2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：流體力學(xué)的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)（14張PPT）

1、流體力學(xué)的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)第三節(jié) 有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng) 根據(jù)流體微團(tuán)在流動(dòng)中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動(dòng)分為兩類：有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)。 數(shù)學(xué)條件： 當(dāng) 當(dāng) 無旋流動(dòng) 有旋流動(dòng) 通常以 是否等于零作為判別流動(dòng)是否有旋或無旋的判別條件。 在笛卡兒坐標(biāo)系中： （7-11） 例 剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度(2-1) 解：該流場代表了盛水的圓筒繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)的流動(dòng)。若坐標(biāo)系固定在圓筒軸上，流體相對于坐標(biāo)系處于平衡狀態(tài)，稱為相對平衡。 已知：設(shè)平面流場為 （k 0，為常數(shù)） 求：試分析該流場的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。流場中的速度分布如圖所示。由流線微分方程 -k y dy = k x dx,積分得流線方程

2、為 x2 + y2= C (C為常數(shù))說明流線是一簇同心圓。x, y方向的線應(yīng)變率和x y平面內(nèi)的角變形率分別為例 剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度(2-2) 說明在x,y方向無線變形，在xy平面內(nèi)無角變形。面積擴(kuò)張率為 說明在流動(dòng)平面上流體無任何變形，象剛體運(yùn)動(dòng)一樣。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為 說明流體象剛體一樣繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)，故稱為剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)分析可按靜力學(xué)方法處理。 即當(dāng)流場速度同時(shí)滿足： 時(shí)流動(dòng)無旋 需要指出的是，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。 如圖7-5（a），流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場為無

3、旋流動(dòng)；圖7-5（b）流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)盡管為直線運(yùn)動(dòng)，但流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動(dòng)為有旋流動(dòng)。（a） （b） 圖7-5 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡 【例7-2】某一流動(dòng)速度場為 ， ，其中 是不為零的常數(shù)，流線是平行于x軸的直線。試判別該流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)。 【解】 由于 所以該流動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)。 一般概念1. 歐拉運(yùn)動(dòng)方程 （無粘）蘭姆葛羅米柯方程（無粘)2. 歐拉積分（無粘、無旋 正壓、重力 、定常）伯努利積分（無粘、無旋不可壓、重力、定常）常數(shù) (全流場）常數(shù) （全流場）3. 斯托克斯定理（封閉曲線、渦束）開爾文定理（無粘、正壓、有勢力）（沿封閉流體線）例 有自由面的勢渦：無

4、旋流伯努利方程已知: 渦量處處為零的渦旋運(yùn)動(dòng)稱為勢渦（參見C2.4.3），速度分布為 v=v0=C/r，C為常數(shù)，r為徑向坐標(biāo)。求： 若勢渦具有自由面（例如河中的水旋，見圖）， 試確定自由面方程。 解： 勢渦流場為無旋流場，伯努利方程在全流場成立，在任意高度的兩點(diǎn)上流體微元的總能量守恒。設(shè)自由面的水平邊界漸近線為z=z 0，漸近線的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與自由面上的任意點(diǎn)有關(guān)系式 在水平邊界上r0，v0=c/r00；且在自由面上，ps=p0，由上式可得 將v=C/r代入上式可得自由面方程為旋轉(zhuǎn)雙曲線方程 運(yùn)動(dòng)微分方程 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)。可以用牛頓第二定律加以推導(dǎo)。 在流場

5、中取一平行六面體，如圖76所示。其邊長分別為dx，dy，dz，中心點(diǎn)為A(x,y,z) 。中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p=p(x,y,z)，密度為=(x,y,z) 。因?yàn)檠芯康膶ο鬄槔硐肓黧w，作用于六個(gè)面上的表面力只有壓力，作用于微元體上的單位質(zhì)量力 沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為 。 圖76 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程用圖 微元體在質(zhì)量力和表面力的作用下產(chǎn)生的加速度 ，根據(jù)牛頓第二定律 ：兩端同除以微元體的質(zhì)量 ,并整理有： (7-12) 寫成矢量式： (7-13) 將加速度的表達(dá)式代入（712）有： （714） 其矢量式為 ：（715） 公式（714）為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式，物理上表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡。該式推導(dǎo)過程中對流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)。 將（714）作恒等變形，便可以直接由運(yùn)動(dòng)微分方程判定流動(dòng)是有旋還是無旋流動(dòng)，在式（7-14）的第一式右端同時(shí)加減 、 ，得: 由式（7-8）得:（7-16） 寫成矢量形式 （7-17） 如果流體是在有勢的質(zhì)量力作用下，流場是正壓性的，則： 此時(shí)存在一壓強(qiáng)函