考研數(shù)學(xué)歷年真題答案解析-2019年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

1、當(dāng).itO時(shí),若x-lan工與小是同階無(wú)窮小，則后=（）A.1B.2C.3D.4參考答案c答案解析x5_r1 x3.x-tan.丫一,lim-二一一lim三二cEO 所以二3. 故選 C3-3./設(shè)函數(shù)仆）=/叫”則x=O是/的（） X hi .X, x 0,A.可導(dǎo)點(diǎn)，極值點(diǎn)B.不可導(dǎo)點(diǎn)，極值點(diǎn)C.可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn)D.不可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn)參考答案B答案解析 #根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義./（.x）-/（0）-x2-0hin= liiii= 0.x-xr x xlun /一和=Um lux不存在， xW x r-M?故K=0是/&）的不可導(dǎo)點(diǎn).當(dāng) x 0,當(dāng) 0cxec一 時(shí)，fx） = In x +1 3

2、D.一療-.4一jg參考答案c答案解析由/ +4=2石，可知矩陣的特征值滿足方程萬(wàn)+久一2=0,解得2=1 或;1=-2.再由|N = 4 ,可知 =14=4 二 一2,所以規(guī)范形為y； -11一.璉, 故選C.（）A. 7（/） = 2,尸（=3B.7（/）=2,r（7） = 2C.7（J）=1,7（J）=2D.7（A） = L7（A） = 1參考答案A答案解析由題設(shè)知，三個(gè)平面無(wú)公共交點(diǎn)，故方程組無(wú)解，則7(月)加(工). 又因?yàn)樗鼈儍蓛上嘟?說(shuō)明其中任意兩個(gè)平面不平行,所以 iA) 2 ,故選 A.T設(shè)48為隨機(jī)事件,則尸。)二尸(5)的充分必要條件是()A.P(4UK) =“) +尸(

3、8)B.P(AB) = P(.4)P(B)C.P(J5) = P(5J)T.PAB)=P(AB)參考答案C答案解析P(A 3) = P(A) - PA B = P(B)-P(AB因此尸(幺否)二尸(8力)。尸Q)=?(3),故選C.設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布則PX-Y1()A.與4無(wú)關(guān)，而與，有關(guān)B.與有關(guān),而與，無(wú)關(guān)C與,人都有關(guān)D.與/,都無(wú)關(guān)參考答案A答案解析閃為XNQ1. CT21丫N(.且XI相互獨(dú)立,X _ V所以 X - V N(0.2b? I N(0.1).x/2a所以尸|丫_門 -siiix)4-xv，1 & 1+cosx dx cosjdz參考答案答案解析V

4、 x十COSX COS生a，E= /(X-cos 笨)+j，f =/() cos y+x, afynil 1&1 dz v x則-+=-4 cosx ox cosy cy cos.x cosy 10微分方程2W-y-2=0滿足條件y(0)=1的特解y =參考答案y二.答案解析 13 方程變形為上r辦二。丫，有11】（2+介=工4。, 2 +y .由 v（0） = 1 得。=In 3 ,可彳導(dǎo) 2 + y = 3ex 故所求特解為J，= j3e-2.11基級(jí)數(shù)尤在（0,+叫內(nèi)的和函數(shù)$（工）= M ，）！參考答案cosVx.答案解析利用余弦函數(shù)的暴級(jí)數(shù)展開式8 %) = (T)(T)，(2刈！(

5、2)!12設(shè)E為曲面/十產(chǎn)+45=4（2之0）的上側(cè)，貝IJ j V4-x2 -4z2dxdy =.32參考答案3 答案解析 曲面，在面上的投影為。二（1,丁） I/十./ W 4,代入曲面方程化簡(jiǎn)| J / 一毋小沖=fj| v|yA =JJ| ydxdy D= 21def；siiiaa=?.設(shè)/=(%,%)為三階矩陣，若四,%線性無(wú)關(guān)，且% = -%+2%，則線性方程組，上=()的通解為.參考答案ML-2.1才為任意常數(shù).答案解析 由條件名.生線性無(wú)關(guān),可知r(4)22.又因?yàn)樯?+ 2生.所以廠(，)E-1 =.2參考答案3 答案解析由條件 aJ知 EX - j；.寸 (、)杰二，-

6、 = dt = g.由 F(x) = Q f3dt,得 F(x)=0. x 0.,0 x$ =尸2X看=去=:15設(shè)函數(shù)j(.x)是微分方程，十盯=e亍滿足條件y(0) = 0的特解.(2)求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).(1) y(x) = xe : (2 )凹區(qū)間為(-0 )和(+s) ,凸區(qū)間為(-嗎3 )和(0, -x/s )._3_3余考法女拐點(diǎn)為(一道，-J3e 2)，(0,0) (5/3,ye 2).答案解析(1)由題可知方程為一階線性方程，由通解公式可得通解為y = e| e 2 .-q - (.v + C)X2再由武0) = 0可得。=0，故特解為yx)=工。-1._二(2)由 y(

7、x) = xe 2 知x*X-:ry = (1一 x2 . 2 , y9t =(工，一 3x)e 2 = x(x2 一 3)e 2 .令ytr =-3)e - = 0 行玉=0,.叼=-y/3.x3 =出.當(dāng) x 一色或 0cxe W 時(shí).yx) 0.由此可知，曲線叫的區(qū)間為(-玉田。)和(W,”)：凸的區(qū)問(wèn)為(哈 一萬(wàn))和(0,布).拐點(diǎn)為(一石，一百/) , (0,0),32).16設(shè)a。為實(shí)數(shù).函數(shù)z = 2十a(chǎn)d十勿2在點(diǎn)(3,4)處的方向?qū)?shù)中，沿方向1 = -31 -4,的方向?qū)?shù)最大，最大值為10.(1)求a,分；(2)求曲面工=2十a(chǎn)d十 F(工之0)的面積.(1)。= b =

8、 1 ： (2)竺參考答案3答案解析（1）函數(shù)在（3,4）點(diǎn)的梯度為gr*d七=2d,2力限）=6a泌.6a _ 8b由題意知三一二解得。=。=一1或q = /,二i（舍去）.46）2 十儂A 二 10.（2）曲面方程為2 = 2-公-/（1之0）,其在xQ，面上的投影為D = （.v.y） | a2 +y2 xa/1-.v2 ,則xnsjl-x:去 xyjl-x1 dx，即% 上 生+，從而數(shù)列 S” 單調(diào) 遞減.I J 134 二口0？烝=一/dQ3)=-1 Q * 族 + H 卜 I (1-工 2 族 dx3o 3=? J：Q )-二小二一產(chǎn)57 aLe匚?小 從而有卬=*( = 2,3

9、,).77+2(2)由于凡單調(diào)遞減，且生0,則2一生% = 1.0 x2% an又lim烏-=Hui- = L由夾逼定理得11111烏_ = 1.4T 廣+ 27；* J19設(shè)。是由錐面工, -h(v-z)2=(l-z)2(0z ,則V = fU cbcdydz =應(yīng) j j dxdy =(應(yīng)1 z)，走=J TOC o 1-5 h z 甘.00.03ydxdydz =r應(yīng)= j：龍Hgj： z + rsin 0)rdrft7 F小(j)在哈fjj zdxdydz - |.於 jf zdxdy (而(1 -z);由二三.f-。瓦o12fj( ydxdydzff( zdxdydz所以 v = -

10、=.z =-=. V 4, V 4故Q的形心坐標(biāo)為(0)一設(shè)。的形心坐標(biāo)為(兀刁，因?yàn)椤ｊP(guān)于 侖平面對(duì)稱，所以1=0,時(shí)于OSnWI,記2=(乂則/ + (尸zW(l ,則V = cbxh,dz =龍 f | dxdy = j 雙1 z)*(dz =二 TOC o 1-5 h z d、o 五 .03ydxch,dz =a jf ydxdy = &dQ (z +rsin &)rdy=J：.(一尸龍哈f zdxdydz -1龍 jf zdxdy- = 1 7Lz( -z):龍二三.寶。五、。12fff zdxdydz V -4j( ydxdydz 所以手=工=J4故c的形心坐標(biāo)為(oil). 4

11、4 20 #20 設(shè)向量組 =(L2.1)，4=(1.3,2)，生=(La3)，為義的一個(gè)基,P = (L1, if在這個(gè)基下的坐標(biāo)(b, OR.(1 )求。也C ；(2)證明多,廣為義的一個(gè)基，并求多，小、分到外,0的過(guò) 渡矩陣.O 11 O1 - 21 一二C2)參考答案答案解析 1 13 。二4一。工0,2 31(1)因弓,弓,生是3的基|%.%1=21.乂 B在基%,生下坐標(biāo)為即+c生+% = B.6 + c +1 = 1,1 1(2)因?yàn)閨%.%戶1= 3 3 2 3有 2c + 3c + c = 1.解得 a = 3,b = 2,c = -2 . b + 2c + 3 =1,11=

12、2f0%.生.線性無(wú)關(guān)，從而1生也是的基,0 0 2山夕=2 - 2%+ 生,有1%,生二(%.%.%) 10-20 110是(仁,/.生)=(4,/) 1X001、-10100 10那么山基%,戶到生的過(guò)渡矩陣C =1 Oo O1-2 1-221-2 -212 1 0己知矩陣工二2 x -2與6二0-10相似.00-20 0 V求x,y；(2)求可逆矩陣P使得小二反1 1-1 -20 -4/1參考答案1 = 3,產(chǎn)-2； (2) -20答案解析(1)因?yàn)榫仃?與3相似,所以力(4)=(5).|1=|畢,即解律.|4.r-8 = -2j,(2)矩陣6的特征多項(xiàng)式為|彳石- 6 | = (X-

13、2X% +1X： + 2), 所以6的特征值為2,-1,-2.由于M與6相似，所以.4的特征值也為2,-1,-2.A的屬于特征值2的特征向量為。=(1,-2,0)1；A的屬于特征值-1的特征向量為芻=(-2,1,O)T ；A的屬于特征值-2的恃征向量為5=(1-2,-4)t. TOC o 1-5 h z ，2 00記4二(仄以備).于是片一44=0-10,K 0-2)B的屬特征值2的特征向量為Q =(L0.0)7 .B的屬于特征值-1的特征向量為rji = (LT 0)T ：B的屬于特征值-2的特征向鼠為生 =(0、0,1)二2 00、記4=(小小.小)，于是百一1即=o-io,I。-2,由甲

14、叫=pJbr，得(4t)t/(4與t)=方則 = 5.2223 設(shè)隨機(jī)變量矛與y相互獨(dú)立，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，y 的概率 分布為 pr=-i = p. pr = i=i-p(op) 令 z = xr.(1)求z的概率密度；為何值時(shí),X與Z不相關(guān)？X與Z是否相互獨(dú)立？Z的概率密度為上二卜：百1參考答案不獨(dú)立答案解析z的分梯函數(shù)為Fz(z)=PZz=PXY .z Y = -lPr = -1 + PAT zY = 1PF 二 1=pPXp)PX z.當(dāng)乙 -z) + (l-p)-O- /；當(dāng) z N 0 時(shí),是二0 1 + (1 - pPX z = l-(l-pyez.所以Z的概率密度為2(二)=理(?)二pe z 0.cov(X.Z) = E(AZ)- EX-EZ =Y)-EX E(XY)=E(X2)EY-E(Xy -EY = DXEY = -2p.令coi，(rz)= o.得2 = 1.故時(shí),x與z不相關(guān). 22(3)因?yàn)楫a(chǎn)刀41,2-1 =P萬(wàn)0.尸ZM-l0 ,所以PXPX 1PZ 一斗，故X與Z不相互獨(dú)立.4 一零:設(shè)總體X的概率密度為/(；，)= 100,x 0是未知參數(shù)，4是常數(shù)，崗,*2,W 是來(lái)總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.求4；(2)求夕的最大似然估計(jì)量.J = J-； (2)參考答案 唧