2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及解答

1、PAGE PAGE 72016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及解答年月日上午一、填空題（每小題分，共分）、若的值域為，那么的取值范圍是 、四面體中，是一個正三角形，則到面的距離為 、若對于所有的正數(shù)，均有，則實數(shù)的最小值是 、已知是正方形內(nèi)切圓上的一點，記，則 、等差數(shù)列與的公共項（具有相同數(shù)值的項）的個數(shù)是 、設(shè)為銳角，則函數(shù)的最大值是 、若將前九個正整數(shù)分別填寫于一張方格表的九個格子中，使得每行三數(shù)的和，每列三數(shù)的和皆為質(zhì)數(shù)，你的填法是、把從到這個連續(xù)正整數(shù)按適當(dāng)順序排成一個數(shù)列，使得數(shù)列中每相鄰兩項的和為平方數(shù)，則正整數(shù)的最小值是 二、解答題（共分）、（分）如圖，是橢圓的一條直徑，過橢

2、圓長軸的左頂點作的平行線，交橢圓于另一點，交橢圓短軸所在直線于，證明：、（分）如圖，是的旁心，點關(guān)于直線的對稱點為證明：、三點共線；、四點共圓、（分）設(shè)為正數(shù)，滿足：，證明：、（分）設(shè)集合，對于的任一個元子集，若存在，滿足，則稱為“好集”，求最大的正整數(shù)，（），使得任一個含的元子集皆為“好集”1.答案：解：由值域，.2.答案：解：如圖，據(jù)題意得，于是，因，得，從而以為頂點的三面角是三直三面角，四面體體積，而，若設(shè)到面的距離為，則，由，得到3.答案：解：由，得，當(dāng)時取等號4.答案：解：如圖建立直角坐標系，設(shè)圓方程為，則正方形頂點坐標為，若點的坐標為，于是直線的斜率分別為，所以，由此立得解2：取特

3、例，在坐標軸上，則，這時，5.答案：解：將兩個數(shù)列中的各項都加，則問題等價于求等差數(shù)列與等差數(shù)列的公共項個數(shù)；前者是中的全體能被整除的數(shù)，后者是中的全體能被整除的數(shù)，故公共項是中的全體能被整除的數(shù)，這種數(shù)有個6.答案：解：由，得，所以當(dāng)時取得等號7.如右圖8.答案：例如，排出的一個數(shù)列為解：這是一個操作問題，若用文字表達較為繁瑣，故適宜作為填空題直接操作記這個連續(xù)正整數(shù)的集合為，由于，則中必有，而，所以，當(dāng)時，從到這個數(shù)可以搭配成滿足條件的三個數(shù)段：，但它們不能連接成一個項的數(shù)列，故應(yīng)增加后續(xù)的數(shù)，增加可使得第一段擴充成，增加可使得第二段擴充成，但新的三段也不能連接，還需增加新數(shù)，即，而之前的

4、數(shù)若與鄰接，只有，這三段擴充為，仍舊不能連接，應(yīng)當(dāng)借助新的平方數(shù)，從到這個數(shù)能搭配成和為的最小數(shù)是，則，而當(dāng)時，可排出上面的情形：9.證1：橢圓方程為，點的坐標為，則直線方程為， 代入橢圓方程得到， 因此，又據(jù)，則點坐標為：，因為在橢圓上，則，而，因此證2：易知的斜率存在，不妨令，與橢圓方程聯(lián)系，解得 , 方程為： .將方程與橢圓方程聯(lián)立，得 ， 10.證：1、延長到，延長到,連，為旁心，平分又關(guān)于對稱，平分,、三點共線。2、過作交于，則 為內(nèi)心。連,則平分,、四點共圓，,、四點共圓。11.證：據(jù)條件，即要證 也即 將此式各項齊次化，因為 代入，只要證即也即。此為顯然，故命題得證證2：由題設(shè)得

5、：，三式相乘，故原不等式等價于證明：上式兩邊展開并化簡得： 配方得： 即顯然成立. 12.解：因任何正整數(shù)可以表為形式，其中，為正奇數(shù)，于是集合可劃分為以下個子集：，對于集合的任一個元子集，只要集中含有某一個中的至少兩個元素，因，則；此時為好集；以下證明正整數(shù)的最大值為： 若時，對于的任一個元子集，如果中含有某個中的至少兩個元素，則便是好集；如果中的個集合，每個集合中恰有一個元素在中，那么也有一個元素在中，但為單元素集，于是，而，這說明仍是好集，因此合于要求 下面說明當(dāng)時，存在含的集不是好集；分兩種情況：、若，取元集，則，因中任兩個不同元素，均有，故不為好集，這種不合要求、若，記，令，則，且，若中存在，因，則；若，如果，只有或者，