2023高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)(名校內(nèi)參版) 第八章 8.5空間直線、平面的垂直（Word學(xué)案）

1、85空間直線、平面的垂直(教師獨(dú)具內(nèi)容)1從基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸納出以下性質(zhì)定理和判定定理：(1)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行(2)兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直(3)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直(4)如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直2以立體幾何的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，并能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些關(guān)于空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題3重

2、點(diǎn)提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1本考點(diǎn)屬于高考必考內(nèi)容，命題的關(guān)注點(diǎn)在于垂直關(guān)系的證明，難點(diǎn)在于相關(guān)判定定理與性質(zhì)定理的正確運(yùn)用直線、平面垂直的判定與性質(zhì)常與直線、平面平行的判定與性質(zhì)融合在一起綜合考查既可以以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，也可以以解答題的形式呈現(xiàn)2預(yù)測(cè)2023年高考將以直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)為重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定及其應(yīng)用，題型為解答題中的一問，或與平行相結(jié)合進(jìn)行命題的判斷(教師獨(dú)具內(nèi)容)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面內(nèi)的eq o(,sup3(01)任意一條直線都垂直，則直線l與平面垂直(2)判定定理與

3、性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條eq o(,sup3(02)相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq o(,sup3(03)eq blc rc(avs4alco1(la,lb,abO,a，b)eq avs4al(l)性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線eq o(,sup3(04)平行eq o(,sup3(05)eq blc rc(avs4alco1(a,b)eq avs4al(ab)2直線與平面所成的角(1)定義一條直線l與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面eq o(,sup3(01)垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)A叫做斜足過斜線上斜足以外的一

4、點(diǎn)P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影平面的一條斜線和它在平面上的eq o(,sup3(02)射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角若一條直線垂直于平面，它們所成的角是eq o(,sup3(03)90，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0.(2)范圍：eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).3平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念二面角：從一條直線出發(fā)的eq o(,sup3(01)兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面二面角的平面角：在二面角l的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半

5、平面和內(nèi)分別作eq o(,sup3(02)垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角二面角的平面角的范圍：eq o(,sup3(03)0，(2)平面與平面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是eq o(,sup3(04)直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直(3)平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的eq o(,sup3(05)垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq blc rc(avs4alco1(l,l)eq avs4al()性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的eq o(,su

6、p3(06)交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq blc rc(avs4alco1(,l,a,la)l4常用結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行()(2)若，aa.()(3)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()答案(1)(2)(3)2

7、下列命題中不正確的是()A如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面B如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l答案A解析根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，知A不正確，直線l可能平行平面，也可能在平面內(nèi)，也可能與平面相交3設(shè)平面與平面相交于直線m，直線a在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，且bm，則“”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若，因?yàn)閙，b，bm，所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b，又a，所以ab；反過來，當(dāng)am時(shí)，因?yàn)閎m，一定有ba，但不能保證b，所以

8、不能推出.4(多選)若平面平面，且l，則下列命題中正確的是()A平面內(nèi)的直線必垂直于平面內(nèi)的任意一條直線B平面內(nèi)的已知直線必垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線C平面內(nèi)的任一條直線必垂直于平面D過平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面答案BD解析A項(xiàng)，如圖，a，b，且a，b與l都不垂直，則a，b不一定垂直，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，如圖，a，作bl，則b，則內(nèi)所有與b平行的直線都與a垂直，故B正確；C項(xiàng)，如圖，a，但a與l不垂直，則a與不垂直，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，如圖，由兩平面垂直的性質(zhì)定理可知D正確故選BD.5在三棱錐PABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心；

9、(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1) 如圖，連接OA，OB，OC，PO平面ABC，在RtPOA中，OA2PA2PO2，同理OB2PB2PO2，OC2PC2PO2.又PAPBPC，故OAOBOC，點(diǎn)O是ABC的外心(2)由PAPB，PAPC可知PA平面PBC，PABC，又POBC，BC平面PAO，AOBC，同理BOAC，COAB.故點(diǎn)O是ABC的垂心1(多選)(2021新高考卷)在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA11，點(diǎn)P滿足eq o(BP,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BB1,sup6()，其中0,1，0,1，則()

10、A當(dāng)1時(shí)，AB1P的周長(zhǎng)為定值B當(dāng)1時(shí)，三棱錐PA1BC的體積為定值C當(dāng)eq f(1,2)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1PBPD當(dāng)eq f(1,2)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B平面AB1P答案BD解析由點(diǎn)P滿足eq o(BP,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BB1,sup6()，可知點(diǎn)P在正方形BCC1B1內(nèi)如圖.對(duì)于A，當(dāng)1時(shí)，可知點(diǎn)P在線段CC1(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)如圖，在AB1P中，因?yàn)锳B1eq r(2)，APeq r(12)，B1Peq r(112)，所以AB1P的周長(zhǎng)LAB1APB1P不為定值，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)1時(shí)，可知點(diǎn)P在線段B1C1(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)

11、如圖，由圖可知，線段B1C1平面A1BC，即點(diǎn)P到平面A1BC的距離為定值，又A1BC的面積是定值，所以三棱錐PA1BC的體積為定值，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)eq f(1,2)時(shí)，分別取線段BC，B1C1的中點(diǎn)為D，D1，可知點(diǎn)P在線段DD1(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)如圖，很顯然當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D或D1重合時(shí)，均滿足A1PBP，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，解法一：當(dāng)eq f(1,2)時(shí)，分別取線段BB1，CC1的中點(diǎn)為M，N，可知點(diǎn)P在線段MN(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)如圖，設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)K，連接PK，要使A1B平面AB1P，需A1BKP，所以點(diǎn)P只能是棱CC1的中點(diǎn)N，所以D正確解法二：當(dāng)eq f(1,2)時(shí)，分別

12、取線段BB1，CC1的中點(diǎn)為M，N，可知點(diǎn)P在線段MN(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則B(0,1,0)，B1(0,1,1)，A1eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，1)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2).所以eq o(A1B,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，1)，eq o(B1P,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2).若A1B平面AB1P，則A1BB1P，所以eq o(A1B,sup6()eq o

13、(B1P,sup6()0，即eq f(1,2)eq f(1,2)0.解得1.所以只存在一個(gè)點(diǎn)P使得A1B平面AB1P，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，所以D正確故選BD.2(2020新高考卷) 日晷是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為()A20B40C50D90答案B解析畫出截面圖如圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線，l是點(diǎn)A處的水平面的截

14、線，依題意可知OAl，AB是晷針?biāo)谥本€，m是晷面的截線，依題意，晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得mCD，根據(jù)線面垂直的定義可得ABm.由于AOC40，mCD，所以O(shè)AGAOC40，由于OAGGAEBAEGAE90，所以BAEOAG40，即晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為BAE40.故選B.3(2021全國(guó)乙卷)如圖，四棱錐PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，且PBAM.(1)證明：平面PAM平面PBD；(2)若PDDC1，求四棱錐PABCD的體積解(1)證明：PD平面ABCD，AM平面ABCD，PDAM.又PBAM，PBPDP，PB平面PBD，

15、PD平面PBD，AM平面PBD.又AM平面PAM，平面PAM平面PBD.(2)四邊形ABCD是矩形，M為BC的中點(diǎn)，BMeq f(1,2)AD且ABDC1.AM平面PBD，BD平面PBD，AMBD.MADADB90，又BAMMAD90，BAMADB，BAMADB，eq f(BM,AB)eq f(AB,AD)，將式代入，解得ADeq r(2).S矩形ABCDADDCeq r(2)1eq r(2)，VPABCDeq f(1,3)S矩形ABCDPDeq f(1,3)eq r(2)1eq f(r(2),3).4. (2021全國(guó)甲卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，ABBC

16、2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，BFA1B1.(1)求三棱錐FEBC的體積；(2)已知D為棱A1B1上的點(diǎn)，證明：BFDE.解(1)如圖，取BC的中點(diǎn)為M，連接EM.由已知可得EMAB，ABBC2，CF1，EMeq f(1,2)AB1，ABA1B1，所以EMA1B1，由BFA1B1得EMBF，又EMCF，BFCFF，所以EM平面BCF，故V三棱錐FEBCV三棱錐EFBCeq f(1,3)eq f(1,2)BCCFEMeq f(1,3)eq f(1,2)211eq f(1,3).(2)證明：連接A1E，B1M，由(1)知EMA1B1，所以DE在平面EMB1A1內(nèi)在正方形CC1B1B中，由于F

17、，M分別是CC1，BC的中點(diǎn)，所以由平面幾何知識(shí)可得BFB1M，又BFA1B1，B1MA1B1B1，所以BF平面EMB1A1，又DE平面EMB1A1，所以BFDE.5. (2019全國(guó)卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BEEC1.(1)證明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱錐EBB1C1C的體積解(1)證明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面EB1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由題設(shè)知RtABERtA1B

18、1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如圖，作EFBB1，垂足為F，則EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱錐EBB1C1C的體積Veq f(1,3)36318.一、基礎(chǔ)知識(shí)鞏固考點(diǎn)垂直關(guān)系的基本問題例1，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，則下列命題中錯(cuò)誤的是()A如果mn，m，n，那么B如果m，那么mC如果l，m，m，那么mlD如果mn，n，m，那么答案D解析在A中，如果mn，m，n，那么由面面垂直的判定定理得，故A正確；在B中，如果m，那么m，故B正確；在C中，如果l，m，m，那么由線面平行的性質(zhì)定理得ml，故C正確；在D中，如果mn，n，m，那么與相交或平行，故

19、D錯(cuò)誤例2(多選)如圖，在三棱錐ABCD中，ACAB，BCBD，平面ABC平面BCD.下列結(jié)論正確的是()AACBDB平面ABC平面ABDC平面ACD平面ABDDCD平面ABD答案ABC解析因?yàn)槠矫鍭BC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，BCBD，所以BD平面ABC，又AC平面ABC，所以BDAC，故A正確；因?yàn)锽D平面ABC，BD平面ABD，所以平面ABD平面ABC，故B正確；因?yàn)锳CAB，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ACD，所以平面ACD平面ABD，故C正確；若CD平面ABD，則CDBD，與BCBD矛盾，故CD與平面ABD不垂直，故D錯(cuò)誤1.已知平面，直線n，直

20、線m，則下列命題正確的是()AmnBmnCmDmnm答案C解析由平面，直線n，直線m，知：對(duì)于A，則m，n平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，則m，n相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，m，則由面面垂直的判定定理得，故C正確；對(duì)于D，mn，則m與相交、平行或m，故D錯(cuò)誤2在下列四個(gè)正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G均為所在棱的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)，G作正方體的截面，則在各個(gè)正方體中，直線BD1與平面EFG不垂直的是()答案D解析如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q均為所在棱的中點(diǎn)，易知E，F(xiàn)，G，M，N，Q六個(gè)點(diǎn)共面，直線BD1與平面EFMNQG垂直，并且選項(xiàng)A，B，

21、C中的平面與這個(gè)平面重合，不滿足題意，只有選項(xiàng)D中的直線BD1與平面EFG不垂直，滿足題意與線面垂直關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷方法(1)借助幾何圖形來說明線面關(guān)系(2)尋找反例，只要存在反例，結(jié)論就不正確(3)反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況，必要時(shí)要運(yùn)用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單說明考點(diǎn)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例3如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)求證：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.又A

22、E平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD，又PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.例4如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MNAB，MNPC.證明：AEMN.證明AB平面PAD，AE平面PAD，AEAB，又ABCD，AECD.ADA

23、P，E是PD的中點(diǎn)，AEPD.又CDPDD，CD，PD平面PCD，AE平面PCD.MNAB，ABCD，MNCD.又MNPC，PCCDC，PC，CD平面PCD，MN平面PCD，AEMN.3.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)在BB1上(1)求證：C1D平面AA1B1B；(2)從下列三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可使AB1平面C1DF？并證明你的結(jié)論F為BB1的中點(diǎn)；AB1eq r(3)；AA1eq r(2).解(1)證明：ABCA1B1C1是直三棱柱，A1C1B1C11，且A1C1B190.又D是A1B1的中點(diǎn)，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C

24、1D平面A1B1C1，AA1C1D，又A1B1AA1A1，C1D平面AA1B1B.(2) 選能證明AB1平面C1DF.連接DF，A1B，DFA1B，在ABC中，ACBC1，ACB90，則ABeq r(2)，又AA1eq r(2)，則A1BAB1，DFAB1.C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1.DFC1DD，DF，C1D平面C1DF，AB1平面C1DF.4. 如圖，l，PA，PB，垂足分別為A，B，a，aAB.求證：al.證明PA，l，PAl.同理PBl.PAPBP，PA，PB平面PAB，l平面PAB.又PA，a，PAa.aAB，PAABA，PA，AB平面PAB，a平面

25、PAB.al.1證明直線和平面垂直的常用方法(1)判定定理(2)垂直于平面的傳遞性(ab，ab)(3)面面平行的性質(zhì)(a，a)(4)面面垂直的性質(zhì)(，a，la，ll)2證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想3垂直關(guān)系里線線垂直是基礎(chǔ)eq avs4al(線線垂直,哪里找)eq blcrc (avs4alco1(勾股定理逆定理,線面垂直則垂直面內(nèi)所有線,等腰三角形三線合一,矩形鄰邊垂直,菱形對(duì)角線垂直)4垂直關(guān)系中線面垂直是重點(diǎn)(1)eq avs4al(線面垂直,哪里找)eq blcrc (avs4alco1(

26、垂直兩條相交線,垂面里面作垂線,直正棱柱的側(cè)棱是垂線,正棱錐的頂點(diǎn)與底面的中心的連線是垂線)(2)eq avs4al(線垂面,有何用)eq blcrc (avs4alco1(垂直里面所有線證線線垂直,過垂線作垂面證明面面垂直)考點(diǎn)平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例5在矩形ABCD中，AB2AD4，E是AB的中點(diǎn)，沿DE將ADE折起，得到如圖所示的四棱錐PBCDE.(1)若平面PDE平面BCDE，求四棱錐PBCDE的體積；(2)若PBPC，求證：平面PDE平面BCDE.解(1) 如圖所示，取DE的中點(diǎn)M，連接PM，由題意知，PDPE，PMDE，又平面PDE平面BCDE，平面PDE平面BCDEDE，PM

27、平面PDE，PM平面BCDE，即PM為四棱錐PBCDE的高在等腰直角三角形PDE中，PEPDAD2，PMeq f(1,2)DEeq r(2)，而梯形BCDE的面積Seq f(1,2)(BECD)BCeq f(1,2)(24)26，四棱錐PBCDE的體積Veq f(1,3)PMSeq f(1,3)eq r(2)62eq r(2).(2)證明：取BC的中點(diǎn)N，連接PN，MN，則BCMN，PBPC，BCPN，MNPNN，MN，PN平面PMN，BC平面PMN，PM平面PMN，BCPM，由(1)知，PMDE，又BC，DE平面BCDE，且BC與DE是相交的，PM平面BCDE，PM平面PDE，平面PDE平面

28、BCDE.5. 如圖，在四面體PABC中，PAPCABBC5，AC6，PB4eq r(2)，線段AC，PA的中點(diǎn)分別為O，Q.(1)求證：平面PAC平面ABC；(2)求四面體POBQ的體積解(1)證明：PAPC，O是AC的中點(diǎn)，POAC.在RtPAO中，PA5，OA3，由勾股定理，得PO4.ABBC，O是AC的中點(diǎn)，BOAC.在RtBAO中，AB5，OA3，由勾股定理，得BO4.PO4，BO4，PB4eq r(2)，PO2BO2PB2，POBO.BOACO，BO，AC平面ABC，PO平面ABC.PO平面PAC，平面PAC平面ABC.(2)由(1)，可知平面PAC平面ABC.平面ABC平面PAC

29、AC，BOAC，BO平面ABC，BO平面PAC，VPOBQVBPOQeq f(1,3)SPOQBOeq f(1,3)eq f(1,2)SPAOBOeq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,2)3444.四面體POBQ的體積為4.6. 如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，CDAD，平面PAD平面ABCD，APD為等腰直角三角形，PAPD.求證：PBPD.證明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CDAD，CD平面PAD.又CDAB，AB平面PAD.PD平面PAD，PDAB，又APD為等腰直角三角形，PDPA，又PAABA，PA，AB平面PAB，PD平面P

30、AB，又PB平面PAB，PBPD.1判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a，a)2證面面垂直的思路(1)關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個(gè)面這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮(2)條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理，如已知兩平面互相垂直，我們就要聯(lián)系到兩平面互相垂直的性質(zhì)定理(3)在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計(jì)算的方式(如勾股定理)證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直考點(diǎn)平行與垂直的探索性問題例6如圖，在四棱錐SABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ABC60，SAD為正三角形

31、側(cè)面SAD底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，BS的中點(diǎn)(1)求證：AF平面SEC；(2)求證：平面ASB平面CSB；(3)在棱BS上是否存在一點(diǎn)M，使得BD平面MAC？若存在，求eq f(BM,BS)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)證明：取SC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，F(xiàn)，G分別是BS，SC的中點(diǎn)，F(xiàn)GBC，F(xiàn)Geq f(1,2)BC.四邊形ABCD是菱形，E是AD的中點(diǎn)，AEBC，AEeq f(1,2)BC，F(xiàn)GAE，F(xiàn)GAE，四邊形AFGE是平行四邊形，AFEG，又AF平面SEC，EG平面SEC，AF平面SEC.(2) 證明：SAD是等邊三角形，E是AD的中點(diǎn)，SEAD，四邊形ABCD是

32、菱形，ABC60，ACD是等邊三角形，又E是AD的中點(diǎn)，ADCE，又SECEE，SE，CE平面SEC，AD平面SEC，又EG平面SEC，ADEG，又四邊形AFGE是平行四邊形，四邊形AFGE是矩形，AFFG，又SAAB，F(xiàn)是BS的中點(diǎn)，AFBS，又FGBSF，F(xiàn)G平面CSB，BS平面CSB，AF平面CSB，又AF平面ASB，平面ASB平面CSB.(3)存在點(diǎn)M滿足題意假設(shè)在棱BS上存在點(diǎn)M，使得BD平面MAC，連接MO，BE，則BDOM，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ABC60，SAD為正三角形，BEeq r(7)，SEeq r(3)，BD2OB2eq r(3)，SD2，SEAD，側(cè)面SAD

33、底面ABCD，側(cè)面SAD底面ABCDAD，SE平面SAD，SE平面ABCD，SEBE，BSeq r(SE2BE2)eq r(10)，cosSBDeq f(BS2BD2SD2,2BSBD)eq f(3r(30),20)，eq f(OB,BM)eq f(3r(30),20)，BMeq f(2r(10),3)，eq f(BM,BS)eq f(2,3).7. (多選)如圖，在直角梯形ABCD中，BCCD，AECD，且E為CD的中點(diǎn)，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是()A不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN平面CDEB不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi)

34、)，都有MNAEC不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MNABD在折起過程中，一定存在某個(gè)位置，使CEAD答案ABD解析折疊后如圖所示對(duì)于A，取AE的中點(diǎn)P，連接PM，PN，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，PNABCE，PMDE，又PMPNP，且PM平面PMN，PN平面PMN，DECEE，平面PMN平面CDE，故MN平面CDE，故A正確；對(duì)于B，由已知，AEDE，AECE，且CEDEE，CE平面CDE，DE平面CDE，AE平面CDE，又平面PMN平面CDE，AE平面PMN，則由線面垂直的性質(zhì)可知AEMN，故B正確；對(duì)于C，ABPN，MNPNN，MN與AB為異面直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)CA

35、ED為直二面角時(shí)，易證CE平面ADE，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知CEAD，故D正確8. 如圖，在三棱臺(tái)ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC.(1)設(shè)平面ACE平面DEFa，求證：DFa；(2)若EFCF2BC，試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG平面CDE？若存在，確定G點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)證明：在三棱臺(tái)ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE，DF平面ACE.又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa，DFa.(2) 線段BE上存在點(diǎn)G，且BGeq f(1,3)BE，使得平面DFG平面CDE.證明如下：取CE的中點(diǎn)O，連接FO并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G，交C

36、B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接GD，CFEF，GFCE.在三棱臺(tái)ABCDEF中，ABBC，DEEF.由CF平面DEF，得CFDE.又CFEFF，CF，EF平面CBEF，DE平面CBEF，GF平面CBEF，DEGF.CEDEE，CE平面CDE，DE平面CDE，GF平面CDE.又GF平面DFG，平面DFG平面CDE.O為CE的中點(diǎn)，EFCF2BC，由平面幾何知識(shí)易證HOCFOE，HBBCeq f(1,2)EF.由HGBFGE，可知eq f(BG,GE)eq f(HB,EF)eq f(1,2)，即BGeq f(1,3)BE.1解決平行與垂直中探索性問題的主要途徑(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明(

37、2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性2涉及點(diǎn)的位置的探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)取點(diǎn)考點(diǎn)幾何法求直線與平面所成的角與二面角例7如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)(1)證明：PBC是直角三角形；(2)若PAAB2，且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為eq r(2)時(shí)，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值解(1)證明：因?yàn)锳B是O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)，所以BCAC.因?yàn)镻A平面ABC，所以BCPA，又PAACA，PA，AC平面PAC，所以B

38、C平面PAC，所以BCPC，所以PBC是直角三角形(2) 如圖，過A作AHPC于H，連接BH.因?yàn)锽C平面PAC，AH平面PAC，所以BCAH，又PCBCC，PC，BC平面PBC，所以AH平面PBC，所以ABH是直線AB與平面PBC所成的角因?yàn)镻A平面ABC，所以PCA是PC與平面ABC所成的角，因?yàn)閠anPCAeq f(PA,AC)eq r(2)，又PA2，所以ACeq r(2)，所以在RtPAC中，AHeq f(PAAC,r(PA2AC2)eq f(2r(3),3)，所以在RtABH中，sinABHeq f(AH,AB)eq f(f(2r(3),3),2)eq f(r(3),3)，即直線A

39、B與平面PBC所成角的正弦值為eq f(r(3),3).9. 如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PBC為正三角形，M，N分別為PD，BC的中點(diǎn)，PNAB.(1)求三棱錐PAMN的體積；(2)求二面角MAND的正切值解(1)PBPC，N為BC的中點(diǎn)，PNBC，又PNAB，ABBCB，AB，BC平面ABCD，PN平面ABCD，ABBCPBPC2，PNeq r(3)，M為PD的中點(diǎn)，VPAMNVDAMNVMADNeq f(1,2)VPADNeq f(1,4)VPABCDeq f(1,4)eq f(1,3)22eq r(3)eq f(r(3),3).(2) 如圖，取DN的中

40、點(diǎn)E，連接ME，M，E分別為PD，DN的中點(diǎn)，MEPN，PN平面ABCD，ME平面ABCD，MEAN，過E作EQAN，垂足為點(diǎn)Q，連接MQ，又MEAN，EQMEE，AN平面MEQ，ANMQ，MQE即為二面角MAND的平面角，tanMQEeq f(ME,QE)，PNeq r(3)，MEeq f(r(3),2)，ANDNeq r(5)，AD2，QEeq f(1,2)eq f(22,r(5)eq f(2r(5),5)，tanMQEeq f(r(15),4).即二面角MAND的正切值為eq f(r(15),4).10. (2021廈門模擬)如圖，在五面體ABCDEF中，AB平面ADE，EF平面ADE，

41、ABCD2.(1)求證：ABCD；(2)若ADAE2，EF1，且二面角EDCA的大小為60，求二面角FBCD的大小解(1)證明：因?yàn)锳B平面ADE，EF平面ADE，所以ABEF，因?yàn)锳B平面CDEF，EF平面CDEF，所以AB平面CDEF.因?yàn)槠矫鍯DEF平面ABCDCD，AB平面ABCD，所以ABCD.(2)因?yàn)锳B平面ADE，ABCD，所以CD平面ADE，因?yàn)锳D，DE平面ADE，所以CDAD，CDDE，所以ADE為二面角EDCA的平面角，即ADE60，所以ADE為等邊三角形因?yàn)锳BCD，ABCDAD，CDAD，所以四邊形ABCD為正方形連接AC，BD，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OF，分

42、別取AD，BC的中點(diǎn)N，M，連接EN，MN，F(xiàn)M，則ENAD，MN過點(diǎn)O，MNAB.因?yàn)锳B平面ADE，所以MN平面ADE，因?yàn)镋N平面ADE，所以MNEN.因?yàn)镸NADN，MN，AD平面ABCD，所以EN平面ABCD.因?yàn)镋FABON，EF1eq f(1,2)ABON，所以四邊形EFON為平行四邊形，所以O(shè)FEN，所以O(shè)F平面ABCD，所以O(shè)FBC.因?yàn)镺MBC，OMOFO，OM，OF平面FOM，所以BC平面FOM，所以BCFM，所以O(shè)MF即為二面角FBCD的平面角，在RtFOM中，OFENeq r(3)，OM1，所以tanOMFeq f(OF,OM)eq r(3)，故二面角FBCD的大小為

43、60.(1)利用綜合法求空間線線角、線面角、二面角時(shí)要注意“作角、證明、計(jì)算”是一個(gè)完整的過程，缺一不可(2)斜線與平面所成的角，首先作出面的垂線，得出斜線在面內(nèi)的射影，從而得出斜線與平面所成的角，轉(zhuǎn)化為直角三角形求解(3)空間角中的難點(diǎn)是二面角，作二面角的平面角的常用方法有：定義法：根據(jù)平面角的概念直接作，如二面角的棱是兩個(gè)等腰三角形的公共底邊，就可以取棱的中點(diǎn)；垂面法：過二面角棱上一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面角或其補(bǔ)角；垂線法：過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)A作另一個(gè)半平面所在平面的垂線，得到垂足B，再從垂足B向二面角的棱作垂線，垂足為C，這樣二面角

44、的棱就垂直于這兩個(gè)垂線所確定的平面ABC，連接AC，則AC也與二面角的棱垂直，ACB就是二面角的平面角或其補(bǔ)角，這樣就把問題歸結(jié)為解一個(gè)直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法二、核心素養(yǎng)提升例1(2018全國(guó)卷)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90，以AC為折痕將ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABDA.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BPDQeq f(2,3)DA，求三棱錐QABP的體積解(1)證明：由已知可得BAC90，即ABAC.又ABDA，且ACDAA，AC，DA平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC

45、，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMABAC3，DA3eq r(2).又BPDQeq f(2,3)DA，所以BP2eq r(2).作QEAC，垂足為E，則QE綊eq f(1,3)DC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐QABP的體積為V三棱錐QABPeq f(1,3)QESABPeq f(1,3)1eq f(1,2)32eq r(2)sin451.例2(2022濟(jì)南模擬)如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，BAD45，AB2CD4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)將ADE沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，得到如圖2所示的四棱錐PEBCD，點(diǎn)M為

46、棱PB的中點(diǎn)(1)求證：PD平面MCE；(2)若平面PDE平面EBCD，求三棱錐MBCE的體積解(1)證明：在題圖1中，因?yàn)锽Eeq f(1,2)ABCD且BECD，所以四邊形EBCD是平行四邊形如圖，連接BD，交CE于點(diǎn)O，連接OM，所以點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，又點(diǎn)M為棱PB的中點(diǎn)，所以O(shè)MPD，因?yàn)镻D平面MCE，OM平面MCE，所以PD平面MCE.(2)在題圖1中，因?yàn)樗倪呅蜤BCD是平行四邊形，所以DEBC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，所以ADBC，所以ADDE，因?yàn)锽AD45，所以ADDE.所以PDDE，又平面PDE平面EBCD，平面PDE平面EBCDDE，PD平面PDE，所以PD平面E

47、BCD.由(1)知OMPD，所以O(shè)M平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，因?yàn)锳E2，所以ADDEeq r(2)，所以O(shè)Meq f(1,2)PDeq f(1,2)ADeq f(r(2),2)，SBCESADE1，所以V三棱錐MBCEeq f(1,3)SBCEOMeq f(r(2),6).解決平面圖形翻折問題的關(guān)鍵是抓住“折痕”，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的兩個(gè)“不變”(1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變(2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1已知m，n，l是直線，是平面，l，n，nl，m，則直線m與n的位置關(guān)系是()A異面B相交但不垂直C平行D相交且垂直

48、答案C解析因?yàn)?，l，n，nl，所以n.又m，所以mn.2已知空間中兩平面，直線l，則“l(fā)”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若l且l，則；若l且，則l與平面的關(guān)系可能有l(wèi)，l，l，l是的斜線，“l(fā)”是“”的充分不必要條件3在下列四個(gè)正方體中，能得出ABCD的是()ABCD答案A解析如下圖：在中，BECD，AECD，BEAEE，CD平面ABE，AB平面ABE，ABCD，故正確；在中，CDAE，ABE是等邊三角形，AB與CD異面，且所成角為60，故錯(cuò)誤；在中，CDBE，ABE45，AB與CD異面，且所成角為45，故錯(cuò)誤；在中，CDBE，tanAB

49、Eeq f(AE,BE)eq r(2)，AB與CD異面，且不垂直，故錯(cuò)誤故選A.4正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，F(xiàn)是線段A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面ABC1D1的距離為()A.eq f(r(3),3)Beq f(r(2),2)Ceq r(2)Deq r(3)答案C解析如圖，連接A1D交AD1于點(diǎn)E，因?yàn)锳1B1AB，A1B1平面ABC1D1，AB平面ABC1D1，所以A1B1平面ABC1D1，所以點(diǎn)F到平面ABC1D1的距離等于點(diǎn)A1到平面ABC1D1的距離，因?yàn)锳B平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，所以A1DAB，因?yàn)锳1DAD1，AD1ABA，所以A1D平面ABC1D1

50、，所以點(diǎn)A1到平面ABC1D1的距離等于A1E，因?yàn)檎襟wABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，所以A1Eeq f(1,2)A1Deq f(1,2)2eq r(2)eq r(2)，所以點(diǎn)F到平面ABC1D1的距離為eq r(2).故選C.5如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD.則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD，又平面ABD平

51、面BDC，且平面ABD平面BDCBD，故CD平面ABD，則CDAB，又ADAB，故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC.故選D.6在三棱錐PABC中，D為BC的中點(diǎn)，PA底面ABC，ABAC，AB4，AC2，若PD與底面ABC所成角為45，則三棱錐PABC的體積為()A.eq r(5)Beq f(4r(5),3)C4eq r(5)Deq f(5r(5),4)答案B解析在三棱錐PABC中，D為BC的中點(diǎn)，PA底面ABC，ABAC，AB4，AC2，所以BCeq r(AB2AC2)2eq r(5)，ADeq f(1,2)BCeq r(5)，因?yàn)镻A底面ABC，所以AD即為PD在平面ABC內(nèi)的射影

52、，即PDA為PD與底面ABC所成角，又PD與底面ABC所成角為45，所以PDA45，所以PAADeq r(5)，所以VPABCeq f(1,3)SABCPAeq f(1,3)eq f(1,2)42eq r(5)eq f(4r(5),3).故選B.7. 如圖，在矩形ABCD中，AB2AD2a，E是AB的中點(diǎn)，將ADE沿DE翻折至A1DE的位置，使三棱錐A1CDE的體積取得最大值，若此時(shí)三棱錐A1CDE外接球的表面積為16，則a()A2Beq r(2)C2eq r(2)D4答案A解析當(dāng)平面A1DE平面CDE時(shí)，三棱錐A1CDE的體積取得最大值，因?yàn)镈CAB2AD2a，E是AB的中點(diǎn)，所以A1DA1

53、Ea，DECEeq r(2)a，則DC2DE2EC2，所以DEC為等腰直角三角形，且DEC90，即ECDE.因?yàn)槠矫鍭1DE平面CDE，平面A1DE平面CDEDE，CE平面CDE，所以CE平面A1DE.又DA1平面A1DE，所以DA1CE.又DA1A1E，CEA1EE，所以DA1平面A1EC，所以DA1A1C.取DC的中點(diǎn)O，連接OA1，OE.在RtDEC中，OEeq f(1,2)CDa，在RtDA1C中，OA1eq f(1,2)CDa，則有OEOA1OCODa，即O為外接球的球心，則球的半徑為a，所以164a2，即a2.故選A.8已知矩形ABCD，AB1，AD2，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，將ABE

54、沿AE翻折，得到四棱錐BAECD，且平面BAE平面AECD，則四面體BECD的外接球的表面積為()A.eq f(7,2)B4Ceq f(9,2)D5答案B解析如圖所示，取AE，DE的中點(diǎn)分別為G，H，連接BG，作HIBG，且HIBG，所以四邊形BGHI為矩形，且HGBI1，設(shè)外接球球心為O，半徑為R，因?yàn)锳BBE，AGGE，所以BGAE，由平面BAE平面AECD，BG平面BAE，易知BG平面AECD，則有IH平面DEC，因?yàn)镠DHE，ECD90，所以H是RtCED的外心，且易知球心O在IH上，連接OB，OE，因?yàn)锳B1，AD2，所以BGIHeq f(r(2),2)，EHeq f(1,2)EDe

55、q f(1,2)eq r(EC2CD2)eq f(r(2),2)，且OE2OH2EH2OB2OI2BI2R2，設(shè)OHteq blc(rc)(avs4alco1(0tf(r(2),2)，則有R2t2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)t)21，解得teq f(r(2),2)，所以R1，此時(shí)點(diǎn)I與點(diǎn)O重合，外接球表面積為4R24.故選B.二、多項(xiàng)選擇題9. 如圖，AC為圓O的直徑，PCA45，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點(diǎn)A，C重合的點(diǎn)，ASPC于S，ANPB于N，則下列說法正確的是()A平面ANS平面PBCB平面ANS平面PABC平面PAB平

56、面PBCD平面ABC平面PAC答案ACD解析PA平面ABC，PA平面PAC，平面ABC平面PAC，故D正確；B為圓周上不與A，C重合的點(diǎn)，AC為直徑，BCAB，PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，又ABPAA，BC平面PAB，又BC平面PBC，平面PAB平面PBC，故C正確；ABBC，BCPA，又PAABA，BC平面PAB，BCAN，又ANPB，PBBCB，AN平面PBC，又AN平面ANS，平面ANS平面PBC，故A正確；因無法判斷PBAS(或PBNS)，故B不正確故選ACD.10. (2021濟(jì)南模擬)如圖，點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是

57、()A三棱錐AD1PC的體積不變BA1P平面ACD1CDPBC1D平面PDB1平面ACD1答案ABD解析對(duì)于A，連接AC，AD1，D1C，AP，D1P，BC1，PC，由題意知AD1BC1，從而BC1平面ACD1，故BC1上任意一點(diǎn)到平面ACD1的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，面ACD1為底面，則三棱錐AD1PC的體積不變，故A正確；對(duì)于B，連接A1B，A1P，A1C1，A1C1綊AC，由A項(xiàng)知，AD1BC1，所以平面BA1C1平面ACD1，從而由線面平行的定義可得，A1P平面ACD1，故B正確；對(duì)于C，由于DC平面BCC1B1，所以DCBC1，若DPBC1，則BC1平面DCP，所以BC1PC，則

58、P為中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接DB1，PD，PB1，由DB1AC且DB1AD1，可得DB1平面ACD1，從而由面面垂直的判定定理知，平面PDB1平面ACD1，故D正確三、填空題11已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線PA，PB所成角的余弦值為eq f(3,4)，PA與圓錐底面所成的角為60，若PAB的面積為eq r(7)，則該圓錐的體積為_答案eq f(2r(6),3)解析作示意圖如圖所示，設(shè)底面半徑為r，PA與圓錐底面所成角為60，則PAO60，則POeq r(3)r，PAPB2r，又PA，PB所成角的余弦值為eq f(3,4)，則sinAPBeq r(1blc(rc)(avs4alc

59、o1(f(3,4)2)eq f(r(7),4)，則SPABeq f(1,2)PAPBsinAPBeq f(1,2)2r2req f(r(7),4)eq r(7)，解得req r(2)，故圓錐的體積為eq f(1,3)(eq r(2)2eq r(6)eq f(2r(6),3).12直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知ABC120，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且AA14，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BE_時(shí)，A1E與底面ABCD所成的角為60.答案eq f(r(21),3)1解析如圖所示，連接AE，因?yàn)锳A1底面ABCD，所以A1EA為A1E與底面ABCD所成的角，即A1EA60.又因?yàn)锳A14，所以eq f(4,AE)tan60eq r(3)，解得AEeq f(4r(3),3).設(shè)BEm(0m2)，在ABE中，AB2，ABE120，AEeq f(4r(3),3)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(4r(3),3)222m222mcos120，整理得3m26m40，解得meq f(r(21),3)1.13在四面體ABCD中，DA平面ABC，ABAC，AB4，AC3，AD1，E為棱BC上一點(diǎn)，且平面ADE平面BCD，則DE_.答案eq f(13,5)解析