高二數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)突破：專題16 圓錐曲線常考題型04-定值問題（原卷版）

1、 13/13專題17 圓錐曲線?？碱}型04定值問題圓錐曲線中的定值問題是圓錐曲線問題中的另一個(gè)難點(diǎn)解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系中不受變量影響的某個(gè)值，就是要求的定值具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個(gè)合適變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值1過拋物線的焦點(diǎn)為且斜率為的直線交曲線于，、，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)相鄰）求證：為定值；2已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)異于、時(shí)，直線，的斜率分別為，則是否為定值？請說明理由；3橢圓，的離心率，點(diǎn)在上（1）求橢圓的方程；（2）直線不過原點(diǎn)且不

2、平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值4已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)（1）求的方程，并求其準(zhǔn)線的方程；（2）過且斜率存在的直線與交于不同的兩點(diǎn)，證明：，均為定值5已知橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，且的離心率為（1）求與的方程；（2）若，直線與交于，兩點(diǎn)，且直線，的斜率都存在求的取值范圍；試問兩直線，的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由6設(shè)點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點(diǎn)，求證：平行四邊形的面積為定值，并求出此定值7已知

3、橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請說明理由8已知拋物線的準(zhǔn)線過點(diǎn)（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，證明：為定值9已知平面上的動(dòng)點(diǎn)及兩定點(diǎn)，直線，的斜率分別是，且（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)），證明點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出這個(gè)定值若直線，的斜率都存在并滿足，證明直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)10如圖，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，直線經(jīng)過

4、橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)（）求橢圓的方程（）若直線交軸于點(diǎn)，且，當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，是否為定值？若是，請求出的值；否則，請說明理由11已知橢圓的離心率為，其右頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，的面積為3，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）試探究，的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，說明理由12已知橢圓，、分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)；是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上異于點(diǎn)、的點(diǎn)，是邊長為4的等邊三角形（）寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點(diǎn)滿足：，求證：與的面積之比為定值13給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”若橢圓的離心率，點(diǎn)在上求橢圓的方程和其“衛(wèi)星

5、圓”方程；（）點(diǎn)是橢圓的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得，與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，且，分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)，證明：弦長為定值14已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，的周長為16（1）求橢圓的方程；（2）已知為原點(diǎn)，圓與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，求證：為定值15已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，問：是否為定值？并證明你的結(jié)論16如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為（）求橢圓的方程；（）經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（均異

6、于點(diǎn)，問直線與的斜率之和是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由17已知直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)（）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；（）設(shè)直線和與軸分別相交于點(diǎn)，為原點(diǎn)證明：為定值18如圖，已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條斜率相反的直線分別與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線的斜率為（）若直線、恰好為圓的切線，求直線的斜率；（）求證：直線的斜率為定值并求出當(dāng)為直角三角形時(shí)，的面積19已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，點(diǎn)，在橢圓上，且（）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，直線和與軸分別相交于點(diǎn)，為原點(diǎn)證明：為定值20橢圓焦點(diǎn)在軸上，離心率為，上焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)距離為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）

7、直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積，則是否為定值，若是求出定值；若不是，說明理由21已知圓和點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和相交于點(diǎn)，記的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，直線，的斜率分別是，試探索是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由22如圖，已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與圓內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）過圓心的直線交曲線于，兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使當(dāng)直線繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；若不存在，請說明理由23已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，周長為8（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）已知點(diǎn)，證明：當(dāng)直線變化時(shí)，總有與的斜率之和為定值24在直角坐標(biāo)系中，曲線與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)變化時(shí)，解答