二次函數(shù)周長最小問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)周 長 最 小 問 題基本解題方法： 1.如圖，已知拋物線yax 24xc經(jīng)過點A（0，6）和B（3，9）（1）求拋物線的解析式；（2）寫出拋物線的對稱軸方程及頂點坐標；（3）點P（m，m）與點Q均在拋物線上（其中m0），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q的坐標；（4）在滿足（3）的情況下，在拋物線的對稱軸上尋找一點M，使得QMA的周長最小OABxy-6-93解：（1）依題意有 eq blc( eq aalco1vs4(a0 240c6,a3 243c9)即

2、 eq blc( eq aalco1vs4(c6,9a12c9) 2分 eq blc( eq aalco1vs4(a1,c6) 4分拋物線的解析式為：yx 24x6 5分（2）把yx 24x6配方，得y(x2)210對稱軸方程為x2 7分頂點坐標（2，10）10分（3）由點P（m，m）在拋物線上得mm 24m6 12分即m 25m60m16或m21（舍去）13分P（6，6）點P、Q均在拋物線上，且關(guān)于對稱軸x2對稱Q（2，6）15分（4）連接AP、AQ，直線AP與對稱軸x2相交于點M由于P、Q兩點關(guān)于對稱軸對稱，由軸對稱性質(zhì)可知，此時的交點M能夠使得QMA的周長最小 17分OABxy-6-93

3、PQM設(shè)直線AP的解析式為ykxb則 eq blc( eq aalco1vs4(b6,6kb6) eq blc( eq aalco1vs4(k2,b6)直線AP的解析式為：y2x6 18分設(shè)點M（2，n）則有n2262 19分此時點M（2，2）能夠使得QMA的周長最小 20分2.如圖，在平面直角坐標系中，直線yx與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線yax 2xc（a0）經(jīng)過點A、C，與x軸交于另一點B（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）若P是拋物線上一點，且ABP為直角三角形，求點P的坐標；yBOACDx（3）在直線AC上是否存在點Q，使得QBD的周長最小，若存在，求出Q點的坐標；若

4、不存在，請說明理由（1）直線yx與x軸交于點A，與y軸交于CA（1，0），C（0，）點A，C都在拋物線上 eq blc( eq aalco1vs4(ac0,c) 解得 eq blc( eq aalco1vs4(a,c)拋物線的解析式為yx 2x( x1)2頂點D的坐標為（1，）（2）令x 2x0，解得x11，x23 B（3，0）AB 2( 13)216，AC 21 2( )24，BC 23 2( )212AC 2BC 2AB 2，ABC是直角三角形P1（0，）yBOACDxBQH由拋物線的對稱性可知P2的縱坐標為，代入拋物線的解析式求得：P2（2，）（3）存在延長BC到點B，使BCBC，連接B

5、D交直線AC于點Q，則Q點就是所求的點過點B 作BHx軸于H在RtBOC中，BC，BC2OCOBC30BHBBBC，BHBH6，OH3B（3，）設(shè)直線BD的解析式為ykxb，則： eq blc( eq aalco1vs4(3kb,kb) 解得 eq blc( eq aalco1vs4(k,b)聯(lián)立 eq blc( eq aalco1vs4(yx,yx) 解得 eq blc( eq aalco1vs4(x,y)Q（，）故在直線AC上存在點Q，使得QBD的周長最小，Q點的坐標為（，）3.在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA3，OB4，D為邊

6、OB的中點（）若E為邊OA上的一個動點，當CDE的周長最小時，求點E的坐標；（）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標OABxyCDOABxyCDED（備用圖）解：（）如圖1，作點D關(guān)于x軸的對稱點D，連接CD 與x軸交于點E，連接DEOABxyCDED圖1E若在邊OA上任取點E（與點E不重合），連接CE、DE、DE由DECEDECECDDECEDECE可知CDE的周長最小在矩形OACB中，OA3，OB4，D為邊OB的中點BC3，DODO2，DB6OEBC，RtDOERtDBC，OEBC31點E的坐標為（1，0）6分OABxyCDED圖2FG（）

7、如圖2，作點D關(guān)于x軸的對稱點D，在CB邊上截取CG2，連接DG與x軸交于點E，在EA上截取EF2，則四邊形GEFC為平行四邊形，得GECF又DC、EF的長為定值，此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小OEBC，RtDOERtDBG，OEBG(BCCG)1OFOEEF2點E的坐標為（，0），點F的坐標為（，0）10分3.如圖，拋物線yax 2bx4與x軸的兩個交點分別為A（4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為DE（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）在直線EF上求一點H，使CDH的周長最小，并

8、求出最小周長；CBAOEFxyDG（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，EFK的面積最大？并求出最大面積解：（1）由題意，得 eq blc( eq aalco1vs4(16a4b40,4a2b40) 解得a，b1拋物線的函數(shù)解析式為yx 2x4 ，頂點D的坐標為（1，）4分（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M因為EF垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對稱點為B，連結(jié)BD交EF于一點，則這一點為所求點H，使DHCH最小，即最小為：DHCHDHHBBDCBAOEFxyDGH而CDCDH的周長最小值為CDDRCH6分設(shè)直線BD的解析式為yk1xb1，則 eq blc( eq aa

9、lco1vs4(2k1b10,k1b1)解得k1，b13直線BD的解析式為yx3由于BC，CEBC，RtCEGRtCOBCBAOEFxyDGHKN得CE : COCG : CB，CG，GO，G（0，）同理可求得直EF的解析式為yx聯(lián)立 eq blc( eq aalco1vs4(yx3,yx) 解得 eq blc( eq aalco1vs4(x,y)故使CDH的周長最小的點H坐標為（，）（3）設(shè)K（t，t 2t4 ），xFtxE過K作x軸的垂線交EF于N則KNyK yN t 2t4(t)t 2tSEFK SKFN SKNEKN(t3)+KN(1t)2KNt 23t5(t) 210分當t時，EFK

10、的面積最大，最大面積為，此時K（，）14分4.如圖，在平面直角坐標系中放置一矩形ABCO，其頂點為A（0，1）、B（，1）、C（，0）、O（0，0）將此矩形沿著過E（，1）、F（，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應(yīng)點分別為B、C（1）求折痕所在直線EF的解析式；（2）一拋物線經(jīng)過B、E、B 三點，求此二次函數(shù)解析式；（3）能否在直線EF上求一點P，使得PBC周長最??？如能，求出點P的坐標；若不能，說明理由xyOBCEFA解：（1）由于折痕所在直線EF過E（，1）、F（，0）tanEFO，直線EF的傾斜角為60直線EF的解析式為：ytan60 x()化簡得：yx43分（2）設(shè)矩形沿直線EF向右下方翻折后，B、C的對應(yīng)點為B（x1，y1），C（x2，y2）過B 作BA AE交AE所在直線于A 點BEBE，BEFBEF60BEA60，AE，BA3A與A 重合，B 在y軸上，x10，y12，即B（0，2）【此時需說明B（x1，y1）在y軸上】6分設(shè)二次函數(shù)的解析式為：yax 2bxc拋物線經(jīng)過B（，1）、E（，1）、B（0，2） eq blc( eq aalco1vs4(27abc1,3abc1,c2) 解得該二次函數(shù)解析式為：yx 2x29分