信號(hào)與系統(tǒng)教案第6章-2016

1、第六章 離散系統(tǒng)的z域分析 6.1 z變換 6.2 z變換的性質(zhì) 6.3 逆z變換 6.4 z域分析 6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 6.6 z域分析的Matlab實(shí)現(xiàn)一、從拉氏變換到z變換對連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到: 取樣信號(hào)兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得 令 ，上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用 表示； ，得6.1 z變換序列f(k)的雙邊z變換序列f(k)的單邊z變換若f(k)為因果序列，則單邊、雙邊z 變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換。 F(z) = Zf(k) f(k)= Z-1F(z) f(k)F(z)6.1 z變換二、收斂域 z變換定義為一無窮冪級(jí)數(shù)之和，

2、顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即時(shí)，其z變換才存在。上式稱為絕對可和條件，它是序列f(k)的z變換存在的充分必要條件。 收斂域的定義： 對于序列f(k)，滿足 的所有z值組成的集合稱為z變換F(z)的收斂域。 6.1 z變換例1： 有限長序列的z變換(1) f1(k)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解：(1) 可見，其單邊、雙邊z變換相等。與z 無關(guān)， 所以其收斂域?yàn)檎麄€(gè)z 平面。 (2)收斂域?yàn)?0z 0由于序列是有限長的，則F(z)是有限項(xiàng)級(jí)數(shù)和，所以F(z)除了在 0和處外都收斂，有時(shí)在0和處也收斂。結(jié)論一：有限長序列的收斂域是 ，要討論 0和兩點(diǎn)。6.1

3、 z變換例2： 因果序列 解：z a 結(jié)論二：因果序列的收斂域是某個(gè)圓的圓外。z a6.1 z變換例3： 反因果序列 解： b-1z1，即zb時(shí)，其z變換存在。 收斂域?yàn)閨z| |b|結(jié)論三：反因果序列的收斂域是某個(gè)圓的圓內(nèi)。6.1 z變換例4： 雙邊序列解： 收斂域?yàn)閍zb （顯然要求ab，否則無共同收斂域) 結(jié)論四：雙邊序列的收斂域是環(huán)狀區(qū)域。6.1 z變換注意：例5： 對單邊z變換，其收斂域比較簡單，一定是某個(gè)圓 以外的區(qū)域。可以省略。 對雙邊z變換必須表明收斂域，否則其對應(yīng)的原序 列將不唯一。 6.1 z變換三、常用序列的z變換 1 ， 收斂域整個(gè)z平面 6.1 z變換四、s域與z域的

4、關(guān)系 式中T為取樣周期從S平面到Z平面的映射:6.1 z變換 s平面的左半平面(z平面的單位圓內(nèi)（z=0)-z平面的單位圓外（z=1) s平面的j軸(=0)-z平面中的單位圓上（z=1) s平面上實(shí)軸(=0)-z平面的正實(shí)軸（=0)s平面上的原點(diǎn)(=0，=0)-z平面上z=1的點(diǎn)（=1，=0） 由上式可看出：6.1 z變換6.1 z變換一、線性 其收斂域至少是F1(z) )與F2(z)收斂域的相交部分。 例： 2(k)+ 3(k)2 +6.2 z變換的性質(zhì)6.2 z變換的性質(zhì)二、移位（移序）特性 單邊、雙邊差別大！ 對于雙邊Z變換，移位后的序列沒有丟失原序列的信息；而對于單邊Z變換，移位后的序

5、列較原序列長度有所增減。雙邊z變換的移位： 且對整數(shù)m0，則 6.2 z變換的性質(zhì)單邊z變換的移位： 且對整數(shù)m0，則 6.2 z變換的性質(zhì)特例：若 為因果序列，則6.2 z變換的性質(zhì)例1：求周期為N的有始周期性單位序列 的z變換。 解：z1例2： 求 的單邊z變換F(z)。 解：6.2 z變換的性質(zhì)三、序列乘ak(z域尺度變換) 例1：例2：且有常數(shù)a0 ，則：若a換為a1,則：6.2 z變換的性質(zhì)四、卷積定理 對單邊z變換，要求f1(k)、 f2(k)為因果序列其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。 例： 求 的z變換。 解：6.2 z變換的性質(zhì)五、序列乘k（z域微分） 若

6、 則 , z0， 則, z0，則 例：求序列 的z變換。 解：6.2 z變換的性質(zhì)七、k域反轉(zhuǎn)(僅適用雙邊z變換） 例： 求a k( k 1)的z變換。 解：，|z| |a| ，|z| 1/ |a| ，|z| 1/ |a| 6.2 z變換的性質(zhì)八、部分和 , max(,1)zmax(|a|,1)6.2 z變換的性質(zhì)應(yīng)用： LTI離散系統(tǒng) 6.2 z變換的性質(zhì)九、初值定理和終值定理 初值定理： 如果序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 則序列的初值對因果序列f(k)6.2 z變換的性質(zhì)終值定理： 如果序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k) F(z) ，z 且01 則序

7、列的終值 含單位圓例：已知因果序列的象函數(shù) ，求序列的初值和終值。 6.2 z變換的性質(zhì)求逆z變換的方法有：冪級(jí)數(shù)展開法; 部分分式展開法; 反演積分（留數(shù)法）。 一般而言，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(k) +f(k)(k 1) 相應(yīng)地，其z變換也分為兩部分 F(z) =F1(z) +F2(z) ， |z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 ，f(k)為因果序列。用長除法將F(z)展 開為z-1的冪級(jí)數(shù)： z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k

8、)=1，1，3，5， k=0 （2） z1，f(k)為反因果序列。用長除法將F(z) （按升冪排列）展開為z的冪級(jí)數(shù): k=2 6.3 逆z變換（3） 1z2，f(k)為雙邊序列。將F(z)展開為部分分式，有 再將它們分別展開為z-1及z的冪級(jí)數(shù)，有難以寫成閉合形式。 k=0 6.3 逆z變換二、部分分式展開法 mn時(shí)先從F(z)中分出多項(xiàng)式部分，再將余下的真分式展開為 部分分式。根據(jù)極點(diǎn)的類型， 的展開有幾種情況：1）實(shí)單極點(diǎn)；2）共軛單極點(diǎn)；3）重極點(diǎn)6.3 逆z變換（1）F(z)均為單極點(diǎn)根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為F1(z)(z)和F2(z)(z2 (2) z1 (3) 1z2，因果

9、序列 (2) z1，反因果序列 (3)1z2，雙邊序列 6.3 逆z變換例2：求象函數(shù) ,1z1，后兩項(xiàng)滿足z1)，若z ,對應(yīng)原序列為 （3） F(z)有重極點(diǎn) 6.3 逆z變換 當(dāng)r=3時(shí)，為 可這樣推導(dǎo)記憶： Zak(k)=兩邊對a求導(dǎo)得 Zkak-1(k)= 再對a求導(dǎo)得 Zk(k-1)ak-2(k)=故 Z0.5k(k-1)ak-2(k)=當(dāng)r=2時(shí)，為 kak-1(k)6.3 逆z變換例3：已知象函數(shù)，z1,求其原函數(shù)。解：f(k)=k(k-1)+3k+1(k)6.3 逆z變換一、差分方程的變換解 時(shí)域差分方程時(shí)域響應(yīng)y(k)z域代數(shù)方程解差分方程單邊z 變換解代數(shù)方程 z域響應(yīng)Y

10、(z)逆z變換6.4 z域分析 二階系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解 已知 f(k) , y(-1) , y(-2)，求y(k)。 求解步驟 1）經(jīng)單邊z變換將時(shí)域差分方程變換為z域代數(shù)方程；2）求解z域代數(shù)方程，得出 和 ；3）逆z變換，求出響應(yīng)的時(shí)域表示式。6.4 z域分析6.4 z域分析例1：若某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系統(tǒng)的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。 解:方程兩邊取單邊z變換 6.4 z域分析6.4 z域分析二、系統(tǒng)的z域框圖 另外兩個(gè)基本單元：數(shù)乘器和加法器，k域

11、和z域框圖相同。6.4 z域分析例2： 某系統(tǒng)的k域框圖如圖，已知輸入f(k)= (k)。(1) 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)。(2) 若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零輸入響應(yīng)yzi(k)。解:(1)畫z域框圖z-1z-1F(z)Yzs(z)設(shè)中間變量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)Yzs(z)=X(z) 3z-1X(z)= ( 1 3z-1)X(z)6.4 z域分析yzs(k) = 2k + 32 (2)k(k)(2)由H(z)可知，差分方程的特征根為1=1， 2=26.4 z域分析yzi(k) = Cx1 +

12、 Cx2 (2)k由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有Cx1 + Cx2 (2)-1= 0Cx1 + Cx2 (2)-2= 0.5Cx1 =1, Cx2 = - 2yzi(k) = 1 2 (2)k,k0一、系統(tǒng)函數(shù) H(z)的求解方法：1. 2. 已知差分方程，在零狀態(tài)下做單邊z變換3. 已知系統(tǒng)框圖，找出零狀態(tài)下系統(tǒng)的響應(yīng)與 激勵(lì)的關(guān)系；6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性例1： 某系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入f(k)=( 1/2)k(k)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng) 求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和描述系統(tǒng)的差分方程。 解:h(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k(k) 再求g(k)?6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性二、系

13、統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量z的有理分式，即 A(z)=0的根p1，p2，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)；B(z)=0的根1，2，m稱為系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零點(diǎn)。 將零極點(diǎn)畫在z平面上得零、極點(diǎn)分布圖。 6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性三、系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(z)的極點(diǎn)確定。 下面討論H(z)極點(diǎn)的位置與其時(shí)域響應(yīng)的函數(shù)形式。 所討論系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。 H(z)按其極點(diǎn)在z平面上的位置可分為: 單位圓內(nèi) 單位圓上 單位圓外6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性根據(jù)z與s的對應(yīng)關(guān)系，有結(jié)論： H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。即 當(dāng)k時(shí)，響應(yīng)均趨于0

14、。 H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 H(z)在單位圓上的高階極點(diǎn)或單位圓外的極點(diǎn)，其所對應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)k時(shí)，響應(yīng)均趨于。 6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性四、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng) 由于z = esT ， s=+j，若離散系統(tǒng)H(z)收斂域含單位園，則若連續(xù)系統(tǒng)的H(s)收斂域含虛軸，則連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)定義為存在。令T = ，稱為數(shù)字角頻率。 幅頻響應(yīng),偶函數(shù)；相頻響應(yīng),奇函數(shù)1、頻率響應(yīng)6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性設(shè)LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k),系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，其收斂域含單位園，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 當(dāng) 時(shí)正弦指數(shù)序列的響應(yīng)：2、正弦周

15、期序列激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 在正弦指數(shù)序列的激勵(lì)下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是一個(gè)正弦指數(shù)序列； 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率與輸入信號(hào)的頻率相同，但幅度和相位由不同頻率點(diǎn)上的 確定。例2： 某因果系統(tǒng)的差分方程為y(k)-0.5y(k-1)=f(k)，若激勵(lì)f(k)=(-1)k(k)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性解：收斂域包含單位園，頻率響應(yīng)存在，系統(tǒng)穩(wěn)定6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性若輸入則其正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性例3: 圖示為一橫向數(shù)字濾波器。（1）求濾波器的頻率響應(yīng)；（2）若輸入信號(hào)為連續(xù)信號(hào)f(t)=1+2cos(0t)+

16、3cos(20t)經(jīng)取樣得到的離散序列f(k)，已知信號(hào)頻率f0=100Hz，取樣fs=600Hz，求濾波器的穩(wěn)態(tài)輸出yss(k) 。6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性解: （1）求系統(tǒng)函數(shù)Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z) H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3 ，|z|0H(ej) =1+ 2e-j+2e-j2+ e-j3 =e-j1.52cos(1.5)+ 4cos(0.5)（2）連續(xù)信號(hào)f(t) =1+2cos(0t)+3cos(20t) 經(jīng)取樣后的離散信號(hào)為(f0=100Hz,fs=600Hz ) f(k)=f(kTs)= 1+2cos(k0Ts)+3c

17、osk(20Ts) 6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性f(k)=f(kTs)= 1+2cos(k0Ts)+3cosk(20Ts) 1=0 , 2=0Ts=/3 , 3=20Ts= 2/3 H(ej1)=6 ，H(ej2)=3.46e-j/2 , H(ej3)= 0 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 yss(k)= H(ej1)+2 H(ej2)cosk0Ts+(2) +3 H(ej3)cos2k0Ts+(3) = 6 + 6.92cos(k/3-/2) 可見消除了輸入序列的二次諧波。 f0=100Hz, fs=600Hz6.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性五、系統(tǒng)的因果性 因果系統(tǒng)是指系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)不會(huì)出現(xiàn)于f(k)之

18、前的系統(tǒng)。離散因果系統(tǒng)的充分必要條件是：沖激響應(yīng) h(k)=0, k0 或者，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)椋?.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性即對于任意激勵(lì)f(k)，如果， 則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)六、系統(tǒng)的穩(wěn)定性 （2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 （1）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的定義 5.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性如果系統(tǒng)對于所有的激勵(lì) 其零狀態(tài)響應(yīng)為 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （3）離散因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（時(shí)域） 因果系統(tǒng)單位圓內(nèi)的極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)為衰減函數(shù)。故若H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 5.5 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性（4）連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（z域） 一、利用Matlab實(shí)現(xiàn)z變換 函數(shù)

19、：ztrans( )6.6 z域分析的Matlab實(shí)現(xiàn)調(diào)用格式：fz= ztrans( fk, k, z)例1：求下列序列的z變換。（1）（2）解：調(diào)用ztrans( )實(shí)現(xiàn)仿真。syms k; %定義時(shí)間符號(hào)變量fk=(1/2)k; %定義連續(xù)時(shí)間信號(hào)符號(hào)表達(dá)式fz=ztrans(fk) %計(jì)算z變換的符號(hào)表達(dá)式程序運(yùn)行結(jié)果為：fz =2*z/(2*z-1)6.6 z域分析的Matlab實(shí)現(xiàn)syms k a; fk=cos(a*k); fz=ztrans(fk)； 程序運(yùn)行結(jié)果為： fz=(z-cos(a)*z/(z2-2*z*cos(a)+1)二、利用Matlab實(shí)現(xiàn)部分分式展開 函數(shù)：r

20、esiduez( )調(diào)用格式：r,p,k= residuez( num, den)例2：已知 ，用Matlab對其部分分式展開。解：調(diào)用residuez( )實(shí)現(xiàn)仿真。6.6 z域分析的Matlab實(shí)現(xiàn)num=0 2; % 定義的分子多項(xiàng)式系數(shù)向量，缺項(xiàng)補(bǔ)零den=1 0 -1; % 定義的分母多項(xiàng)式系數(shù)向量，缺項(xiàng)補(bǔ)零r,p,k=residuez(num,den) % 對部分分式展開程序運(yùn)行結(jié)果為： r=-1 1 p=-1 1 k= 由運(yùn)行結(jié)果可知，F(xiàn)(z)的部分分式展開為三、利用Matlab實(shí)現(xiàn)逆z變換 函數(shù)：iztrans( )6.6 z域分析的Matlab實(shí)現(xiàn)調(diào)用格式：fn=iztrans( fz, z, n)解：調(diào)用iztrans( )實(shí)現(xiàn)仿真。syms n z; %定義符號(hào)變量z，nfz=(z2)/(z+1)*(z-2); %定義z變換符號(hào)表達(dá)式fn=iztrans(fz,z,n) %計(jì)算fz的逆z變換程序運(yùn)行結(jié)果為： fn =2/3*2n+1/3*(-1)n例3：已知 ，用Matlab求其原序列。則有：四、利用Matlab繪制零極點(diǎn)分布圖 函數(shù)：zplane( ) 6.6 z