2023高考科學復習解決方案-數(shù)學(名校內參版) 第八章 8.5空間直線、平面的垂直（Word學案）

1、85空間直線、平面的垂直(教師獨具內容)1從基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關系，歸納出以下性質定理和判定定理：(1)垂直于同一個平面的兩條直線平行(2)兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直(3)如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直(4)如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直2以立體幾何的定義、基本事實和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理，并能運用基本事實、定理和已獲得的結論證明一些關于空間圖形的垂直關系的簡單命題3重

2、點提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)(教師獨具內容)1本考點屬于高考必考內容，命題的關注點在于垂直關系的證明，難點在于相關判定定理與性質定理的正確運用直線、平面垂直的判定與性質常與直線、平面平行的判定與性質融合在一起綜合考查既可以以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，也可以以解答題的形式呈現(xiàn)2預測2023年高考將以直線、平面垂直的判定及其性質為重點考查內容，涉及線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定及其應用，題型為解答題中的一問，或與平行相結合進行命題的判斷(教師獨具內容)(教師獨具內容)1直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面內的eq o(,sup3(01)任意一條直線都垂直，則直線l與平面垂直(2)判定定理與

3、性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條eq o(,sup3(02)相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq o(,sup3(03)eq blc rc(avs4alco1(la,lb,abO,a，b)eq avs4al(l)性質定理垂直于同一個平面的兩條直線eq o(,sup3(04)平行eq o(,sup3(05)eq blc rc(avs4alco1(a,b)eq avs4al(ab)2直線與平面所成的角(1)定義一條直線l與一個平面相交，但不與這個平面eq o(,sup3(01)垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線與平面的交點A叫做斜足過斜線上斜足以外的一

4、點P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影平面的一條斜線和它在平面上的eq o(,sup3(02)射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角若一條直線垂直于平面，它們所成的角是eq o(,sup3(03)90，若一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0.(2)范圍：eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).3平面與平面垂直(1)二面角的有關概念二面角：從一條直線出發(fā)的eq o(,sup3(01)兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面二面角的平面角：在二面角l的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半

5、平面和內分別作eq o(,sup3(02)垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的AOB叫做二面角的平面角二面角的平面角的范圍：eq o(,sup3(03)0，(2)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是eq o(,sup3(04)直二面角，就說這兩個平面互相垂直(3)平面與平面垂直的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的eq o(,sup3(05)垂線，那么這兩個平面垂直eq blc rc(avs4alco1(l,l)eq avs4al()性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的eq o(,su

6、p3(06)交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq blc rc(avs4alco1(,l,a,la)l4常用結論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的任意直線(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)垂直于同一個平面的兩平面平行()(2)若，aa.()(3)若平面內的一條直線垂直于平面內的無數(shù)條直線，則.()答案(1)(2)(3)2

7、下列命題中不正確的是()A如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面B如果平面平面，那么平面內一定存在直線平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l答案A解析根據(jù)面面垂直的性質，知A不正確，直線l可能平行平面，也可能在平面內，也可能與平面相交3設平面與平面相交于直線m，直線a在平面內，直線b在平面內，且bm，則“”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若，因為m，b，bm，所以根據(jù)兩個平面垂直的性質定理可得b，又a，所以ab；反過來，當am時，因為bm，一定有ba，但不能保證b，所以

8、不能推出.4(多選)若平面平面，且l，則下列命題中正確的是()A平面內的直線必垂直于平面內的任意一條直線B平面內的已知直線必垂直于平面內的無數(shù)條直線C平面內的任一條直線必垂直于平面D過平面內任意一點作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面答案BD解析A項，如圖，a，b，且a，b與l都不垂直，則a，b不一定垂直，故A錯誤；B項，如圖，a，作bl，則b，則內所有與b平行的直線都與a垂直，故B正確；C項，如圖，a，但a與l不垂直，則a與不垂直，故C錯誤；D項，如圖，由兩平面垂直的性質定理可知D正確故選BD.5在三棱錐PABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PAPBPC，則點O是ABC的_心；

9、(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1) 如圖，連接OA，OB，OC，PO平面ABC，在RtPOA中，OA2PA2PO2，同理OB2PB2PO2，OC2PC2PO2.又PAPBPC，故OAOBOC，點O是ABC的外心(2)由PAPB，PAPC可知PA平面PBC，PABC，又POBC，BC平面PAO，AOBC，同理BOAC，COAB.故點O是ABC的垂心1(多選)(2021新高考卷)在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA11，點P滿足eq o(BP,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BB1,sup6()，其中0,1，0,1，則()

10、A當1時，AB1P的周長為定值B當1時，三棱錐PA1BC的體積為定值C當eq f(1,2)時，有且僅有一個點P，使得A1PBPD當eq f(1,2)時，有且僅有一個點P，使得A1B平面AB1P答案BD解析由點P滿足eq o(BP,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BB1,sup6()，可知點P在正方形BCC1B1內如圖.對于A，當1時，可知點P在線段CC1(包括端點)上運動如圖，在AB1P中，因為AB1eq r(2)，APeq r(12)，B1Peq r(112)，所以AB1P的周長LAB1APB1P不為定值，所以A錯誤；對于B，當1時，可知點P在線段B1C1(包括端點)上運動

11、如圖，由圖可知，線段B1C1平面A1BC，即點P到平面A1BC的距離為定值，又A1BC的面積是定值，所以三棱錐PA1BC的體積為定值，所以B正確；對于C，當eq f(1,2)時，分別取線段BC，B1C1的中點為D，D1，可知點P在線段DD1(包括端點)上運動如圖，很顯然當點P與點D或D1重合時，均滿足A1PBP，所以C錯誤；對于D，解法一：當eq f(1,2)時，分別取線段BB1，CC1的中點為M，N，可知點P在線段MN(包括端點)上運動如圖，設AB1與A1B交于點K，連接PK，要使A1B平面AB1P，需A1BKP，所以點P只能是棱CC1的中點N，所以D正確解法二：當eq f(1,2)時，分別

12、取線段BB1，CC1的中點為M，N，可知點P在線段MN(包括端點)上運動以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，則B(0,1,0)，B1(0,1,1)，A1eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，1)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2).所以eq o(A1B,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，1)，eq o(B1P,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2).若A1B平面AB1P，則A1BB1P，所以eq o(A1B,sup6()eq o

13、(B1P,sup6()0，即eq f(1,2)eq f(1,2)0.解得1.所以只存在一個點P使得A1B平面AB1P，此時點P與點N重合，所以D正確故選BD.2(2020新高考卷) 日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40，則晷針與點A處的水平面所成角為()A20B40C50D90答案B解析畫出截面圖如圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線，l是點A處的水平面的截

14、線，依題意可知OAl，AB是晷針所在直線，m是晷面的截線，依題意，晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質定理可得mCD，根據(jù)線面垂直的定義可得ABm.由于AOC40，mCD，所以OAGAOC40，由于OAGGAEBAEGAE90，所以BAEOAG40，即晷針與點A處的水平面所成角為BAE40.故選B.3(2021全國乙卷)如圖，四棱錐PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M為BC的中點，且PBAM.(1)證明：平面PAM平面PBD；(2)若PDDC1，求四棱錐PABCD的體積解(1)證明：PD平面ABCD，AM平面ABCD，PDAM.又PBAM，PBPDP，PB平面PBD，

15、PD平面PBD，AM平面PBD.又AM平面PAM，平面PAM平面PBD.(2)四邊形ABCD是矩形，M為BC的中點，BMeq f(1,2)AD且ABDC1.AM平面PBD，BD平面PBD，AMBD.MADADB90，又BAMMAD90，BAMADB，BAMADB，eq f(BM,AB)eq f(AB,AD)，將式代入，解得ADeq r(2).S矩形ABCDADDCeq r(2)1eq r(2)，VPABCDeq f(1,3)S矩形ABCDPDeq f(1,3)eq r(2)1eq f(r(2),3).4. (2021全國甲卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，ABBC

16、2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，BFA1B1.(1)求三棱錐FEBC的體積；(2)已知D為棱A1B1上的點，證明：BFDE.解(1)如圖，取BC的中點為M，連接EM.由已知可得EMAB，ABBC2，CF1，EMeq f(1,2)AB1，ABA1B1，所以EMA1B1，由BFA1B1得EMBF，又EMCF，BFCFF，所以EM平面BCF，故V三棱錐FEBCV三棱錐EFBCeq f(1,3)eq f(1,2)BCCFEMeq f(1,3)eq f(1,2)211eq f(1,3).(2)證明：連接A1E，B1M，由(1)知EMA1B1，所以DE在平面EMB1A1內在正方形CC1B1B中，由于F

17、，M分別是CC1，BC的中點，所以由平面幾何知識可得BFB1M，又BFA1B1，B1MA1B1B1，所以BF平面EMB1A1，又DE平面EMB1A1，所以BFDE.5. (2019全國卷)如圖，長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BEEC1.(1)證明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱錐EBB1C1C的體積解(1)證明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面EB1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由題設知RtABERtA1B

18、1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如圖，作EFBB1，垂足為F，則EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱錐EBB1C1C的體積Veq f(1,3)36318.一、基礎知識鞏固考點垂直關系的基本問題例1，是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題中錯誤的是()A如果mn，m，n，那么B如果m，那么mC如果l，m，m，那么mlD如果mn，n，m，那么答案D解析在A中，如果mn，m，n，那么由面面垂直的判定定理得，故A正確；在B中，如果m，那么m，故B正確；在C中，如果l，m，m，那么由線面平行的性質定理得ml，故C正確；在D中，如果mn，n，m，那么與相交或平行，故

19、D錯誤例2(多選)如圖，在三棱錐ABCD中，ACAB，BCBD，平面ABC平面BCD.下列結論正確的是()AACBDB平面ABC平面ABDC平面ACD平面ABDDCD平面ABD答案ABC解析因為平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，BCBD，所以BD平面ABC，又AC平面ABC，所以BDAC，故A正確；因為BD平面ABC，BD平面ABD，所以平面ABD平面ABC，故B正確；因為ACAB，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ACD，所以平面ACD平面ABD，故C正確；若CD平面ABD，則CDBD，與BCBD矛盾，故CD與平面ABD不垂直，故D錯誤1.已知平面，直線n，直

20、線m，則下列命題正確的是()AmnBmnCmDmnm答案C解析由平面，直線n，直線m，知：對于A，則m，n平行或異面，故A錯誤；對于B，則m，n相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，m，則由面面垂直的判定定理得，故C正確；對于D，mn，則m與相交、平行或m，故D錯誤2在下列四個正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G均為所在棱的中點，過E，F(xiàn)，G作正方體的截面，則在各個正方體中，直線BD1與平面EFG不垂直的是()答案D解析如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q均為所在棱的中點，易知E，F(xiàn)，G，M，N，Q六個點共面，直線BD1與平面EFMNQG垂直，并且選項A，B，

21、C中的平面與這個平面重合，不滿足題意，只有選項D中的直線BD1與平面EFG不垂直，滿足題意與線面垂直關系有關命題真假的判斷方法(1)借助幾何圖形來說明線面關系(2)尋找反例，只要存在反例，結論就不正確(3)反復驗證所有可能的情況，必要時要運用判定或性質定理進行簡單說明考點直線與平面垂直的判定與性質例3如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點求證：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.又A

22、E平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD，又PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.例4如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MNAB，MNPC.證明：AEMN.證明AB平面PAD，AE平面PAD，AEAB，又ABCD，AECD.ADA

23、P，E是PD的中點，AEPD.又CDPDD，CD，PD平面PCD，AE平面PCD.MNAB，ABCD，MNCD.又MNPC，PCCDC，PC，CD平面PCD，MN平面PCD，AEMN.3.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中點，F(xiàn)在BB1上(1)求證：C1D平面AA1B1B；(2)從下列三個條件中選取哪兩個條件可使AB1平面C1DF？并證明你的結論F為BB1的中點；AB1eq r(3)；AA1eq r(2).解(1)證明：ABCA1B1C1是直三棱柱，A1C1B1C11，且A1C1B190.又D是A1B1的中點，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C

24、1D平面A1B1C1，AA1C1D，又A1B1AA1A1，C1D平面AA1B1B.(2) 選能證明AB1平面C1DF.連接DF，A1B，DFA1B，在ABC中，ACBC1，ACB90，則ABeq r(2)，又AA1eq r(2)，則A1BAB1，DFAB1.C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1.DFC1DD，DF，C1D平面C1DF，AB1平面C1DF.4. 如圖，l，PA，PB，垂足分別為A，B，a，aAB.求證：al.證明PA，l，PAl.同理PBl.PAPBP，PA，PB平面PAB，l平面PAB.又PA，a，PAa.aAB，PAABA，PA，AB平面PAB，a平面

25、PAB.al.1證明直線和平面垂直的常用方法(1)判定定理(2)垂直于平面的傳遞性(ab，ab)(3)面面平行的性質(a，a)(4)面面垂直的性質(，a，la，ll)2證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想3垂直關系里線線垂直是基礎eq avs4al(線線垂直,哪里找)eq blcrc (avs4alco1(勾股定理逆定理,線面垂直則垂直面內所有線,等腰三角形三線合一,矩形鄰邊垂直,菱形對角線垂直)4垂直關系中線面垂直是重點(1)eq avs4al(線面垂直,哪里找)eq blcrc (avs4alco1(

26、垂直兩條相交線,垂面里面作垂線,直正棱柱的側棱是垂線,正棱錐的頂點與底面的中心的連線是垂線)(2)eq avs4al(線垂面,有何用)eq blcrc (avs4alco1(垂直里面所有線證線線垂直,過垂線作垂面證明面面垂直)考點平面與平面垂直的判定與性質例5在矩形ABCD中，AB2AD4，E是AB的中點，沿DE將ADE折起，得到如圖所示的四棱錐PBCDE.(1)若平面PDE平面BCDE，求四棱錐PBCDE的體積；(2)若PBPC，求證：平面PDE平面BCDE.解(1) 如圖所示，取DE的中點M，連接PM，由題意知，PDPE，PMDE，又平面PDE平面BCDE，平面PDE平面BCDEDE，PM

27、平面PDE，PM平面BCDE，即PM為四棱錐PBCDE的高在等腰直角三角形PDE中，PEPDAD2，PMeq f(1,2)DEeq r(2)，而梯形BCDE的面積Seq f(1,2)(BECD)BCeq f(1,2)(24)26，四棱錐PBCDE的體積Veq f(1,3)PMSeq f(1,3)eq r(2)62eq r(2).(2)證明：取BC的中點N，連接PN，MN，則BCMN，PBPC，BCPN，MNPNN，MN，PN平面PMN，BC平面PMN，PM平面PMN，BCPM，由(1)知，PMDE，又BC，DE平面BCDE，且BC與DE是相交的，PM平面BCDE，PM平面PDE，平面PDE平面

28、BCDE.5. 如圖，在四面體PABC中，PAPCABBC5，AC6，PB4eq r(2)，線段AC，PA的中點分別為O，Q.(1)求證：平面PAC平面ABC；(2)求四面體POBQ的體積解(1)證明：PAPC，O是AC的中點，POAC.在RtPAO中，PA5，OA3，由勾股定理，得PO4.ABBC，O是AC的中點，BOAC.在RtBAO中，AB5，OA3，由勾股定理，得BO4.PO4，BO4，PB4eq r(2)，PO2BO2PB2，POBO.BOACO，BO，AC平面ABC，PO平面ABC.PO平面PAC，平面PAC平面ABC.(2)由(1)，可知平面PAC平面ABC.平面ABC平面PAC

29、AC，BOAC，BO平面ABC，BO平面PAC，VPOBQVBPOQeq f(1,3)SPOQBOeq f(1,3)eq f(1,2)SPAOBOeq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,2)3444.四面體POBQ的體積為4.6. 如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，CDAD，平面PAD平面ABCD，APD為等腰直角三角形，PAPD.求證：PBPD.證明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CDAD，CD平面PAD.又CDAB，AB平面PAD.PD平面PAD，PDAB，又APD為等腰直角三角形，PDPA，又PAABA，PA，AB平面PAB，PD平面P

30、AB，又PB平面PAB，PBPD.1判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a，a)2證面面垂直的思路(1)關鍵是考慮證哪條線垂直哪個面這必須結合條件中各種垂直關系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮(2)條件中告訴我們某種位置關系，就要聯(lián)系到相應的性質定理，如已知兩平面互相垂直，我們就要聯(lián)系到兩平面互相垂直的性質定理(3)在垂直關系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式(如勾股定理)證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關系證明線線垂直考點平行與垂直的探索性問題例6如圖，在四棱錐SABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ABC60，SAD為正三角形

31、側面SAD底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，BS的中點(1)求證：AF平面SEC；(2)求證：平面ASB平面CSB；(3)在棱BS上是否存在一點M，使得BD平面MAC？若存在，求eq f(BM,BS)的值；若不存在，請說明理由解(1)證明：取SC的中點G，連接FG，EG，F(xiàn)，G分別是BS，SC的中點，F(xiàn)GBC，F(xiàn)Geq f(1,2)BC.四邊形ABCD是菱形，E是AD的中點，AEBC，AEeq f(1,2)BC，F(xiàn)GAE，F(xiàn)GAE，四邊形AFGE是平行四邊形，AFEG，又AF平面SEC，EG平面SEC，AF平面SEC.(2) 證明：SAD是等邊三角形，E是AD的中點，SEAD，四邊形ABCD是

32、菱形，ABC60，ACD是等邊三角形，又E是AD的中點，ADCE，又SECEE，SE，CE平面SEC，AD平面SEC，又EG平面SEC，ADEG，又四邊形AFGE是平行四邊形，四邊形AFGE是矩形，AFFG，又SAAB，F(xiàn)是BS的中點，AFBS，又FGBSF，F(xiàn)G平面CSB，BS平面CSB，AF平面CSB，又AF平面ASB，平面ASB平面CSB.(3)存在點M滿足題意假設在棱BS上存在點M，使得BD平面MAC，連接MO，BE，則BDOM，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ABC60，SAD為正三角形，BEeq r(7)，SEeq r(3)，BD2OB2eq r(3)，SD2，SEAD，側面SAD

33、底面ABCD，側面SAD底面ABCDAD，SE平面SAD，SE平面ABCD，SEBE，BSeq r(SE2BE2)eq r(10)，cosSBDeq f(BS2BD2SD2,2BSBD)eq f(3r(30),20)，eq f(OB,BM)eq f(3r(30),20)，BMeq f(2r(10),3)，eq f(BM,BS)eq f(2,3).7. (多選)如圖，在直角梯形ABCD中，BCCD，AECD，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是()A不論D折至何位置(不在平面ABC內)，都有MN平面CDEB不論D折至何位置(不在平面ABC內

34、)，都有MNAEC不論D折至何位置(不在平面ABC內)，都有MNABD在折起過程中，一定存在某個位置，使CEAD答案ABD解析折疊后如圖所示對于A，取AE的中點P，連接PM，PN，M，N分別是AD，BE的中點，PNABCE，PMDE，又PMPNP，且PM平面PMN，PN平面PMN，DECEE，平面PMN平面CDE，故MN平面CDE，故A正確；對于B，由已知，AEDE，AECE，且CEDEE，CE平面CDE，DE平面CDE，AE平面CDE，又平面PMN平面CDE，AE平面PMN，則由線面垂直的性質可知AEMN，故B正確；對于C，ABPN，MNPNN，MN與AB為異面直線，故C錯誤；對于D，當CA

35、ED為直二面角時，易證CE平面ADE，則根據(jù)線面垂直的性質可知CEAD，故D正確8. 如圖，在三棱臺ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC.(1)設平面ACE平面DEFa，求證：DFa；(2)若EFCF2BC，試問在線段BE上是否存在點G，使得平面DFG平面CDE？若存在，確定G點的位置；若不存在，請說明理由解(1)證明：在三棱臺ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE，DF平面ACE.又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa，DFa.(2) 線段BE上存在點G，且BGeq f(1,3)BE，使得平面DFG平面CDE.證明如下：取CE的中點O，連接FO并延長交BE于點G，交C

36、B的延長線于點H，連接GD，CFEF，GFCE.在三棱臺ABCDEF中，ABBC，DEEF.由CF平面DEF，得CFDE.又CFEFF，CF，EF平面CBEF，DE平面CBEF，GF平面CBEF，DEGF.CEDEE，CE平面CDE，DE平面CDE，GF平面CDE.又GF平面DFG，平面DFG平面CDE.O為CE的中點，EFCF2BC，由平面幾何知識易證HOCFOE，HBBCeq f(1,2)EF.由HGBFGE，可知eq f(BG,GE)eq f(HB,EF)eq f(1,2)，即BGeq f(1,3)BE.1解決平行與垂直中探索性問題的主要途徑(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明(

37、2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性2涉及點的位置的探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識取點考點幾何法求直線與平面所成的角與二面角例7如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點(1)證明：PBC是直角三角形；(2)若PAAB2，且當直線PC與平面ABC所成角的正切值為eq r(2)時，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值解(1)證明：因為AB是O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動點，所以BCAC.因為PA平面ABC，所以BCPA，又PAACA，PA，AC平面PAC，所以B

38、C平面PAC，所以BCPC，所以PBC是直角三角形(2) 如圖，過A作AHPC于H，連接BH.因為BC平面PAC，AH平面PAC，所以BCAH，又PCBCC，PC，BC平面PBC，所以AH平面PBC，所以ABH是直線AB與平面PBC所成的角因為PA平面ABC，所以PCA是PC與平面ABC所成的角，因為tanPCAeq f(PA,AC)eq r(2)，又PA2，所以ACeq r(2)，所以在RtPAC中，AHeq f(PAAC,r(PA2AC2)eq f(2r(3),3)，所以在RtABH中，sinABHeq f(AH,AB)eq f(f(2r(3),3),2)eq f(r(3),3)，即直線A

39、B與平面PBC所成角的正弦值為eq f(r(3),3).9. 如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PBC為正三角形，M，N分別為PD，BC的中點，PNAB.(1)求三棱錐PAMN的體積；(2)求二面角MAND的正切值解(1)PBPC，N為BC的中點，PNBC，又PNAB，ABBCB，AB，BC平面ABCD，PN平面ABCD，ABBCPBPC2，PNeq r(3)，M為PD的中點，VPAMNVDAMNVMADNeq f(1,2)VPADNeq f(1,4)VPABCDeq f(1,4)eq f(1,3)22eq r(3)eq f(r(3),3).(2) 如圖，取DN的中

40、點E，連接ME，M，E分別為PD，DN的中點，MEPN，PN平面ABCD，ME平面ABCD，MEAN，過E作EQAN，垂足為點Q，連接MQ，又MEAN，EQMEE，AN平面MEQ，ANMQ，MQE即為二面角MAND的平面角，tanMQEeq f(ME,QE)，PNeq r(3)，MEeq f(r(3),2)，ANDNeq r(5)，AD2，QEeq f(1,2)eq f(22,r(5)eq f(2r(5),5)，tanMQEeq f(r(15),4).即二面角MAND的正切值為eq f(r(15),4).10. (2021廈門模擬)如圖，在五面體ABCDEF中，AB平面ADE，EF平面ADE，

41、ABCD2.(1)求證：ABCD；(2)若ADAE2，EF1，且二面角EDCA的大小為60，求二面角FBCD的大小解(1)證明：因為AB平面ADE，EF平面ADE，所以ABEF，因為AB平面CDEF，EF平面CDEF，所以AB平面CDEF.因為平面CDEF平面ABCDCD，AB平面ABCD，所以ABCD.(2)因為AB平面ADE，ABCD，所以CD平面ADE，因為AD，DE平面ADE，所以CDAD，CDDE，所以ADE為二面角EDCA的平面角，即ADE60，所以ADE為等邊三角形因為ABCD，ABCDAD，CDAD，所以四邊形ABCD為正方形連接AC，BD，設AC與BD的交點為O，連接OF，分

42、別取AD，BC的中點N，M，連接EN，MN，F(xiàn)M，則ENAD，MN過點O，MNAB.因為AB平面ADE，所以MN平面ADE，因為EN平面ADE，所以MNEN.因為MNADN，MN，AD平面ABCD，所以EN平面ABCD.因為EFABON，EF1eq f(1,2)ABON，所以四邊形EFON為平行四邊形，所以OFEN，所以OF平面ABCD，所以OFBC.因為OMBC，OMOFO，OM，OF平面FOM，所以BC平面FOM，所以BCFM，所以OMF即為二面角FBCD的平面角，在RtFOM中，OFENeq r(3)，OM1，所以tanOMFeq f(OF,OM)eq r(3)，故二面角FBCD的大小為

43、60.(1)利用綜合法求空間線線角、線面角、二面角時要注意“作角、證明、計算”是一個完整的過程，缺一不可(2)斜線與平面所成的角，首先作出面的垂線，得出斜線在面內的射影，從而得出斜線與平面所成的角，轉化為直角三角形求解(3)空間角中的難點是二面角，作二面角的平面角的常用方法有：定義法：根據(jù)平面角的概念直接作，如二面角的棱是兩個等腰三角形的公共底邊，就可以取棱的中點；垂面法：過二面角棱上一點作棱的垂面，則垂面與二面角的兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角或其補角；垂線法：過二面角的一個半平面內一點A作另一個半平面所在平面的垂線，得到垂足B，再從垂足B向二面角的棱作垂線，垂足為C，這樣二面角

44、的棱就垂直于這兩個垂線所確定的平面ABC，連接AC，則AC也與二面角的棱垂直，ACB就是二面角的平面角或其補角，這樣就把問題歸結為解一個直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法二、核心素養(yǎng)提升例1(2018全國卷)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90，以AC為折痕將ACM折起，使點M到達點D的位置，且ABDA.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BPDQeq f(2,3)DA，求三棱錐QABP的體積解(1)證明：由已知可得BAC90，即ABAC.又ABDA，且ACDAA，AC，DA平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC

45、，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMABAC3，DA3eq r(2).又BPDQeq f(2,3)DA，所以BP2eq r(2).作QEAC，垂足為E，則QE綊eq f(1,3)DC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐QABP的體積為V三棱錐QABPeq f(1,3)QESABPeq f(1,3)1eq f(1,2)32eq r(2)sin451.例2(2022濟南模擬)如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，BAD45，AB2CD4，點E為AB的中點將ADE沿DE折起，使點A到達點P的位置，得到如圖2所示的四棱錐PEBCD，點M為

46、棱PB的中點(1)求證：PD平面MCE；(2)若平面PDE平面EBCD，求三棱錐MBCE的體積解(1)證明：在題圖1中，因為BEeq f(1,2)ABCD且BECD，所以四邊形EBCD是平行四邊形如圖，連接BD，交CE于點O，連接OM，所以點O是BD的中點，又點M為棱PB的中點，所以OMPD，因為PD平面MCE，OM平面MCE，所以PD平面MCE.(2)在題圖1中，因為四邊形EBCD是平行四邊形，所以DEBC，因為四邊形ABCD是等腰梯形，所以ADBC，所以ADDE，因為BAD45，所以ADDE.所以PDDE，又平面PDE平面EBCD，平面PDE平面EBCDDE，PD平面PDE，所以PD平面E

47、BCD.由(1)知OMPD，所以OM平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，因為AE2，所以ADDEeq r(2)，所以OMeq f(1,2)PDeq f(1,2)ADeq f(r(2),2)，SBCESADE1，所以V三棱錐MBCEeq f(1,3)SBCEOMeq f(r(2),6).解決平面圖形翻折問題的關鍵是抓住“折痕”，準確把握平面圖形翻折前后的兩個“不變”(1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關系不改變(2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關系不改變課時作業(yè)一、單項選擇題1已知m，n，l是直線，是平面，l，n，nl，m，則直線m與n的位置關系是()A異面B相交但不垂直C平行D相交且垂直

48、答案C解析因為，l，n，nl，所以n.又m，所以mn.2已知空間中兩平面，直線l，則“l(fā)”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若l且l，則；若l且，則l與平面的關系可能有l(wèi)，l，l，l是的斜線，“l(fā)”是“”的充分不必要條件3在下列四個正方體中，能得出ABCD的是()ABCD答案A解析如下圖：在中，BECD，AECD，BEAEE，CD平面ABE，AB平面ABE，ABCD，故正確；在中，CDAE，ABE是等邊三角形，AB與CD異面，且所成角為60，故錯誤；在中，CDBE，ABE45，AB與CD異面，且所成角為45，故錯誤；在中，CDBE，tanAB

49、Eeq f(AE,BE)eq r(2)，AB與CD異面，且不垂直，故錯誤故選A.4正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，F(xiàn)是線段A1B1的中點，則點F到平面ABC1D1的距離為()A.eq f(r(3),3)Beq f(r(2),2)Ceq r(2)Deq r(3)答案C解析如圖，連接A1D交AD1于點E，因為A1B1AB，A1B1平面ABC1D1，AB平面ABC1D1，所以A1B1平面ABC1D1，所以點F到平面ABC1D1的距離等于點A1到平面ABC1D1的距離，因為AB平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，所以A1DAB，因為A1DAD1，AD1ABA，所以A1D平面ABC1D1

50、，所以點A1到平面ABC1D1的距離等于A1E，因為正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，所以A1Eeq f(1,2)A1Deq f(1,2)2eq r(2)eq r(2)，所以點F到平面ABC1D1的距離為eq r(2).故選C.5如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構成三棱錐ABCD.則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD，又平面ABD平

51、面BDC，且平面ABD平面BDCBD，故CD平面ABD，則CDAB，又ADAB，故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC.故選D.6在三棱錐PABC中，D為BC的中點，PA底面ABC，ABAC，AB4，AC2，若PD與底面ABC所成角為45，則三棱錐PABC的體積為()A.eq r(5)Beq f(4r(5),3)C4eq r(5)Deq f(5r(5),4)答案B解析在三棱錐PABC中，D為BC的中點，PA底面ABC，ABAC，AB4，AC2，所以BCeq r(AB2AC2)2eq r(5)，ADeq f(1,2)BCeq r(5)，因為PA底面ABC，所以AD即為PD在平面ABC內的射影

52、，即PDA為PD與底面ABC所成角，又PD與底面ABC所成角為45，所以PDA45，所以PAADeq r(5)，所以VPABCeq f(1,3)SABCPAeq f(1,3)eq f(1,2)42eq r(5)eq f(4r(5),3).故選B.7. 如圖，在矩形ABCD中，AB2AD2a，E是AB的中點，將ADE沿DE翻折至A1DE的位置，使三棱錐A1CDE的體積取得最大值，若此時三棱錐A1CDE外接球的表面積為16，則a()A2Beq r(2)C2eq r(2)D4答案A解析當平面A1DE平面CDE時，三棱錐A1CDE的體積取得最大值，因為DCAB2AD2a，E是AB的中點，所以A1DA1

53、Ea，DECEeq r(2)a，則DC2DE2EC2，所以DEC為等腰直角三角形，且DEC90，即ECDE.因為平面A1DE平面CDE，平面A1DE平面CDEDE，CE平面CDE，所以CE平面A1DE.又DA1平面A1DE，所以DA1CE.又DA1A1E，CEA1EE，所以DA1平面A1EC，所以DA1A1C.取DC的中點O，連接OA1，OE.在RtDEC中，OEeq f(1,2)CDa，在RtDA1C中，OA1eq f(1,2)CDa，則有OEOA1OCODa，即O為外接球的球心，則球的半徑為a，所以164a2，即a2.故選A.8已知矩形ABCD，AB1，AD2，點E為BC邊的中點，將ABE

54、沿AE翻折，得到四棱錐BAECD，且平面BAE平面AECD，則四面體BECD的外接球的表面積為()A.eq f(7,2)B4Ceq f(9,2)D5答案B解析如圖所示，取AE，DE的中點分別為G，H，連接BG，作HIBG，且HIBG，所以四邊形BGHI為矩形，且HGBI1，設外接球球心為O，半徑為R，因為ABBE，AGGE，所以BGAE，由平面BAE平面AECD，BG平面BAE，易知BG平面AECD，則有IH平面DEC，因為HDHE，ECD90，所以H是RtCED的外心，且易知球心O在IH上，連接OB，OE，因為AB1，AD2，所以BGIHeq f(r(2),2)，EHeq f(1,2)EDe

55、q f(1,2)eq r(EC2CD2)eq f(r(2),2)，且OE2OH2EH2OB2OI2BI2R2，設OHteq blc(rc)(avs4alco1(0tf(r(2),2)，則有R2t2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)t)21，解得teq f(r(2),2)，所以R1，此時點I與點O重合，外接球表面積為4R24.故選B.二、多項選擇題9. 如圖，AC為圓O的直徑，PCA45，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點A，C重合的點，ASPC于S，ANPB于N，則下列說法正確的是()A平面ANS平面PBCB平面ANS平面PABC平面PAB平

56、面PBCD平面ABC平面PAC答案ACD解析PA平面ABC，PA平面PAC，平面ABC平面PAC，故D正確；B為圓周上不與A，C重合的點，AC為直徑，BCAB，PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，又ABPAA，BC平面PAB，又BC平面PBC，平面PAB平面PBC，故C正確；ABBC，BCPA，又PAABA，BC平面PAB，BCAN，又ANPB，PBBCB，AN平面PBC，又AN平面ANS，平面ANS平面PBC，故A正確；因無法判斷PBAS(或PBNS)，故B不正確故選ACD.10. (2021濟南模擬)如圖，點P在正方體ABCDA1B1C1D1的面對角線BC1上運動，則下列結論正確的是

57、()A三棱錐AD1PC的體積不變BA1P平面ACD1CDPBC1D平面PDB1平面ACD1答案ABD解析對于A，連接AC，AD1，D1C，AP，D1P，BC1，PC，由題意知AD1BC1，從而BC1平面ACD1，故BC1上任意一點到平面ACD1的距離均相等，所以以P為頂點，面ACD1為底面，則三棱錐AD1PC的體積不變，故A正確；對于B，連接A1B，A1P，A1C1，A1C1綊AC，由A項知，AD1BC1，所以平面BA1C1平面ACD1，從而由線面平行的定義可得，A1P平面ACD1，故B正確；對于C，由于DC平面BCC1B1，所以DCBC1，若DPBC1，則BC1平面DCP，所以BC1PC，則

58、P為中點，與P為動點矛盾，故C錯誤；對于D，連接DB1，PD，PB1，由DB1AC且DB1AD1，可得DB1平面ACD1，從而由面面垂直的判定定理知，平面PDB1平面ACD1，故D正確三、填空題11已知圓錐的頂點為P，母線PA，PB所成角的余弦值為eq f(3,4)，PA與圓錐底面所成的角為60，若PAB的面積為eq r(7)，則該圓錐的體積為_答案eq f(2r(6),3)解析作示意圖如圖所示，設底面半徑為r，PA與圓錐底面所成角為60，則PAO60，則POeq r(3)r，PAPB2r，又PA，PB所成角的余弦值為eq f(3,4)，則sinAPBeq r(1blc(rc)(avs4alc

59、o1(f(3,4)2)eq f(r(7),4)，則SPABeq f(1,2)PAPBsinAPBeq f(1,2)2r2req f(r(7),4)eq r(7)，解得req r(2)，故圓錐的體積為eq f(1,3)(eq r(2)2eq r(6)eq f(2r(6),3).12直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知ABC120，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且AA14，E為線段BC上的動點，當BE_時，A1E與底面ABCD所成的角為60.答案eq f(r(21),3)1解析如圖所示，連接AE，因為AA1底面ABCD，所以A1EA為A1E與底面ABCD所成的角，即A1EA60.又因為AA14，所以eq f(4,AE)tan60eq r(3)，解得AEeq f(4r(3),3).設BEm(0m2)，在ABE中，AB2，ABE120，AEeq f(4r(3),3)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(4r(3),3)222m222mcos120，整理得3m26m40，解得meq f(r(21),3)1.13在四面體ABCD中，DA平面ABC，ABAC，AB4，AC3，AD1，E為棱BC上一點，且平面ADE平面BCD，則DE_.答案eq f(13,5)解析