三個正數的算術幾何平均數教案

1、三個正數的算術幾何平均數-教案1.1.3三個正數的算術幾何平均數一、教學目標.探索并了解三個正數的算術-幾何平均不等式的證明過程.會用平均不等式求一些特定函數的最大（?。?值.會建立函數不等式模型，利用其解決實際生 活中的最值問題.二、課時安排1課時三、教學重點會用平均不等式求一些特定函數的最大（?。┲?四、教學難點會建立函數不等式模型，利用其解決實際生活中 的最值問題.五、教學過程（一）導入新課已知 x0, y0,證明：（1 + x + y2）（1 + x2 + y） 9xy.【證明】 因為x0, y0,所以1 + x + y23/Xy20,1 +x2 + y 3 /x2y05故(1+x +

2、 y2)(1 +x2+y) 3 x/Xy - 3fx2y = 9xy.(二)講授新課教材整理1三個正數的算術幾何平均不等式.如果 a, b , c R+ ,那么 a3 + b3 + c3 3abc,當且僅當 時，等號成立.a+ b-P c2.定理3:如果a, b, cWR+,那么a ； c3Rabc,當且僅當 時，等號成立.即三個正數的算術平均 它們的幾何平 均.教材整理2基本不等式的推廣對于n個正數al, a2,，an,它們的算術平均.M a a tal + a2+ + ann /1匕們的幾何平均，即A/a1a2- an,當n且僅當a1 = a2 =an時,等號成立.教材整理3利用基本不等式

3、求最值 若a, b, c均為正數，如果a+b+ c是定值S,那么 時，積abc有 值；如果積abc是定值P,那么當a= b=c時，和 有最小值.(三)重難點精講 題型一、證明簡單的不等式例1設a, b, c為正數，求證：-l+A+A (a abc2 + b+ c)227.【精彩點撥】根據不等式的結構特點，運用 a+ b+ c3 /abc,結合不等式的性質證明.【自主解答】a)。，b0, c0,a+ b+ c3 /abc05從而(a+ b+c)29 1a2b2c2 0.又工+ :abca+c2(a+b+c) 9 3/a2b2c2 = 27,a b c當且僅當a=b= c時，等號成立.規(guī)律總結：.

4、(1)在應用平均不等式時，一定要注意是否 滿足條件，即a0, b0.(2)若問題中一端出現(xiàn)“和式”而另一端出現(xiàn) “積式”，這便是應用基本不等式的“題眼”，不 妨運用平均不等式試試看.連續(xù)多次運用平均不等式定理時，要特別注 意前后等號成立的條件是否一致.再練一題1 .設a, b, c為正數，求證:工十1 十三(a+b+c)3n81.a b c /【證明】 因為a, b, c為正數, 一 1所以有十 a1 b31 _-3 = C3abc0.又(a+ b+c)3(31abc)3 = 27abc0,1+ 33+3 (a+ b+ c)381 abc/當且僅當a=b= c時，等號成立.題型二、用平均不等式

5、求解實際問題例2如圖所示，在一張半徑是 2米的圓桌的正 中央上空掛一盞電燈.大家知道，燈掛得太高了， 桌子邊緣處的亮度就??；掛得太低，桌子的邊緣處 仍然是不亮的.由物理學知識，桌子邊緣一點處的 照亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角 0的正弦成正比，而和這一點到光源的距離 r的平 方成反比，即E= ksinJ.這里k是一個和燈光強度r有關的常數.那么究竟應該怎樣選擇燈的高度h,才能使桌子邊緣處最亮？【精彩點撥】根據題設條件建立r與e的關系式，將它代入E= ksin/,得到以e為自變量, E為因變量的函數關系式，再用平均不等式求函數的 最值.【目主解答】2 r =cos二 E= k ,si

6、n 0 cos2 64兀0 e 5.k2162e)cos2 0 , cos2 0k2= 32(2sin 32k2 2sin 2 8 + cos2 8 +cos2 8 3k210% X3 33, TOC o 1-5 h z 2.21當且僅當3r2=1時，即r = ?時等號成立，此時h=?. 32故要使用料成本最低，圓柱形桶的底面半徑應3.9，yw 9 ,，y的取大值為 9 .9為米，高為個米.32當且僅當2x2=1x：3即x=+時等號成立. 3題型三、利用平均不等式求最值例3已知xW R+,求函數y = x(1 x2)的最大 值.【精彩點撥】為使數的“和”為定值，可以先平方，即 y2=x2(1

7、x2)2 = x2(1 x2)(1 -x2) =2x2(1 x2)(1 x2) x 25求出最值后再開方.【自主解答】vy=x(1 -x2),-y2 = x2(1 -x2)2= 2x2(1 x2)(1 -x2) - 2./2x2+(1 -x2) + (1 -x2) =2,2 1 2x2+ 1 -x2+ 1 x234= 27.規(guī)律總結：.解答本題時，有的同學會做出如下拼湊：一 219y = x(1 x) = x(1 x)(1 + x) = 2 , x(2 2x) , (1 + x) w g1 x+2-2x+1+x1雖然其中的拼湊過程保證了三個數的和為定值，但忽略了取“=”號的條件，顯然 x=2-

8、2x=1+ x無解，即無法取“=”號，也就是說，這種拼湊法是不正確的.解決此類問題時，要注意多積累一些拼湊方 法的題型及數學結構，同時也要注意算術-幾何平均 不等式的使用條件，三個缺一不可.再練一題3.若2ab0,試求a +4，一不一二;的最小值.2ab b4a +2ab b2ab+ b2+42ab b2a b b=2+2+42a- b b332a b42a-b b=3，當且僅當2ab b2 = 2=42ab b即a= b= 2時取等號.所以當a=b= 2時，a+42a-bb有最小值為3.（四）歸納小結一平均不等式的理解平均不等式一一制用平均不等式求最值一利用平均不等式證明（五）隨堂檢測1.已

9、知x + 2y + 3z=6,則2x+4y+8z的最小值為（）A . 3 3/6B2、/2C. 12D. 123/5【解析】Vx + 2y+3z=65 2x + 4y+8z=2x+ 22y + 23z3 32、 22y 23z = 33/2x+2y+3z = 12. TOC o 1-5 h z c 。2當且僅當 2x=22y=23z,即 x=2, y=1, z = 23時，等號成立.【答案】C_I，1.右 ab0,貝U a+ 一的取小值為b abA. 0 B . 1 C . 2 D.3【解析】.a+b1 a b=(a b) + b +1 b ab1 b b a b，1, 一且僅當a=2, b=1時取等號，二a十丁字的最小值為3.故選D.【答案】 D.函數y = 4sin 2x , cos x的最大值為【解析】. y2=16sin2 x , sin 2x , cos2x= 8(sin 2x sin 2x 2cos2x)sin 2x+sin 2x + 2cos2x 3手38 64= 8X 27=27?，y2W6427當且僅當 sin 2x= 2cos2x,