《空間向量的數(shù)乘運算》教學設(shè)計

1、教學設(shè)計1.2 空間向量的數(shù)乘運算整體設(shè)計教材分析本節(jié)課是在學習了空間向量的相關(guān)概念和空間向量加減法法則的基礎(chǔ)上學習的，是空間向量加減法法則的進一步應用和補充本節(jié)課在介紹實數(shù)與向量乘積的意義的基礎(chǔ)上引入空間向量共線定理，類比平面向量基本定理得到空間向量共面定理，為后面將要學習的空間向量基本定理打下基礎(chǔ)，具有承上啟下的重要作用因為空間向量的數(shù)乘運算以及空間向量共線定理與平面向量數(shù)乘運算以及共線定理完全一樣， 空間向量共面定理其實就是平面向量基本定理的逆定理，所以在教學中仍應采用類比、比較的教學方法，通過問題驅(qū)動、啟發(fā)式、自主探究式的教學方法引導學生自主地完成本節(jié)課的學習課時分配課時教學目標知識與

2、技能1掌握空間向量的數(shù)乘運算及其運算律2理解共線向量定理和向量共面定理過程與方法1運用類比方法，經(jīng)歷向量的數(shù)乘運算和向量共線定理由平面向空間推廣的過程；2引導學生借助空間幾何體理解空間向量數(shù)乘運算及其運算律的意義情感、態(tài)度與價值觀1培養(yǎng)學生的類比思想、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)探究、研討、綜合自學應用能力；2培養(yǎng)學生的空間想象能力，能借助圖形理解空間向量數(shù)乘運算及其運算律的意義；3培養(yǎng)學生空間向量的應用意識重點難點教學重點：1空間向量的數(shù)乘運算及其運算律、幾何意義；2空間向量的加減運算在空間幾何體中的應用；3空間向量共線定理和共面定理教學難點：1空間想象能力的培養(yǎng)，思想方法的理解和應用；2空間向量的數(shù)乘運

3、算及其幾何的應用和理解；3空間向量共線定理和共面定理的理解教學過程引入新課提出問題：請同學們回憶“平面向量的數(shù)乘運算”的意義是什么， 有什么性質(zhì)，滿足什么運算律活動設(shè)計：首先同學之間相互交流，教師適時介入，并一一板書出來活動結(jié)果：(板書 )1實數(shù) 和向量 a 的乘積 a 是一個向量.| a| |a|. a 的方向當0時，a 的方向和a 方向相同；當0時，a 的方向和a 方向相反4數(shù)乘運算的運算律： (a)()a；( ab) a b.設(shè)計意圖：這既復習了“平面向量的數(shù)乘運算”的意義、 性質(zhì)和運算律，又為類比得出“空間向量的數(shù)乘運算”的意義、 性質(zhì)和運算律作好了準備，而且在下面得出“空間向量的數(shù)乘

4、運算”的意義、性質(zhì)和運算律時，只需將“平面向量的數(shù)乘運算”中的“平面”換成“空間”即可何樂而不為呢！探究新知提出問題1 ：上節(jié)課我們已經(jīng)學習了空間向量的加減法運算，請同學們類比“平面向量的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律，猜想(給出)“空間向量的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律即實數(shù) 和向量 a 的乘積 ( a )的意義是什么？有什么性質(zhì)？滿足什么運算律？活動設(shè)計：教師從2a，2a 的意義中發(fā)現(xiàn)并類比平面中數(shù)乘的意義對學生進行引導，學生自己畫出2 a，2a 并總結(jié) a 的意義和運算律，然后自由發(fā)言，教師進行補充師生發(fā) 現(xiàn)“空間向量的數(shù)乘運算”實際上就是“平面向量的數(shù)乘運算”活動成果：（活動結(jié)果同“

5、引入新課”中的活動結(jié)果，只需特別標明“空間向量的數(shù)乘運算”即可 ）設(shè)計意圖：引導學生利用已經(jīng)學過的平面向量的數(shù)乘運算的意義類比得出空間向量數(shù)乘運算的意義，并利用空間向量的加減法運算來驗證提出問題2：在學習平面向量時，共線向量是怎么定義的？我們?nèi)绾我?guī)定0 與任意向量的關(guān)系？在空間向量中，又應當怎樣定義和規(guī)定呢？活動設(shè)計：學生自由發(fā)言活動成果：同學們一致認為，只要照搬以前的定義和規(guī)定即可，即（板書）在空間，方向相同或相反的向量稱為共線向量我們規(guī)定0 與任意向量共線設(shè)計意圖：復習平面向量共線的定義，類比得出空間向量共線的定義提出問題3：a b 是a，b 共線的什么條件？活動設(shè)計：先讓學生獨立思考，然

6、后小組交流，教師巡視指導，并注意與學生交流在恰當?shù)臅r機提醒學生回憶“平面向量”中兩向量共線時的結(jié)論活動成果：（板書 ）若 a b，則a，b 方向相同或相反，或a0，則a，b 共線；若 a， b 共線，b0，則不一定存在實數(shù) 使得 a b.所以a b 是 a， b 共線的充分不必要條件若 b0，則若a，b 方向相同時，存在唯一確定的實數(shù) |a|，使得a b；|b|若 a， b 方向相反時，存在唯一確定的實數(shù) |a|，使得ab；|b|若 a 0 時，存在唯一確定的實數(shù) 0，使得a b.空間向量共線定理：a， b共線（b 0） 存在唯一確定的實數(shù) 使得a b.推論：如果l 為經(jīng)過已知點A 且平行于已

7、知非零向量a 的直線，那么對于任意一點O，點 P 在直線 l 上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式OP OA ta.其中向量a叫做直線l 的方向向量設(shè)計意圖：增強對空間向量數(shù)乘運算的理解和運用，引出空間向量共線定理及其推論提出問題4：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量對空間任意兩個不共線的向量a、b，如果pxayb，那么向量p 與向量a、b 有什么位置關(guān)系？反過來，向量 p 與向量a、b 有什么位置關(guān)系時，p x a yb?活動設(shè)計：學生先獨立思考，然后小組討論；教師先提示同學們回憶平面向量基本定理，然后巡視指導學生討論活動成果：空間向量共面定理：如果兩個向量a、 b 不共線，那么向量p 與向量

8、a、 b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x， y)，使p xa yb.設(shè)計意圖：引導學生由平面向量基本定理入手，探究出空間三個不共線向量共面的充要條件理解新知提出問題1 ：空間三點A、 B、 C 共線， O 為直線外一點，若OA xOB yOC，則x y？反之，空間四點A、B、C、O，若滿足OAxOB yOC，且xy1，能否得到A、 B、C 三點共線？活動設(shè)計：學生自由發(fā)言，說出自己解決問題的思路，教師進行補充活動成果：思路分析：A、 B、 C 共線AB AC，利用向量共線的定理解決解： A、 B、 C 三點共線， AB AC. 存在唯一確定的實數(shù) 使得AB AC，即OBOA(OCOA)

9、OA 1OBOC. 1 1 x1 ， y . x y 1. 1 1反之 OA xOB yO C，且x y 1，OA xOB （1 x）OC，即OA OC x（OB OC）CA xCB.CA CB. A、 B、 C三點共線A、 B、 C 三點共線的充要條件是對于空間任一點O， 都存在x y 1， 使得OA xOB yOC.設(shè)計意圖：指導學生將點共線和向量共線進行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的思想，深化對向量共線定理的理解提出問題2：已知空間任一點O 和不共線三點A、 B、 C，滿足向量關(guān)系式OP xOA yOB zOC（其中x y z 1）的點 P 與 A、 B、 C 是否共面？活動設(shè)計：教師指導學生根據(jù)

10、問題1 解決的方案思考四點共面應該如何向向量關(guān)系轉(zhuǎn)化；學生自己在練習本上解決，不能解決的小組討論解決活動成果：P、 A、 B、 C 四點共面向量PA、 PB、 PC共面P、A、B、C 四點共面的充要條件是對于空間任一點O，都存在xyz1，使得OP xOA yOB zOC.設(shè)計意圖：指導學生將點共面和向量共面進行轉(zhuǎn)化，深化對向量共面定理的理解運用新知如圖，已知平行四邊形ABCD ，過平面AC 外一點 O 作射線OA， OB， OC， OD，在點共面E， F，G，H，并且使OOAE OOBF OOCG OODH k，求證：E， F， G， H 四思路分析：欲證 E， F， G， H 四點共面，只需

11、證明EH，EF， EG共面證明：OOAEOF OGOB OCOOHD k，所以O(shè)E kOA， OF kO B， OG kO C， OH kOD.ABCD 是平行四邊形，所以AC AB AD .EG OG OE k(OC OA) kAC k(A B AD)k(O B OA OD OA) OF OE OH OE EF EH .E ， F， G ， H 四點共面點評： 解決四點共面問題要等價轉(zhuǎn)化成向量共面問題鞏固練習E， F， G， H 分別是空間四邊形ABCD 的邊 AB ， BC， CD， DA 的中點，證明：E， F， G， H 四點共面證明： E， F， G， H 分別是空間四邊形ABCD

12、的邊AB， BC， CD， DA 的中點，1EH FG 2BD. EG EF FG EF EH.E， F， G， H 四點共面變練演編如圖，在四棱錐P ABCD 中，底面ABCD 是平行四邊形，AC、 BD 相交于點O， E、F、 G、 H 分別是邊PA、 PB、 PC、 PD 的中點(1)在圖中找出與向量P A共線的一個向量；(2)在圖中找出與向量OA， PB共面的一個向量答案：(1)OG， GO(2)A H ， CH達標檢測1下列命題中正確的是()A若向量a與非零向量b 共線， b 與 c共線，則a與 c共線B向量a， b， c共面，即它們所在的直線共面C單位向量的模為1 且共線D 若a

13、b，則存在唯一的實數(shù) ，使a b2空間四邊形ABCD 中， M， G 分別是 BC， CD 的中點，則MG AB AD等于()3A.2DBB 3MGC 3GMD 2MG3下列條件中，使M 與 A，B，C 一定共面的是()A.OM 2OA OB OC111B.OM 5OA 3OB 2OCC.MA MB MC 0D.OM OA OB OC 04有四個命題：若p xa yb，則p 與a、 b 共面；若 p 與a、 b 共面，則p xa yb；若MN xMA yMB ，則M 、 N、 A、 B 共面；若 M、 N、 A、 B 共面，則MN xMA yMB .其中真命題的個數(shù)是()A 1B 2C 3D

14、4答案： 1.A 2.B 3.C 4.B課堂小結(jié)1知識收獲：空間向量的數(shù)乘運算法則和運算律；空間向量共線定理及其推論；空間向量共面定理2方法收獲：類比方法、數(shù)形結(jié)合方法3思維收獲：類比思想、轉(zhuǎn)化思想布置作業(yè)課本本節(jié)練習2,3題；補充練習補充練習基礎(chǔ)練習1在四面體OABC 中，OAa，OBb，OCc，D 為 BC 的中點，E 為 AD 的中點，則OE .( 用 a， b， c 表示)2當|a| |b| 0，且 a， b 不共線時，a b與 a b的關(guān)系是()A共面B 不共面C共線D 無法確定3已知兩個向量e1，e2不共線，如果AB e1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，則A， B， C，

15、 D 四點的位置關(guān)系是答案：1.1a 1 b 1c 2.A 3.共面244拓展練習1 數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n 項和， 空間三點A、 B、 C 共線， O 為直線外一點， TOC o 1-5 h z 且 OA a1OB a101OC，則S101 .2已知點M 在平面 ABC 內(nèi)，并且對空間任一點O， OM xOA 31OB 13O C，則x的值為 答案： 1.1201 2.13設(shè)計說明本節(jié)課介紹了空間向量的數(shù)乘運算的意義以及空間向量的共線定理和共面定理空間向量的數(shù)乘運算由平面向量的數(shù)乘運算類比得到，在平行六面體中驗證空間向量的共線定理由數(shù)乘運算的意義中發(fā)現(xiàn)，并經(jīng)過學生證明空間向量共面定理由平面向量基本定理發(fā)現(xiàn)，并結(jié)合共線定理由學生進行證明在理解新知環(huán)節(jié)，重點設(shè)計問題加深對共線定理和共面定理的理解，得到三點共線和四點共面的充要條件本節(jié)課突出教師的主導作用和學生的主體地位，在教師所提問題的引導下，學生自主完成探究新知和理解新知的過程，在運用新知時進行變練演編，加深學生對知識的理解和問題轉(zhuǎn)化的能力備課資料1 如圖，在平行六面體ABCD A B C D中，E， F， G 分別是 A D，D D，D C的中點，請選擇恰當?shù)幕紫蛄孔C明：EG AC.思路分析：要證明EG AC，只需證EG AC .11證明： EG