高三數(shù)學(xué)-第四篇-第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用課件-理-北師大版

1、第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用第一頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。考綱點(diǎn)擊能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.熱點(diǎn)提示1.以遞推關(guān)系為背景，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.2.等差、等比交匯，考查數(shù)列的基本計(jì)算.3.數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何交匯，考查數(shù)列的綜合應(yīng)用.4.以考查數(shù)列知識(shí)為主，同時(shí)考查“等價(jià)轉(zhuǎn)化”、“變量代換”思想.第二頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。1解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意(2)建模將條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么(3)求解求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解(4)復(fù)原

2、將所求結(jié)果復(fù)原到原實(shí)際問(wèn)題中第三頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。2數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比第四頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。銀行儲(chǔ)蓄單利公式及復(fù)利公式是什么模型？提示：?jiǎn)卫皆O(shè)本金為a元，每期利率為r，存期為n，那么本利和an=a1+rn，屬于等差模型.復(fù)利公式設(shè)本金為a元，每期利率為r，存期為n，那么本利和an=a1+rn，屬于等比模型.第五頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。(3)遞推數(shù)列模型：如

3、果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是前n項(xiàng)和Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系1有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒，問(wèn)細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要()A6秒鐘B7秒鐘C8秒鐘 D9秒鐘第六頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分?！窘馕觥恳李}意121222n1100， 100，2n101，n7，那么所求為7秒鐘【答案】B2函數(shù)f(x) ，其對(duì)稱(chēng)中心是 ，假設(shè)an (nN*)，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，那么使Sn0的n的最小值為()A10 B11C12 D13第七頁(yè)，

4、編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。【解析】由題意可知 是其對(duì)稱(chēng)中心，a1a100，a2a90，即a1a2a100，即S100，而a11f(11)0，S110.【答案】B3等差數(shù)列an中，an0，nN*，有2a3a722a110，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，那么b6b8等于()A2 B4C8 D16第八頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。【解析】a722a32a112(a3a11)4a7，a70(舍)或a74，b7a74.b6b8b7216.【答案】D4三個(gè)數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，那么函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)【解析】a、b、c成等比數(shù)列，b2ac，且b0.又b24acb

5、24b23b20且a1)，設(shè)f(a1)、f(a2)、f(an)(nN)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列(1)假設(shè)a為常數(shù)，求證：an成等比數(shù)列；(2)設(shè)bnanf(an)，假設(shè)bn的前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)a時(shí)，求Sn；(3)令Cnanlg an問(wèn)是否存在a，使得Cn中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)，假設(shè)存在，求出a的范圍；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由第十六頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分?！窘馕觥?1)證明：f(an)4(n1)22n2，即logaan2n2，可得ana2n2. a2，為定值an為等比數(shù)列(2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2.當(dāng)a 時(shí)，bn(2n2) 2n2(n1)2n

6、2.Sn223324425(n1)2n2，2Sn224325426n2n2(n1)2n3.得Sn22324252n2(n1)2n3.16 (n1)2n3第十七頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。162n324n2n32n3n2n3.Snn2n3.(3)Cnanlg ana2n2lg a2n2(2n2)a2n2lg a.要使Cn1Cn對(duì)一切n2成立即nlg a1時(shí)，即n(n1)a2，對(duì)一切n2成立當(dāng)0a(n1)a2n 對(duì)一切n2成立只需2 ，0a .故a的范圍為0a1.第十八頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。 氣象學(xué)院用3.2萬(wàn)元買(mǎi)了一臺(tái)天文觀(guān)測(cè)儀，這臺(tái)觀(guān)測(cè)儀從啟用的第一天起連續(xù)使用 ，第n天的維

7、修保養(yǎng)費(fèi)為 元(nN*)，使用它直至報(bào)廢最合算(所謂報(bào)廢最合算是指使用的這臺(tái)儀器的平均耗資最少)為止，一共使用了多少天？第十九頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分?！咀灾魈骄俊坑傻趎天的維修保養(yǎng)費(fèi)為 元(nN*)，可以得出觀(guān)測(cè)儀的整個(gè)耗資費(fèi)用，由平均費(fèi)用最少而求得最小值成立時(shí)相應(yīng)n的值設(shè)一共使用了n天，那么使用n天的平均耗資為當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取得最小值，此時(shí)n800.答：一共使用了800天第二十頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。【方法點(diǎn)評(píng)】1.解等差數(shù)列應(yīng)用題，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問(wèn)題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列問(wèn)題，使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化然后用等差數(shù)列

8、知識(shí)求解這其中表達(dá)了把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力，也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力2解等差數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是建模，建模的思路是：從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)抽象概括建立數(shù)列模型，通過(guò)對(duì)模型的解析，再返回實(shí)際中去，其思路框圖為：第二十一頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。第二十二頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。2某公司按現(xiàn)有能力，每月收入為70萬(wàn)元，公司分析部門(mén)測(cè)算，假設(shè)不進(jìn)行改革，因競(jìng)爭(zhēng)加劇收入將逐月減少分析測(cè)算得2021年第一個(gè)月收入將減少3萬(wàn)元，以后逐月多減少2萬(wàn)元，如果進(jìn)行改革，即投入技術(shù)改造220萬(wàn)元，且2021年后每月再投入1萬(wàn)元進(jìn)行員工培訓(xùn)，那么測(cè)算得自2021年第一個(gè)月起累計(jì)收入Tn與時(shí)間n(以月為單位)

9、的關(guān)系為T(mén)nanb，且2021年第一個(gè)月時(shí)收入為90萬(wàn)元，第二個(gè)月時(shí)累計(jì)收入為170萬(wàn)元，問(wèn)從2021年1月份開(kāi)始，經(jīng)過(guò)幾個(gè)月，該公司改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入【解析】改革后經(jīng)過(guò)n個(gè)月累計(jì)純收入為(Tn220n)萬(wàn)元第二十三頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。不改革的累計(jì)收入為70n ，由題意可得80n10220n70n3nn(n1)，即n211n2100，得n10或n0)，因此，歷年所交納的儲(chǔ)藏金數(shù)目a1，a2，an是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說(shuō)，如果固定年利率為r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)藏金

10、就變?yōu)閍1(1r)n1，第二年所交納的儲(chǔ)藏金就變?yōu)閍2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)藏金總額第二十五頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。(1)寫(xiě)出Tn與Tn1(n2)的遞推關(guān)系式；(2)求證：TnAnBn，其中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列【思路點(diǎn)撥】(1)中關(guān)系式容易列出；(2)中利用Tn與Tn1，Tn1與Tn2的關(guān)系以此類(lèi)推，逐步得Tn的表達(dá)式，再利用錯(cuò)位相減法求得Tn，即不難得出An與Bn.【自主探究】(1)由題意可得TnTn1(1r)an(n2)(2)T1a1，對(duì)n2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)an第二十六頁(yè)，編輯于星期

11、五：八點(diǎn) 三十六分。a1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an在式兩端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an (1r)n1ra1(1r)nan.即Tn .如果記An (1r)n，Bn n，那么TnAnBn.其中An是以 (1r)為首項(xiàng)，以1r(r0)為公比的等比數(shù)列；Bn是以 為首項(xiàng)，以 為公差的等差 第二十七頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分?！痉椒c(diǎn)評(píng)】1.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，有許多問(wèn)題以等比數(shù)列為模型，此類(lèi)問(wèn)題往往從應(yīng)用問(wèn)題給出的初始條件入手，推出假設(shè)干項(xiàng)，逐步探索數(shù)列通項(xiàng)或

12、前n項(xiàng)和，或前后兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，從而建立等比數(shù)列模型，要注意題目給出的一些量的結(jié)果，合理應(yīng)用 .2與等比數(shù)列聯(lián)系較大的是“增長(zhǎng)率、“遞減率的 概念，在經(jīng)濟(jì)上多涉及利潤(rùn)、本錢(qián)、效益的增減問(wèn)題；在人口數(shù)量的研究中也要研究增長(zhǎng)率問(wèn)題；金融問(wèn)題更多涉及復(fù)利的問(wèn)題這都與等比數(shù)列有關(guān)第二十八頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。3某市2021年共有1萬(wàn)輛燃油型公交車(chē)，有關(guān)部門(mén)方案于2021年投入128輛電力型公交車(chē)，隨后電力型公交車(chē)每年的投入比上一年增加50%，試問(wèn)：(1)該市在2021年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車(chē)？(2)到哪一年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的 ？(lg 6572.82，lg

13、20.30，lg 30.48)【解析】(1)該市逐年投入的電力型公交車(chē)的數(shù)量組成等比數(shù)列an，其中a1128，q1.5，那么在2021年應(yīng)該投入的電力型公交車(chē)為a7a1q61281.561 458(輛)第二十九頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。所以到2021年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的 .第三十頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。1(2021年湖北高考)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)比方：第三十一頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱(chēng)為三角形數(shù)；類(lèi)似地，稱(chēng)圖2中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方

14、形數(shù)以下數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289B1 024C1 225 D1 378【解析】觀(guān)察三角形數(shù)：1,3,6,10，記該數(shù)列為an，那么：a11，a2a12，a3a23，第三十二頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n ，觀(guān)察正方形數(shù)：1,4,9,16，記該數(shù)列為bn，那么bnn2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字，分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225，應(yīng)選C.2(2021年湖南高考)將正ABC分割成n2(n2，nN*)個(gè)全等的小正三角形(圖1，圖2分別給出了n2,3的情形)，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，

15、使位于ABC的三邊及平行于某邊的任一直線(xiàn)上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別依次成等差數(shù)列第三十三頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。假設(shè)頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，那么有f(2)2，f(3)_，f(n)_第三十四頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。【解析】設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C處放的數(shù)分別為a，b，c，那么邊AB中間兩個(gè)頂點(diǎn)上的兩個(gè)數(shù)分別為a (ba)，a (ba)；邊AC中間兩個(gè)頂點(diǎn)上的兩個(gè)數(shù)分別為a (ca)，a (ca)，與邊BC平行的直線(xiàn)共有2條，每條直線(xiàn)上的頂點(diǎn)上的數(shù)的個(gè)數(shù)分別為2,3，頂點(diǎn)上的數(shù)之和分別為a (ba)a (ca)a ，BC邊

16、上的四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和為 2b2c，第三十五頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。故f(3)aa 12b2c2(abc)1 .對(duì)于分割成n2的情形，那么除A，B，C三個(gè)頂點(diǎn)外，AB，BC，AC三邊上各有n1個(gè)頂點(diǎn)，AB邊上的第k個(gè)(從上到下)頂點(diǎn)上的數(shù)為a (ba)，AC邊上的第k個(gè)(從上到下)頂點(diǎn)上的數(shù)為a (ca)，平行于BC的直線(xiàn)共有n1條，從上到下依次有2,3，n個(gè)頂點(diǎn)，平行于BC的第k條直線(xiàn)上的k1個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)成等差數(shù)列，其和為第三十六頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。第三十七頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分?！敬鸢浮?(n1)(n2)3(2021年天津高考)等差數(shù)列an的公差為d(d0

17、)，等比數(shù)列bn的公比為q(q1)設(shè)Sna1b1a2b2anbn，Tna1b1a2b2(1)n1anbn，nN*.(1)假設(shè)a1b11，d2，q3，求S3的值；(2)假設(shè)b11，證明(1q)S2n(1q)T2n ，nN*；第三十八頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。(3)假設(shè)正整數(shù)n滿(mǎn)足2nq，設(shè)k1，k2，kn和l1，l2，ln是1,2，n的兩個(gè)不同的排列，c1ak1b1ak2b2aknbn，c2al1b1al2b2alnbn，證明c1c2.【解析】(1)由題設(shè)，可得an2n1，bn3n1，nN*.所以，S3a1b1a2b2a3b311335955.(2)由題設(shè)，可得bnqn1，那么S2na1

18、a2qa3q2a4q3a2nq2n1，T2na1a2qa3q2a4q3a2nq2n1.式減去式，得S2nT2n2(a2qa4q3a2nq2n1)式加上式，得S2nT2n2(a1a3q2a2n1q2n2)第三十九頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。式兩邊同乘q，得q(S2nT2n)2(a1qa3q3a2n1q2n1)所以，(1q)S2n(1q)T2n(S2nT2n)q(S2nT2n)2d(qq3q2n1) ，nN*.(3)c1c2(ak1al1)b1(ak2al2)b2(aknaln)bn(k1l1)db1(k2l2)db1q(knln)db1qn1.因?yàn)閐0，b10，所以 (k1l1)(k2l2)q(knln)qn1.第四十頁(yè)，編輯于星期五：八點(diǎn) 三十六分。假設(shè)knln，取in.假設(shè)knln，取i滿(mǎn)足kili，且kjlj，i1jn.由及題設(shè)知，1in，且 (k1l1)(k2l2)q(ki1li1)qi2(kili)qi1.當(dāng)kili時(shí)，同理可得 1，因此c1c2.綜上，c1c2. 1等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類(lèi)討論的思想方法在本節(jié)中也有重要表達(dá)，復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題總是要轉(zhuǎn)化為