第1、2節(jié) 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、 第 二 章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Mathematical models of systems 概 述 為了從理論上對控制系統(tǒng)進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 建立合理的數(shù)學(xué)模型，對于系統(tǒng)的分析研究是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)建模的一般方法為： 分析法： Analytical method 根據(jù)系統(tǒng)或元件所遵循的有關(guān)定律來建立數(shù)學(xué)模型的方法。 實(shí)驗(yàn)法： Experimental method 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，并擬合出比較接近實(shí)際的數(shù)學(xué)模型。 第一節(jié) 系統(tǒng)的微分方程 （Differential equations）微

2、分方程：是時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型. 是最基本的數(shù)學(xué)模型形式，是列寫傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)微分方程傳遞函數(shù)狀態(tài)方程數(shù)學(xué)模型非線性系統(tǒng)：用非線性微分方程描述。微分方程的類型 線性定常系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(shù)是常數(shù)。 線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)：滿足疊加性和均勻性（齊次性）。即： 如果輸入r1(t) 輸出y1(t)，輸入r2(t) 輸出y2(t) 則輸入 r1(t)+ r2(t) 輸出 y1(t)+y2(t) 線性系統(tǒng)：分為線性定常系統(tǒng)，線性時(shí)變系統(tǒng)。 線性時(shí)變系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(shù)是隨時(shí)間而變化的。一、機(jī)械系統(tǒng)的微分方程 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程可用牛頓第二定律推導(dǎo)。牛頓第二

3、定律為：物體的加速度與其所受的合外力成正比、與其質(zhì)量成反比，而且與合外力的方向相同。用公式可表示為： 式中 作用在物體上的合外力； 例2-1 試列寫下圖2-1所示機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng)的微分方程。給定外力F(t)為輸入量，位移x為輸出量。 圖2-1 機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng) 解： 應(yīng)用牛頓第二定律，列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：式中 m 物體的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量，Kg； x 運(yùn)動(dòng)物體m的運(yùn)動(dòng)位移，m；K 彈簧剛度，單位為 ； B 粘性阻尼系數(shù)，單位為 外力，單位為N。； 例2-2 試列寫圖2-2所示機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的微分方程。給定轉(zhuǎn)矩T為輸入量，轉(zhuǎn)角為輸出量。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為： 二、電氣系統(tǒng)的微分方程 電氣系統(tǒng)的微分方程根據(jù)基

4、爾霍夫定律、電磁感應(yīng)定律等基本物理定律列寫。 圖2-3 RLC電路例2-3 試列寫上圖2-3所示RLC電路的微分方程。1明確系統(tǒng)的輸入與輸出： 2.根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律，列寫微分方程。 3.消去中間變量 ，并整理有： 由該微分方程式描述的系統(tǒng)，如機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng)、機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)和RLC電路，稱為相似系統(tǒng)，它們的運(yùn)動(dòng)過程具有共同規(guī)律，因此分析和計(jì)算的方法也一樣。 例2-4 電樞控制的他勵(lì)直流電機(jī)，如圖2-4所示，試列寫微分方程。1. 明確系統(tǒng)的輸入與輸出： 電樞電壓ua輸入量，電動(dòng)機(jī)角速度w為輸出量，Ra、La、ia分別為電樞回路的電阻、電感和電流，if為固定激磁電流，Eb為反電勢，B為電動(dòng)機(jī)軸

5、上的粘性摩擦系數(shù)。2. 根據(jù)電工學(xué)定律列寫微分方程：3. 消除中間變量，并整理得： 在工程實(shí)際中，為便于分析系統(tǒng)，總是盡可能地略去次要因素，使系統(tǒng)簡化。下面分三種情況進(jìn)行討論。1) 忽略粘性摩擦的影響，即設(shè) B=0，則設(shè)系統(tǒng)的微分方程可簡化為：2) 忽略電樞電感的影響，即設(shè) La=0，則系統(tǒng)的微分方程可簡化為：3) 同時(shí)忽略電樞電感和粘性摩擦的影響，即設(shè)La=0，B=0，則系統(tǒng)微分方程可簡化為：三、用解析法列寫系統(tǒng)微分方程的步驟 1) 根據(jù)實(shí)際工作情況，確定系統(tǒng)或元件的輸入、輸出量； 2) 從輸入端開始，按照信號傳遞的順序和各變量所遵循的定律，列寫出微分方程組； 3) 消去中間變量，推出只含輸

6、出、輸入量及其導(dǎo)數(shù)的微分方程； 4) 標(biāo)準(zhǔn)化。將輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)放在等號左側(cè)，將輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)放在等號右側(cè)，并按降冪排列。最后將系數(shù)化為具有一定物理意義的形式，成為標(biāo)準(zhǔn)化的微分方程。 在列寫某些元件的微分方程時(shí)，還必須注意與其他元件的相互影響，即所謂的負(fù)載效應(yīng)問題。下面舉例詳細(xì)說明。 例2-5 圖2-5所示是由兩級RC電路串聯(lián)組成的無源濾波電路，列寫出濾波電路的微分方程。 在這個(gè)電路中，后一級電路中的電流i2影響著前一級電路的輸出，即影響著C1兩端的電壓，這就是負(fù)載效應(yīng)。因此，兩級不能孤立的分開，而必須作為一個(gè)整體來加以考慮。 1. 明確系統(tǒng)的輸入與輸出：輸入量為電壓ui，輸出量為電壓u

7、0。 2. 根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律，列寫下列微分方程：3. 消去中間變量 、 、 后得：則上式可改寫為： 如果不考慮負(fù)載效應(yīng)，把濾波電路看作兩個(gè)獨(dú)立的RC電路的串聯(lián)連接，分別列寫電路微分方程來聯(lián)立求解，就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果，即：第一級：第二級：消去中間變量Uc1后得到下式：即寫為：顯然，這樣列寫的微分方程是不正確的。四、非線性微分方程的線性化 控制系統(tǒng)中采用的各種元件，其輸出與輸入信號之間的關(guān)系都具有不同程度的非線性。對于大部分元件和系統(tǒng)來說，當(dāng)信號或變量的非線性不太嚴(yán)重時(shí)，都可以近似線性化，即用線性化數(shù)學(xué)模型來代替非線性數(shù)學(xué)模型。 線性化：所謂線性化就是在一定的條件下作某種近似，或者縮小工

8、作范圍，而將非線性微分方程近似作為線性微分方程來處理。 例2-6 如圖2-6所示，y(t)于x(t)之間具有非線性關(guān)系，A(x0，y0)為系統(tǒng)的工作點(diǎn)，現(xiàn)將其近似線性化。 在A點(diǎn)附近，當(dāng)輸入變量x(t)作x變化時(shí)，對應(yīng)的輸出變量的增量為y。而對通過點(diǎn)的切線，X變化x時(shí)，y的增量為y。顯然，當(dāng)x在平衡工作點(diǎn)附近只作微小的變化x時(shí)， y y，故可近似有：式中 小偏差線性化：非線性微分方程能進(jìn)行線性化的一個(gè)基本假設(shè)上是變量偏離其預(yù)期工作點(diǎn)的偏差甚小，這種線性化通常稱為小偏差線性化。小偏差線性化這種近似，用數(shù)學(xué)方法來處理，這就是將變量的非線性函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，分解成這些變量在某工作狀態(tài)附近的小增量的

9、表達(dá)式，然后略去高于一次小增量的項(xiàng)，就獲得近似的線性函數(shù)。例如下圖所示非線性函y=f(x)，在平衡工作點(diǎn)（x0，y0)附近展開成泰勒級數(shù)。展開泰勒級數(shù)為：略去高于一次增量項(xiàng)，則有：式中，y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；例： 液壓伺服馬達(dá)運(yùn)動(dòng)方程的線性化液壓馬達(dá)的工作原理是：當(dāng)閥芯右移 x ，即閥的開口量為x 時(shí)，高壓油進(jìn)入油缸左腔，低壓油與右腔連通，故活塞推動(dòng)負(fù)載右移y 。圖中符號：q 負(fù)載流量，p1p2 為負(fù)載壓降，即活塞兩端單位面積上的壓力差，它取決于負(fù)載；A為活塞面積；B為粘性阻尼系數(shù)。流體連續(xù)方程為作用在活塞上力的平衡方程為說明：A.線性化時(shí),各自變量在工作點(diǎn)處必須有各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)

10、數(shù)存在,如圖所示的繼電器特性，各階導(dǎo)數(shù)處處不存在，本質(zhì)非線性；B.必須明確工作點(diǎn)的參數(shù)；C.如果非線性運(yùn)動(dòng)方程較接近線性時(shí)，則線性化運(yùn)動(dòng)方程對于變量的增量在較大范圍適用，反之，只能適用于變量的微小變化。復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù) (1) 復(fù)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)初等代數(shù)時(shí)，已經(jīng)知道在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程第二節(jié)拉普拉斯變換及反變換是無解的，因?yàn)闆]有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于1。由于解方程的需要，人們引進(jìn)一個(gè)新數(shù)j,稱為虛單位，并規(guī)定從而j是方程 的一個(gè)根。 對于任意二實(shí)數(shù), ， 稱為復(fù)數(shù)，其中, 分別稱為s的實(shí)部和虛部，記作要注意復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)有一些不同,如:兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,必須它們的實(shí)部和虛部分別相等。一般說來，任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比

11、較大小。當(dāng)=0 時(shí), 稱為純虛數(shù); 當(dāng)=0時(shí), s就是實(shí)數(shù)。 共軛復(fù)數(shù) 實(shí)部相同而虛部正負(fù)號相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)。的共軛復(fù)數(shù)為 復(fù)數(shù)的表示方法：1）點(diǎn)表示法2）向量表示法對于向量的長度即模幅角3) 三角表示法和指數(shù)表示法因此，復(fù)數(shù)的三角表示法為：利用歐拉公式故復(fù)數(shù)s也可用指數(shù)表示2.復(fù)變函數(shù)U，v分別為復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部，在線性控制系統(tǒng)中，通常遇到的復(fù)變函數(shù)G(s)是s的單值函數(shù)，對應(yīng)于s的一個(gè)給定值，G(s)就唯一地被確定。例：有復(fù)變函數(shù)G(s)=S2+1,當(dāng)s j ，求其實(shí)部u和虛部v。 一、拉普拉斯變換The Laplace transform1. 拉氏變換的定義常用函數(shù)的拉普拉

12、斯變換 (1) 單位階躍函數(shù)的拉普拉斯變換單位階躍函數(shù)為拉普拉斯變換為 (2) 單位脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換單位脈沖函數(shù)為拉普拉斯變換為 (3)單位斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換單位斜坡函數(shù)為拉普拉斯變換為 (4)指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換指數(shù)函數(shù)：拉普拉斯變換為 同理可得 幾個(gè)重要的拉氏變換f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)記住2.常用的拉氏變換定理例 已知 求 的拉氏變換。 解：應(yīng)用線性性質(zhì)，則 （2）延遲定理如圖所示，原函數(shù)沿時(shí)間軸平移a，平移后的函數(shù)為f (t-a)。 若Lf(t)= F(s)，則 例1： 求函數(shù) 的拉氏變換。 解：由延遲性質(zhì)

13、得：例2：求圖示方波的拉氏變換。解：方波可表達(dá)為例3 求下圖所示函數(shù)的拉氏變換。解：分步驟分析（1）（2）（3）（4）進(jìn)行拉氏變換，則有：例： 求 的拉氏變換。 解：因?yàn)?故 例 同樣，可得f(t)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為：主要用于解微分方程和求傳遞函數(shù)若初始條件為零，則：例(6) 積分定理 原函數(shù)積分的拉氏變換為：例 已知 為實(shí)數(shù)，求 的拉氏變換。 解：根據(jù)拉氏變換的積分性質(zhì)得注意：（拉氏變換定義）例1：求 不能用終值定理而可用終值定理例2：例3： 已知 求f (0)和f ( ）解：由初值定理得由于 是 的奇點(diǎn)，位于虛軸上，不能應(yīng)用終值定理，既 不存在。 注意：當(dāng) 是周期函數(shù)，如正弦函數(shù) 時(shí)，由于它沒有終值，故終值定理不適用。二、拉氏反變換Inverse Laplace transform 1.定義2.部分分式法求時(shí)間函數(shù)f(t) 部分分式法的基本思想是，先將一個(gè)復(fù)雜的象函數(shù)F(s)分解成若干個(gè)簡單的有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表查出對應(yīng)的原函數(shù)，各函數(shù)之和即為所求的f(t)。 F(s)通?？杀硎緸閺?fù)數(shù)s的有理代數(shù)形式