兩個(gè)多重相關(guān)變量組的統(tǒng)計(jì)分析

1、兩個(gè)多重相關(guān)變量組的統(tǒng)計(jì)分析摘要本文介紹兩組相關(guān)變量問(wèn)的典型相關(guān)與典型冗余分析的統(tǒng)計(jì)分析方法，以及 在SAS軟件包中如何實(shí)現(xiàn)，文中給出了一個(gè)典型的例子。關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)分析；典型相關(guān)；典型冗余分析在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常遇到需要研究?jī)山M變量間的相關(guān)關(guān)系，而且每組變量中 間常常存在多重相關(guān)性。比如工廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)與原材料、工藝指標(biāo)間的 相關(guān)關(guān)系；體育科研中運(yùn)動(dòng)員的體力測(cè)試指標(biāo)與運(yùn)動(dòng)能力指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系；經(jīng) 濟(jì)領(lǐng)域中投資性變量與國(guó)民收入變量間的相關(guān)關(guān)系；教育學(xué)中學(xué)生高考各科成績(jī) 與高二年級(jí)各主科成績(jī)間的相關(guān)關(guān)系；醫(yī)學(xué)研究中患某種疾病病人的各種癥狀程 度與用科學(xué)方法檢查的一些指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系等等。研究?jī)?/p>

2、個(gè)變量組之間相關(guān)關(guān)系的常用方法是多元統(tǒng)計(jì)中的典型相關(guān)分析（參 考2和3）。如果進(jìn)一步研究這兩組多重相關(guān)變量間的相互依賴(lài)關(guān)系，即考慮 多對(duì)多的回歸建模問(wèn)題，除了最小二乘準(zhǔn)則下的多對(duì)多回歸分析、雙重篩選逐步 回歸分析，以及提取自變量成分的主成分回歸等方法外，還有近年發(fā)展起來(lái)的偏 最小二乘（PLS ）回歸方法。關(guān)于多對(duì)多回歸建模問(wèn)題，我們將另文介紹。本文介 紹典型相關(guān)與典型冗余分析，它是偏最小二乘回歸的理論基礎(chǔ)。一典型相關(guān)分析的基本思想與解法第一組變量記為X= （X 1XJ，第二組變量記為Y= （Y1Yqy （不妨設(shè)p忍 q）。典型相關(guān)分析借助于主成分分析提取成分的思想，從第一組變量X提取典型 成分

3、V （V是X1,的線(xiàn)性組合）；再?gòu)牡诙M變量Y提取典型成分W（W是 Y1，,Yq的線(xiàn)性組合），并要求V和W的相關(guān)程度達(dá)到最大。這時(shí)V和W的相 關(guān)程度可以大致反映兩組變量X和Y的相關(guān)關(guān)系。記p+q維隨機(jī)向量Z=的協(xié)差陣】二，其中E11 一是X的協(xié)差陣，E22:是Y的協(xié)差陣，】孔是X，Y的協(xié)差陣。我們用X和Y的線(xiàn)性組合V=a X和W= b Y之問(wèn)的相關(guān)來(lái)研究X和Y之間的相關(guān)。我們希望找到a和b，使 p （V，W）最大。由相關(guān)系數(shù)的定義，p (V，W)二一 5網(wǎng)) 、：Var(v) -Var(w) 這說(shuō)明按此準(zhǔn)則得到的典型成分V和W,對(duì)原變量組X和Y的代表性最差，它們 無(wú)法更多地反映原變量組的變異信

4、息。另方面因V，W任意線(xiàn)性組合的相關(guān)系數(shù) 與V，W的相關(guān)系數(shù)相等，即使得相關(guān)系數(shù)最大的V=a以和W= b X并不唯一。分析上式將發(fā)現(xiàn)：在使得V,W的相關(guān)達(dá)最大的同時(shí)，V和W的方差將達(dá)最小，故在典型相關(guān)分析解法中附加了約束條件：Var(U) = a E 11a = 1 Var(V)= b E22b = 1。問(wèn)題化為在約束條件Var(U)=1, Var(V)=1下，求a和b,使得p (U,V)= a E%b 達(dá)最大。 一一X 一-定乂 l設(shè)X=(X 1X) , Y=(Y1Yq)，p+q維隨機(jī)向量.J的均值向量為O,協(xié)差陣EO(不妨設(shè)pq)。如果存在a= (a , a )和b = (b，b ) 11

5、1Ip1 1l1q使得p 1=p (a 1X, b J)=max=p(aX,pY)Var (a, X )=1,Var (P ,Y )=1則稱(chēng)a以，b Y是X, Y的第一對(duì)典型相關(guān)變量，它們之間的相關(guān)系數(shù)稱(chēng)為第一 個(gè)典型相關(guān)系數(shù)。如果存在ak = (aki，和b k = ( b k 1，a kq)使得a kX , bf kY和前面k-1對(duì)典型變量都不關(guān)；Var(a X = 1，Var(b，) = 1；a，kX與bf kY的相關(guān)系數(shù)pk最大，則稱(chēng)a，kX , b kY是X, Y的第k對(duì)典型相關(guān)變量，它們之間的相關(guān)系數(shù)pk稱(chēng)為 第k個(gè)典型相關(guān)系數(shù)(k = 2,p)。已知p+q維總體Z的n次中心化觀(guān)測(cè)

6、數(shù)據(jù)陣為:Z = 11X 21x-12x-22x1px2p11 y 2112 - 22 *1q- 2 q=f XY)(p + q ):X nxpnx qL Xn1x .- n 2x npn1n 2 -nq若假定Z N(0,)，則協(xié)差陣E的最大似然估計(jì)為S12S 22卜面我們將從樣本協(xié)差陣S出發(fā)，來(lái)討論兩組變量問(wèn)的相關(guān)關(guān)系。令T = S -1/2S S -1/2為pXq陣，則pXq陣和qXq陣TT的非零特征根 111222相同，且非零特征根均為正的。若rk（T）=rk（Si2）=rp（因p忍q）,非零特征根依 次為 人2人2.X 2 0（且入|O, i=1,，r）。記r階對(duì)角陣D=diag（入，

7、 入）。利用pXq陣T的奇異值分解定理（參考4）有T=（a，,a）o（p，,p ）1r12pxqrxra.ib.i.1-1/2S以兀i11(i = 1,r)1- 1 / 2Sp兀Pii 22七.為第i個(gè)樣本典型其中口氣（i=l，r）為T(mén)T對(duì)應(yīng)于X 2的單位正交特征向量；P. （i=1，r） 為T(mén)T對(duì)應(yīng)于X2的單位正交特征向量，且a與Q滿(mǎn)足關(guān)系式：Pf =1T。令fi0S -11/2 %(i = 1,. r)，容易驗(yàn)證ai與b.滿(mǎn)足S-;/2p，則匕.= aiX,Wi = biY為X,Y的第i對(duì)樣本典型相關(guān)變量 相關(guān)系數(shù)。二 典型相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)總體z的兩組變量X= （XXJ和Y=（YY）如

8、果不相關(guān)，即Cov（X,Y） = E12=0，以上有關(guān)兩組變量典型相關(guān)的討論就毫無(wú)意義.故在討論兩組變量間的相 關(guān)關(guān)系之前，應(yīng)首先對(duì)假設(shè)H0：El2=0作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，它等價(jià)于檢驗(yàn)H0： p0。設(shè)總體Z N（0,），用似然比方法可導(dǎo)出檢驗(yàn)H0：El2=0的似然比統(tǒng)計(jì)量A，利用矩陣行列式及其分塊行列式的關(guān)系，可得出A、同=1 -S-1S S-1S =n（1 -X2） Is 11 11 S 22IP 11 12 22 21=1其中p+q階方陣s是E的最大似然估計(jì)量，Sy分別是Eid （i,j=1,2）的最大似然估計(jì)X2（i = 1,.,p）是TT的特征值。i統(tǒng)計(jì)量A的精確分布已由Hotelting（1

9、936年）等人給出，但表達(dá)式很復(fù)雜。 由八統(tǒng)計(jì)量 出發(fā)可導(dǎo)出檢驗(yàn)H0的近似檢驗(yàn)方法，如Willks入統(tǒng)計(jì)量，Pillai 的跡，Hotettintg-Lawley跡和Roy的極大根等（參閱2）。當(dāng)否定H0時(shí)，表明X,Y相關(guān)，進(jìn)而可得出至少第一個(gè)典型相關(guān)系數(shù)p 1#0O 相應(yīng)的第一對(duì)典型相關(guān)變量V1,W1可能已經(jīng)提取了兩組變量相關(guān)關(guān)系的絕大部 分信息。兩組變量余下的部分可認(rèn)為不相關(guān)，這時(shí)p 1（i=2,p）。故在否定 H0后，有必要檢驗(yàn)H ；）: pI = （i = 2,.,p）即第i個(gè)及以后的所有典型相關(guān)系數(shù)均 為0。利用似然比方法可導(dǎo)出檢驗(yàn)H（t）的似然比統(tǒng)計(jì)量，并給出該統(tǒng)計(jì)量的近似 0分布

10、。從i=2開(kāi)始逐個(gè)檢驗(yàn)，直到某個(gè)i0，使H（t）相容時(shí)為止。這時(shí)說(shuō)明第i0 個(gè)及以后的所有典型相關(guān)系數(shù)均為0。假定經(jīng)檢驗(yàn)，前m個(gè)典型相關(guān)系數(shù)顯著地 不等于0（mp）。三典型結(jié)構(gòu)與典型冗余分析.典型結(jié)構(gòu)求出典型變量后，進(jìn)一步可以來(lái)計(jì)算原始變量與典型變量之問(wèn)的相關(guān)系數(shù)陣 典型結(jié)構(gòu)。記A=（a，a，a）為PXr矩陣，B=（b，b，b）為qXr矩陣，典型 l 2rl 2r隨機(jī)向量V=VlV）=（a 1X,d X） = AX;W=吧,.叱）=（by,-U Y） = BY；隨機(jī)向量 Z 的 協(xié)差陣為如仔11，120，隨機(jī)向量的協(xié)差陣為S JS11 S12是E的最大似然 21 22）L s 21 s 22然

11、估計(jì)。則Cov（X，V）=Cov（X，A X） = E A，Cov（X，W）=Cov（X，B Y） = E B，1112Cov（Y，V）=Gov（Y, A X）=習(xí)相，Cov（Y，W）=Coy（X，B Y） = E22BO用Sid代替以上公式中的Eid（i，j=1，2），即可計(jì)算出原始變量與典型變量 之間的協(xié)差陣。由協(xié)差陣還可以計(jì)算原始變量與典型變量之間的相關(guān)系數(shù)陣。若 假定原始變量均為標(biāo)準(zhǔn)化變量，則以上計(jì)算得到的原始變量與典型變量的協(xié)方差 陣就是相關(guān)系數(shù)陣。若計(jì)算這四個(gè)相關(guān)系數(shù)陣中各列（或各行）相關(guān)系數(shù)的平方和，還將得出下面 一些有關(guān)的概念。.幾個(gè)概念類(lèi)似于主成分分析，把Vk看成是由第一組標(biāo)

12、準(zhǔn)化變量X提取的成分，Wk看成 是由第二組標(biāo)準(zhǔn)化變量Y提取的成分，由相關(guān)陣R（X，V）=S A=r（X，V）和 11j k （p,r）R（Y，W）=S B=r（X， V）分別計(jì)算第k列的平方和。記11j k （q,r）Rd（ x , vk） 二1 r2（X .,V ）,Rd（Y,Wk） 二1 r2（Y ,V ）（k = 1,r） dk p j k dk q j k并稱(chēng)Rd（X,vk）（或Rd（Y,Wk）為第k個(gè)典型變量Vk（或Wk）解釋本組變量X（或Y）總變差的百分比。記R （X;V，,V ） = Lr2（X ,V ）,R （Y;W ,W ） = 1 r2（X ,V ）d 1 m P .j k

13、 d 1m qj k并稱(chēng)R （X;V，V ）（或R （Y;W，,W ）為前m（m忍r）個(gè)典型變量V，,V d 1 md 1m1m（W,Wm ）解釋本組變量X（或Y）總變差的累計(jì)百分比。在典型相關(guān)分析中，從兩組變量分別提取的兩個(gè)典型成分首先要求相關(guān)程度 最大，同時(shí)也希望每個(gè)典型成分解釋各組變差的百分比也盡可能的大。百分比的 多少反映由每組變量提取的用于典型相關(guān)分析的變差的多少。類(lèi)似于主成分分析，還可以引入前m個(gè)典型變量對(duì)本組第j個(gè)變量 （或七，） 的貢獻(xiàn)等概念（參考1）。.典型冗余分析我們進(jìn)一步來(lái)討論典型變量解釋另一組變量總變差百分比的問(wèn)題。在典型相 關(guān)分析中，因所提取的每對(duì)典型成分保證其相關(guān)程

14、度達(dá)最大，故每個(gè)典型成分不 僅解釋了本組變量韻信息，還解釋了另一組變量的信息。典型相關(guān)系數(shù)越大，典 型成分解釋對(duì)方變量組變差的信息也將越多。類(lèi)似可以定義Rd（X;Vk）（或Rd（Y;Wk）為Wk （或匕）解釋另一組總變差的百 分比。以下給出利用典型變量解釋本組變差的百分比來(lái)計(jì)算解釋另一組變差百分 比的公式：Rd（X ；Vk）= pX r2（X j，Vk）=入kRd（X ;Vk）（k = 1,- ,r），j=1Rd（y; = q r2（x,Vk）=入i（y;Wk）（k =1,”）j = 1事實(shí)上，由典型變量的系數(shù)ak與bk之間的關(guān)系：a = 1 St S b =Xa = 5 -1S b =X S

15、a = S S -1S b= S b 以及典型 k 人 1112 k k k 1112 k k 11 k 111112 k 12 k變量與原始變量（假定已標(biāo)準(zhǔn)化）的相關(guān)陣即得：r（X, W）= A （X;V），故有 j kk j kRd（X;Wk） = XRd（X;Vk），類(lèi)似可證明另一式。Rd（X;Wk）表示第一組中典型變量解釋的變差被第二組中典型變量重復(fù)解釋 的百分比，簡(jiǎn)稱(chēng)為第一組典型變量的冗余測(cè)度；Rd（X;Vk）表示第二組中典型變量 解釋的變差被第一組中典型變量重復(fù)解釋的百分比，簡(jiǎn)稱(chēng)為第二組典型變量的冗 余測(cè)度。冗余測(cè)度的大小表示這對(duì)典型變量能夠?qū)α硪唤M變差相互解釋的程度大小。 它將為

16、進(jìn)一步討論多對(duì)多建模提供一些有用信息。四應(yīng)用例子一康復(fù)俱樂(lè)20名成員測(cè)試數(shù)據(jù)的典型相關(guān)分析康復(fù)俱樂(lè)部對(duì)20名中年人測(cè)量了三個(gè)生理指標(biāo)：WEIGHT（體重），WAIST（腰 圍），PULSE（脈膊）和三個(gè)訓(xùn)練指標(biāo):CHINS（拉單杠次數(shù)），SITUPS（仰臥起坐次數(shù)）， JUMPS（跳高）（數(shù)據(jù)見(jiàn)以下數(shù)據(jù)行）。試分析生理指標(biāo)和訓(xùn)練指標(biāo)這二組變量間的 相關(guān)性。解 使用SAS/STAT軟件中的CANCORR過(guò)程來(lái)完成典型相關(guān)分析。首先把測(cè)試 數(shù)據(jù)生成SAS數(shù)據(jù)集，SAS程序如下：data da20 x6;input weight waist pulse chins situps jumps;labe

17、l wight =體重 waist=腰圍 pulse=脈搏 chins=單杠 situps=仰臥起坐 jumps=跳高；cards;191365051626018937522110601933858121011011623562121053718935461315558182365641014221138568101381673460612540176317415200401543356172512501693450171203816633521321011515434641421510524746501505019336466703120237621221012015633541522573

18、13833682110437run;proc cancorr data二da20 x6 all vname= 生理指標(biāo)wname= 訓(xùn)練指標(biāo)； var weight waist pulse; with chins situps jumps;run;DATA步創(chuàng)建康復(fù)俱樂(lè)部測(cè)試數(shù)據(jù)的SAS數(shù)據(jù)集（名為DA20X6），它有20個(gè)觀(guān)測(cè)， 6個(gè)變量。CANCORR過(guò)程用于對(duì)輸入數(shù)據(jù)集DA20X6做典型相關(guān)分析。選項(xiàng)ALL要求輸 出所有可選擇的計(jì)算結(jié)果；VNAIVIE二給出VAR語(yǔ)句中變量組的標(biāo)簽為生理指標(biāo)； WNAIVIE=對(duì)WITH語(yǔ)句給出的第二組變量規(guī)定標(biāo)簽為訓(xùn)練指標(biāo)。VAR語(yǔ)句列出第 一組變量的

19、名字，WITH列出第二組變量的名字。部分計(jì)算結(jié)果見(jiàn)輸出1至輸出5。輸出1均值、標(biāo)準(zhǔn)差和兩組變量問(wèn)的相關(guān)系數(shù)3生限捂標(biāo)3職嫁指標(biāo)20 CbfiDvalxmMceuis and fwuidardVanabkMeajiStd UerwEiGirr178-WMMOO24.6W5O5WAIST書(shū) 4000MJ 201973IPUL56.1000007-2IQ373口 HNS9.4500005. 286278situps145 55000062 566575JUMPS70 一碰00051.277470坐H重圍高LB體眼豚單仰眺OnrElatii Betwasi the生理揩標(biāo) 血the訓(xùn)練指裾SITUPS

20、JUMPSWEIGHT-0,4931-0.2263WAIST-0 5522（L6456-0 W15JPULSE0.15060.22500 Q34 司一輸出1列出6個(gè)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差及生理指標(biāo)和訓(xùn)練指標(biāo)之間的相數(shù)。 理指標(biāo)和訓(xùn)練指標(biāo)之間的相關(guān)性是中等的，其中WAIST和SITUPS相關(guān)系數(shù)最大 為-0.6456。輸出2典型相關(guān)分析系數(shù)及顯著性檢驗(yàn)trrurLktrnskiiion0 75608U ?S4O5fii0(W4197O.63299J0.20Q556-tp&iwfl Ml 188Q (M0223O.OT25700,2282flB0.005 泌Tec nJ Hq： The caxbunK

21、*!吒皿土加均 in th? fjw and! all that H)cw 皿i iLslidLlxxxjRrnuoApprax F5DFL tn IffPt F1D M0390S32。婭gMJ2230.06350.954722F的值），故在a =0.10的顯著水 平下，否定所有典型相關(guān)為0的假設(shè)。也就是至少有一個(gè)典型相關(guān)是顯著的。從 后面的檢驗(yàn)結(jié)果可知，只有第一典型相關(guān)系數(shù)是顯著不等于0的。因此，兩組變 量相關(guān)性的研究可轉(zhuǎn)化為研究第一對(duì)典型相關(guān)變量的相關(guān)性。輸出3標(biāo)準(zhǔn)化后典型變量的系數(shù)Siatdardizud CarxiucaJfoe the 生理指標(biāo)VIV2V3WEIGHT-0 7754I

22、19i0WAIS1河I IS06腰困PULSE -0 0591-fl 23111 0508豚障StajilaniizBd LarKrucsJ CoefRcLenS Ear the練指苗W|W2CHESS-0 3495-0 3755-1,2966trSITUPS-1 (1340。1235J 23抑臥起華JUMPS0 71641 0622-o一 輸出結(jié)果中還給出原始變量和標(biāo)準(zhǔn)化變量的典型相關(guān)變量的系數(shù)。因 六個(gè)變量沒(méi)有用相同單位測(cè)量，我們來(lái)分析標(biāo)準(zhǔn)化后的系數(shù)(見(jiàn)輸出3)。來(lái)自生 理指標(biāo)的第一典型變量V1為(右上角帶“*”的變量表示標(biāo)準(zhǔn)化變量)：V1=-0.7754WEIGHT* + 1.5793W

23、AIST* - 00591PULSE*它近似地是WAIST*和4WEIGHT*的加權(quán)差，在WAIST*上的權(quán)數(shù)更大些。V1在 PULSE上系數(shù)近似為0來(lái)自訓(xùn)練指標(biāo)的第一典型變量W1為W1=-0.3495CHINS* - 1054SITUPS* + O. 7164JUMPS*它在SITUPS*上的系數(shù)最大這一對(duì)典型變量主要是反映腰圍(WAIST*)和仰 臥起坐(SITUPS)的負(fù)相關(guān)關(guān)系。輸出4典型結(jié)構(gòu)一原始變量和典型變量的相關(guān)系數(shù)陣Canccurd aLmcrure(xrndaiiotis BtSrni the 生理指禪 and Thar Cancniuol VamliksVIV2V3WEIG

24、HT WAIST PLJLD.620&-DE24-0 L3W體或D 925+-0.3177-0-0310-O.JJZtJC CMI50,5421麻博QjrrdaLKin Begwn the 訓(xùn)緘指標(biāo) and Their Canctuod VuruihlegWlW2*3a DNS SITUPSJUMK-0 7276O.iTO-0,6438-a.8177o S73a。.的14 仲臥起坐-0. IW30.C586陸高GcmlatioiB Btiwem the 生生指標(biāo) urH ihe Canonical VjirifihJes of the 叫練拘杯WlgW3WEIGHTWAE1PUL0.493S-

25、0.1549-0 0098體重玉i3-00757-0.AU22展翹-0 -26郵0 (M照D .4684昧博CoodiAncos Taiwan lhe 訓(xùn)練形標(biāo) and the CansmkaJ Vmabla cf tbt 生理指商VIV2VI HNSSTTUPSJUMPS-0 57390 0475- 0 0467 單牡-U,65060 IJ*?0-0040忡臥面坐-0.129(1-0.0170 跳高一由輸出4可看出來(lái)自生理指標(biāo)的第一典型變量v1與腰圍(WAIST)的相關(guān)系 數(shù)為0.92, V與體重(WEIGHT)的相關(guān)為0.6206，它們都是正的。但典型變量V1 在體重上的系數(shù)為負(fù)的(-0.

26、7754)，即體重在V1的系數(shù)和它與V1的相關(guān)反號(hào)。 來(lái)自訓(xùn)練指標(biāo)的第一典型變量Wl與三個(gè)訓(xùn)練指標(biāo)的相關(guān)都是負(fù)值，其中跳高 (JUMPS)在W1的系數(shù)(0.7164)和它與Wl的相關(guān)(-0.1622)也是反號(hào)。因此，體重 和跳高在這兩組變量中是一個(gè)校正(或抑制)變量。一個(gè)變量同典型變量的相關(guān)與在典型變量上的系數(shù)符號(hào)相反似乎是矛盾的。 下面以體重為例來(lái)說(shuō)明這一現(xiàn)象，我們知道肥胖性同腰圍和體重之間的關(guān)系很密 切的。一般說(shuō)來(lái)，有理由認(rèn)為胖的人比瘦的人仰臥起坐的次數(shù)少。假定這組樣本 中沒(méi)有身高非常高的人，因此體重和腰圍之間的相關(guān)(0. 8702)是很強(qiáng)的。-腰圍大的人傾向于比腰圍小的人胖。因此腰圍與仰

27、臥起坐為負(fù)相關(guān) (-0.6456)。-體重大的人傾向于比體重小的人胖。于是體重與仰臥起坐為負(fù)相關(guān) (-0.4931)?？紤]用多元回歸方法由WAIST* (腰圍)和WEIGHT* (體重)來(lái)預(yù)測(cè)SITUPS* (仰 臥起坐)，得到的回歸式為：SITUPS* =0.2833 WEIGHT* - 0.8921 WAIST* ，回 歸式中WEIGHT*系數(shù)的符號(hào)為正似乎不合理，關(guān)于系數(shù)的符號(hào)可解釋如下：-若固定體重的值，腰圍大的人傾向于較強(qiáng)壯和較胖，故而仰臥起坐次數(shù) 少，于是腰圍的多元回歸系數(shù)(-0.8921)應(yīng)是負(fù)的。-若固定腰圍的值，體重大的人傾向于比較高和比較瘦，故而仰臥起坐次 數(shù)多；因此體重的

28、多元回歸系數(shù)(0.2833)應(yīng)為正的。這里體重與仰臥起坐的相關(guān) 同體重的回歸系數(shù)符號(hào)相反。因此，第一典型相關(guān)一般解釋為以體重(WEIGHT)和跳高(JUMPS)作為校正(或 抑制)變量來(lái)強(qiáng)化腰圍(WAIST)和抑臥起坐(SITUPS)之間的負(fù)相關(guān)關(guān)系。輸出5CANCORR過(guò)程產(chǎn)生的典型冗余分析結(jié)果占皈dlhiiud Varmirr nf -Jir 生理Jfr際Eicpimrwd 曲Their Ovm C-Hruuil Vtinihle5The QppcwAE CuToratjd VnjiUr?.PrcprfiMiCLtfnJa.tivt1PraportiynPcUpcrbon(jwmittfr

29、iwPavpxnaLiTil也45用ifa attE也 4506 4.煩6 .WWEJ MEQ flQJjAl3H O.dOw 0 WE6d W5J0部RStandiir也Ecd山?調(diào)攜指頓！EaqiWed 厚 hcirOwj、llw gxEjttCmonicJil Vtiabka?-Ca/MircaJ 機(jī)1 瞄PrepoHjOflCurjuilfftiwe Pircrtiur.PKjpurtmnCirauJiiHvt PmpnrriLfifl-Wl OlHS 0 I5H0 g0 H42h t mkJ0氏嘛0 &4fl20 OflSJ0,25440 0P5D在A(yíng)M。25S4 也如惜 O.gJ5qoared M