：如果A g B ，那么有A = B或A B，兩種情況二者必居其一； 而A B是不允許A = B，所以即使A g B , A B不一定成立； 反之,A B可以說A g B ； A = B也可說A g B不包含關(guān)系：如果集合A中存在著不屬于集合B的元素，那么集合A不包含 于B ,或B不包含A .分別記作A B，或B A0 , 0 , 0 , 0之間的區(qū)別與聯(lián)系幺 更0與0是不同的，0只是一個(gè)數(shù)字，而0則表示集合，這個(gè)集合中含有一

9、 個(gè)元素0 ,它們的關(guān)系是0e00與0是不同的，0中沒有任何元素，0則表示含有一個(gè)元素0的集合， 它們的關(guān)系是兩個(gè)集合之間的關(guān)系（0 。）0與0是不同的，0中沒有任何元素，0則表示含有一個(gè)元素0的集 合，它們的關(guān)系是0G 0或0C 0或0 0顯然，0任0，0史0C集合中的計(jì)數(shù)問題當(dāng)研究有限集合問題時(shí)，常有一些計(jì)數(shù)問題.在計(jì)數(shù)時(shí)常用下列結(jié)論：設(shè)集 合A中元素個(gè)數(shù)為n，則子集的個(gè)數(shù)為2n ,真子集的個(gè)數(shù)為2 -1 , 非空真子集的個(gè)數(shù)為2n - 2交集與并集：（1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交 集。交集 A c B = x I x g A且x g B。（2

10、）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B 的并集。并集人u B = x I x g A或x g B。注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集 的關(guān)鍵是“且”與“或”在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、 挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。教師備案1 .理解兩個(gè)集合的并集、交集、補(bǔ)集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集 能使用Venn圖表示集合的并集、交集、補(bǔ)集；能使用數(shù)軸表示不等式或不等式組的解集和表示集合A的補(bǔ)集a TOC o 1-5 h z 2.基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

11、撥：/交集的概念：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合， 稱為A與B的交集，記作A B （讀作 A交B” ），即 A B = x I x g A,且 x g Bn數(shù)學(xué)符號(hào)表示:：A B = x I x g A,且x g BVenn圖反映：n并集的概念：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集，記作A B （讀作 A并B ”），即A B =x I x e A,或 x e B數(shù)學(xué)符號(hào)表示：A B=x I x e A,或x e BVenn圖反映：補(bǔ)集的概念：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究的問題中涉及的所有元素， 那么就稱這個(gè)集合為全集，通常

12、記作U補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作a，即A=x I x e U,且x 冬 AU U數(shù)學(xué)符號(hào)表示：A = x I x e U,且x冬AUVenn圖反映：公式定理小結(jié)：n A ( A)二 U ； A ( A) = 0 ；( A)二 AAgA；0gA；若AgB,BgC ，則AgC ；若A B ,B C，則A C； A B = B A ； A g A。A B g B ；AP0 = 0 ； nAp|B = B A ；u；a ( A) = U ；rU A g AB|J B g A B ； A 0= AAU(A) = 0 ； H A) =

13、 AC7 C7集合的簡單性質(zhì):A c A = A, A 8 =,A c B = B c A;A uO = A, A uB = B u A;(A c B) q (A u B)；A q B = A c B = A; A q B = A u B = B ；Cs (AHB) = ( Cs A)U( Cs B), Cs (AUB) = ( C A)C( C B)。6.集合元素個(gè)數(shù)公式：n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).un目上雌 競賽知識(shí).集合的概念集合是一個(gè)原始的概念，是數(shù)學(xué)中一個(gè)不定義的概念.盡管如此，對(duì)于一個(gè)具體的集合 而言，很多情況下我們可以通過采用列舉或者描述的方法給

14、出它的一個(gè)準(zhǔn)確而清晰的表示.集合的描述法對(duì)任給的一個(gè)性質(zhì)P，存在一個(gè)集合S，它由恰好是具有性質(zhì)P的所有對(duì)象構(gòu)成，即S = x I P(x)，其中P(x)表示“ x具有性質(zhì)P ”.元素與集合的關(guān)系一個(gè)集合的元素是完全確定的，同時(shí)其包含的元素之間具有無序性和互異性.對(duì)于一個(gè) 確定的對(duì)象x和一個(gè)確定的集合A，“ x E A 與“ x史A ”有且僅有一個(gè)成立.如果對(duì)象x滿 足描述集合A的性質(zhì)，則有“ x e A，此時(shí)稱對(duì)象x為集合A的元素.集合的元素個(gè)數(shù)為有限數(shù)的集合稱為有限集，元素個(gè)數(shù)為無限的集合稱為無限集.空集 0不含任何元素.思考：0是不是空集，它的元素是什么4集合與集合的關(guān)系集合A包含于集合B

15、，即“ A q B” o “ Vx e A，有x e B . ”(“ V ”：任給，“寸x e A ” 即“任給集合A中的元素x ”)集合A真包含于集合B，即A B ”o Vx e A，有x e B . ”且3x e B，使得x W A . ” (“ 3 ”：存在，“ 3x e B ”即“存在集合B中的元素x ”)集合A與集合B相等，即A =B o A q B ”且“ B q A ”.思考：如何利用“ V ”和“3通過數(shù)學(xué)語言敘述命題“對(duì)任何自然數(shù)。，都存在整數(shù) b，使得a + b是質(zhì)數(shù).集合與集合的運(yùn)算集合的交集、并集、補(bǔ)集三種基本運(yùn)算是通過元素與集合的關(guān)系來定義的.有時(shí)，我們 還要用到集合

16、的差集的概念.下面給出這四種運(yùn)算的定義：交集：A B = x I x e A，且 x e B ，n并集：A B =x I x e A，或 x e B ,補(bǔ)集：如果有A o B，則A對(duì)B的補(bǔ)集A = x I x e B，且x史A .(注意前提條件，如 果A o B不成立，就A對(duì)B的補(bǔ)集運(yùn)算就無從談起.)，當(dāng)給定全集U時(shí)，A常記做A .差集：A B =x e A，且 x 史 B .V利用維恩圖可以直觀的理解集合與集合的運(yùn)算，例如交集和并集：思考：補(bǔ)集運(yùn)算與差集運(yùn)算的聯(lián)系，畫出補(bǔ)集和差集的維恩圖表示.子集以及摩根定律如果集合A與集合M間滿足關(guān)系：A o M，那么稱集合A是集合M的子集.特別的， 規(guī)定

17、空集0是任何集合的子集.摩根定律：如果集合A、B都是集合M的子集，那么(A B) = A B，(A B) = A B .另外，如果集合A、B都是集合M的子集u那么A料AB .給定一個(gè)有限集，寫出其所有子集的方法寫出給定有限集的所有子集的方法有很多種，在這里我們通過一個(gè)實(shí)際的例子介紹通過 添加給定集合元素得到給定集合所有子集的添加元素法：例：對(duì)給定集合1，2，3寫出其所有子集.寫出空集將前一步得到的所有集合照抄，然后將給定集合中第一個(gè)元素添加到那些集合 中，得到一些新的集合.把照抄的集合和新的集合放在一起，作為該步得到的集 合與類似，不過這次添加的元素為集合中的第二個(gè)元素.重復(fù)操作，直到將給定

18、集合的所有元素都添加完畢，就得到了給定集合的所有子集.00，1 0，1， 2，1，2 0，1，2，1，2 T0，1， 2，1，2，3，1，3，2，3，1，2，3 .思考：寫出集合1,0的所有子集.有限集的階如果集合A為有限集，那么集合A的元素的數(shù)目叫做這個(gè)集合的階，記做IAI .特別的， 定義空集0的階為0 .思考：如果使用維恩圖表示集合，那么可以用面積表示有限集的階.子集族某些集合的元素是集合，例如A=0，1，1，2，2就是一個(gè)含有4個(gè)元素(每 個(gè)元素都是集合)的集合.特別的，將集合M的若干子集作為元素構(gòu)成的集合M*叫做集合 M的一個(gè)子集族.最簡單的子集族是由有限集M的全體子集所構(gòu)成的子集族

19、，簡稱為C 族.知識(shí)提要7給出的方法，其實(shí)就是得到有限集M的C族M*中所有元素的方法.C族的基本性質(zhì)：如果集合M的階為n，那么集合M的C族M*的階為2n.思考：通過寫出給定有限集的所有子集的添加元素法的步驟理解C族的基本性質(zhì).覆蓋和集合的分劃A，A是集合M的一個(gè)覆蓋.2集合的分劃：如果A1，A2， 交集為空集，即“V1 i j n n -分劃.集合M的覆蓋A，A，A = 1,2,3,4,5可以寫成1，A =3，4.所以 A，A子3集族，但不是集合A的一個(gè)分劃.思考：集合A的子集族0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中的元素是否構(gòu)成集合A的一個(gè) 分劃，給出集合A的一個(gè)5-分劃.覆蓋：如果對(duì)于一個(gè)集合M，n個(gè)非空集合A，A，A滿足n A=M，則稱A， 12ni1，A是集合M的一個(gè)覆蓋，若A，A，A兩兩間 n12n，A. A. =0 .”，那么這些集合的全體叫做集合M的一個(gè)，A構(gòu)成的集合M *一定是集合M的一個(gè)子集族.例如集合 2 2，4，5 3，4，記 A =（1，2，A =