點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦問題

1、 點(diǎn)差法就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候，利用直線點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦問題和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，并把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點(diǎn)求出直線方程。用點(diǎn)差法時(shí)計(jì)算量較少，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)非常有效，但有一個(gè)弊端，不能保證直線與圓錐曲線一定有兩個(gè)交點(diǎn)，故有時(shí)要用到判別式加以檢驗(yàn)。定理 1 】 在橢圓2 x2 ab21 ( a b 0)中，若直線l 與橢圓相交于M、 N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x0, y0) 是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l 的斜率為k MN ，則kMNy0b2證明：設(shè)M、N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1 , y1 ) 、

2、x02.a22x1y1a(x2,y2)，則有ab21,(1)x22y221.(2)b(1) (2)，22x1x2 y12y2b20.y2y1y2y1b2x2x1x2x1.又MNy2y1x2x1定理2】 在雙曲線22 aba 0， b 0)中，若直線弦 MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線 l證明：設(shè)M、(1) (2)，得又kM定理y1 y22yx1 x22xkMN ，則kMN y0 x0l 與雙曲線相交于b2y. kMN x2.a22x1y1b2N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1 ,y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，則有22x2y222abM、b22. aN 兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x0 , y0 ) 是1,(1)1

3、.(2)2x1x22 y12y2b20. y2y1 y2x2x1x2y1x1b22. ay2y1y1y22y0 x2x1x1 x2 2x0y0ky0. kMNb2x0 x02. a3】 在拋物線y2 2mx(m 0) 中，若直線l 與拋物線相交于M、 N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x0, y0) 是弦MNMN所在的直線l 的斜率為kMN ，則kMN y0m.證明：設(shè)M、 N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1 ,y1) 、 (x2 , y2 ) ，則有2y12mx1 ,(1)2y22mx2.(2)22y2y1(1) (2) ，得y1y2 2m(x1x2).(y2y1) 2m.x2x1y2 y1又kMN, y2 y1 2y

4、0 . kMN y0 m .x2 x1注意：能用這個(gè)公式的條件：（ 1）直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（ 2）直線的斜率存在.一、橢圓1、過橢圓x y 1 內(nèi)一點(diǎn)P（2,1）作一條直線交橢圓于A、 B 兩點(diǎn)，使線段AB 被 P 點(diǎn)平分，求此直線的16 4方程【解】法一：如圖，設(shè)所求直線的方程為y 1 k（x 2），代入橢圓方程并整理，得（4k21）x28（2k2 k）x4（2k1）2160，（*）又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），則 x1 、 x2 是 （*） 方程的兩個(gè)根，x1 x2 8 2k k .4k2 1x1 x2 4 2k2 k1 P 為弦 AB 的中點(diǎn)，22

5、 2.解得k2，所求直線的方程為x2y40.法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A（x1， y1）， B（x2， y2）， P 為弦 AB 的中點(diǎn)，x1 x2 4， y1 y2 2.又A、B 在橢圓上，x214y1216，x224y2216.兩式相減，得（x21x22）4（y12y22）0，y1 y2 x1 x21即 (x1 x2)(x1 x2) 4(y1 y2)(y1 y2) 0.2，x1 x24 y1 y2211即kAB2. 所求直線方程為y12（ x2） ，即x2y40.2、已知橢圓+=1 ，求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程P（ x， y） ， A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） P 為

6、弦 AB 的中點(diǎn)，x1+x2=2x， y1+y2=2y則+=1 ， =1 ， 得，=3，整理得：x+y=0 ，解得 x= 所求軌跡方程為：x+y=0 （ x） P 的軌跡方程為：x+y=0 （ x b 0) ，則a2 b2=50又設(shè)直線3x y 2=0 與橢圓交點(diǎn)為A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，弦AB 中點(diǎn)（x0， y0）x0= ，代入直線方程得y0= 2=，0AB 的斜率 k=?=?=3=1 ，a2=3b2聯(lián)解 ，可得a2=75， b2=25，橢圓的方程為：=1 故答案為：=12 x4、 例1（ 09 年四川） 已知橢圓2a2y21（ a b 0） 的左、 右焦點(diǎn)分別為F

7、1、 F2， 離心率 e 2 ， HYPERLINK l bookmark0 o Current Document b22右準(zhǔn)線方程為x 2 .（ ） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2 26（ ） 過點(diǎn)F1 的直線l 與該橢圓相交于M、 N 兩點(diǎn)，且| F2M F2 N |，求直線l 的方程 .3解： （）根據(jù)題意，得c ea2a2,x2a 2,b 1,c 1 . 所求的橢圓方程為y21 .2xc2.F1（ 1,0） 、 F2（1,0） . 設(shè)直線 l 被橢圓所截的弦MN的中點(diǎn)為 P（x, y） . 由 平 行 四 邊形法則知：2 26F2M F2N 2F2P . 由|F2M F2N |得 ：3| F2P

8、 |326 . (x 1)2 y226. 9若直線 l 的斜率不存在，則l x軸，這時(shí)點(diǎn)P 與 F1 ( 1,0) 重合， | F2MF2N | | 2F2F1 | 4，與題設(shè)相矛盾，故直線l 的斜率存在. 由 kMN y b 得： y y 1 .y21 (x2 x). TOC o 1-5 h z x a2 x 1 x 22 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 126代入，得(x 1)2(x2 x).整理，得：9x2 45x 17 0 .29172解之得：x ，或 x .331721y由可知，x 不合題意. x ，從而 y . k1.333x1所

9、求的直線l 方程為 y x 1 ，或 y x 1 .6、 ( 2009 秋 ?工農(nóng)區(qū)校級(jí)期末)已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的M ，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為x1， y1) ， ( x2， y2) ，則兩式相減，得=0， （y 1y2）（y1+y2）=3（x1x2）（x1+x2），= 3，因?yàn)橹本€斜率為3，=3，所以中點(diǎn)x= ，x1 +x2=1 ，3= 31 （ y1 +y2） ，M 坐標(biāo)為(，) 故答案為：(，)為焦點(diǎn)且過點(diǎn)7、如圖，在D ，點(diǎn)Rt DEFDEF 90 ,| EF | 2,| EF ED | 52C：22x y 1 ，以 E 、 F a2 b2O 為坐標(biāo)原點(diǎn)。C

10、 的標(biāo)準(zhǔn)方程；C 交于不同的兩點(diǎn)M 、 N 且 | MK | | NK | ，若點(diǎn) K 滿足， 問是否存在不平行于EF 的直線 l 與橢圓|MK | |NK|，設(shè) MN 的中點(diǎn)為H，則 KH MN ，此條件涉及到弦MN 的中點(diǎn)及弦MN 的斜率，故用“點(diǎn)差法”設(shè) M (x1, y1 ), N(x2 ,y2 ), H (x0, y0) ，直線l 的斜率為 k ( k 0) ，2222則 3x12 4y12 12 3x22 4y22 12 由得：3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)03x04y0k0 又 |MK | | NK |， 則 KH MN ， 1y0 2 k 1x0從 而 解

11、 得x0 2k,y0點(diǎn)H (x0, y0) 在 橢 圓 內(nèi) ， 則2 x02y013k214111 k 1且 k 0 x8、 已知 AB 是橢圓 x2 a2by21 a b 0 不垂直于x軸的任意一條弦，P 是 AB 的中點(diǎn)， O 為橢圓的中心.求證：直線AB 和直線 OP 的斜率之積是定值.證明設(shè) A x1, y1 , B x2, y2 且 x1x2 ，則x12a2y1121，b2212 得：2 x1y1y21)x2y2b21( 2)2x222y1y2b22bx1x2x1x2 a2 y1y2y1y2kABx1x22bx1x2a2 y1y2又kOPyx11xy22b21a2 kOPb2kAB

12、kOP2 (定值).a雙曲線1 、過點(diǎn) P(4,1)的直線2l 與雙曲線x4 y2 1 相交于A、 B 兩點(diǎn)，且P 為 AB 的中點(diǎn)，求l 的方程24 y221，兩式相減得：2 解析 設(shè)A(x1，y1)， B(x2， y2)，則41 y12 1 ，14(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2) 0， P 為 AB 中點(diǎn)， x1 x2 8， y1 y2 2.y2 y1 1，即所求直線l 的斜率為1， l 方程為y1 x 4，即x y 3 0.x2x1 22、設(shè)A、 B 是雙曲線x2 y2 1 上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1,2）是線段 AB 的中點(diǎn)，（1）求直線 AB 的方程；（2）如果線段

13、AB 的垂直平分線與雙曲線交于C、 D 兩點(diǎn)，那么A、 B、 C、 D 四點(diǎn)是否共圓？為什么？分析 要證明A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓，首先判斷圓心所在位置，若A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓，則CD 垂直平分AB，據(jù)圓的性質(zhì)知，圓心在直線CD 上， CD 中點(diǎn) M 為圓心，只要證明|AM| |MB| |CM| |MD |即可解析 （1）依題意，可設(shè)直線AB 方程為y k（x 1） 2，2 x2y21得 （2 k2）x2 2k（2 k）x （2 k2） 2 0yk（x1） 2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1、x2是方程 的兩個(gè)不同的實(shí)根，所以2k 0.2k（2 k）x1 x2 TO

14、C o 1-5 h z x1 x22 .由N（1,2）是AB 的中點(diǎn)得， 1.2 k2即k（2k）2k2.解得k1， 直線 AB 的方程為yx1.y x 1，由2y2得x22x3 0，解得x13，x21.x 2 1，A（3,4）， B（ 1,0） CD 是線段 AB 的垂直平分線，所以CD 所在直線方程為yx 3.2由 x2 y2 1， 得 x2 6x 11 0.yx 3，設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），CD 的中點(diǎn)為M（x0，y0）由韋達(dá)定理，得x3x46，x3x411.從而x0 2（x3 x4） 3， y0 x0 3 6.| CD| （x3x4） 2（ y3y4）2）2（ x3x4）

15、 22（ x3x4）24x3x4410，|CM|MD |210.|MA|MB|（x0 x1）2（y0y1）22 10. A、 B、 C、 D 四點(diǎn)到 M 的距離相等，所以A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓23、已知雙曲線的方程為x2 y2 1.試問：是否存在被點(diǎn)B（1,1）平分的弦？如果存在，求出弦的直線方程，如果不存在，請(qǐng)說明理由分析 易判斷出點(diǎn)B（1,1）在雙曲線的外部，不妨假定符合題意的弦存在，那么弦的兩個(gè)端點(diǎn)應(yīng)分別在雙曲線的左右兩支上，其所在直線的傾角也不可能是90 .2解析 解法一：設(shè)被B（1,1）所平分的弦所在的直線方程為y k（x 1） 1，代入雙曲線方程x2 y2 1，得 （k2

16、2）x2 2k（k 1）x k2 2k 3 0. 2k（k 1） 2 4（k2 2）（k2 2k 3）0.3解得k2.故不存在被點(diǎn)B（1,1）所平分的弦解法二：設(shè)存在被點(diǎn)B 平分的弦MN，設(shè)M（x1， y1）、 N（x2， y2）22 y1 x1 2則x1 x2 2， y1y2 2，且22y2x221，1.1y1 y2 得（x1x2）（x1x2）2（y1y2）（y1y2）0.kMN2，故直線2x1 x2MN ： y 1 2（x 1）y 1 2（x 1），y2消去 y 得，2x2 4x 3 0， 80，即 k20，y20由 y= x2， 得 y=x 過點(diǎn)P的切線的斜率k=x1，1直線 l 的斜率

17、kl=，直線l 的方程為yx12=（ x x1） ， 聯(lián)立 消去y，得x2+x x 12 2=0 M 是 PQ 的中點(diǎn)x0=， y0= x1 2（ x0 x1） TOC o 1-5 h z 消去x1，得y0=x02+1（x00）， PQ中點(diǎn) M 的軌跡方程為y=x 2+1（x0） 2方法二：設(shè)P（x1，y1） 、Q（x2，y2）、 M（x0，y0），依題意知x10，y10，y20由y= x ， 得 y =x 過點(diǎn)P 的切線的斜率k 切 =x 1，直線l 的斜率kl=，直線 l 的方程為yx1 2=（ x x1） 方法一：聯(lián)立 消去 y，得x2+x x12 2=0M 為 PQ的中點(diǎn)，22x0=，

18、y0=x1（x0 x1） 消去x1，得y0=x0 +1（x00） ， PQ 中點(diǎn) M 的軌跡方程為y=x 2+1 （ x 0） （）設(shè)直線l： y=kx+b，依題意k0， b 0，則 T（ 0， b） 分別過P、 Q 作 PP x 軸， QQ x 軸， 垂足分別為P、 Q， 則=y= x2， y=kx+b 消去 x，得y2 2（ k2+b） y+b2=0 則 y1+y 2=2（ k2+b） ， y1y2=b2y1、 y2可取一切不相等的正數(shù)，的取值范圍是（2， +） 125、例（05 全國文22）設(shè)A（x1 ,y1）, B（x2 , y2）兩點(diǎn)在拋物線y 2x2上， l 是 AB的垂直平分線

19、TOC o 1-5 h z x1 x2取何值時(shí)，直線l 經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論.x11,x23時(shí)，求直線l 的方程 .2111解： （）xy，p ,F （0, ） . 設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為P（x0, y0） ，直線 l 的斜率為k ，則248x1 x22x0. 若直線 l 的斜率不存在，當(dāng)且僅當(dāng)x1 x20 時(shí)， AB 的垂直平分線l 為 y軸，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn) F. 若直線 l 的斜率存在，則其方程為y k(x x0 )y0， kAB.00k111由 x0 p 得：kx0，x0.kAB44k111若直線 l 經(jīng)過焦點(diǎn)F，則得：kx0y0y0， y0，與y0 0相矛盾 .80040

20、040當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，它不可能經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)x1x20 時(shí)，直線l 經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F.x11,x23時(shí)，A(1,2), B( 3,18), x0 x1 2x21,y0y12y210.1 x0 kAB1p 得： k4所求的直線1l 的方程為y (x 1) 10 ，即 x 4y 41 0.4若拋物線y2 4x上存在關(guān)于直線y kx 3(k 0)對(duì)稱的兩點(diǎn),求 k的取值范圍.解 : 設(shè) A x1,y1 ， B x2 , y2 是拋物線上關(guān)于直線y kx 3 k 0 對(duì)稱的兩點(diǎn),則設(shè)AB的中點(diǎn)px0, y0.y1y2y1y24x1x2,kABy1y2x1 x222y14x1,y2 4x2,421y1y22y0 y0ky02k 又y0 kx0 3,x0k點(diǎn) p在拋物線內(nèi)部,-2k 2 4 2 3 ,32k即 k2 3