濾波實驗報告

1、信號采樣與恢復過程中的混疊及其濾波創(chuàng)作：歐陽育時間：2021.02.04一、實驗目的:理解連續(xù)時間信號的采樣與恢復過程；掌握采樣序列的頻域分析和濾波，信號的恢復，掌握 Shannon采樣定理；學會利用MATLAB軟件分析信號采樣、濾波與恢復的 過程。學會FIR濾波器的簡單設計方法二、實驗內(nèi)容:給定原始信號如下式所示：/(/) = 1 + 0.5 sin 2 兀 Jt + 0.2 sin f2t其中，幾人是信號原始頻率(本實驗中為自選常數(shù)，久為低頻， 人為高頻)。確定一個采樣頻率人對/進行采樣，再將采樣得 到的序列進行DFT,畫出過程中各信號的圖形。進行頻域高、 低頻濾波，再反變換得出處理后恢復

2、出來的信號。將實驗過程 中得到的圖形與理論圖形進行比較，發(fā)現(xiàn)不同點并加以解釋。三、實驗過程:先選定fl二50hZ、170念，則原始信號表示為：1、原信號時域截取:因為在計算機中只能計算離散的點列，若要用MATLAB處 理圖形，只能先對信號進行截取和采樣。本實驗選定矩形截取 窗口的寬度為原信號周期的m倍，m為正整數(shù)。所以畫出截取 后的信號圖像為圖1截斷后的信號圖像原信號中低頻為50H乙高頻為70H乙取采樣頻率人為3倍 的即A = 3x70Hz = 210Hz50和70的最大公約數(shù)為10,所以原O信號的最小正周期為1/lOs,這里取m為3 (即取窗口函數(shù)的寬 度為3/10S),相應的采樣點數(shù)2=1

3、40 x0.3 = 42,所以窗口函數(shù)為其圖像如圖2所示，其傅立葉變換圖像如圖3所示，其公式 如下：rsin().5r)g_2n(r) =圖2窗函數(shù)其中r = 0.35圖3窗函數(shù)傅里葉變換(CTFT)0.5d?r時域截取的過程就是原函數(shù)/在時域乘以口，而在頻域r sin（05如嚴龍F（與飛茲廠做卷積運算后再乘以系數(shù)I”，而在實際 計算機仿真過程中，只要選好信號橫坐標的范圍就完成了截取 信號的過程，本實驗中取信號橫坐標為3）,截取后的CT信號 的傅里葉變換圖像如圖4所示，其圖像在頻域坐標軸上向正負無 窮延展。圖4截取后的CT信號（0s，0.3$）的CTFT巧9）2、截斷信號的時域采樣截斷后的信號

4、就可以在時域上進行采樣，采樣函數(shù)為 p（,nTS截斷后的信號加）乘以郭所以在頻域相當 于1/2眄與進行卷積，其得到的圖像為周期的， 其圖像與離散采樣信號的DTFT形式相同。以上為CT信號的分析，對于離散信號，為了適應計算機的處 理方式，我們需要采用DFT和IDFT進行計算求解。采樣后的離散 信號圖像為下圖所示圖5采樣后的信號對上述有限的離散信號求DTFT,可以得到其在頻域的表現(xiàn)形 式，對離散角頻率。取【6絢之間的629個樣點，計算其DTFT, 并畫出圖像如下圖6有限采樣信號的DTFT頻譜如果對上述頻譜圖進行采樣，則相應的，離散采樣信號將進 行周期延拓，如果在頻域進行采樣，并保證在一個主周期中，

5、 有N個采樣點，則離散采樣信號將以N為離散周期進行延拓。如 果令N = M=63,則其相當于原始周期信號的采樣。利用DFT,我們可以完成這個過程，DFT公式為其類似于DTFS公式，特點是隱含周期性，就得到了離散的頻 譜，其頻譜與連續(xù)周期信號的頻譜在形式上極為相似，只要保 證n = Nc,頻譜賦值在數(shù)值上相同。其圖像如下：圖7離散信號的DFT離散頻譜3、設計離散濾波器并進行濾波。目前，只進行了低通濾波。目標：濾除70Hz的高頻成分，保留直流分量和50Hz的低 頻成分。方法：采用窗函數(shù)法設計FIR濾波器。采用海明窗。具體步驟：G =2ttx 、取通帶截止頻率為人,取阻帶起始頻率為nv/=2xA o

6、A ,2 ，取阻帶衰減不小于-50dbo、求理想濾波器的沖擊響應。w(n) = 0.54 - 0.46cos(n)、選擇窗函數(shù)本實驗取海明窗N j、確定N值。海明窗帶寬：in ,3 = 2皿-密)/2,所以求得N為35(5)、確定 FIR 濾波器的 hMh(n) = hdWw(n)(6)、求從川)經(jīng)過計算，得到的濾波器的單位沖擊響應和 濾波器的頻譜圖如下圖所示圖8濾波器單位沖擊響應圖9數(shù)字濾波器的頻譜圖下面進行濾波，把離散信號的DFT離散頻譜函數(shù)和數(shù)字濾 波器的頻譜函數(shù)對應相乘，進行了頻域濾波。濾波后的離散頻 譜如下圖所示圖10濾波后的離散頻譜圖利用IDFT進行反變換得到濾波后的離散信號，其圖

7、像如下圖11 IDFT后的離散信號4、離散信號變?yōu)檫B續(xù)信號(插值)(1)利用理想插值函數(shù)進行插值，其插值函數(shù)圖像如下圖12理想插值函數(shù)插值效果如下圖所示圖13原始信號復原圖但是，上述插值在物理世界中，無法實現(xiàn)，因為它非 因果，且為無窮信號。與此同時，通過觀察發(fā)現(xiàn)，在復 原圖像的邊緣誤差較大，原因是因為所取的離散信號點 為有限個，所以存在誤差，當在邊界進行插值時，邊界 另一邊沒有信號值，所以誤差較大，當采樣點為無窮個 時，理論上可以精確復原原圖像，但這在現(xiàn)實生活中，無法實現(xiàn)。(2)階線性插值，其插值函數(shù)圖像如下圖14 階線性插值函數(shù)插值效果如下圖所示圖15原始信號復原圖階線性插值插值誤差較大，但

8、基本反映出了圖像的形 態(tài)，其在物理上可以實現(xiàn)。通過觀察，上述復原圖在邊 緣出也存在較大誤差，原因同上，同時因為插值函數(shù)具 有延時效果，所以復原信號在實間上有延遲，最直觀就 是比理想復原圖向后移動了一小段距離。5、參數(shù)調(diào)整 通過上面的實驗，我對信號采樣與復原過程有了一定的了解， 下面通過參數(shù)調(diào)整來加深理解。窗函數(shù)為整數(shù)倍周期，否則無法復原為原圖像調(diào)整截斷信號所用窗函數(shù)的寬度，使其不等于周期的整數(shù) 倍。之前取m二3,這里取m二1.5。得到的結(jié)果如下，這是因 為，利用DFT在計算周期延拓離散信號的頻譜的時候，在時域 延拓后的圖像與原圖像已經(jīng)不一樣了。、對于最高頻率分量幅值不為零或不趨于零的信號，采樣

9、 頻率要嚴格大于兩倍最大頻率上述實驗中采樣頻率取值為3倍的信號最大頻率分量，下面取/,=2x70Hz = 140Hz實驗結(jié)果如下通過觀察發(fā)現(xiàn)，頻譜中沒有70HZ對應的成分，這是因為以2 倍的頻率來采樣in(曲+ 0)這樣的諧波，得到的離散點無法反映 該信號的全部特征，在這里對該信號的采樣，全部在 心如必= 0,123.時刻，當殲0時，所有的采樣值都為零，就如 上圖所示，當0取其他值時，將會在頻域發(fā)生混疊。這里取 = 02改變題干 令=1 + 0.5sin + 0.2sin(2f2t + 0.2)得到的結(jié)果，如下所以，對于最高頻率分量幅值不為零或不趨于零的信號，采樣 頻率要嚴格大于兩倍最大頻率。

10、采樣數(shù)對于不同實驗的實驗結(jié)果的影響。通過實驗發(fā)現(xiàn)，提高窗函數(shù)寬度，即在采樣頻率不變的情況 下提高采樣點數(shù)，對信號復原效果提高不大。通過實驗發(fā)現(xiàn)，在窗函數(shù)寬度不變的情況下，提高采樣頻率 能顯著提高信號復原效果，但在信號邊緣的誤差無法得到顯著 改善。欠采樣時，高頻分量會關(guān)于采樣頻率反折而變?yōu)榈皖l分 So例如取/070居=49雖時,50Hz和70Hz的分量都關(guān)與 采樣頻率進行了反折。結(jié)果如下1*0 5 sm（2 x rf tpo.2 sin（21 q c）殺樣伯尋DT來鋅音號斑諾阻含闿期，DH計箋)四、實驗總結(jié)和體會(-)此次計算機模擬仿真實驗，主要是做了以下一些工 作：1、模擬了連續(xù)信號采樣和復原的過程。2、變換了不同的參數(shù)，并加以解釋，加深了對問題的理解。3、采用了窗函