高二數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)突破：專題08 與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題以及阿波羅尼斯圓（解析版）

1、 22/22專題08 與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題以及阿波羅尼斯圓題型一 與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題1已知直角坐標(biāo)系中，圓過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求的方程；直線與圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，已知，若軸平分，證明：不論取何值，直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則切線方程為，顯然與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，即，由圓心到切線的距離可得，解得，所以可得這時(shí)切線的方程為：，所以切線的方程為：或；設(shè)，聯(lián)立，整理可得：，則，可得，且，因?yàn)檩S平分，所以可得，即，即，所以，解得，所以直線的方程為：，所以直線恒過(guò)【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相切的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于中檔題2已知圓過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上

2、（1）求圓的一般方程（2）若不過(guò)原點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由【解答】解：（1）由題意可得圓心的坐標(biāo)為，則，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，聯(lián)立，解得，故圓的一般方程是（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，則，因?yàn)椋?，由得，整理得因?yàn)?，所以，所以直線的方程為故直線過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，從而，解得，（舍去）故直線過(guò)點(diǎn)綜上，直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題3已知直線，半徑為3的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右下方（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線

3、與圓交于，兩點(diǎn)在軸上方），問(wèn)在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）設(shè)圓心，直線，半徑為3的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右下方所以，解得，或（舍，圓的方程為；（2）當(dāng)直線軸時(shí)，軸平分，此時(shí)為軸上任一點(diǎn)，當(dāng)直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，由題意得，即，整理得，即，解得，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題4已知為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓作兩切線，切點(diǎn)分別為、（1）求四邊形面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)

4、明理由【解答】解：（1），要使四邊形面積最小，則最小，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為，即，將其與聯(lián)立，解得此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（2）設(shè)，則以為直徑的圓為，化簡(jiǎn)可得，這個(gè)圓也是四邊形的外接圓，它與圓方程相減，得公共弦方程為，令，恒過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了圓的切線方程的應(yīng)用以及兩圓公共弦方程的求解，直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題5已知圓和直線（1）若直線與圓相交，求的取值范圍；（2）若，點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、，證明：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)【解答】解：（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線與圓相交，解得或即的取值

5、范圍是，；證明：（2）當(dāng)時(shí)，直線為，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為，即，與聯(lián)立，消去二次項(xiàng)，可得所在直線方程為：，又，即，可得直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了過(guò)圓的兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題6已知圓，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，（1）當(dāng)切線的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若的外接圓為圓，試問(wèn)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）由題可知，圓的半徑，設(shè)，因?yàn)槭菆A的一條切線，所以，所以，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或（2）設(shè)，因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)、三點(diǎn)的圓以為直徑，其方程為，即，由，解得或，所以

6、圓過(guò)定點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題7已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上（）求圓的方程；（）設(shè)，是圓上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，且，求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】解：（）設(shè)圓的方程為：，由題意得，解得，圓的方程：；證明：（）由題意，所在直線的斜率存在，設(shè)直線，由，得，設(shè)，則，代入得，直線必過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題8在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，以線段為直徑的圓為圓心）與直線相交于另一個(gè)點(diǎn)，（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)不在第一象限內(nèi)，圓與軸的正半軸的

7、交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交圓于，兩點(diǎn)，且兩直線的斜率之積為，試判斷直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1），設(shè)，得，得，在中，為的中點(diǎn)，設(shè)，則，解得或當(dāng)時(shí)，圓心為，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)時(shí)，圓心為，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，得，則，兩直線的斜率之積為，用代替，可得，當(dāng)直線的斜率存在，即時(shí)，直線的方程為，整理得：，可得直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)綜上可得，直線恒過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題9已

8、知三點(diǎn)、在圓上為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）證明：直線過(guò)定點(diǎn)【解答】解：（1）由于，得，點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）圓的半徑為2，直線截圓所得弦長(zhǎng)為，則圓心到直線的距離為1設(shè)直線的方程為，即，解得，則直線的方程為，當(dāng)時(shí)，得點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為取，由直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，可得，即此時(shí)直線的方程為；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為由，得由，得設(shè)，則且直線的方程為，直線的方程為，代入點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得由于，故從而，即即，整理得，解得當(dāng)時(shí)，直線為，過(guò)點(diǎn)，不符合題意；

9、當(dāng)時(shí)，直線為，過(guò)定點(diǎn)綜上，直線過(guò)定點(diǎn)另解：設(shè)，由，得，由，得，故直線的方程為，整理得，過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，代入點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，得，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)綜上，直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程和性質(zhì)，主要考查圓的方程和直線方程的運(yùn)用，直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，屬于中檔題10已知關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心在軸上（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引的兩條切線、，切點(diǎn)分別為，記四邊形的面積為，求的最小值；證明直線恒過(guò)定點(diǎn)【解答】解：（1）由題意已知關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心在軸上，所以有圓心，在直線上，即：，又因?yàn)閳A心在軸上，所以：，由以上兩式得：，所以：故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）如圖，的圓心為，半徑，因?yàn)椤⑹堑膬蓷l切

10、線，所以，故；又因?yàn)椋?；根?jù)平面幾何知識(shí)，要使最小，只要最小即可易知，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，此時(shí)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以、四點(diǎn)共圓其圓心為線段的中點(diǎn)，設(shè)所在的圓為，所以的方程為：，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)槭呛偷墓蚕?，所以：，兩式相減得，故方程為：，當(dāng)時(shí)，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，圓中三角形面積問(wèn)題的應(yīng)用，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，屬于難題11已知圓與直線相離，是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，（1）若，求；（2）當(dāng)點(diǎn)到圓的距離最小值為時(shí)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)【解答】（1）解：連接交于點(diǎn)，則，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，則，又，所以，因?yàn)橄嗲袌A于點(diǎn)，故，所以，即，所以（2）證

11、明：當(dāng)點(diǎn)到圓的距離最小值為時(shí)，圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或，由于，故，由于，故，在以為直徑的圓上，又，設(shè)，則以為直徑的圓的圓心為，故圓的方程為，即，因?yàn)?，在以為直徑的圓上，故是圓與圓的公共弦，兩式相減可得的方程為，即，由，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，兩圓公共弦的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題12已知圓，圓（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）若與軸不垂直的直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)【解答】解：（1）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，直線與圓相切

12、，解得，切線方程為故所求切線方程為或；證明：（2）設(shè)直線的方程為，則圓心，到直線的距離分別為，由垂徑定理可得，由，得，整理得，故，即或，直線的方程為或則直線過(guò)定點(diǎn)或【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查直線系方程的應(yīng)用，是中檔題13已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，問(wèn)在直線上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）直線的斜率為，的垂直平分線的斜率為1，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此直線的方程為，又圓心在直線上，圓心是直線與直線的交點(diǎn)聯(lián)立方程租，得圓心坐標(biāo)為，又半徑，圓的方程為；（2）假設(shè)存在

13、點(diǎn)符合題意，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，消去，得到方程則由根與系數(shù)的關(guān)系得，即，解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)顯然滿足題意綜上，在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題14已知圓的圓心在軸正半軸上，半徑為5，且與直線相切（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）設(shè)是直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，求證：經(jīng)過(guò)，三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】（1）解：設(shè)圓心，則由直線和圓相切的條件：，可得，解得（負(fù)值舍去），即

14、有圓的方程為；（2）解：若直線的斜率不存在，即，代入圓的方程可得，即有，成立；若直線的斜率存在，可設(shè)直線，即為，圓到直線的距離為，由，即有，即有，即，解得，則直線的方程為；（3）證明：由于是直線上的點(diǎn)，設(shè)，由切線的性質(zhì)可得，經(jīng)過(guò)，的三點(diǎn)的圓，即為以為直徑的圓，則方程為，整理可得，可令，且，解得，或，則有經(jīng)過(guò)，三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為，【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查相交和相切的關(guān)系，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式、切線的性質(zhì)和圓恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，屬于中檔題 題型二 阿波羅尼斯圓15古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，

15、后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為ABCD【解答】解：以經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，即，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則有，而表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，易知，故，故故選：【點(diǎn)睛】本題考查圓軌跡方程的求法，考查兩點(diǎn)間的距離，考查邏輯推理能力，屬于中檔題16阿波羅尼斯是亞歷山大時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，則點(diǎn)的軌跡就是圓事實(shí)上，互換該定理中的部分題設(shè)和結(jié)論，命題依然成立已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，若存在軸上的定點(diǎn)，和常數(shù)，對(duì)滿足已知條件的點(diǎn)均有，

16、則A1BCD【解答】解：根據(jù)題意，如圖，、兩點(diǎn)為圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，圓上任意一點(diǎn)都滿足，則、兩點(diǎn)也滿足該關(guān)系式，又由，則有，解可得，；故選：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解題意中關(guān)于圓的軌跡的敘述，屬于基礎(chǔ)題17阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之滿足且為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為圓已知圓和，若定點(diǎn)，和常數(shù)滿足：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，則2，【解答】解：設(shè)，則，由題意，取、分別代入可得，由即，解得，故答案為2，【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，考查賦值法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題18阿波羅尼斯與阿基米

17、德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之滿足且為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為圓已知圓和，若定點(diǎn)，和常數(shù)滿足：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，則2，面積的最大值為【解答】解：設(shè)點(diǎn)，由，得，整理得，所以解得，如右圖，當(dāng)或時(shí)，故答案為：2；【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法，考查圓的方程的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題19已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為求的方程，并說(shuō)明是什么圖形；試探究：在直線上是否存在定點(diǎn)（異于原點(diǎn)，使得對(duì)于上任意一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，若存在，求

18、出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由【解答】解：（1）設(shè)圓心，則由圓與軸正半軸相切，可得半徑圓心到直線的距離，由，解得故圓心為或，半徑等于3圓與軸正半軸相切圓心只能為故圓的方程為（2）設(shè)，則：，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，即：，所以點(diǎn)的軌跡方程為，它是一個(gè)以為圓心，以1為半徑的圓假設(shè)存在一點(diǎn)滿足條件，設(shè)則：，整理化簡(jiǎn)得：，在軌跡上，化簡(jiǎn)得：，解得：，存在，滿足題目條件【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，軌跡方程，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題20阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果擊中在他的代表作圓錐曲線一書(shū)，阿波羅

19、尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題已知圓：和點(diǎn)，點(diǎn)，為圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【解答】解：如圖，取點(diǎn)，連接、，在中，的最小值為的長(zhǎng)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中檔題21已知圓，直線（1）求直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，在軸上存在點(diǎn)（不同于點(diǎn)滿足，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】解：（1）由直線