阻尼和固有頻率測(cè)量

1、關(guān)于阻尼和固有頻率的測(cè)量第一張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.1 阻尼系數(shù)的測(cè)量8.1.1 自由振動(dòng)衰減法圖1 單自由度系統(tǒng)模型圖1所示的一個(gè)單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，其質(zhì)量為m (kg)，彈簧剛度系數(shù)為k (N/m)，粘性阻尼系數(shù)為r (N. m /s)。當(dāng)質(zhì)量上承受初始條件t=0時(shí)，位移 ，速度 激勵(lì)時(shí)，將做自由衰減振動(dòng)。在弱阻尼條件下其位移響應(yīng)為衰減系數(shù)（1）第二張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月響應(yīng)曲線如圖2所示。結(jié)論： 為衰減振動(dòng)的周期， 為衰減振動(dòng)的頻率， 為衰減振動(dòng)的圓頻率。第三張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月圖2 弱阻尼衰減振動(dòng)的響應(yīng)曲線第四張

2、，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 從圖2衰減振動(dòng)的響應(yīng)曲線上可直接測(cè)量出 ，然后根據(jù) 可計(jì)算出 n ； 計(jì)算出 p； 可計(jì)算出 計(jì)算出r； 計(jì)算出無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有頻率 ； 計(jì)算出無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有周期對(duì)于衰減系數(shù)n，可以用三種方法來計(jì)算：1、由相鄰的正逢（或相鄰的負(fù)峰）幅值比計(jì)算第五張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2、由相鄰的峰-峰幅值比計(jì)算3、小阻尼情況適用公式第六張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.1.2 半功率點(diǎn)法圖3所示為一個(gè)單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)模型。其質(zhì)量為m(kg)，彈簧剛度系數(shù)為k (N/m)，粘性阻尼系數(shù)為r (N. m /s)。質(zhì)

3、量m上承受簡(jiǎn)諧激振力 作用。其強(qiáng)迫振動(dòng)的位移響應(yīng)為圖3 單自由度系統(tǒng)模型第七張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月引入符號(hào)則有第八張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月上式中， 相當(dāng)于激振力的最大幅值 靜止地作用在彈簧上所引起的彈簧靜變形； 稱為頻率比； 稱為放大因子，以 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)，對(duì)于不同的 值所得到的一組曲線，稱為幅頻響應(yīng)曲線，如圖4所示（圖中只給出了一種 值）； 為位移響應(yīng)滯后力的相位角，以 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)，對(duì)于不同的 值所得到的一組曲線，稱為相頻響應(yīng)曲線，如圖5所示。圖4 強(qiáng)迫振動(dòng)幅頻響應(yīng)曲線圖5 強(qiáng)迫振動(dòng)相頻響應(yīng)曲線第九張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年

4、6月 在幅頻響應(yīng)曲線中，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，其最大值 。在圖中作一條水平線，其縱坐標(biāo)為 ，與曲線交于 兩點(diǎn)，該兩點(diǎn)稱為半功率點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離為圖4 強(qiáng)迫振動(dòng)幅頻響應(yīng)曲線第十張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.1.3 共振法強(qiáng)迫振動(dòng)的位移響應(yīng)為速度響應(yīng)為速度幅值為取得極值的條件為 ，即當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生速度共振， 。此時(shí)相位差 ，即速度響應(yīng)與激振力 之間的相位差為0；阻尼力 ，即激振力所作的功全部被阻尼所消耗。故有系統(tǒng)發(fā)生速度共振時(shí)， 第十一張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月因此，只要測(cè)量系統(tǒng)發(fā)生速度共振時(shí)的速度幅值 和激振力幅值 ，即可計(jì)算出阻尼系數(shù) ，并根據(jù) 算出衰減系數(shù)

5、， 算出相對(duì)阻尼系數(shù) 。 也可利用示波器力與速度的圖像來測(cè)量阻尼系數(shù)。如圖6所示，將力信號(hào)接入示波器的x 軸，速度信號(hào)接入示波器的y 軸，兩通道的放大倍數(shù)調(diào)成一致，因二者之間的相位差為0，故形成圖示的直線，該直線的斜率即為阻尼系數(shù)，即圖6 共振法測(cè)阻尼的圖像若x軸接入的是位移信號(hào)，則形成的圖像為正橢圓，橢圓與x、y軸的交點(diǎn)即為 和 。據(jù)此也可測(cè)出阻尼系數(shù) 第十二張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.2 固有頻率的測(cè)量8.2.1 自由振動(dòng)衰減法系統(tǒng)的固有頻率是指系統(tǒng)無(wú)阻尼時(shí)自由振動(dòng)的頻率，即 。對(duì)圖1所示的單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，當(dāng)受初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)的衰減曲線如圖2所示。在曲

6、線上可直接測(cè)量并計(jì)算出衰減的周期 ，衰減系數(shù) 、相對(duì)阻尼系數(shù) ，因而有圖1 單自由度系統(tǒng)模型圖2 弱阻尼衰減振動(dòng)的響應(yīng)曲線第十三張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.2.1 速度共振的相位判別法圖3 單自由度系統(tǒng)模型 圖3所示為一個(gè)單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)模型。位移響應(yīng)為幅值B取得極值的條件為 ，即在該點(diǎn)發(fā)生共振。共振幅值位移信號(hào)與激振力信號(hào)之間的相位差第十四張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月速度響應(yīng)為幅值 取得極值的條件為 ，即在該點(diǎn)發(fā)生共振。共振幅值速度信號(hào)與激振力信號(hào)之間的相位差 加速度響應(yīng)幅值 取得極值的條件為 ，即在該點(diǎn)發(fā)生共振。共振幅值加速度信號(hào)與激振力

7、信號(hào)之間的相位差 第十五張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月圖7 速度響應(yīng)判別速度共振圖8位移響應(yīng)判別速度共振圖9加速度響應(yīng)判別速度共振速度共振的相位判別法的依據(jù)即為系統(tǒng)發(fā)生速度共振時(shí)，激振力和速度響應(yīng)之間的相位差為0。實(shí)驗(yàn)時(shí)，將激振力信號(hào)接入示波器的軸，速度響應(yīng)信號(hào)接入示波器的軸，改變激振信號(hào)的頻率，根據(jù)李沙育原理，屏幕上將出現(xiàn)如圖的圖像。即當(dāng)圖像變成斜直線時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生速度共振，此時(shí)，即激振力的頻率就是系統(tǒng)的固有頻率。若示波器軸上分別接入的是位移信號(hào)和加速度信號(hào)，則屏幕上出現(xiàn)圖，的圖像。第十六張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.2. 穩(wěn)態(tài)激振法圖3 單自由度系統(tǒng)模型 圖3所示

8、為一個(gè)單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)模型。位移響應(yīng)為位移幅值系統(tǒng)確定后p,n,m是確定的。只要保證激振力幅值 是常量， 的大小唯一取決于激振力頻率 。穩(wěn)態(tài)激振法是每給定一個(gè)激振頻率 ，測(cè)量一次位移響應(yīng)幅值 ，從而得到一組 隨 變化的數(shù)據(jù)。以 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)，可描在曲線上，振幅最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的激振頻率稱為共振頻率，測(cè)試系統(tǒng)發(fā)生了位移共振。第十七張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月圖10 強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)幅頻響應(yīng)曲線式中，相對(duì)阻尼系數(shù) 可以通過半功率點(diǎn)法測(cè)得，在 的情況下也可忽略，此時(shí)系統(tǒng)的共振頻率等于固有頻率。若測(cè)量的是系統(tǒng)速度響應(yīng)幅值與激振頻率之間的關(guān)系曲線，則系統(tǒng)的共振頻率就是固有

9、頻率，即若測(cè)量的是系統(tǒng)加速度幅值與激振頻率之間的關(guān)系曲線，則系統(tǒng)的共振頻率與固有頻率的關(guān)系為 第十八張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.3 傳遞函數(shù)與頻響函數(shù)圖11單自由度粘性阻尼系統(tǒng)由振動(dòng)理論可知，圖11所示單自由度粘性阻尼系統(tǒng)，阻尼力 ，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為：對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并假設(shè)初始速度、位移值為0，有式中s為拉氏變換因子，為復(fù)變量，也稱復(fù)頻率，其實(shí)部和虛部常用 和 表示，即 ； 為 的拉氏變換， 為 的拉氏變換。按照機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義，有該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第十九張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)于自由振動(dòng)， ，則有 。在小阻尼的情況下，求得的一對(duì)共軛復(fù)

10、根為 和 稱為該系統(tǒng)的復(fù)頻率，其實(shí)部 即為系統(tǒng)的衰減系數(shù)，虛部 為系統(tǒng)的有阻尼固有頻率。對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程兩邊進(jìn)行傅立葉變換，即 ，即有系統(tǒng)的頻響函數(shù)式中， 為 的傅立葉變換， 為 的傅立葉變換。頻響函數(shù)是頻率的函數(shù)，為復(fù)數(shù)，即有幅值與相位，又有實(shí)部與虛部，常用以下曲線來描述其特性。第二十張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.3.1 Bode圖頻響函數(shù)的幅頻圖和相頻圖稱為Bode圖。對(duì)粘性阻尼，其模與相位角為式中， 為頻率比， 為相對(duì)阻尼系數(shù)，圖形如圖12第二十一張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月圖12 頻響函數(shù)的幅頻與相頻圖在相頻圖上，當(dāng) 時(shí)， ，而且與阻尼大小無(wú)關(guān)，系統(tǒng)處于相位共振狀態(tài)，可以方便的識(shí)別出系統(tǒng)的固有頻率 ；在幅頻圖上，當(dāng) 時(shí)， 達(dá)到極大值，且 ，故可以識(shí)別出阻尼系數(shù) 。第二十二張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.3.2 實(shí)頻圖與虛頻圖頻響函數(shù)的實(shí)部和虛部分別為其圖形如圖13所示。在實(shí)部圖上，利用半功率點(diǎn)法可以識(shí)別出系統(tǒng)的相對(duì)阻尼系數(shù) ， 時(shí)虛部達(dá)到極大值，實(shí)部為0，系統(tǒng)處于共振狀態(tài)，可識(shí)別出系統(tǒng)的固有頻率。圖13頻響函數(shù)的實(shí)部與虛部圖第二十三張，PPT共二十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8.3.2 Nyquist圖 以頻響函數(shù)的實(shí)部為橫坐標(biāo)，虛部為縱坐標(biāo)，繪出頻響函數(shù)矢量隨頻率的變