彎曲法測量楊氏模量公式的推導(dǎo)_第1頁
彎曲法測量楊氏模量公式的推導(dǎo)_第2頁
彎曲法測量楊氏模量公式的推導(dǎo)_第3頁
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文檔簡介

1、彎曲法測量楊氏模量公式的推導(dǎo) 固體、液體及氣體在受外力作用時，形狀與體積會發(fā)生或大或小的改變，這統(tǒng)稱為形變。當(dāng)外力不太大，因而引起的形變也不太大時，撤掉外力，形變就會消失，這種形變稱之為彈性形變。彈性形變分為長變、切變和體變?nèi)N。 一段固體棒，在其兩端沿軸方向施加大小相等、方向相反的外力，其長度發(fā)生改變，。以表示橫截面面積，稱為應(yīng)力，相對長變?yōu)閼?yīng)變。在彈性限度內(nèi)，根據(jù)胡克定律有： Y稱為楊氏模量，其數(shù)值與材料性質(zhì)有關(guān)。 以下具體推導(dǎo)式子： ； 在橫梁發(fā)生微小彎曲時，梁中存在一個中性面，面上部分發(fā)生壓縮，面下部分發(fā)生拉伸，所以整體說來，可以理解橫梁發(fā)生長變，即可以用楊氏模量來描寫材料的性質(zhì)。 如

2、圖所示，虛線表示彎曲梁的中性面，易知其既不拉伸也不壓縮，取彎曲梁長為的一小段： 設(shè)其曲率半徑為，所對應(yīng)的張角為，再取中性面上部距為厚為的一層面為研究對象，那么，梁彎曲后其長變?yōu)椋?，變化量為?又 ； 所以； 所以應(yīng)變?yōu)椋?； （變化量為l，dx為l）根據(jù)虎克定律有： ； 又 ； 所以 ； 對中性面的轉(zhuǎn)矩為： ； 積分得： ；（1） 對梁上各點，有： ； 因梁的彎曲微小： ； 所以有： ；（2） 梁平衡時，梁在處的轉(zhuǎn)矩應(yīng)與梁右端支撐力對處的力矩平衡， 所以有： ； （3） 根據(jù)（1）、（2）、（3）式可以得到： ； 據(jù)所討論問題的性質(zhì)有邊界條件； ； 解上面的微分方程得到： 將代入上式，得右端點的值： ； 又 ； 所以，楊氏模量為： 上面式子的推導(dǎo)過程中用到微積分及微分方程的部分知識，作者之所以將這段推導(dǎo)寫進去，是希望學(xué)生和教師在實驗之前對物理概

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