23　變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案（人教A版必修三）

1、2.3變量間的相關(guān)關(guān)系變量之間的相互關(guān)系兩個變量的線性相關(guān)【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】1理解兩個變量的相關(guān)關(guān)系的概念2會作散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系3會求回歸直線的方程【填要點(diǎn)、記疑點(diǎn)】1兩個變量的線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖：將樣本中n個數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形(2)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)：正相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域2回歸直線的方程(1)回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線(2)回歸方程：回歸直線對應(yīng)的

2、方程叫做回歸直線的方程，簡稱回歸方程(3)回歸方程eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()，其中eq o(b,sup6()是回歸方程的斜率，eq o(a,sup6()是截距3最小二乘法通過求Qeq isu(i1,n, )(yibxia)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求出的回歸直線使樣本數(shù)據(jù)中的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法【探要點(diǎn)、究所然】情境導(dǎo)學(xué)在學(xué)校里，老師對學(xué)生經(jīng)常這樣說：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系，顯然，這種關(guān)系不能用我們熟悉的函數(shù)關(guān)系來

3、描述，那么這究竟是一種什么關(guān)系？下面我們共同來研究. 探究點(diǎn)一變量之間的相關(guān)關(guān)系思考1當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被唯一確定，則這兩個變量之間是怎樣的關(guān)系？考察下列問題中兩個變量之間是什么關(guān)系？為什么？(1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)；(2)糧食產(chǎn)量與施肥量；(3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡答當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被唯一確定，這兩個變量是一個函數(shù)關(guān)系(1)、(2)、(3)都不是函數(shù)關(guān)系，因為當(dāng)其中一個變量變化時，另一個變量的變化還受其它因素的影響思考2“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？為

4、什么？答不是函數(shù)關(guān)系因為學(xué)生的成績提高的原因是多個因素的共同結(jié)果，并不由老師這一個因素唯一確定況且一個老師教幾十個學(xué)生，也有成績差的小結(jié)思考1、思考2中兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，稱之為相關(guān)關(guān)系思考3函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間的區(qū)別與聯(lián)系是怎樣的？答函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化例1在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？正方形邊長與面積之間的關(guān)系；作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；降雪量與交通事故的發(fā)

5、生率之間的關(guān)系解兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因為人的年齡達(dá)到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系反思與感悟如果能夠從兩個變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)相關(guān)關(guān)系是極為有意義的，由此可以進(jìn)一步研究二者之間是否蘊(yùn)涵因果關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)引起這種相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)原因是什么跟蹤訓(xùn)練1有關(guān)法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語吸煙是否一定會引起健康問題？

6、有人認(rèn)為“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法對嗎？解從已經(jīng)掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康，但是除了吸煙之外，還有許多其他的隨機(jī)因素影響身體健康，人體健康是很多因素共同作用的結(jié)果我們可以找到長壽的吸煙者，也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者，所以吸煙不一定引起健康問題但吸煙引起健康問題的可能性大因此“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法是不對的探究點(diǎn)二散點(diǎn)圖問題在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.63

7、0.231.430.833.535.234.6思考1觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？答隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也有所增加思考2以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？答思考3閱讀教材85頁，你能說出散點(diǎn)圖的定義嗎？答在平面直角坐標(biāo)系中，表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點(diǎn)圖思考4閱讀教材86頁上半頁后，你能說出正相關(guān)是如何定義的嗎？類比正相關(guān)的定義，你能給負(fù)相關(guān)下個定義嗎？答在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)一個變量隨另一個變量的變大而變小稱為負(fù)相關(guān)，散點(diǎn)圖

8、中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域思考5你能列舉一些生活中的變量成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的實(shí)例嗎？答成正相關(guān)的如：商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)；作文水平與課外閱讀量；糧食產(chǎn)量與施肥量成負(fù)相關(guān)的如：在一定范圍內(nèi)汽車的重量和汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程例2以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋面積的數(shù)據(jù)：房屋面積m2617011511080135105銷售價格(萬元)12.215.324.821.618.429.222畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖，并指出銷售價格與房屋面積這兩個變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)解散點(diǎn)圖如下：由上圖可看出，銷售價格與房屋面積這兩個變量正相關(guān)反思與感悟畫散點(diǎn)圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，避

9、免圖形過大或過小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此進(jìn)行了10次試驗，收集數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x(個)102030405060708090100加工時間y(min)626875818995102108115122(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)關(guān)于加工零件的個數(shù)與加工時間，你能得出什么結(jié)論？解(1)散點(diǎn)圖如下：(2)加工零件的個數(shù)與所花費(fèi)的時間呈正線性相關(guān)關(guān)系探究點(diǎn)三回歸直線思考1在各種各樣的散點(diǎn)圖中，有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是雜亂分布的，有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)

10、的分布有什么特點(diǎn)？答這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近小結(jié)回歸直線的定義：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線思考2在樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫出回歸直線？借助計算機(jī)怎樣畫出回歸直線？答不能用直尺準(zhǔn)確畫出回歸直線用計算機(jī)中Excel可以方便地畫出回歸直線(見教材)探究點(diǎn)四回歸方程問題在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體進(jìn)行估計，那么如何求出回歸直線

11、的方程呢？思考1回歸直線與散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？答整體上最接近選擇能反映直線變化的兩個點(diǎn)思考2對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，設(shè)其回歸方程為eq o(y,sup6()bxa，可以用哪些數(shù)量關(guān)系來刻畫各樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度？答可以用|yieq o(y,sup6()i|或(yieq o(y,sup6()i)2，其中eq o(y,sup6()ibxia.(如圖)思考3為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認(rèn)為選用哪個數(shù)量關(guān)系來刻畫比較合適？答Qeq isu(i1,n, )(yieq o(y,sup6()i)2(y1b

12、x1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2.小結(jié)根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng)eq o(b,sup6()eq f(isu(i1,n, )xixto(x)yixto(y),isu(i1,n, )xixto(x)2)eq f(isu(i1,n,x)iyin xto(x) xto(y),isu(i1,n,x)oal(2,i)n xto(x)2)，eq o(a,sup6()eq xto(y)eq o(b,sup6() eq xto(x)時，總體偏差Qeq isu(i1,n, )(yieq o(y,sup6()i)2為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法

13、叫做最小二乘法思考4回歸方程中，eq o(a,sup6()，eq o(b,sup6()的幾何意義分別是什么？答eq o(b,sup6()是回歸方程的斜率，eq o(a,sup6()是截距思考5利用計算器或計算機(jī)可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程eq o(y,sup6()0.577x0.448，由此我們可以根據(jù)一個人的年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值若某人37歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？答將x37代入方程eq o(y,sup6()0.577x0.448，得0.577370.44820.901.所以其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為20.901%.例3有一個同學(xué)家開了一個小賣部，

14、他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫度/504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；(3)求回歸方程；(4)如果某天的氣溫是2，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)解(1)散點(diǎn)圖如圖所示：(2)從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少(3)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數(shù)利用計算器容易求得回歸方程

15、eq o(y,sup6()2.352x147.767.(4)當(dāng)x2時，eq o(y,sup6()143.063.因此，某天的氣溫為2時，這天大約可以賣出143杯熱飲反思與感悟?qū)σ唤M數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時，應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a，b的計算公式，算出a，b.由于計算量較大，所以在計算時應(yīng)借助技術(shù)手段，認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計算中產(chǎn)生錯誤，求線性回歸方程的計算順序：計算平均數(shù)eq xto(x)，eq xto(y)；計算xi與yi的積，求xiyi；計算xeq oal(2,i)；將結(jié)果代入公式求eq o(b,sup6()；用eq o(a,sup6()eq xto(y)eq o(b,sup

16、6()eq xto(x)求eq o(a,sup6()；寫出回歸直線方程思考6氣溫為2時，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？答小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：(1)回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的，存在誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差(2)即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應(yīng)于x的預(yù)報值，能夠與實(shí)際值y很接近我們不能保證點(diǎn)(x，y)落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近跟蹤訓(xùn)練3下表為某地近幾年機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料.機(jī)動車輛數(shù)x/千臺95110112120129135150180交通事故數(shù)y/千件6.

17、27.57.78.58.79.810.213(1)請判斷機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，說明理由；(2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程解(1)在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如下圖直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系(2)計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：eq isu(i1,8,x)i1 031，eq isu(i1,8,y)i71.6，eq isu(i1,8,x)eq oal(2,i)137 835，eq isu(i1,8,x)iyi9 611.7.將它們代入公式計算得eq o(b,sup6()0.077 4，eq o(a,sup6()1.024 9，

18、所以，所求回歸方程為eq o(y,sup6()0.077 4x1.024 9.【當(dāng)堂測、查疑缺】1下列兩個變量之間的關(guān)系，哪個不是函數(shù)關(guān)系 ( )A正方體的棱長和體積B圓半徑和圓的面積C正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D人的年齡和身高答案D解析A、B、C都是函數(shù)關(guān)系，對于A，Va3；對于B，Sr2；對于C，g(n)(n2).而對于年齡確定的不同的人可以有不同的身高，選D.2設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq o(y,sup6()0.85x85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()Ay

19、與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq xto(x)，eq xto(y)C若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可判定其體重必為58.79 kg答案D解析當(dāng)x170時，eq o(y,sup6()0.8517085.7158.79，體重的估計值為58.79 kg.3某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()中的eq o(b,sup6()為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為()A63.6萬元 B65.5萬元C67.7萬元 D72.0萬元答案B解析由題意可知eq xto(x)3.5，eq xto(y)42，則429.43.5eq o(a,sup6()，eq o(a,sup6()9.1，eq o(y,sup6()9.469.165.5，答案應(yīng)選B.4四