2023屆高考一輪復(fù)習(xí) 12.3第三節(jié)　直接證明和間接證明 學(xué)案

1、 第三節(jié)直接證明和間接證明最新考綱1了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點2了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點考向預(yù)測考情分析：直接證明與間接證明是高中數(shù)學(xué)的重要推理方法，它們?nèi)允歉呖嫉目键c，題型將是選擇或填空題學(xué)科素養(yǎng)：通過直接證明和間接證明的應(yīng)用考查邏輯推理的核心素養(yǎng)積 累 必備知識基礎(chǔ)落實贏得良好開端一、必記3個知識點1直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達(dá)到待證結(jié)論的方法，是一種從_推導(dǎo)到_的思維方法從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實的方法，是

2、一種從_追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的_的思維方法特點從“_”看“_”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的_條件從“_”看“_”，逐步靠攏“_”，其逐步推理，實際上是要尋找它的_條件2.間接證明反證法要證明某一結(jié)論Q是正確的，但不直接證明，而是先去_(即Q的反面非Q是正確的)，經(jīng)過正確的推理，最后得出_，因此說明非Q是_的，從而斷定結(jié)論Q是_的，這種證明方法叫做反證法3數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取_(n0N*)時命題成立(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)_時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定

3、命題對_都成立，上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法二、必明2個常用結(jié)論1分析法與綜合法的應(yīng)用特點：對較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運用綜合法證明；或兩種方法交叉使用2利用反證法證明的特點：要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理，如果沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的三、必練2類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1判斷下列說法是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾()(二)教材改編2選修12P42練習(xí)T2改

4、編若Pa+6+a+7，Qa+8+a+5(a0)，則P，Q的大小關(guān)系是()APQ BPQC.PQ D不能確定3選修12P52T2改編622與5-7的大小關(guān)系是_提 升 關(guān)鍵能力考點突破掌握類題通法考點一綜合法的應(yīng)用綜合性 例1設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcca13；(2)a2b+b2c+c2a1.聽課筆記：一題多變 (變問題)若例1條件不變，證明：a2b2c213.反思感悟綜合法證題的思路與方法【對點訓(xùn)練】在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A sin Bsin B sin Ccos 2B1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C23，求證：

5、5a3b.考點二分析法的應(yīng)用綜合性 例2已知a0，證明：a2+1a2-2a1a2.聽課筆記：反思感悟分析法的證題思路分析法的證題思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等通常采用“欲證只需證已知”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范【對點訓(xùn)練】設(shè)x1，y1，證明：xy1xy1x+1yxy.考點三反證法的應(yīng)用綜合性 例3已知非零實數(shù)a，b，c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：1a，1b，1c不可能成等差數(shù)列聽課筆記：反思感悟反證法證明問題的一般步驟(1)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬把“反設(shè)”作為條件，

6、經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾；(3)存真由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯誤，從而肯定原結(jié)論成立應(yīng)用反證法時，當(dāng)原命題的結(jié)論的反面有多種情況時，要對結(jié)論的反面的每一種情況都進(jìn)行討論，從而達(dá)到否定結(jié)論的目的【對點訓(xùn)練】設(shè)a0，b0，且ab1a+1b，證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b2不可能同時成立考點四數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用綜合性角度1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n2112+1312n12n(nN*)聽課筆記：反思感悟數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵(1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，若用其他方法不易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)關(guān)鍵：由nk時命題成立證nk1時命

7、題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化.角度2歸納猜想證明例5設(shè)函數(shù)f(x)ln (1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表達(dá)式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍聽課筆記：反思感悟歸納猜想證明問題的一般步驟第一步：計算數(shù)列前幾項或特殊情況，觀察規(guī)律猜測數(shù)列的通項或一般結(jié)論；第二步：驗證一般結(jié)論對第一個值n0(n0N*)成立；第三步：假設(shè)當(dāng)nk(kn0，kN*)時結(jié)論成立，證明當(dāng)

8、nk1時結(jié)論也成立；第四步：下結(jié)論，由上可知結(jié)論對任意nn0，nN*成立【對點訓(xùn)練】1數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式(113)(115)(112n-1)2n+12均成立2已知正項數(shù)列an中，對于一切的nN*均有an2anan1成立(1)證明：數(shù)列an中的任意一項都小于1；(2)探究an與1n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論第三節(jié)直接證明和間接證明積累必備知識一、1原因結(jié)果結(jié)果原因已知可知必要未知需知已知充分2假設(shè)Q不成立矛盾錯誤正確3(1)第一個值n0(2)nk1從n0開始的所有正整數(shù)n三、1答案：(1)(2)(3)2解析：假設(shè)PQ，只需P2Q2，即2a132a+6a+72a132a+

9、8a+5，只需a213a42a213a40.因為4240成立，所以PQ成立答案：A3解析：假設(shè)6225-7，由分析法可得，要證6225-7，只需證6+7522，即證1324213410，即42210.因為4240，所以6225-7成立答案：6225-7提升關(guān)鍵能力考點一例1證明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca13.當(dāng)且僅當(dāng)“abc”時等號成立(2)因為a2bb2a，b2cc2b，c2aa2c，當(dāng)且僅當(dāng)“a2b2c2”時等號成立，故a2b+b2c

10、+c2a(abc)2(abc)，即a2b+b2c+c2aabc.所以a2b+b2c+c2a1.一題多變證明：因為abc1，所以1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac.因為2aba2b2，2bcb2c2，2aca2c2，當(dāng)且僅當(dāng)“abc”時等號成立，所以2ab2bc2ac2(a2b2c2)，所以1a2b2c22(a2b2c2)，即a2b2c213對點訓(xùn)練證明：(1)由已知得sin A sin Bsin B sin C2sin2B，因為sinB0，所以sin Asin C2sin B，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差數(shù)列(2)由C23，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，

11、即有5ab3b20，所以ab35，即5a3b.考點二例2證明：要證 a2+1a2-2a1a2，只需證 a2+1a22a1a+2.因為a0，故只需證(a2+1a22)2(a1a+2)2，即a21a24a2+1a24a221a222(a1a)2，從而只需證2a2+1a22(a1a)，即證4(a21a2)2(a221a2)，即證a21a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立對點訓(xùn)練證明：由于x1，y1，所以要證明xy1xy1x+1yxy，只要證明xy(xy)1yx(xy)2，只要證明(xy)21(xy)xy(xy)0，只要證明(xy1)(xy1xy)0，只要證明(xy1)(x1)(y1)0.由于

12、x1，y1，上式顯然成立，所以原命題成立考點三例3證明：假設(shè)1a，1b，1c成等差數(shù)列，則2b1a+1c，所以2acbcab，又a，b，c成等差數(shù)列且公差d0，所以2bac，所以把代入，得2acb(ac)b2b，所以b2ac，由平方，得4b2(ac)2，把代入，得4ac(ac)2，所以(ac)20，所以ac.代入，得ba，故abc，所以數(shù)列a，b，c的公差為0，這與已知矛盾，所以1a，1b，1c不可能成等差數(shù)列對點訓(xùn)練證明：由ab1a+1ba+bab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab2ab2，即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時成立，則由a2a2及a0，得0a1；

13、同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時成立考點四例4證明：當(dāng)n1時，左邊112，右邊121，所以3211232，即命題成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時命題成立，即1k2112+1312k12k，則當(dāng)nk1時，112+1312k+12k+1+12k+212k+2k1k22k12k+2k1k+12.又112+1312k+12k+1+12k+212k+2k12k2k12k12(k1)，即nk1時，命題成立由可知，命題對所有nN*都成立例5解析：由題設(shè)得g(x)x1+x(x0)(1)由已知，g1(x)x1+x，g2(x)g(g1(x)x1+x1+x1+xx1+2x，g3

14、(x)x1+3x，可猜想gn(x)x1+nx.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，g1(x)x1+x，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時結(jié)論成立，即gk(x)x1+kx.則當(dāng)nk1時，gk1(x)g(gk(x)gkx1+gkxx1+kx1+x1+kxx1+k+1x，即nk1時結(jié)論成立由可知，結(jié)論對nN*都成立(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln (1x)ax1+x恒成立設(shè)(x)ln (1x)ax1+x(x0)，則(x)11+x-a1+x2x+1-a1+x2，當(dāng)a1時，(x)0(當(dāng)且僅當(dāng)x0，a1時等號成立)，所以(x)在0，)上單調(diào)遞增又(0)0，所以(x)0在0，)上恒成立，所以當(dāng)a1時

15、，ln (1x)ax1+x恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x0時等號成立)當(dāng)a1時，對x0，a1，有(x)0，所以(x)在0，a1上單調(diào)遞減，所以(a1)(0)0.即當(dāng)a1時，存在x0，使(x)0，所以ln (1x)ax1+x不恒成立綜上可知，a的取值范圍是(，1.對點訓(xùn)練1證明：當(dāng)n2時，左邊11343，右邊52.因為左邊右邊，所以不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN*)時不等式成立，即(113)(115)(112k-1)2k+12.則當(dāng)nk1時，(113)(115)(112k-1)1+12k+1-12k+122k+22k+12k+222k+14k2+8k+422k+14k2+8k+322k+12k+32k+122k+12k+1+12.所以當(dāng)nk1時，不等式也成立由知對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立2證明：(1)由an2anan1，得an+1an-an2.因為在數(shù)列a