高考數學考點回歸總復習第四十五講空間點直線平面之間位置關系

1、關于高考數學考點回歸總復習第四十五講空間點直線平面之間的位置關系共 50 頁1第一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁2回歸課本第二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁31.平面的基本性質公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內.公理2:過不在同一直線上的三點,有且只有一個平面.注意:公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.第三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁4注意:用途公理1證明點在平面內證明直線在平面內公理2確定平面的條件證明有關點、線共面問題公理3確定兩個平面的交線

2、證明三點共線或三線共點第四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁52.空間直線與直線的位置關系(1)位置關系:共面與否公共點個數 第五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁6 (2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)公理5:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.第六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁7(4)異面直線的夾角:定義:已知兩條異面直線a、b經過空間任意一點O作直線aa,bb,我們把兩相交直線a,b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a、b所成的角(或夾角).范圍:特別地:如果兩異面直線所成

3、的角是90,我們就稱這兩條直線互相垂直,記作ab. 第七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁83.空間中的直線與平面的位置關系第八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁94.平面與平面的位置關系有兩種第九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁10注意:符合語言:(1)點與線:Al,Al.(2)點與面:A,A.(3)線與線:l1l2,l1l2=O,l1與l2異面.(4)線與面:l,l(l=A,或l).(5)面與面:,=l.第十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁11考點陪練第十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50

4、 頁121.下列命題中正確的是( )A.三點確定一個平面B.兩條直線確定一個平面C.兩兩相交的三條直線一定在同一平面內D.過同一點的三條直線不一定在同一平面內解析:A、B、C均不滿足公理2及其推論,故D正確.答案:D第十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁132.若A表示點,a表示直線,、表示平面,則下列表述中,錯誤的是( )A.a,AaAB.a,AaAC.A,A,=aAaD.Aa,Aa第十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁14解析:a的含義是a上所有點都在平面上,故A正確;反之直線a上有一點不在上,就說明a,故D正確,但是a并不代表所有點都不在上,故

5、B錯誤.C就是公理3,故C正確.答案:B第十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁153.給出下面四個命題:如果直線ac,bc,那么a,b可以確定一個平面;如果直線a和b都與直線c相交,那么a,b可以確定一個平面;如果ac,bc,那么a,b可以確定一個平面;直線a過平面內一點與平面外一點,直線b在平面內不過該點,那么a和b是異面直線.第十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁16上述命題中,真命題的個數是( )A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析:中,由公理4知,ab,故正確;中,a,b可能異面,故錯誤;中,a,b可能異面,故錯誤;正確.答案:B第十六

6、張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁174.在正方體ABCDABCD中,EF分別為棱AACC的中點,則在空間中與三條直線ADEFCD都相交的直線( )A.不存在 B.有且只有兩條C.有且只有三條 D.有無數條第十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁18解析:在AD延長線上取一點H,使AD=DH,在DC延長線上取一點G,使CG=2DC,連接HG與EF交于一點,延長DC.連接DF必與DC延長線相交,延長DA,連接DE必與DA延長線相交.連接AC與EF交于EF中點,故選D.答案:D第十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁195.三條直線兩兩垂

7、直,那么在下列四個結論中,正確的結論共有( )這三條直線必共點;其中必有兩條是異面直線;三條直線不可能共面;其中必有兩條在同一平面內A.4個 B.3個C.2個 D.1個第十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁20解析:(1)三條直線兩兩垂直時,它們可能共點(如正方體同一個頂點上的三條棱),也可能不共點(如正方體ABCDA1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故結論不正確,也說明必有結論不正確;如果三條直線在同一個平面內,根據平面幾何中的垂直于同一條直線的兩條直線平行,就導出了其中兩條直線既平行又垂直的矛盾結論,故三條直線不可能在同一個平面內,結論正確;第二十張，PPT共

8、五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁21三條直線兩兩垂直,這三條直線可能任何兩條都不相交,即任意兩條都異面(如正方體ABCDA1B1C1D1中的棱AA1,BC和C1D1),故結論不正確.故選D.答案:D第二十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁22類型一點共線問題解題準備:證明共線問題的常用方法(1)可由兩點連一條直線,再驗證其他各點均在這條直線上;(2)可直接驗證這些點都在同一條特定的直線上相交兩平面的唯一交線,關鍵是通過繪出圖形,作出兩個適當的平面或輔助平面,證明這些點是這兩個平面的公共點.第二十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁23【典例1

9、】 已知正方體ABCDA1B1C1D1中,EF分別為D1C1C1B1的中點,ACBD=P,A1C1EF=Q.求證:(1)DBFE四點共面;(2)若A1C交平面DBFE于R點,則PQR三點共線.第二十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁24解 (1)如圖所示,因為EF是D1B1C1的中位線,所以EFB1D1.在正方體AC1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF,BD確定一個平面,即DBFE四點共面. 第二十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁25(2)在正方體AC1中,設A1ACC1確定的平面為,又設平面BDEF為.因為QA1C1,所以Q,又QEF,所以

10、Q.則Q是與的公共點,同理,P點也是與的公共點.所以=PQ.又A1C=R,所以RA1C,R且R,則RPQ,故PQR三點共線.第二十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁26類型二線共點問題解題準備:證明共點問題,常用的方法是:先證其中兩條直線交于一點,再證交點在第三條直線上,有時也可將問題轉化為證明三點共線.第二十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁27【典例2】 如圖所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1中,EF分別為棱AB,AA1的中點.求證:三條直線DA,CE,D1F交于一點.第二十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁28 證明

11、 直線DA平面AD1,直線D1F平面AD1,顯然直線DA與直線D1F不平行,設直線DA與直線D1F交于點M.同樣,直線DA與直線CE都在平面AC內且不平行,設直線AD與直線CE相交于點M.又EF為棱ABAA1的中點,易知MA=AD,MA=AD,所以MM為直線AD上的同一點,因此,三條直線DACED1F交于一點.第二十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁29 反思感悟 設直線DA與直線D1F交于點M,直線DA與直線CE交于M,再證明M,M重合.證明三線共點,可以先說明其中兩條交于一點M,另兩條交于一點N,再想法證明M,N兩點重合.另一種方法是:先證明其中兩條直線交于一點,再證

12、明這個點在第三條直線上.如本題可先說明直線CE和直線D1F共面且交于一點P,而點P既在平面AD1內,也在平面AC內,所以點P在它們的交線AD上.第二十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁30類型三線共面問題解題準備:證明共面問題的常用方法證明若干條線(或若干個點)共面,一般來說有兩種途徑:一是首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內;二是將所有元素分為幾個部分,然后分別確定幾個平面,再證這些平面重合.第三十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁31【典例3】 已知:a,b,c,d是不共點且兩兩相交的四條直線,求證

13、:a,b,c,d共面.證明 弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義:四條直線不共點,包括有三條直線共點的情況;兩兩相交是指任何兩條直線都相交.第三十一張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁32 (1)當四條直線中有三條相交于一點時,不妨設a,b,c相交于一點A,直線d和A確定一個平面.(如右圖)又設直線d與a,b,c分別相交于E,F,G,則A,E,F,G,A,E,A,Ea,a.同理可證b,c,a,b,c,d在同一平面內.第三十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁33 (2)當四條直線中任何三條都不共點時,如右圖.這四條直線兩兩相交,則設相交直線a,b確定一個平

14、面.設直線c與a,b分別交于點H,K,則H,K.又H,Kc,c.同理可證d.a,b,c,d四條直線在同一平面內.第三十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁34 反思感悟 證明若干條線(或若干個點)共面,一般來說有兩種途徑:一是首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內;二是將所有元素分為幾個部分,然后分別確定幾個平面,再證這些平面重合.本題最容易忽視“三線共點”這一種情況.因此,在分析題意時,應仔細推敲問題中每一句話的含義.第三十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁35類型四異面直線所成的角解題準備:1.求異面

15、直線所成的角,關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交,或將兩條直線同時平移到某個位置,使其相交.平移直線的方法有:直線平移,中位線平移,補形平移.2.求異面直線所成的角的一般步驟:一作:即據定義作平行線,作出異面直線所成的角;二證:即證明作出的角是異面直線所成的角;三求:在三角形中求得直線所成的角的某個三角函數值.第三十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁36【典例4】 在空間四邊形ABCD中,已知AD=1,BC= ,且ADBC,對角線 求AC和BD所成的角.第三十六張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁37 解 作平行線,找與異面直線所成的

16、角相等的平面角,將空間問題轉化為平面問題.如圖,分別取ADCDABBD的中點EFGH,連接EFFHHGGEGF.第三十七張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁38由三角形的中位線定理知,EFAC,且EF= ,GEBD,且GE= .GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理, GHAD,HFBC.又ADBC,GHF=90,GF2=GH2+HF2=1.第三十八張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁39在EFG中EG2+EF2=1=GF2,GEF=90,即AC和BD所成的角為90.第三十九張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁40 反思

17、感悟 立體幾何中,計算問題的一般步驟:(1)作圖;(2)證明;(3)計算.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”,平移的解法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行.第四十張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁41錯源一基本性質理解不到位【典例1】 下列說法正確的有( )(1)在凹凸不平的地面上使用四條腿的凳子比三條腿的凳子更平穩(wěn);(2)兩個平面有可能只有一個公共點;(3)如果有n條直線都平行于某一條直線,那么這n+1條直線一定互相平行.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個第四十一

18、張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁42 剖析 錯解對于基本性質理解不到位.在凹凸不平的地面上使用凳子是否平穩(wěn)并不取決于凳子腿個數的多少,由基本性質2可知,三條腿的凳子更平穩(wěn);兩個平面不可能只有一個公共點,由基本性質3可知,如果兩個平面有一個公共點,那么它們有且僅有一條通過這個公共點的公共直線,也就是說,如果兩個平面有一個公共點,則它們一定有無數個公共點;由基本性質4可知,如果有n條直線都平行于某一條直線,那么這n+1條直線一定互相平行.正解 B第四十二張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁43錯源二 對基本性質及其推論的使用條件不當而致誤【典例2】 如圖,已

19、知直線a,b,c,ab,ac=A,bc=B,求證:a,b,c三條直線共面.錯證 因為ab,所以a,b共面,因為ac=A,所以a,c共面,因為bc=B,所以b,c共面.所以a,b,c三條直線共面.第四十三張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁44 剖析 上述“證明”中出現了三次共面,設為1,2,3,由于無法得知1,2,3是否為同一平面,因此,不能說a,b,c三條直線共面.證明 因為ab,所以a,b可確定一個平面,設為.因為c=A,所以Aa,又a,所以A,同理B,故AB,即c.于是a,b,c在同一平面內,即a,b,c三條直線共面.第四十四張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共

20、 50 頁45技法一快速解題(動手操作)【典例1】 已知直線a與直線b相交于點P,a與b夾角(交角中不大于90的角)為60,試問空間中過點P的所有直線中:(1)與直線a、b夾角均為10的直線有_條;(2)與直線a、b夾角均為30的直線有_條;(3)與直線a、b夾角均為45的直線有_條;(4)與直線a、b夾角均為60的直線有_條;(5)與直線a、b夾角均為80的直線有_條;(6)與直線a、b夾角均為90的直線有_條.第四十五張，PPT共五十一頁，創(chuàng)作于2022年6月共 50 頁46 解題切入點 憑借空間想象能力,結合動手操作直線模型(選用幾支鉛筆作直線模型),本題即可輕松獲解.解析 如圖直線a、b夾角為60,l1、l2分別是其夾角(60)及其補角