假設(shè)檢驗和區(qū)間估計

1、PAGE PAGE 147假設(shè)檢驗和區(qū)間估計7.1 內(nèi)容框圖假設(shè)檢驗區(qū)間估計參數(shù)檢驗分布的檢驗正態(tài)總體參數(shù)的檢驗獨立性檢驗7.2 基本要求（1） 理解假設(shè)檢驗的基本思想及兩類錯誤的含義.（2） 掌握有關(guān)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗的基本步驟和方法.（3） 理解單側(cè)檢驗與雙側(cè)檢驗的異同.（4） 理解并掌握正態(tài)總體參數(shù)區(qū)間估計的的基本方法.（5） 了解總體分布的檢驗和獨立性檢驗的基本方法.7.3 內(nèi)容概要1）假設(shè)檢驗下面把各種情形列一個表：接受域，接受拒絕域，拒絕為真，不真正確犯第一類錯誤不真，為真犯第二類錯誤正確值為顯著水平。然后，根據(jù)顯著水平 來確定臨界值，用臨界值來劃分接受域 和拒絕域 。這樣的檢

2、驗，稱為顯著性檢驗。假設(shè)檢驗的一般步驟是：（1）提出原假設(shè) ；（2）選取合適的檢驗統(tǒng)計量 ，從樣本求出 的值；（3）對于給定的顯著水平，查 的分布表，求出臨界值，用它劃分接受域 和拒絕域 ，使得當(dāng) 為真時，有 ；（4）若 的值落在拒絕域 中，就拒絕 ，若 的值落在接受域 中，就接受 。假設(shè)檢驗的理論依據(jù)是所謂的小概率事件原理，即一個概率很小的事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的.要檢驗一個根據(jù)實際問題提出的原假設(shè)是否成立，如果已知在成立時，某個事件發(fā)生的可能性很小，而試驗的結(jié)果卻是這個事件發(fā)生了，那么根據(jù)小概率事件原理，我們就可以認(rèn)為所提出的這個假設(shè)是不成立的，即拒絕；反之，則接受.這里的原假設(shè)

3、可以根據(jù)實際問題提出，事件是否發(fā)生可根據(jù)試驗觀測值判斷，因此假設(shè)檢驗的關(guān)鍵問題就是要確定在成立時，發(fā)生可能性很小的某個事件.我們知道，正態(tài)分布有個3原則，即若服從正態(tài)分布，那么的取值會大多集中在其均值附近，落入兩側(cè)的可能性很小.事實上，當(dāng)服從t分布，分布，F(xiàn)分布時，其取值落入兩側(cè)的可能性也都相對很小.因此，我們要確定成立時一個發(fā)生可能性很小的事件，只需根據(jù)樣本構(gòu)造出服從正態(tài)分布，t分布，分布或F分布的隨機變量（統(tǒng)計量）就可以了.根據(jù)上述分析，正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗可概括為如下步驟。（1）提出假設(shè):假設(shè)一般是根據(jù)實際問題提出的，只是為了檢驗的方便，要求原假設(shè)必須含有等號.（2）構(gòu)造統(tǒng)計量:即根據(jù)

4、樣本構(gòu)造服從正態(tài)分布，t分布,分布或F分布的不含未知參數(shù)的隨機變量，常用到6.7節(jié)的結(jié)論.例如，總體其中已知，要檢驗：，已知的，都可用作檢驗的統(tǒng)計量.但是T忽略了已知的信息肯定不如U好，而因其概率密度的復(fù)雜性（這使得的最小接受域難以確定），它也不如U統(tǒng)計量好.其他統(tǒng)計量如，因不含顯然無法用于檢驗.一般地，關(guān)于期望的檢驗用U統(tǒng)計量或T統(tǒng)計量.關(guān)于單個正態(tài)總體方差的檢驗用統(tǒng)計量.關(guān)于兩個正態(tài)總體方差的檢驗用F統(tǒng)計量.（3） 確定拒絕域:拒絕域就是在為真的情況下，所構(gòu)造的統(tǒng)計量以很小的概率（顯著性水平）落入的范圍，記為，即P統(tǒng)計量=.根據(jù)原假設(shè)形式上的不同，拒絕域可能為單側(cè)或雙側(cè).那么如何確定拒絕域

5、究竟在左側(cè)，右側(cè)還是雙側(cè)呢？比如我們用來檢驗：時，在成立的情況下，的取值應(yīng)集中在其中心原點附近，取值偏大或偏小都是可能的，但可能性會很小.因此，此時的拒絕域為雙側(cè)的.但是如果要檢驗的為，此時有,即在成立時，的取值會偏大，故此時的拒絕域在左側(cè).一個簡單的判別準(zhǔn)則是：單側(cè)檢驗中拒絕域的不等號方向與備選假設(shè)的不等號方向一致，即，則拒絕域為.（4） 作出判斷:代入樣本觀測值，若統(tǒng)計量觀測值落入拒絕域則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè).上述步驟也同樣適用于非參數(shù)檢驗，如關(guān)于分布的檢驗和獨立性檢驗.只不過分布的檢驗和獨立性檢驗都是以分布為檢驗統(tǒng)計量并且都是單側(cè)檢驗.最后需要說明的是，假設(shè)檢驗是根據(jù)小概率事件原理

6、進行推斷的.但是一個發(fā)生可能性很小的事件也并非是絕對不可能發(fā)生的，因此我們的檢驗也可能出現(xiàn)錯誤，即第一類錯誤為真時卻拒絕了，其概率為顯著性水平，或第二類錯誤為假時卻接受了，其概率為.單個總體，方差已知時，均值的檢驗問題 設(shè)總體 ，已知其中 ，是 的樣本，要檢驗： 。檢驗方法 ,從樣本可以算出的值，定出一個值 ，稱為臨界值，把的取值范圍分成兩個區(qū)域： 和。稱為接受域，稱為拒絕域。從樣本求出的值，的值落在中，就接受，的值落在中，就拒絕 。 單個總體，方差未知時，均值的檢驗問題 設(shè)總體 ，其中 未知，是的樣本，要檢驗： 。檢驗方法 。從樣本求出 的值。對于給定的顯著水平，自由度，查 分布表可得 分布

7、的臨界值 ，使得 ，當(dāng) 時拒絕 ，否則接受 。怎樣查表求 分布的臨界值在書后附錄中，有一個 分布的臨界值表，從中可以查到 分布的臨界值。查表時，在自由度 與 的相交處可以查到 。 單個總體，均值未知時，方差的檢驗問題 設(shè)總體 ，其中未知，是 的樣本，要檢驗： （或） 。檢驗方法因此可得到檢驗方法如下：從樣本求出 的值。對于給定的顯著水平，自由度，查表可得 分布的臨界值 和 ，使得 以及 ，當(dāng) 或 時拒絕 ，否則接受 。怎樣查表求 分布的臨界值在書后附錄中，有 分布的臨界值表，從中可以查到 分布的臨界值。查表時， （1）在自由度 與 的相交處可以查到 ；（2）在自由度 與 的相交處可以查到 。

8、兩個總體，方差未知但相等時，均值是否相等的檢驗問題 設(shè)總體 ，其中 ， 都未知，但已知，（） ，（）分別是 ， 的樣本，兩個樣本相互獨立，要檢驗： 。檢驗方法 檢驗方法如下：從樣本求出 的值。對于給定的顯著水平，自由度，查表可求得 分布的臨界值 ，使得 ，當(dāng) 時拒絕 ，否則接受 。 兩個總體，均值未知時，方差是否相等的檢驗 在求解上面的問題時，我們假設(shè)已知有 ，到底是不是這樣，最好還要檢驗一下。問題 設(shè)總體 ，其中，都未知，（） ，（）分別是 ， 的樣本，兩個樣本相互獨立，要檢驗 ：（ 或 ） 。檢驗方法 從樣本求出的值。對于給定的顯著水平，查表可得分布的臨界值和，使得 以及 ，當(dāng) 或時拒絕

9、，否則接受 。怎樣查表求分布的臨界值在書后附錄中，有分布的臨界值表，從中可以查到分布的臨界值。查表時，（1）在自由度 與自由度 的相交處，可以查到與 對應(yīng)的臨界值 ；（2）臨界值 不能直接從表中查到，要按下列方法求出：先將自由度前后顛倒，變成，從表中查出 ，再對它取倒數(shù)，即有 。單側(cè)檢驗問題 設(shè)總體 ，其中 未知，是的樣本，要檢驗： （備選假設(shè)：） 。檢驗方法 從樣本求出 的值。對于給定的顯著水平，自由度，查表可得 分布的臨界值 ，使得 ，當(dāng) 時拒絕 ，否則接受 。問題 設(shè)總體 ，其中，都未知，（），（）分別是 ， 的樣本，兩個樣本相互獨立，要檢驗 ：（備選假設(shè)：） 。檢驗方法對于給定的顯著水

10、平，自由度，查表可得 分布的臨界值，使得 ，從樣本求出 的值，當(dāng) 時拒絕 ，否則接受 。單側(cè)檢驗與雙側(cè)檢驗的相同和不同之處（1）單側(cè)檢驗與對應(yīng)的雙側(cè)檢驗，檢驗時所用的統(tǒng)計量完全相同，統(tǒng)計量服從的分布和自由度也完全相同 ；（2）雙側(cè)檢驗中查分布表求臨界值時， 或 ，單側(cè)檢驗中查分布表求臨界值時， 或 ，而且只要查出單側(cè)的一個臨界值就可以了 ；（3）設(shè)在單側(cè)檢驗中，要檢驗：* * （備選假設(shè)：* * ） ，這時，如果 檢驗時所用的統(tǒng)計量 右側(cè)臨界值，就拒絕，否則就接受 ；（4）設(shè)在單側(cè)檢驗中，要檢驗：* * （備選假設(shè)：* * ） ，這時，如果 檢驗時所用的統(tǒng)計量 左側(cè)臨界值，就拒絕，否則就接受

11、。 正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗檢驗條件檢驗時所用的統(tǒng)計量分布單個總體已知 未知已知未知兩個總體，已知，未知但有，已知，未知2）區(qū)間估計區(qū)間估計的基本思想定義 設(shè) 是總體分布中的未知參數(shù)，如果對于一個事先給定的概率 （例如， 或 ）,能夠找到樣本統(tǒng)計量和，使得，則稱為未知參數(shù)的置信區(qū)間，稱概率為置信水平，稱為置信下限，稱為置信上限。單個總體，方差未知時，均值的置信區(qū)間問題 設(shè)總體 ，其中 未知，是的樣本，要求的水平為的置信區(qū)間。分析推導(dǎo)， 就是的水平為的置信區(qū)間。 單個總體，均值未知時，方差的置信區(qū)間問題 設(shè)總體 ，其中 未知，是的樣本，要求 的水平為的置信區(qū)間。 ， ， 就是的水平為的置信區(qū)間。的

12、水平為的置信區(qū)間為 。 兩個總體，方差但相等時，均值之差的置信區(qū)間問題 設(shè)總體 ，其中 ， 都未知，但已知，（） ，（）分別是 ， 的樣本，兩個樣本相互獨立，要求的水平為 的置信區(qū)間。令， 就是的水平為的置信區(qū)間。 兩個總體，均值未知時，方差之比的置信區(qū)間問題 設(shè)總體 ，其中，都未知，（） ，（）分別是 ， 的樣本，兩個樣本相互獨立，要求 的水平為的置信區(qū)間。令 ， ， 就是 的水平為的置信區(qū)間。 區(qū)間估計的一般步驟從上面幾種情況的例子中，我們可以總結(jié)出區(qū)間估計的一般步驟為：（1）選取一個含有未知參數(shù) 的隨機變量 ；（2）對于給定的置信水平，查 的分布表，象在假設(shè)檢驗中一樣，求出臨界值，用它劃

13、分接受域 和拒絕域 ，使得 ；（3）把 等價變換成 ，得到 ，區(qū)間 就是未知參數(shù) 的水平為 的置信區(qū)間。表7-2 正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間待估參數(shù)條件置信區(qū)間 分布單個總體已知 未知已知未知 ，兩個總體，已知，未知但有，已知，未知 7.4 自測題七一、 判斷題（正確用“+”，錯誤用“”）1. 在假設(shè)檢驗中，設(shè)，分別為犯第一類錯誤和第二類錯誤的概率，則+=1. ( )2. 若給定顯著性水平=0.05，則在此水平下的假設(shè)檢驗犯第一類錯誤的概率最大不超過5%.（ ）3. 若在顯著性水平=0.05的情況下假設(shè)檢驗接受了原假設(shè)，則在新的顯著性水平=0.01的情況下重新檢驗可能拒絕.（ ）4. 設(shè)參數(shù)的置信

14、水平為的置信區(qū)間為，則. （ ）5. 判斷一個檢驗是單側(cè)檢驗還是雙側(cè)檢驗，取決于假設(shè)和，與選定的統(tǒng)計量無關(guān). （ ）6. 設(shè)總體，其中和均未知，和S*分別為樣本的均值和修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本容量為，則的置信水平為的置信區(qū)間的長度與X無關(guān). （ ）7. 設(shè)總體，其中已知，為其容量為10的樣本，則的置信水平的置信區(qū)間的長度與樣本無關(guān). （ ）8. 設(shè)某廠生產(chǎn)的牛奶制品中三聚氰胺的含量服從正態(tài)分布N,按規(guī)定當(dāng)其含量低于0.003 mg/L時才能認(rèn)定為合格品，要檢驗這廠的產(chǎn)品是否合格，則提出的假設(shè)為：0.03，：0.003. （ ）9. 設(shè)某廠生產(chǎn)的牛奶制品中三聚氰胺的含量服從正態(tài)分布N，其中,均未知.

15、按規(guī)定當(dāng)其含量低于0.03 mg/L時才能認(rèn)定為合格品，從這個廠的產(chǎn)品中抽取一個容量為的樣本來檢驗該廠產(chǎn)品是否合格，則顯著性水平下統(tǒng)計量的拒絕域為. ( ) 10. 設(shè)總體，其中和均未知，為樣本觀測值,若在顯著性水平下檢驗：；：，結(jié)果拒絕了，則不在的置信水平為的置信區(qū)間中. ( ) 二、 選擇題1. 某化工產(chǎn)品的含硫量，其中都未知，取5個樣品，測得含硫量為4.28，4.40，4.42，4.35，4.37，檢驗： =4.50和： =0.04（顯著水平都是=0.05），檢驗的結(jié)果為（ ）. （A）拒絕： =4.50，拒絕： =0.04（B）拒絕： =4.50，接受： =0.04（C）接受： =4.

16、50，拒絕： =0.04（D）接受： =4.50，接受： =0.04 2. 設(shè)總體,已知，若樣本容量和置信水平均不變，則對于不同的樣本觀測值，總體均值的置信區(qū)間的長度（ ）. （A） 變長（B） 變短（C） 不變（D） 不能確定3. 設(shè)總體，則總體均值的置信區(qū)間長度L與置信水平的關(guān)系是（ ）.（A） L隨減少而縮短 （B） L隨減少而增大（C） 隨減少，L保持不變 （D） 以上說法都不對4. 設(shè)總體，其中都未知，分別是,的樣本，兩個樣本相互獨立， 這時檢驗假設(shè)的統(tǒng)計量F=（ ）. （A） （B） （C） （D）5. 設(shè)總體,為的樣本，總體,為的樣本，且與相互獨立，令 則（給定顯著水平），檢驗的

17、拒絕域為（ ）. （A） （B）（C） （D）6. 對A，B兩種香煙，分別抽樣測定香煙中的尼古丁含量，測得數(shù)據(jù)如下： A種香煙中的尼古丁含量/20 23 22 25 26 B種香煙中的尼古丁含量/25 28 23 26 29 22設(shè)A，B兩種香煙中的尼古丁含量分別為和. 檢驗和（顯著水平都是=0.05），檢驗的結(jié)果為（ ）. （A）拒絕，拒絕（B）拒絕，接受（C）接受，拒絕（D）接受，接受7. 設(shè)總體，已知其中，是的樣本，要在顯著水平下，檢驗假設(shè)（備選假設(shè)）. 從樣本求出的值，查N（0,1）分布表，可得臨界值（分位數(shù)），使得，當(dāng)（ ）時，拒絕. （A） （B） （C） （D） 8. 對正態(tài)總體

18、（未知）的假設(shè)檢驗問題：1,：1，若取顯著水平=0.05，則其拒絕域為（ ）.（A） （B）（C）（D）9. 設(shè)是正態(tài)總體N（,4）的一個樣本，是樣本均值，查N（0,1）分布表，可得臨界值（分位數(shù)和，使得和，則的置信水平為的置信區(qū)間為（ ）. （A） （B）（C） （D）10. 對正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的假設(shè)檢驗，若在顯著性水平=0.05下接受,那么在=0.01下對的檢驗是（ ）.（A） 必接受 （B） 可能接受也可能拒絕（C） 必拒絕 （D） 不接受也不拒絕三、 填空題1. 設(shè)為取自正態(tài)總體的樣本，其中和均未知，在檢驗時使用的統(tǒng)計量為；對于給定的顯著性水平，的拒絕域為.2. 設(shè)和為分別取自相互獨立

19、的兩個正態(tài)總體和的樣本.在檢驗中使用的統(tǒng)計量為；對于給定的顯著性水平，的接受域為.3. 設(shè)總體，其中均未知. 是的樣本，,，這時檢驗的統(tǒng)計量（用和表示）是T=_. 4. 設(shè)總體，從中抽取一個容量為n=9的樣本，測得樣本均值=1575，修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差. 在顯著水平=0.05下，檢驗假設(shè)（備選假設(shè)）的結(jié)果是_. 5. 設(shè)總體，樣本均值為，要使得總體均值的水平為0.95的置信區(qū)間為0.560, 0.560，樣本容量（樣本觀測次數(shù)）必須等于_. 6. 從某廠生產(chǎn)的導(dǎo)線中抽取5根，測得其電阻（單位：m）為145，140，136，138，141. 設(shè)導(dǎo)線的電阻服從正態(tài)分布，的水平為95%的置信區(qū)間是，的水

20、平為 95%的置信區(qū)間是. 7. 設(shè)總體，為的樣本，則的置信水平為95%的置信區(qū)間的長度平方的數(shù)學(xué)期望為_. 8. 設(shè)總體,，且相互獨立，為的樣本，為的樣本，要使得的95%的置信區(qū)間長度不超過5，則n至少為_. 9. 設(shè)甲、乙兩種燈泡的使用壽命分別為和. 從甲種燈泡中任取m=5 只，測得燈泡壽命的樣本均值=1000，樣本標(biāo)準(zhǔn)差；從乙種燈泡中任取=7 只，測得燈泡壽命的樣本均值=980，樣本標(biāo)準(zhǔn)差. 這時的水平為 95%的置信區(qū)間是_. 如果假定已知，這時的水平為 95%的置信區(qū)間是_. 10. 設(shè)為取自正態(tài)總體的樣本，其中已知，并且已知的置信水平為的置信區(qū)間為,則在顯著性水平下檢驗 (其中已知

21、， ）的結(jié)論是_.7.5 自測題七答案一、 1. ; 2. +; 3. +; 4. +; 5. +; 6. +; 7. +; 8. ; 9. ; 10. +二、 1. B; 2. C; 3. A; 4. C; 5. A; 6. D; 7. A; 8. B; 9. B; 10. A三、 1. 2. 3.4. 接受; 5. 49; 6.135.8,144.2，2.03,9.75; 7. 1.1357; 8. 16;9.0.156,8.94，-9.4,49.4; 10. 拒絕7.6 典型例題例1 某廠生產(chǎn)的鈕扣，其直徑 ，已知 （mm），現(xiàn)從中抽查100顆，測得樣本均值 （mm）。已知在標(biāo)準(zhǔn)情況下，

22、鈕扣直徑的平均值應(yīng)該是（mm），問：是否可以認(rèn)為這批鈕扣的直徑符合標(biāo)準(zhǔn)？（顯著水平）解 問題相當(dāng)于要檢驗： 。 。對 ，查 分布的臨界值表，可得臨界值 ，因為 ，所以接受 ： ，可以認(rèn)為這批鈕扣的直徑符合標(biāo)準(zhǔn)。 例2 某廠生產(chǎn)的合金鋼，其抗拉強度，現(xiàn)抽查5件樣品，測得抗拉強度為 要檢驗假設(shè) ： 。（顯著水平）解 樣本容量 ，樣本均值 ，修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ， 。對，自由度，查 分布的臨界值表，可得 ,由于 ，因此拒絕 ： 。 例3 某廠生產(chǎn)的維尼綸的纖度 ，已知在正常情況下有 。現(xiàn)從中抽查5根，測得纖度為 ，問： 的標(biāo)準(zhǔn)差 是否發(fā)生了顯著的變化？（顯著水平）解 問題相當(dāng)于要檢驗 ： 。樣本容量 ，

23、樣本方差 ， 。對，自由度，查 分布表，可得及，由于，所以拒絕：，結(jié)論是：纖度的標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生了顯著的變化。 例4 任選19個工人分成兩組，讓他們每人做一件同樣的工作，測得他們的完工時間（單位：分鐘）如下：飲酒者30，46，51，34，48，45，39，61，58，67未飲酒者28，22，55，45，39，35，42，38，20問：飲酒對工作能力是否有顯著的影響？（顯著水平）解 設(shè)兩組工人的完工時間分別為總體 和 ，其中、未知，但假設(shè)已知有。問題相當(dāng)于要檢驗： 是否成立。， ， 。對，自由度，查 分布表，可得 ,由于 ，因此拒絕 ： ，從檢驗得出的結(jié)論是：飲酒對工作能力有顯著的影響。 例5 設(shè)兩組

24、工人的完工時間分別為 和 ，第一組工人的人數(shù)為 ，完工時間的樣本方差為 ；第二組工人的人數(shù)為 ，完工時間的樣本方差為 。要檢驗 ： （顯著水平） 。解 ， ， ， ， 。對，自由度，查分布表，可得 ， ，因為 ，所以接受 ： 。 例6 設(shè)燈泡壽命 ，抽取容量為 的樣本，測得 （小時），（小時），問：能否認(rèn)為燈泡的平均壽命已達到小時？（顯著水平 ）解 問題相當(dāng)于要檢驗： （備選假設(shè)：） 。 已知 ， ， ，求得 。對 ，自由度 ，查 分布表，可得 , 由于，因此接受 ：，可以認(rèn)為燈泡的平均壽命已達到小時 。 例7 對鐵礦石中的含鐵量，用舊方法測量5次，得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ，用新方法測量6次，得到樣本

25、標(biāo)準(zhǔn)差 ，設(shè)用舊方法和新方法測得的含鐵量分別為 和 ，問：新方法測得數(shù)據(jù)的方差是否顯著地小于舊方法？（顯著水平 ）解 如果我們將原假設(shè)定為 ： ，備選假設(shè)定為 ：，由于原假設(shè)中沒有等號，難以給出合適的檢驗方法。所以，我們把上面的原假設(shè) 與備選假設(shè) 顛倒一下，將問題改為要檢驗 ：（備選假設(shè)：） 。， ， ， ， 。對顯著水平，自由度，查 分布表，可得臨界值，因為 ，所以接受假設(shè) ：，拒絕假設(shè) ：，結(jié)論是：不能認(rèn)為新方法測得數(shù)據(jù)的方差顯著地小于舊方法。 例8 一些著名科學(xué)家作出重大發(fā)現(xiàn)時的年齡為哥白尼40歲伽利略34歲牛頓23歲富蘭克林40歲拉瓦錫31歲賴爾33歲達爾文49歲麥克斯韋33歲居里34

26、歲普朗克43歲愛因斯坦26歲薛定諤39歲設(shè)年齡 ，求的水平為 95% 的置信區(qū)間。解 樣本容量 ，樣本均值 ，修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差 。對， ，, 自由度 ，查 分布表可得 。 ， ， 。求得的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 例9 設(shè)科學(xué)家作出重大發(fā)現(xiàn)時的年齡為，對容量為 的樣本，已求得修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ，求 和 的水平為 95% 的置信區(qū)間。解 ， ， 。對， ，自由度 ，查 分布表，可得 ， 。 ， 。求得 的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 又因為 ， ，所以， 的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 例10 從某廠生產(chǎn)的第一批導(dǎo)線中抽取4根，測得其電阻的樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差；從該廠生產(chǎn)的第二批導(dǎo)線

27、中抽取5根，測得其電阻的樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)這兩批導(dǎo)線的電阻分別為 和 ，其中，求的水平為 95% 的置信區(qū)間。解 ，對， ，,自由度，查 分布表，可得 ,，。 的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 例11 對甲、乙兩廠生產(chǎn)的電池作抽查，測得使用壽命（單位：小時）如下甲廠電池壽命550，540，600，510乙廠電池壽命635，580，595，660，640設(shè)甲、乙兩廠生產(chǎn)的電池，使用壽命分別為 和 ，求 的水平為 95% 的置信區(qū)間。解 ， ， ， 。對 ，自由度 ，查 分布表，可得， 。 ， 。 的水平為 95% 的置信區(qū)間為 。 例12 為研究氣管炎與吸煙的關(guān)系，對339人作調(diào)查，得到

28、結(jié)果如下： 不吸煙 每日吸煙10支以下 每日吸煙10支以上總和 有氣管炎13202356 無氣管炎1218973283總：氣管炎是否與吸煙有關(guān)？（顯著水平）解 設(shè) 為患氣管炎的狀況， 為吸煙狀況，問題相當(dāng)于要檢驗 ： 與 獨立。 。對顯著水平，自由度，查 分布表，可得臨界值， 由于，所以拒絕假設(shè)： 與 獨立，檢驗的結(jié)論是：氣管炎與吸煙有關(guān)。 模擬考試卷及答案華東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試卷1選擇題1對任意二事件，與不等價的是（ ）。2. 設(shè)三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率均為，則事件A至少出現(xiàn)一次的概率為（C ）。A. B. C. D. 3. 從

29、3個男生、2個女生中任意選出2人，現(xiàn)在已知選出的2人中至少有一人是女生，在這種情況下，選出2人恰好是一個男生和一個女生的概率為（C ）。A B C D 4離散型隨機變量的分布函數(shù)為，則（ ）。 (A) 0.2; （B）0.3; （C）0.5; （D）0.5. 設(shè)，則（B）。 (A) 對任何實數(shù) ，都有; (B) 對任何實數(shù) ，都有; (C) 對任何實數(shù) ，都有; (D) 只對的個別值，有 .6、當(dāng)隨機變量的可能值充滿區(qū)間（ ），則可成為的概率密度。 （A） (B) (C) (D) 7設(shè)總體，（X1，X2，X6 ）為取自總體的樣本， 則常數(shù)c=（ C）時，隨機變量服從t分布。（A） （B） (C

30、) (D) 填空題1、已知，則 0.3 . 2. 向單位圓內(nèi)隨機地投下3點，則這3點恰有2點落在同一象限內(nèi)的概率為_9/16_。3 .設(shè)，= ，則的數(shù)學(xué)期望E=_2/3_。4. 已知隨機變量，且，則二項分布的參數(shù) 的值分別為0.4。 5. 設(shè)為總體的樣本，問n至少為 49 時，才能保障總體均值 的水平為 的置信區(qū)間的長度。6隨機擲100次硬幣，設(shè)為出現(xiàn)的正面數(shù)，為出現(xiàn)的反面數(shù)，則相關(guān)系數(shù)-1 .三、設(shè)為兩個隨機事件，且，證明事件相互獨立。證法一：由題設(shè)及條件概率定義得，又，由以上二式可得P(AB)=P(A)P(B)，故A與B相互獨立。證法二：由全概率公式得P（A）P（B）P（AB）P（）P（A

31、）P（B）P ()P（AB）（由題設(shè)）P（AB），則P（AB）P（B）P（AB）P（A）P（B），故A與B相互獨立。四、設(shè)隨機變量 X 在區(qū)間 2，5 上服從均勻分布，現(xiàn)對X進行3 次獨立觀察，試求至少有兩次觀察值大于3的概率。解：設(shè)Y是3 次獨立觀察中觀察值大于3的次數(shù)，則 YB( 3 , p ) ,其中p是X 大于3的概率,由于X在區(qū)間 2，5 上服從均勻分布，故 p=,于是 。五、設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為 。（1）求常數(shù)；（2）求邊緣密度和，并且問與是否相互獨立？ 解：（1）因為 ，所以 ，即有 。（2） ， 。因為 ，所以與不相互獨立。六、設(shè)總體的概率分布為 其中是未知參數(shù)，利用

32、總體的如下樣本觀測值：1、0、1、2、1, 求的矩法估計值和極大似然估計值. 解： （1）解方程，得的矩法估計值 （2）似然函數(shù)，解方程得的極大似然估計值 華東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試卷2選擇題1對于任意兩事件和，則下列結(jié)論正確的是（ C ）A； B；C； D。2已知，則事件、全不發(fā)生的概率為（ ）。（A）; （B）; （C）; （D）.3. 同時擲4顆均勻骰子，則至少有一骰子出現(xiàn)6的概率為（ C ）。（A）； （B）； （C）； （D）4已知離散型隨機變量的概率分布為 1 2 3 0.3 0.6 0.1用切比雪夫不等式估計 （ D ） 。A0.16 B0.20 C0.

33、80 D0.84 5. 設(shè)隨機變量密度函數(shù)為，則的密度函數(shù)為（ A ）。 B、 C、 D、6.從含有未知參數(shù)的總體中隨機抽取樣本，則下列（C ）不是統(tǒng)計量。A. B. C. D.7、設(shè)總體，是的樣本，是樣本均值，則(D)是總體方差的無偏估計. （A） （B）（C） （D）填空題1已知事件與互不相容，這時 3/8.2. 若隨機變量,則方程有實根的概率為 。3 設(shè)隨機變量的期望與方差都等于，又，則3 4. 設(shè)總體 的概率分布為 -1 0 1 t 0.2 0.3則=_0.76_。5. 設(shè)為兩個隨機變量，滿足則 3/7 .6.為X的樣本，記，則 7. 隨機變量，相互獨立，則E(-2+3)=11.三、甲

34、、乙兩廠生產(chǎn)的電池放在一起，已知其中有75 是甲廠生產(chǎn)的，有25%是乙廠生產(chǎn)的，甲廠電池的次品率是0.02 ，乙廠電池的次品率是0.04 。現(xiàn)從這批電池中任意取一個，（1）求它是次品的概率；（2）現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)任意取出的一個電池是次品，求它是乙廠生產(chǎn)的概率. 解：設(shè)事件 取到次品，取到甲廠產(chǎn)品，取到乙廠產(chǎn)品， （1）（2）四、已知的分布函數(shù)為 試求：（1）的值；（2）概率密度；（3）。解：（1）由即 （2）概率密度 （3） 五、有10000個相同年齡段的人參加某保險公司的人壽保險，年保險費為每人10元，死亡時，死者家屬可從保險公司獲得4000元保險金。根據(jù)歷史資料在一年內(nèi)這類人群的死亡率為千分之一，

35、試用中心極限定理近似計算：（1）保險公司虧本的概率，（2）保險公司一年內(nèi)至少獲利40000元的概率。（ ）解：用表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則顯然，其中，。由二項分布中心極限定理， 。（1）保險公司虧本的概率 。（2）保險公司一年內(nèi)獲利不少于40000元的概率為： 。六、某廠生產(chǎn)的一種鋼索，其斷裂強度現(xiàn)抽查9件樣品，測得平均斷裂強度, 能否據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的斷裂強度為。（， ）解：原假設(shè)接受域 （1.96，1.96） .能據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的斷裂強度為。華東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試卷3選擇題1. 已知則下列結(jié)論正確的為（ B ）。（A）； （B）； （C）； （D）2. 每次試

36、驗的成功概率為，進行重復(fù)試驗，直到第10次試驗才取到4次成功的概率為（C）。（A）；（B）；（C）；（D）.3.設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為,則數(shù)學(xué)期望為（D）。（A）1; （B）; （C）; （D）2.4、設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，則概率（ D ）。A、隨的增加而增大 B、隨的增加而減小 C、隨的增加而增大 D、等于一個常數(shù)。5、設(shè)隨機變量和不相關(guān)，則下列結(jié)論成立（B ） （A） 與獨立 （B） （C） （D）6. 設(shè)隨機變量X ，Y相互獨立，服從相同的兩點分布：，則下列結(jié)論中肯定正確的是（ C ）：（A）X=Y ； （B）P(X=Y) = 0 ； （C）P(X=Y) = ； （D）P(X=Y

37、) = 1 。7.設(shè)總體，是取自總體的一個樣本，則有（D ）A. B. C. D. 填空題1. 設(shè) 0.25 。2已知離散型隨機變量的概率分布為 -2 -1 0 1 2 t 2t 1/10 1/10 t則t=_0.2_。3.已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為，則X的數(shù)學(xué)期望為 1 X的方差為 .4 設(shè)獨立，且其概率密度分別為，則 1 1/4 , 2 , 0 。5. 設(shè)為總體的樣本,若服從于則常數(shù)= 1/5 ,= 1/25 。6. 已知的概率密度，其中是未知參數(shù),的樣本是,這時：1)的矩估計為, 2）的極大似然估計為.7. 若隨機變量滿足，則與的相關(guān)系數(shù)等于-1。三、某選擇題有4個選項，已知考

38、生知道正確解法的概率為，此時該考生因粗心犯錯的概率為；如果該考生不知道正確解法時只能隨機亂猜。1）求該考生答對選擇題的概率；2）已知該考生答對了，求該考生確實知道正確答案的概率？解：設(shè)表示“知道正確解法”，“答對選擇題”。據(jù)題意：， （1） . 四、設(shè)隨機變量服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，求隨機變量的密度函數(shù)。 （10分）解：因，即，的取值范圍是（0，） 故：五、設(shè)隨機變量，相互獨立，其概率密度分別為=，=，求的概率密度函數(shù)。 解法一：套用線性函數(shù)的密度公式=，為積分先畫圖。由圖可知需按的不同值分別討論：= 。解法二：（用二重積分先求分布再求密度方法）：利用公式 因為 ， 獨立，故當(dāng)（相應(yīng)于

39、圖中直線(1)）時，；當(dāng)（相應(yīng)于圖中直線(2)）時，= 。當(dāng)（相應(yīng)于直線(3)）時=求導(dǎo)后可得密度函數(shù)。=.六、設(shè)總體的概率分布為，其中為未知參數(shù)，是取自總體的簡單隨機樣本的觀察值，求參數(shù)的矩估計量以及的極大似然估計量。 解：；令 ，的矩估計量。似然函數(shù)：,，。令 ，解得的最大似然估計量 ，這里。華東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試卷4選擇題1、設(shè)A和B是兩個互斥事件，則下列結(jié)論正確的（ D ） （A）； （B）與不相容；（C）； （D）2. 設(shè)獨立，且，則（A ）。（A） 0.4; （B）0.3; （C）0.2 ; （D）0.3. 設(shè)是的分布函數(shù)，是的概率密度，且，則對任何常

40、數(shù)，必有（ D ） 。 A B C D4若對任意的隨機變量，存在，則等于（ C ） 。A0 B C D 5.設(shè)隨機變量和相互獨立，其分布函數(shù)分別為與，則 的分布函數(shù)等于（ B ）（A） （B） （C） （D）6設(shè)總體為的樣本，下面四個無偏估計中( )最有效. 7、設(shè)總體，樣本均值為，要使得總體均值的水平為0.95的置信區(qū)間為，樣本容量必須等(C).（A）7； （B）8； （C）9； （D）16.填空題1若某人射擊的命中率為0.2，則他命中目標(biāo)時已經(jīng)射擊的次數(shù)為的概率，。2. 設(shè)離散型隨機變量的概率分布為 -1 0 a P 0.4 0.4 b且E=0.2，則a= 3 , b= 0.2 。3已知隨

41、機變量，則的分布密度函數(shù)為 。4. 已知，則與的協(xié)方差 0.5 。5. 已知隨機變量,滿足用切比雪夫不等式估計 1/12 。 6.設(shè)是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機樣本，則服從分布（須寫出自由度）.7. 從服從正態(tài)分布的總體中隨機抽取100個樣本，測得樣本均值為5，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為（4.804, 5.196）.三、設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為： ， 又已知。試求：（1）常數(shù)的值,;（2）期望 。解:（1）由密度規(guī)范性，以及期望、概率的密度計算公式，分別有：于是，得到如下的線性方程組：（2）由隨機變量函數(shù)期望公式： 四、設(shè)的聯(lián)合概率分布表為 -1 0 101 x y 如果已知，求

42、：（1）；（2）;(3) 獨立嗎？解 （1）的邊緣概率分布為0 x+5/24y+1/2 的邊緣概率分布為1 1（2）05/2419/24.(3)由,一切均成立。故與相互獨立。五、某一工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設(shè)每箱平均重為50 kg, 標(biāo)準(zhǔn)差為4 kg, 若用最大載重量5噸的汽車承運，試用中心極限定理說明每車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.9772。解：設(shè)每箱的重量，則由題意知，即，得。六、設(shè)總體，其中均未知，通過對總體的9次觀察算得樣本均值為1960，樣本方差為，問在顯著性水平情況下，能否認(rèn)為的值等于2000？ 解： 令 故接受域為 ；拒絕域為 因故不拒絕華

43、東理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院成人教育概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試卷5選擇題1、設(shè)隨機事件與滿足，則（D）不成立。（A） （B）與互不相容 （C） （D）2. 假設(shè)事件與滿足，則下列結(jié)論中正確的是（B）。（A）是必然事件；（B）；（C）；（D）.3. 已知，則（A）。（A）1/4; （B）1/3; （C）1/2 ; （D）1/12. 4. 在下列函數(shù)中，可以作為隨機變量的概率密度函數(shù)的是（A ） A. BC D 5已知二維隨機變量的邊緣分布都是正態(tài)分布，則結(jié)論（A）不正確.A一定服從二維正態(tài)分布； B；C可能服從二維正態(tài)分布； D 以上結(jié)論不都正確。6、已知，則與的協(xié)方差 （ D ）。（A）0.2; （B）0

44、.3; （C）0.4; （D）0.5 7.樣本取自總體，已知，則可作為的無偏估計的是（A）。（A）當(dāng)已知時，; （B）當(dāng)已知時，;（C）當(dāng)未知時，; （D）當(dāng)未知時，.填空題1、 設(shè), 則當(dāng)與互斥時，_0.2_,當(dāng)與獨立時，_1/3_。2. 設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為： 且 ，則： 的值分別等于： 1 和 2 。3. 設(shè)某班的考試成績，已知，則 76.832 。4連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為,則 2.4 。5.設(shè) 則的相關(guān)系數(shù) .6將一枚硬幣重復(fù)投擲n次,設(shè)，分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則與的相關(guān)系數(shù)為_-1_. 7、設(shè)來自正態(tài)總體的容量為10的簡單隨機樣本的樣本方差為11，則的方差的置信度為

45、0.95的置信區(qū)間為（5.204, 36.667）.三、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為,求: (1)A;(2);(3).解: (1)由連續(xù)性得A=1;(2);(3),四、已知兩維隨機變量的概率分布為 0 101/81/81a5/8求： （1）. 常數(shù)a；（2）. ,的邊緣概率分布；（3）. 期望和，方差和;（4）. ,的相關(guān)系數(shù) ；（5）. 問,是否相互獨立？為什么？解：（1）由 ; （2） 0 1P1/43/4 0 1 P1/43/4（3）=3/4，=3/4，=3/16，=3/16; （4）; （5）。五、設(shè)是來自總體的一個簡單隨機樣本，的概率密度函數(shù)為，其中，求參數(shù)的極大似然估計與矩估計。解：，

46、得的極大似然估計為： 由得的矩估計為：（其中，） 六、為了確定在不同的操作方法下，煉鋼的得率（可用鋼材量與投入爐中金屬量之比，單位：）是否有顯著的差異，在同一平爐上，用原方法煉10爐鋼，得到得率如下：78.1 ，72.4 ，76.2 ，74.3 ，77.4 ，78.4 ，76.0 ，75.5 ，76.7 ，77.3 ；用新方法煉12爐鋼，得到得率如下：79.1 ，81.0 ，77.3 ，79.1 ，80.0 ，78.2 ，79.1 ，79.1 ，77.3 ，80.2 ，82.1 ，80.1 。設(shè)這兩個樣本相互獨立，都來自正態(tài)總體。問：（1）是否可以認(rèn)為兩種方法下煉鋼得率的方差相等？（顯著水平）

47、（2）是否可以認(rèn)為兩種方法下煉鋼得率的均值相等？（顯著水平）解 設(shè)兩種方法下煉鋼的得率分別為總體 和 。，；， 。（1）問題相當(dāng)于要檢驗 ： 。 。對，查分布表，可得 ， ，因為 ，接受 ： 。（2） 問題相當(dāng)于要檢驗 ：。 ， 。對，查分布表可得 。因為 ，拒絕 ： 。表1 常用離散型和連續(xù)型分布分布名稱分布記號概率分布或概率密度數(shù)學(xué)期望方差分布二項分布普阿松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布分布 分布 分布表2 普阿松分布的概率 k0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.500.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49

48、660.44930.40660.36790.223110.09050.16370.22220.26810.30330.32930.34760.35950.36590.36790.334720.00450.01640.03330.05360.07580.09880.12170.14380.16470.18390.251030.00020.00110.00330.00720.01260.01980.02840.03830.04940.06130.125540.00010.00030.00070.00160.00300.00500.00770.01110.01530.047150.00010.000

49、20.00040.00070.00120.00200.00310.014160.00010.00020.00030.00050.003570.00010.000880.0001k2.02.53.03.54.04.55.06.07.08.09.000.13530.08210.04980.03020.01830.01110.00670.00250.00090.00030.000110.27070.20520.14940.10570.07330.05000.03370.01490.00640.00270.001120.27070.25650.22400.18500.14650.11250.08420

50、.04460.02230.01070.005030.18040.21380.22400.21580.19540.16870.14040.08920.05210.02860.015040.09020.13360.16800.18880.19540.18980.17550.13390.09120.05730.033750.03610.06680.10080.13220.15630.17080.17550.16060.12770.09160.060760.01200.02780.05040.07710.10420.12810.14620.16060.14900.12210.091170.00340.

51、00990.02160.03850.05950.08240.10440.13770.14900.13960.117180.00090.00310.00810.01690.02980.04630.06530.10330.13040.13960.131890.00020.00090.00270.00660.01320.02320.03630.06880.10140.12410.1318100.00020.00080.00230.00530.01040.01810.04130.07100.09930.1186110.00020.00070.00190.00430.00820.02250.04520.

52、07220.0970120.00010.00020.00060.00160.00340.01130.02630.04810.0728130.00010.00020.00060.00130.00520.01420.02960.0504140.00010.00020.00050.00220.00710.01690.0324150.00010.00020.00090.00330.00900.0194160.00030.00140.00450.0109170.00010.00060.00210.0058180.00020.00090.0029190.00010.00040.0014200.00020.

53、0006210.00010.0003220.0001表2（續(xù)） 普阿松分布的概率 k1011121314151617181920010.00050.00020.000120.00230.00100.00040.00020.000130.00760.00370.00180.00080.00040.00020.000140.01890.01020.00530.00270.00130.00060.00030.00010.000150.03780.02240.01270.00700.00370.00190.00100.00050.00020.00010.000160.06310.04110.02550

54、.01520.00870.00480.00260.00140.00070.00040.000270.09010.06460.04370.02810.01740.01040.00600.00340.00190.00100.000580.11260.08880.06550.04570.03040.01940.01200.00720.00420.00240.001390.12510.10850.08740.06610.04730.03240.02130.01350.00830.00500.0029100.12510.11940.10480.08590.06630.04860.03410.02300.

55、01500.00950.0058110.11370.11940.11440.10150.08440.06630.04960.03550.02450.01640.0106120.09480.10940.11440.10990.09840.08290.06610.05040.03680.02590.0176130.07290.09260.10560.10990.10600.09560.08140.06580.05090.03780.0271140.05210.07280.09050.10210.10600.10240.09300.08000.06550.05140.0387150.03470.05

56、340.07240.08850.09890.10240.09920.09060.07860.06500.0516160.02170.03670.05430.07190.08660.09600.09920.09630.08840.07720.0646170.01280.02370.03830.05500.07130.08470.09340.09630.09360.08630.0760180.00710.01450.02550.03970.05540.07060.08300.09090.09360.09110.0844190.00370.00840.01610.02720.04090.05570.

57、06990.08140.08870.09110.0888200.00190.00460.00970.01770.02860.04180.05590.06920.07980.08660.0888210.00090.00240.00550.01090.01910.02990.04260.05600.06840.07830.0846220.00040.00120.00300.00650.01210.02040.03100.04330.05600.06760.0769230.00020.00060.00160.00370.00740.01330.02160.03200.04380.05590.0669

58、240.00010.00030.00080.00200.00430.00830.01440.02260.03280.04420.0557250.00010.00040.00100.00240.00500.00920.01540.02370.03360.0446260.00020.00050.00130.00290.00570.01010.01640.02460.0343270.00010.00020.00070.00160.00340.00630.01090.01730.0254280.00010.00030.00090.00190.00380.00700.01170.0181290.0001

59、0.00020.00040.00110.00230.00440.00770.0125300.00010.00020.00060.00130.00260.00490.0083310.00010.00030.00070.00150.00300.0054320.00010.00010.00040.00090.00180.0034330.00010.00020.00050.00100.0020340.00010.00020.00060.0012350.00010.00030.0007360.00010.00020.0004370.00010.0002380.0001390.0001標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函

60、數(shù) 表中是與 對應(yīng)的 分布的分布函數(shù) 的值.00.01.02.03.04.05.06.07.08.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.6