隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)分析

1、關(guān)于隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的分析第一張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1721 系統(tǒng)分類確定系統(tǒng)隨機(jī)系統(tǒng) 線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)第二張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1731 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) x(t)y(t)線性時(shí)不變第三張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1741 信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) h(t)x(t)y(t)時(shí)域頻域系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的傳輸函數(shù)第四張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1751 線性系統(tǒng)卷積定理：時(shí)域卷積定理：若給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)已知，則頻域卷積定理：第五張，PPT共六十

2、八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1761 線性系統(tǒng)系統(tǒng)是線性的、時(shí)不變的、穩(wěn)定且物理可實(shí)現(xiàn)(因果性) 穩(wěn)定：系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是絕對(duì)可積物理可實(shí)現(xiàn)：當(dāng)t 0時(shí)，有h(t) = 0 第六張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/177線性系統(tǒng)1隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)2白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)3隨機(jī)序列通過(guò)線性系統(tǒng)4第七張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1782 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng) 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)可以完整地由它的沖激響應(yīng) (或傳輸函數(shù))來(lái)表征。 理論上，根據(jù)輸入隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，就能確定一個(gè)已知線性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性。 一種特殊情況，當(dāng)輸入為高斯過(guò)程時(shí)輸出也

3、是高斯過(guò)程。第八張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1792.1 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的時(shí)域分析線性系統(tǒng)輸出的時(shí)域數(shù)字特征 ： 數(shù)學(xué)期望 均方值 自相關(guān)函數(shù) 互相關(guān)函數(shù)線性系統(tǒng)輸出的頻域數(shù)字特征 ： 功率譜密度第九張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17102.1 時(shí)域分析均值設(shè)線性系統(tǒng)輸入X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其均值為 對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)系統(tǒng)輸出隨機(jī)信號(hào)的均值是常數(shù) 第十張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17112.1 時(shí)域分析均方值由于X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)第十一張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2

4、022/8/1712 2.1 時(shí)域分析自相關(guān)函數(shù)當(dāng)一個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)輸入到線性時(shí)不變穩(wěn)定系統(tǒng)時(shí)，其輸出隨機(jī)信號(hào)也是寬平穩(wěn)的。對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)第十二張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1713 2.1 時(shí)域分析自相關(guān)函數(shù) 若輸入隨機(jī)過(guò)程是嚴(yán)平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也將是嚴(yán)平穩(wěn)的； 若輸入是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，則輸出也具有各態(tài)歷經(jīng)性。第十三張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1714 2.1 時(shí)域分析互相關(guān)函數(shù)若X(t)是平穩(wěn)過(guò)程，則第十四張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1715 2.1 時(shí)域分析互相關(guān)函數(shù)輸入X(t)是平穩(wěn)過(guò)程輸出Y(t)也

5、是平穩(wěn)過(guò)程X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的 第十五張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1716 2.1 時(shí)域分析系統(tǒng)輸入為隨機(jī)過(guò)程與加性噪聲 線性系統(tǒng)h(t)X1(t)X2(t)X(t)Y(t) 假設(shè)隨機(jī)過(guò)程X1(t)、X2(t)是各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的，它們之和X(t)通過(guò)線性系統(tǒng)后，產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程Y1(t)、Y2(t)之和Y(t)，可證得(1) Y1(t)、Y2(t)是各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的；(2) X(t)和Y(t)也是聯(lián)合平穩(wěn)的。第十六張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1717 2.1 時(shí)域分析系統(tǒng)輸入為隨機(jī)過(guò)程與加性噪聲若輸入的兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程

6、X1(t)和X2(t)是不相關(guān)的，則有若輸入的兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望為零，則有 線性系統(tǒng)h(t)X1(t)X2(t)X(t)Y(t)第十七張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17182.2 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的頻域分析頻域分析功率譜密度 自關(guān)函數(shù)和功率譜密度的關(guān)系傅里葉變換對(duì)(1) 線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度(2) 系統(tǒng)輸入與輸出間互功率譜密度第十八張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17192.2 頻域分析系統(tǒng)輸出的功率譜密度 輸出自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的關(guān)系由輸入和輸出的功率譜密度可確定系統(tǒng)的幅頻特性 系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù) 第十九張，PPT共六十八

7、頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17202.2 頻域分析系統(tǒng)輸出的平均功率系統(tǒng)輸出的平均功率第二十張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17212.2 頻域分析系統(tǒng)輸入與輸出間互功率譜密度系統(tǒng)輸入與輸出間的互相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)輸入與輸出間的互功率譜密度由和互功率譜密度的測(cè)量可以確定線性系統(tǒng)傳輸函數(shù) 第二十一張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17222.2 頻域分析系統(tǒng)輸入為兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)若輸入是兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程X1(t)和X2(t)之和，則有輸出功率譜密度 第二十二張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1723若輸入的兩個(gè)聯(lián)合平

8、穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程X1(t)和X2(t)是不相關(guān)的輸出功率譜密度 2.2 頻域分析系統(tǒng)輸入為兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)第二十三張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17242.2 頻域分析系統(tǒng)輸入為兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)若輸入的兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程X1(t)和X2(t)的數(shù)學(xué)期望均為0輸出功率譜密度 第二十四張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1725線性系統(tǒng)1隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)2白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)3隨機(jī)序列通過(guò)線性系統(tǒng)4第二十五張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17263 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng) 白噪聲是具有均勻功率譜密度的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 系統(tǒng)輸出功率譜密

9、度 設(shè)線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為，輸入白噪聲功率譜密度為 輸入信號(hào)是白噪聲，則輸出隨機(jī)信號(hào)的功率譜主要是由系統(tǒng)的幅頻特性 決定；系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過(guò)，具有一定的選擇性。第二十六張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17273 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)輸出自相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)輸出功率譜密度 系統(tǒng)輸出自相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)輸出平均功率第二十七張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17283 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)等效噪聲帶寬 在一般的線性系統(tǒng)中，通常用3dB帶寬來(lái)表示系統(tǒng)對(duì)輸入確定信號(hào)頻譜的選擇性； 等效噪聲帶寬則用來(lái)描述系統(tǒng)對(duì)輸入白噪聲功率譜的選擇性。 它們都僅由系統(tǒng)本

10、身的參數(shù)決定。 第二十八張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性是困難的。在實(shí)際中為了計(jì)算方便，常常用一個(gè)幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)，在等效時(shí)要用到一個(gè)非常重要的概念等效噪聲帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。 若在保持平均功率 不變的條件下，把實(shí)際系統(tǒng)輸出功率譜密度等效成一定帶寬內(nèi)為均勻的功率譜密度。若等效的功率譜密度的高度為 則這個(gè)帶寬就定義為等效噪聲帶寬2022/8/17293 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)等效噪聲帶寬 等效原則：平均功率相等 等效系統(tǒng)的功率譜密度第二十九張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月計(jì)算實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬H

11、(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為白噪聲激勵(lì) 消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為 理想線性系統(tǒng)對(duì)同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為 等效噪聲帶寬第三十張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為 對(duì)于一般的低通濾波器的最大值出現(xiàn)在0處，即對(duì)于中心頻率為帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路) 的最大值出現(xiàn)在處，即第三十一張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3 隨機(jī)過(guò)程的帶寬第三十二張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3 隨機(jī)過(guò)程的帶寬 信號(hào)的等效均方帶寬： 定義為歸一化功率譜密度的標(biāo)準(zhǔn)差。第三十三張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6

12、月3 隨機(jī)過(guò)程的帶寬第三十四張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時(shí)間 3 白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)第三十五張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時(shí)間 3 白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)第三十六張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時(shí)間 3 白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)第三十七張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月A0設(shè)白噪聲的物理譜

13、輸出的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時(shí)間 3 白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)第三十八張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時(shí)間 3 白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)第三十九張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時(shí)間 該式表明：輸出隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說(shuō)，系統(tǒng)帶寬越寬，相關(guān)時(shí)間 越小，輸出隨機(jī)信號(hào)隨時(shí)間變化(起伏)越劇烈；反之，系統(tǒng)帶寬越窄，則越大，輸出隨機(jī)信號(hào)隨時(shí)間變化就越緩

14、慢。 3 白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)第四十張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月A|H (w)|0系統(tǒng)的中心頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬，則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。3 白噪聲通過(guò)理想帶通系統(tǒng)第四十一張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若輸入白噪聲的物理，則輸出的物理譜為 3 白噪聲通過(guò)理想帶通系統(tǒng)第四十二張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月輸出相關(guān)函數(shù)為 3 白噪聲通過(guò)理想帶通系統(tǒng)第四十三張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月輸出自相關(guān)函數(shù)等于與的乘積，其中只包含的成分。當(dāng)滿足時(shí)，與相比，是的慢變化函數(shù)，而是的快變化函數(shù)?？梢?jiàn)是RY()的慢變化部分是RY()的包絡(luò)。而是RY()的快變化

15、部分 理想帶通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)等于其相應(yīng)的低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)與的乘積。3 白噪聲通過(guò)理想帶通系統(tǒng)第四十四張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3 白噪聲通過(guò)理想帶通系統(tǒng)第四十五張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月輸出的相關(guān)系數(shù)為 帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為 帶通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間是由相關(guān)系數(shù)的慢變部分定義的，因此帶通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間與低通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間一致：3 白噪聲通過(guò)理想帶通系統(tǒng)第四十六張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜系統(tǒng)輸出功率譜為 3 白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)第四十七張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 高斯帶通

16、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出相關(guān)函數(shù) 3 白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)第四十八張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出相關(guān)函數(shù) 3 白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)第四十九張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出平均功率 相關(guān)系數(shù) 3 白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)第五十張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜 等效噪聲帶寬 相關(guān)時(shí)間 3 白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)第五十一張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1752

17、3 最佳線性濾波器 很多應(yīng)用中需要在噪聲背景中檢測(cè)微弱信號(hào)，接收機(jī)輸出的信噪比越高，越容易估計(jì)信號(hào)，所以通常以輸出信噪比最大作為準(zhǔn)則來(lái)設(shè)計(jì)接收機(jī)。特別的當(dāng)噪聲是白噪聲時(shí)，最佳濾波器稱為匹配濾波器。第五十二張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/1753線性系統(tǒng)1隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)2白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)3隨機(jī)序列通過(guò)線性系統(tǒng)4第五十三張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17544 隨機(jī)序列通過(guò)線性系統(tǒng) 隨機(jī)序列通過(guò)線性系統(tǒng)后統(tǒng)計(jì)特性改變 自相關(guān)函數(shù)(2) 功率譜密度 隨機(jī)序列通過(guò)兩類系統(tǒng)(1) 一階FIR濾波器 （MA模型） q階非遞歸濾波器(2) 一階遞歸濾

18、波器（AR模型） p階遞歸濾波器第五十四張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17554 隨機(jī)序列通過(guò)一階FIR濾波器 一階FIR濾波器 當(dāng)a=b=1/2時(shí) ，平均器b0b1(n)1nnh(n)系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)是有限長(zhǎng)度的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因果的。第五十五張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月系統(tǒng)的傳遞函數(shù)取a=1,b=1輸入均值為零，相關(guān)函數(shù)為RX(m)m功率譜為相關(guān)函數(shù)是有限長(zhǎng)度的，X(n)一定是平穩(wěn)的第五十六張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17574 隨機(jī)序列通過(guò)q階非遞歸濾波器 輸出的自相關(guān)函數(shù) q階非遞歸濾波器 （滑動(dòng)平均 moving ave

19、rage 模型） 該濾波器也稱為橫向?yàn)V波器（Transversal Filter)，濾波器一定是穩(wěn)定的和因果的（Stable and causal）這是一個(gè)全零濾波器第五十七張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17584 隨機(jī)序列通過(guò)一階遞歸濾波器 一階遞歸濾波器 第五十八張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H()系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：|a|1第五十九張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月均值：mx=Ey(n)=0 假定X(0)=0自相關(guān)函數(shù)為：y(n)是非平穩(wěn)的，但當(dāng)|a|1時(shí)是漸近平穩(wěn)的。系統(tǒng)穩(wěn)定的條件和漸近平穩(wěn)的條件相同第六十張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)

20、作于2022年6月2022/8/17614 隨機(jī)序列通過(guò)一階遞歸濾波器 一階遞歸濾波器 這種濾波器具有“無(wú)限長(zhǎng)”的記憶，因而對(duì)所有的k值輸出的自相關(guān)函數(shù) 均不嚴(yán)格為零，即所有的輸出時(shí)刻對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量都是相關(guān)的。 然而，當(dāng)樣本之間的間隔k增加時(shí)，可以預(yù)料到自相關(guān)函數(shù)將減小。這表明了隨時(shí)間間隔的增加，相互依存性減少（濾波器的記憶隨時(shí)間增大而減?。?。第六十一張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17624 隨機(jī)序列通過(guò)p階遞歸濾波器 p階遞歸濾波器 （自回歸 Autoregresive 模型 ） 這是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器第六十二張，PPT共六十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2022/8/17634 隨機(jī)序列通過(guò)p階遞歸濾波器 自相關(guān)函數(shù)線性方程組稱為