16值域核與不變子空間

1、1.6值域、核與不變子空間 一、定義和若干性質(zhì) 定義 1.2.1 (P.23) 線性變換的象空間和零空間 設(shè)線性映射T：VU， 值域 R(T)=： V ，=T()U 核空間 N（T）=： V，T ( ) =0 定理1.10 N(T), R(T)分別是V,U的子空間 基于以上原因，所以T值域又稱為T的象子空間， 的核子空間又稱為的零子空間. 1定義1.14 設(shè)T是線性空間V上的線性變換，R(T)的維數(shù)稱為T的秩，記為rankT；而N(T)的維數(shù)稱為T的零度或虧度，記為nullT. T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T）定理1.11 設(shè)T是n維線性空間V上的線性變換，且T在V的

2、一組基 下的矩陣是A，則（1）T的值域R(T)是 生成的子空間，即（2）T的秩 =r(A). 2例1.35由例1.31知R3上的投影變換f:(a,b,c)(a,b,0)，在自然基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3-(0,0,1)下的矩陣為由定理1.11知的T秩 =2. 事實上，由例1.34知：R3上的投影變換f的值域就是xoy平面. 3定理1.12設(shè)V,U分別是數(shù)域P上的n維和m維線性空間， T:VU的線性映射，則Dim R(T)+dim N(T)=n4設(shè)A為階矩陣，稱為矩陣A的值域；為A的核 。、稱為的秩和零度。 （2）推論 （3），n為A的列數(shù)。 （1）（2）5例1.36設(shè)

3、在R22上的線性變換定義為求T的值域R(T)及核子空間N(T)基與維數(shù)，并問R(T)+N(T)是否是直和？6=定理1.13 設(shè)V,U是有限維線性空間,線性變換T:VU則T是單射當且僅當N（T）=0 ;T是滿射當且僅當R(T)=U.7定理1.14 設(shè)V是n維線性空間,線性變換T：VV則以下條件等價： （1） T是單射；（2） T是滿射；（3） T是雙射。8二、R上線性方程組求解理論設(shè)把A看成RnRm的線性映射x Rn,xy=Ax RmA=(1, 2, n)則有定理1.15(1)R(A)=Span1, 2, n;(2) dimR(A)=r(A),其中r(A)是A的秩.9我們利用線性映射中零空間與值

4、域的概念，來討論線性方程組的求解問題定理1.16設(shè)則（1）線性方程組有解當且僅當（2）線性方程組有唯一解當且僅當（3）線性方程組有無窮多解當且僅當10推論 在上面的定理中，取b=0,則有（1）線性方程組必有解；（2）線性方程組只有零解當且僅當（3）線性方程組有無窮多解當且僅當11關(guān)于矩陣秩的有關(guān)結(jié)論定理1.17設(shè)ARmn,BRnl,則（1）r(AB)=r(B)-dimN(A)R(B)（2）r(AB)=r(A)-dimN(BT)R(AT)證明：我們定義線性映射C ：R(B)R(A),xy=Ax R(A)則N(C)=R(B)N(A),R(C)=R(AB).事實上，若x R(B)且Ax=0,則x R

5、(B) N(A),從而N(C)R(B)N(A),反之若x R(B) N(A),則 x R(B)且x N(A),12所以Ax=0,從而xN(A),故N(C)R(B)N(A),于是N(C)R(B)N(A)。又 R(C)=A(R(B)=A(B(Rl)=AB(Rl)=R(AB)由維數(shù)公式知 dimR(B)= dimR(C)+dimN(C)=dimR(AB)+ dimN(A)R(B)也即r(AB)=r(B)-dimN(A)R(B)。又由r(BTAT)=r(AB)以及r(B)=r(BT)知r(AB)=r(A)-dimN(BT)R(AT)成立。13推論 Sylverster不等式：minr(A),r(B)r

6、(AB)r(A)+r(B)-n其中，n是矩陣A的列數(shù)。證明：左邊顯然成立。對于右邊，由于dimR(B)N(A) dimN(A)利用上面的定理則有R(AB)=r(B)- dimR(B)N(A)r(B)-dimN(A)=r(B)-n-r(A)=r(B)+r(A)-n.14定理1.18 設(shè)ARnn,則下列條件等價1） N(A)=N(A2);2） dimN(A)=dimN(A2);3） r(A)=r(A2);4） R(A)=R(A2);5） N(A)R(A)=0;6） Rn=N(AR(A);7）,其中P是n階可逆矩陣，D的r階可逆矩陣，r=r(A).8） A=QA2.15定理1.19 設(shè)A Rnn,則以下條件等價：1）A2=A;2）R(A+I)=N(A-I)以及R(AI)=N(AI)；3） r(A+I)+r(A-I)=n;4) Rn=N(A+I)+N(A-I).16例1.37 平面上全體向量，對如下定義的加法和數(shù)乘 則R2按照上述定義不構(gòu)成R上的線性空間。17例38設(shè) 記求證L(A)為R22的線