人教版九下數(shù)學(xué) 中考專題復(fù)習(xí) 專題6 開放探究型問題

1、人教版九下數(shù)學(xué) 中考專題復(fù)習(xí) 專題6 開放探究型問題如圖，已知 AD 是 ABC 的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使 AEDAFD，需添加一個(gè)條件是： 小敏思考解決如下問題：原題：如圖（1）所示，點(diǎn) P，Q 分別在菱形 ABCD 的邊 BC，CD 上，PAQ=B，求證 AP=AQ(1) 小敏進(jìn)行探索，若將點(diǎn) P，Q 的位置特殊化，把 PAQ 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)得到 EAF，使 AEBC，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 BC，CD 上，如圖（2）所示此時(shí)她證明了 AE=AF，請你證明此結(jié)論(2) 受（1）的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線：如圖（3）所示，作 AEBC，AFCD，垂足分別為 E，F(xiàn)，請你繼

2、續(xù)完成原題的證明(3) 如果在原題中添加條件：AB=4，B=60，如圖（1）所示，請你編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并直接給出答案古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：一切平面圖形中最美的是圓.請研究如下美麗的圓如圖 1 所示，線段 AB 是 O 的直徑，延長 AB 至點(diǎn) C，使 BC=OB，點(diǎn) E 是線段 OB 的中點(diǎn)，DEAB 交 O 于點(diǎn) D點(diǎn) P 是 O 上一動點(diǎn)（不與點(diǎn) A，B 重合），連接 CD，PE，PC(1) 求證 CD 是 O 的切線；(2) 小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn) PEPC 是一個(gè)確定的值求這個(gè)確定的值是多少，并對小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明如圖 1 所示，拋物線 y=ax2+bx+c

3、 經(jīng)過點(diǎn) A-1,0，點(diǎn) C0,3，且 OB=OC(1) 求拋物線的解析式及其對稱軸；(2) 點(diǎn) D，E 是直線 x=1 上的兩個(gè)動點(diǎn)，且 DE=1，點(diǎn) D 在點(diǎn) E 的上方，求四邊形 ACDE 的周長的最小值；(3) 如圖 2 所示，點(diǎn) P 為拋物線上一點(diǎn)，連接 CP，直線 CP 把四邊形 CBPA 的面積分為 3:5 兩部分，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)【例 7 】如圖，在 RtABC 中，C=90，AB=5，BC=4點(diǎn) P 是邊 AC 上一動點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PQAB 交 BC 于點(diǎn) Q，D 為線段 PQ 的中點(diǎn)，當(dāng) BD 平分 ABC 時(shí)，AP 的長度為 A 813 B 1513 C 2513 D

4、 3213 如圖所示，已知菱形 ABCD 的邊長為 4，E，F(xiàn) 分別是 AB，AD 上的動點(diǎn)，且 BE=AF，BAD=120，則下列結(jié)論正確的有 BECAFC； ECF 為等邊三角形； AGE=AFC；若 AF=1，則 GFEG=13A 1 個(gè)B 2 個(gè)C 3 個(gè)D 4 個(gè)四邊形 ABCD 中，A+B=180，添加一個(gè)條件： ，使四邊形 ABCD 成為平行四邊形【測試 3 】如圖，在菱形 ABCD 中，sinB=45，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 AD，BC 上，將四邊形 AEFB 沿 EF 翻折，使 AB 的對應(yīng)線段 MN 經(jīng)過頂點(diǎn) C，當(dāng) MNBC 時(shí)，AEAD 的值是 如圖，AB 是 O 的直徑

5、，D 是 O 上一點(diǎn)，DEAB 于點(diǎn) E，且 ADE=60，C 是 ABD 上一點(diǎn)，連接 AC，CD(1) 求 ACD 的度數(shù)；(2) 證明：AD2=ABAE；(3) 如果 AB=8，ADC=45，請你編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并直接給出答案如圖所示，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別在矩形 ABCD 的邊 AB，BC，CD，DA（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動，且滿足 AE=CG，AH=CF(1) 求證 AEHCGF；(2) 試判斷四邊形 EFGH 的形狀，并說明理由；(3) 請?zhí)骄克倪呅?EFGH 的周長的一半與矩形 ABCD 一條對角線長的大小關(guān)系，并說明理由如圖所示，已知拋物線 y=ax2+bx+5

6、 經(jīng)過 A-5,0，B-4,-3 兩點(diǎn)，與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 C頂點(diǎn)為 D，連接 CD(1) 求該拋物線的解析式(2) 點(diǎn) P 為該拋物線上一動點(diǎn)（與點(diǎn) B，C 不重合），設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 t當(dāng)點(diǎn) P 在直線 BC 的下方運(yùn)動時(shí)，求 PBC 的面積的最大值該拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得 PBC=BCD？若存在，求出所有點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由答案1. 【答案】AE=AF 或 EDA=FDA【解析】添加條件：AE=AF，證明：在 AED 與 AFD 中， AE=AF,EAD=FAD,AD=AD, 所以 AEDAFD SAS添加條件：EDA=FDA，證明：在 AED 與 AFD

7、 中， EAD=FAD,AD=AD,EDA=FDA, 所以 AEDAFD ASA2. 【答案】(1) 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是菱形，所以 B+C=180，B=D，AB=AD，因?yàn)?EAF=B，所以 EAF+C=180，所以 AEC+AFC=180，因?yàn)?AEBC，所以 AFCD，在 AEB 和 AFD 中， AEB=AFD,B=D,AB=AD, 所以 AEBAFD，所以 AE=AF(2) 由（1）得 PAQ=EAF=B，AE=AF，所以 EAP=FAQ，在 AEP 和 AFQ 中， AEP=AFQ=90,AE=AF,EAP=FAQ, 所以 AEPAFQ，所以 AP=AQ(3) 已知 AB=4，

8、B=60，求四邊形 APCQ 的面積四邊形 APCQ 的面積 =43【解析】(3) 如圖 3 所示，連接 AC，BD 交于點(diǎn) O，因?yàn)?ABC=60，BA=BC，所以 ABC 為等邊三角形因?yàn)?AEBC，所以 BE=EC同理 CF=FD所以四邊形 AECF 的面積 =12 四邊形 ABCD 的面積，由（2）得四邊形 APCQ 的面積 = 四邊形 AECF 的面積，因?yàn)?OA=12AB=2，OB=32AB=23，所以四邊形 ABCD 的面積 =122234=83，所以四邊形 APCQ 的面積 =433. 【答案】(1) 如圖 2 所示，連接 OD，DB， 點(diǎn) E 是線段 OB 的中點(diǎn)，DEAB

9、交 O 于點(diǎn) D， DE 垂直平分 OB， DB=DO， 在 O 中，DO=OB， DB=DO=OB， ODB 是等邊三角形， BDO=DBO=60， BC=OB=BD，且 DBE 為 BDC 的外角， BCD=BDC=12DBO， DBO=60， CDB=30 ODC=BDO+BDC=60+30=90， CD 是 O 的切線(2) 這個(gè)確定的值是 12證明如下：連接 OP，如圖 3 所示由已知可得 OP=OB=BC=2OE， OEOP=OPOC=12又 COP=POE， OEPOPC， PEPC=OPOC=124. 【答案】(1) OB=OC， 點(diǎn) B3,0，則拋物線的解析式為 y=ax+1

10、x-3=ax2-2x-3=ax2-2ax-3a，故 -3a=3，解得 a=-1，故拋物線的解析式為 y=-x2+2x+3, 拋物線的對稱軸為 x=1(2) 四邊形 ACDE 的周長 =AC+DE+CD+AE，其中 AC=10，DE=1 是常數(shù)，故 CD+AE 最小時(shí)，周長最小如圖 3 所示，取點(diǎn) C 關(guān)于圖象對稱軸的對稱點(diǎn) C2,3，則 CD=CD取點(diǎn) A-1,1，則 AD=AE故 CD+AE=AD+DC，則當(dāng) A，D，C 三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=AD+DC 最小，周長也最小四邊形 ACDE 的周長的最小值 =AC+DE+CD+AE=10+1+AD+DC=10+1+AC=10+1+13. (3

11、) 如圖 4 所示，設(shè)直線 CP 交 x 軸于點(diǎn) E，直線 CP 把四邊形 CBPA 的面積分為 3:5 兩部分，又 SPCB:SPCA=12EByC-yP:12AEyC-yP=BE:AE，則 BE:AE=3:5 或 5:3，則 AE=52或32，即點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 32,0 或 12,0設(shè)直線 CP 的解析式為 y=kx+3，將點(diǎn) E 的坐標(biāo)代入 y=kx+3，解得 k=-6或-2，故直線 CP 的解析式為 y=-2x+3 或 y=-6x+3. 聯(lián)立解得 x=4或8（不合題意的解已舍去），故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 4,-5 或 8,-455. 【答案】B【解析】 C=90，AB=5，BC=4， A

12、C=AB2-BC2=3， PQAB， ABD=BDQ，又 ABD=QBD， QBD=BDQ， QB=QD， QP=2QB， PQAB， CPQCAB， CPCA=CQCB=PQAB , 即 CP3=4-QB4=2QB5，解得，CP=2413， AP=CA-CP=1513，故選：B6. 【答案】D【解析】 BECAFCSAS，正確 BECAFC， CE=CF，BCE=ACF BCE+ECA=BCA=60， ACF+ECA=60， CEF 是等邊三角形，故正確 AGE=CAF+AFG=60+AFG，AFC=CFG+AFG=60+AFG， AGE=AFC，故正確過點(diǎn) E 作 EMBC 交 AC 于點(diǎn)

13、 M，如圖所示，易證 AEM 是等邊三角形，則 EM=AE=3 AFEM， GFEG=AFEM=13，故正確7. 【答案】 AD=BC 或 ABCD（答案不唯一）8. 【答案】 29 【解析】延長 CM 交 AD 于點(diǎn) G， 將四邊形 AEFB 沿 EF 翻折， AE=ME，A=EMC，BF=FN，B=N，AB=MN， 四邊形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD，B=D，A+B=180， sinB=45=sinN=CFFN， 設(shè) CF=4x，F(xiàn)N=5x， CN=FN2-CF2=3x， BC=9x=AB=CD=AD， sinB=45=sinD=GCCD， GC=36x5， GM=GC-M

14、N-CN=36x5-6x=65x， A+B=180，EMC+EMG=180， B=EMG， sinB=sinEMG=45=EGEM， cosEMG=35=GMEM， EM=2x， AE=2x， AEAD=2x9x=299. 【答案】(1) 如圖，連接 OD， OA=OD，ADE=60，DEAB， OAD=ODA=30 AOD=120 ACD=12AOD=60(2) 如圖，連接 BD， 在 ADE 和 ABD 中，DAE=BAD，AED=ADB， ADEABD ADAB=AEAD AD2=ABAE(3) 請計(jì)算 AC 的長度解：4【解析】(3) 解：如圖 2，連接 OC，BC ADC=45， A

15、OC=2ADC=90又 點(diǎn) O 是 AB 的中點(diǎn)， AC=BC又 AB 是直徑， ACB=90 AC2+BC2=AB2，即 2AC2=AB2=82則 AC=410. 【答案】(1) 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是矩形，所以 A=C，在 AEH 與 CGF 中， AE=CG,A=C,AH=CF, 所以 AEHCGF(2) 四邊形 EFGH 是平行四邊形理由如下：由（1）知 AEHCGF，則 EH=GF同理證得 EBFGDH，則 EF=GH，所以四邊形 EFGH 是平行四邊形(3) 四邊形 EFGH 的周長的一半大于或等于矩形 ABCD 一條對角線的長度理由如下：如圖所示，作 G 關(guān)于 BC 的對稱點(diǎn)

16、G，連接 EG，可得 EG 的長度就是 EF+FG 的最小值連接 AC，因?yàn)?CG=CG=AE，ABCG，所以四邊形 AEGC 為平行四邊形，所以 EG=AC在 EFG 中，因?yàn)?EF+FGEG，所以 EF+FGAC，所以四邊形 EFGH 的周長的一半大于或等于矩形 ABCD 一條對角線的長度11. 【答案】(1) 將點(diǎn) A，B 的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得 25a-5b+5=0,16a-4b+5=-3, 解得 a=1,b=6. 故拋物線的解析式為 y=x2+6x+5, 令 y=0，則 x=-1或-5，即點(diǎn) C-1,0(2) 如圖 1 所示，過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線交 BC 于點(diǎn) G，由點(diǎn) B，C 的坐標(biāo)可解得直線 BC 的解析式為 y=x+1, 設(shè)點(diǎn) Gt,t+1，則點(diǎn) Pt,t2+6t+5，SPBC=12PGxC-xB=32t+1-t2-6t-5=-32t2-152t-6 -320， SPBC 有最大值，當(dāng) t=-52 時(shí)，其最大值為 278當(dāng)點(diǎn) P 在直線 BC 下方時(shí)，設(shè)直線 BP 與 CD 交于點(diǎn) H，如圖 2 所示， PBC=BCD， 點(diǎn) H 在 BC 的中垂線上，線段 BC 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 -52,-32過該點(diǎn)與 BC 垂直的直線的 k 值為 -1，設(shè) BC 中垂線的解析式為 y=-x+m，將點(diǎn) -52,-32 代入上式解得 m