山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件19離散型隨機變量及其概率分布

1、離散型隨機變量 設(shè)X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是 x1, x2 , . 為了描述隨機變量 X ，我們不僅需要知道隨機變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個值的概率. 這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取3 個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1且其中 (k=1,2, ) 滿足： k=1,2, （1）（2） 定義1 ：設(shè)xk(k=1,2, )是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱 k=1,2, 為離散型隨機變量X的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布.用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率函數(shù)一、離散型隨機變量概率分布的定義解: 依據(jù)概率函數(shù)的

2、性質(zhì):P(X =k)0, a0從中解得欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)應(yīng)有這里用到了常見的冪級數(shù)展開式例2.設(shè)隨機變量X的概率函數(shù)為：k =0,1,2, ,試確定常數(shù)a .二、表示方法（1）列表法：（2）圖示法（3）公式法X再看例1任取3 個球X為取到的白球數(shù)X可能取的值是0,1,20.10.30.6kPK012三、舉例例3. 某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解： X可取0、1、2為值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X

3、=1)+ P(X =2)=1常常表示為： 這就是X的概率分布.例4. 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X 的概率函數(shù).解: 顯然，X 可能取的值是1,2, ， P(X=1)=P(A1)=p, 為計算 P(X =k )， k = 1,2, ，Ak = 第k發(fā)命中，k =1, 2, ，設(shè)于是可見這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù). P(X=1)=P(A1)=p, Ak = 第k發(fā)命中，k =1, 2, ，設(shè)于是 若隨機變量X的概率函數(shù)如上式，則稱X具有幾何分布. 不難驗證:例5. 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠

4、與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等. 以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求X的概率分布.解: 依題意, X可取值0, 1, 2, 3. P(X=0)=P(A1)=1/2, Ai=第i個路口遇紅燈, i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1P(X=1)=P( )= 1/4 P(X=2)=P( )=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)路口3路口2路口1路口3路口2路口1Ai=第i個路口遇紅燈, i=1,2,3設(shè)=1/8P(X=3)= P( )路口3路口2路口1即不難看到X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)Ai=第i個路口遇紅燈, i=1,2,

5、3設(shè) 解：每個分子的運動是相互獨立的，在左邊還是右邊是等可能的, 概率都是0.5.例6. N個可以辨認的分子，在一容器內(nèi)自由運動，如今從中隔開，觀察左邊分子的個數(shù)，試求其概率分布.設(shè)左邊分子的個數(shù)為X，我們來求X取每個值的概率.X可取0,1,N為值，設(shè)左邊分子的個數(shù)為X，P(X=k)= k=0,1,NX可取0,1,N為值，共N個分子某固定k個分子在左端，其余N-k個分子在右端的概率是(0.5)k(0.5)N -k左端有k個分子的所有情況數(shù)為從N個不同元素中取k個的組合，即 種.于是 只要知道了隨機變量的概率分布，就可以計算與該隨機變量有關(guān)的事件的概率.P(X=k) k=0,1,N可以驗證：例7

6、. 某加油站替公共汽車站代營出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元. 因代營業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費60元. 設(shè)每天出租汽車數(shù) X是一個隨機變量，它的概率分布如下： 求因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費用的概率.分析：加油站代營每出租一輛車，可得3元.每天出租汽車數(shù)為X，因代營業(yè)務(wù)得到的收入為3 X元. 每天加油站要多付給職工服務(wù)費60元，即當(dāng)天的額外支出費用. 因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費用的概率為：P3X60即 PX20注意到 也就是說，加油站因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費用的概率為0.6.PX20=PX=30+PX=40=0.6 對于離散型隨機變量，如果知道了它的概率函數(shù),也就知道了該隨機