例2020年達(dá)州市中考第25題

1、例 2020年達(dá)州市中考第25題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過A、B兩點(diǎn)的拋物線yax2bxc與x軸交于另一點(diǎn)C(1, 0)（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使SPABSOAB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)M為直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)MAB的面積最大時(shí)，求的最小值圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“20達(dá)州25”，拖動(dòng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)M位于線段AB的中點(diǎn)的正下方時(shí)，MAB的面積取得最大值點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕“第（3）題2”，拖動(dòng)點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，NG總是

2、等于ON的一半，當(dāng)G、H兩點(diǎn)重合時(shí)，MNNH的值最小 思路點(diǎn)撥 1第（1）題設(shè)交點(diǎn)式求解比較簡(jiǎn)便2第（2）題作AB的平行線與拋物線相交，得到的兩個(gè)交點(diǎn)就是點(diǎn)P3第（3）題，第一步把MAB進(jìn)行割補(bǔ)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；第二步通過構(gòu)造含30角的直角三角形將轉(zhuǎn)化為NH；最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系及垂線段最短進(jìn)行求解滿分解答 （1）由，得A(4, 0)、B(0,2)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4, 0)、C(1, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x4)(x1)代入點(diǎn)B(0,2)，得4a2解得a所以拋物線的解析式為（2）如圖2，過點(diǎn)O作直線AB的平行線，與拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P根據(jù)平行線間的距離處處相等，可知PAB與OAB是同底

3、等高的兩個(gè)三角形，面積相等聯(lián)立和，解得 所以P1，P2將直線AB向下平移2個(gè)單位，得到直線。聯(lián)立和，解得 所以P3(2,3)圖2 圖3（3）如圖3，作MKx軸于K，交AB于點(diǎn)F由B(0,2)、A(4, 0)，得直線AB的解析式為設(shè)M()，F(xiàn)()所以FM因?yàn)镾ABMSBFMSAFM2MF，所以當(dāng)m2時(shí)，MAB的面積最大此時(shí)M(2,3)如圖4，作射線OP，與y軸負(fù)半軸的夾角為30。作NGOP于G，那么NG作MD/x軸，交y軸于點(diǎn)E，交射線OP于點(diǎn)D，那么ODM60作MHOP于點(diǎn)H因?yàn)镸NNGMGMH，所以當(dāng)G、H兩點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值（如圖5所示），此時(shí)MH圖4 圖5如圖5，在RtODE中，DEOEtan30在RtMDH中，DMDEEM，所以MHDMsin60所以的最小值是考點(diǎn)伸展第（2）題還可以這樣思考：如圖6，作PQx軸于Q因?yàn)镺P/BA，所以12所以tan1tan2所