新蘇教版九年級上冊數(shù)學期末復習（全冊知識點梳理及?？碱}型鞏固練習）（提高版）（家教、補習）

1、精品文檔 精心整理精品文檔 精心整理蘇教版九年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習一元二次方程及其解法（一）直接開平方法知識講解（提高） 【學習目標】1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會把一元二次方程化為一般形式；2掌握直接開平方法解方程，會應用此判定方法解決有關問題；3理解解法中的降次思想，直接開平方法中的分類討論與換元思想.【要點梳理】要點一、一元二次方程的有關概念 1一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程要點詮釋：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)

2、；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次項，是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項要點詮釋：(1)只有當時，方程才是一元二次方程；(2)在求各項系數(shù)時，應把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質符號.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要結論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一

3、根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.要點二、一元二次方程的解法1直接開方法解一元二次方程：(1)直接開方法解一元二次方程： 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.(2)直接開平方法的理論依據(jù)： 平方根的定義.(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類： 形如關于x的一元二次方程，可直接開平方求解. 若，則；

4、表示為，有兩個不等實數(shù)根； 若，則x=O；表示為，有兩個相等的實數(shù)根； 若，則方程無實數(shù)根 形如關于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是 .要點詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應用時應把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.【典型例題】 類型一、關于一元二次方程的判定 1判定下列方程是否關于x的一元二次方程： (1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1【答案與解析】(1)經(jīng)整理，得它的一般形式 (a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0， 其中，由

5、于對任何實數(shù)a都有a20，于是都有a2+20，由此可知a2+20，所以可以判定： 對任何實數(shù)a，它都是一個一元二次方程(2)經(jīng)整理，得它的一般形式 (m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0， 其中，當m1且m-1時，有m2-10，它是一個一元二次方程；當m=1時方程不存在， 當m=-1時，方程化為4x=0，它們都不是一元二次方程【總結升華】對于含有參數(shù)的一元二次方程，要十分注意二次項系數(shù)的取值范圍，在作為一元二次方程進行 研究討論時，必須確定對參數(shù)的限制條件如在第(2)題，對參數(shù)的限定條件是m1例如，一個關于x的方程，若整理為(m-4)x2+mx-3=0的形式，僅當m-40，即m4時

6、，才是一元二次方程(顯然，當m=4時，它只是一個一元一次方程4x-3=0)又如，當我們說：“關于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0”時，實際上就給出了條件“a-10”，也就是存在一個條件“a1”由于這個條件沒有直接注明，而是隱含在其他的條件之中，所以稱它為“隱含條件”類型二、一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)的確定2. 已知關于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各項的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍【答案與解析】將原方程整理為一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知條件已指出它是一個一元二次方程，所以存在一個隱含

7、條件m2-80，即 m可知它的各項系數(shù)分別是a=m2-8(m)，b=-(3m-1)，c=m3-1參數(shù)m的取值范圍是不等于的一切實數(shù)【總結升華】在含參數(shù)的方程中，要認定哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母是參數(shù)，才能正確處理有關的問題舉一反三：【388447：一元二次方程的系數(shù)與解練習1(3)】【變式】關于x的方程的一次項系數(shù)是-1，則a .【答案】原方程化簡為x2-ax+1=0,則-a=-1,a=1.類型三、一元二次方程的解（根）3. （2016大慶）若x0是方程ax2+2x+c=0（a0）的一個根，設M=1ac，N=（ax0+1）2，則M與N的大小關系正確的為（）AMN BM=N CMND不確定【思

8、路點撥】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=c，作差法比較可得【答案】B；【解析】解：x0是方程ax2+2x+c=0（a0）的一個根，ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=c，則NM=（ax0+1）2（1ac）=a2x02+2ax0+11+ac=a（ax02+2x0）+ac=ac+ac=0，M=N，故選：B【總結升華】本題主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比較大小，熟練掌握能使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解是根本，利用作差法比較大小是解題的關鍵舉一反三：【388447：一元二次方程的系數(shù)與解練習2】【變式】（1）x=1是的根，則a= .（2）已知關于x的一元二次

9、方程 有一個根是0，求m的值.【答案】（1）當x=1時，1-a+7=0,解得a=8. （2）由題意得類型四、用直接開平方法解一元二次方程 4.解方程(x-3)2=49【答案與解析】把x-3看作一個整體，直接開平方，得 x-3=7或x-3=-7 由x-3=7，得 x=10 由x-3=-7，得 x=-4 所以原方程的根為x=10或x=-4【總結升華】應當注意，如果把x+m看作一個整體，那么形如(x+m)2=n(n0)的方程就可看作形如x2=k的方 程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說，一個方程如果可以變形為這個形式，就可用直接開平方法求出這個方程的根所以，(x+m)2=n可成為任何一元二

10、次方程變形的目標舉一反三：【變式】解方程： (1) （2014秋寶安區(qū)期末）（3x+2）2=4（x1）2； (2) （2014錫山區(qū)期中） （x-2）2=25.【答案】解：(1) 3x+2=2（x1），3x+2=2x2或3x+2=2x+2，x1=4；x2=0 (2) (x-2)=5 x-2=5或x-2=-5 x1=7,x2=-3. 蘇教版九年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習一元二次方程及其解法（一）直接開平方法鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1. （2015泰安模擬）方程x2+ax+1=0和x2xa=0有一個公共根，則a的值是（） A0 B1 C2 D 32若是一元二次方

11、程，則不等式的解集應是( ). A Ba-2 Ca-2 Da-2且a03（2016重慶校級三模）若關于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一個根為x=2，則代數(shù)式6a3b+6的值為（）A9 B3 C0 D34已知方程有一個根是，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是( )Aab B Ca+b Da-b5若，則的值為（ ）A1 B-5 C1或-5 D06對于形如的方程，它的解的正確表達式是（ ）.A用直接開平方法解得 B當時，C當時， D當時， 二、填空題7如果關于x的一元二次方程x2+px+q0的兩根分別為x12，x21，那么p，q的值分別是 .8（2014秋東勝區(qū)校級期中）若關于x的一元二次方程（m

12、2）x2+3x+m24=0的常數(shù)項為0，則m的值等于 .9已知x1是一元二次方程的一個根，則的值為_10(1)當k_時，關于x的方程是一元二次方程； (2)當k_時，上述方程是一元一次方程11已知a是方程的根，則的值為 12已知是關于的一元二次方程的一個根，則的值為 三、解答題13. （2016烏魯木齊校級月考）一元二次方程a（x1）2+b（x1）+c=0化為一般形式后為2x23x1=0，試求a，b，c的值 14用直接開平方法解下列方程 (1)(2014滄浪區(qū)校級期中)（x+1）2=4； (2) (2015岳池縣模擬)(2x-3)2=x215已知ABC中，ABc，BCa，AC6，為實數(shù)，且，(

13、1)求x的值；(2)若ABC的周長為10，求ABC的面積【答案與解析】一、選擇題1【答案】C；【解析】方程x2+ax+1=0和x2xa=0有一個公共根，（a+1）x+a+1=0，解得x=1，當x=1時，a=2，故選C2【答案】D；【解析】解不等式得a-2，又由于a為一元二次方程的二次項系數(shù)，所以a0即a-2且a03.【答案】D【解析】關于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一個根為x=2，a（2）2+b（2）+6=0，化簡，得2ab+3=0，2ab=3，6a3b=9，6a3b+6=9+6=3，故答案為：D4. 【答案】D；【解析】由方程根的定義知，把代入方程得，即，而， .5【答案】B；【解

14、析】本題主要考查的是利用一元二次方程的解來探索使分式有意義的值由，得，由分式有意義，可得3，所以當時，故選B6【答案】C；【解析】因為當n是負數(shù)時，在實數(shù)范圍內開平方運算沒有意義，當n是非負數(shù)時，直接開平方得，解得，故選C二、填空題7【答案】p=-3,q=2；【解析】 x2是方程x2+px+q0的根， 22+2p+q0，即2p+q-4 同理，12+p+q0，即p+q-1 聯(lián)立，得 解之得：8【答案】m=-2； 【解析】由題意得：m24=0，解得：m=2，m20，m2，m=29【答案】1；【解析】將x1代入方程得m+n-1，兩邊平方得m2+2mn+n21. 10【答案】(1)1 ； (2)-1.

15、【解析】(1)k2-10， k1 (2)由k2-10，且k-10，可得k-111【答案】20；【解析】由題意可知，從而得，于是 12.【答案】2011.【解析】因為是方程的根，所以，所以，所以三、解答題13.【答案與解析】解：一元二次方程a（x1）2+b（x1）+c=0化為一般形式后為ax2（2ab）x（bac）=0，一元二次方程a（x1）2+b（x1）+c=0化為一般形式后為2x23x1=0，得，解得14.【答案與解析】 解：(1)兩邊直接開平方得：x+1=2，得x+1=2,x+1=-2,解得：x1=1,x2=-3 (2) 兩邊直接開平方得，得2x-3=x，x1=3,x2=115.【答案與解

16、析】 解：（1）代入中得， ， ，（2）由（1）知， ，蘇教版九年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習一元二次方程的解法（二）配方法知識講解（提高） 【學習目標】1了解配方法的概念，會用配方法解一元二次方程；2掌握運用配方法解一元二次方程的基本步驟；3通過用配方法將一元二次方程變形的過程，進一步體會轉化的思想方法，并增強數(shù)學應用意識和能力?！疽c梳理】知識點一、一元二次方程的解法-配方法1配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程： 將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.(3)用配方法

17、解一元二次方程的一般步驟：把原方程化為的形式；將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1；方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；若方程右邊是非負數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.要點詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式知識點二、配方法的應用1用于比較大?。涸诒容^大小中的應用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比

18、較出大小.2用于求待定字母的值：配方法在求值中的應用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運用非負數(shù)的性質求出待定字母的取值3用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r的應用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值4用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應用，我們學習二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應用要點詮釋： “配方法”在初中數(shù)學中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關系，討論不等關系的常用技巧，是挖掘題目當中隱含條件的有力工具，同學們一定要把它學好 【典型例題】類型一、用配方法解一元二次方程1. （2016春石景山區(qū)期末）用配方法解方程：2x2

19、12x2=0【思路點撥】首先將二次項系數(shù)化為1，再將方程的常數(shù)項移動方程右邊，兩邊都加上9，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解【答案與解析】解：2x212x2=0，系數(shù)化為1得：x26x1=0，移項得：x26x=1，配方得：x26x+9=10，即（x3）2=10，開方得：x3=，則x1=3+，x2=3【總結升華】此題考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程時，首先將二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移動方程右邊，然后兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉化為兩個一元一次方程來求解舉一反三：【388499：用配方法

20、解一般的一元二次方程例2、用配方法解含字母系數(shù)的一元二次方程例3】【變式】 用配方法解方程 （1） （2）【答案】（1） .（2）當時，此方程有實數(shù)解，；當時，此方程無實數(shù)解.類型二、配方法在代數(shù)中的應用2. 用配方法證明的值小于0【思路點撥】 本題不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想與自己學的配方法大同小異，即思路一致【答案與解析】 ， ，即故的值恒小于0【總結升華】證明一個代數(shù)式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一個含完全平方式和一個常數(shù)的式子來證明 舉一反三：【變式】試用配方法證明：代數(shù)式的值不小于【答案】 ， 即代數(shù)式的值不小于3. （2015春宜興市校級月考）若把代

21、數(shù)式x2+2bx+4化為（xm）2+k的形式，其中m，k為常數(shù)，則km的最大值是【答案】；【解析】解：x2+2bx+4=x2+2bx+b2b2+4=（x+b）2b2+4；m=b，k=b2+4，則km=（b）2+（b）20，當b=時，km的最大值是故答案為：【總結升華】此題考查利用完全平方公式配方，注意代數(shù)式的恒等變形舉一反三：【388499：配方法與代數(shù)式的最值提高練習】【變式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 . 【答案】（1）； 所以的最小值是（2） 所以的最大值是9.4. 分解因式：【答案與解析】【總結升華】這是配方法在因式分解中的應用，通過添項、配成完全平方式，進而運用平方差公式分

22、解因式蘇教版九年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習一元二次方程的解法（二）配方法鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1. （2016新疆）一元二次方程x26x5=0配方組可變形為（）A（x3）2=14 B（x3）2=4 C（x+3）2=14 D（x+3）2=42用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（ ）A化為 B化為C化為 D化為3（2015河北模擬）把一元二次方程x26x+4=0化成（x+n）2=m的形式時，m+n的值為（）A8 B6 C3 D24不論x、y為何實數(shù)，代數(shù)式的值 ( ) A總小于2 B總不小于7 C為任何實數(shù) D不能為負數(shù)5已知，則的值等于（ ） A.4 B.

23、-2 C.4或-2 D.-4或26若t是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式 的關系是() A.=M B. M C. M D. 大小關系不能確定 二、填空題7（1）x2-x+ =（ ）2； （2）x2+px+ =（ ）2.8（2015忻州校級模擬）把代數(shù)式x24x5化為（xm）2+k的形式，其中m，k為常數(shù)，則4m+k=9已知4x2-ax+1可變?yōu)椋?x-b）2的形式，則ab=_10將一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式為_ _，所以方程的根為_11把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是_ _；若多項式x2-ax+2a-3是一個完全平方式

24、，則a=_.12已知.則的值為 .三、解答題13. 用配方法解方程.（1）（2016安徽）解方程：x22x=4 （2）（2015大連）解方程：x26x4=0 14分解因式15（2015春龍泉驛區(qū)校級月考）當x，y取何值時，多項式x2+4x+4y24y+1取得最小值，并求出最小值【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A【解析】x26x5=0，x26x=5，x26x+9=5+9，（x3）2=14，故選：A2【答案】C； 【解析】選項C：配方后應為3【答案】D；【解析】 x26x=4， x26x+9=4+9，即得（x3）2=5， n=3，m=5， m+n=53=2故選D4【答案】D；【解析】5【答案】

25、A；【解析】原方程化簡為：（x2+y2）2-2(x2+y2)-8=0,解得x2+y2=-2或4，-2不符題意舍去.故選A.6【答案】A . 【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=.故選A.二、填空題7【答案】（1）； （2）；. 【解析】配方:加上一次項系數(shù)一半的平方.8【答案】1； 【解析】x24x5=x24x+445=（x2）29， m=2，k=9， 4m+k=429=1故答案為19【答案】4； 【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化為4x2-ax+1=4x2-4bx+b2, 所以 解得或 所以.10【

26、答案】（x-1）2=5； 【解析】方程兩邊都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=.11【答案】；2或6.【解析】3x2-2x-3=0化成； 即，a=2或6.12.【答案】5；【解析】原式三、解答題13.【答案與解析】解：（1）配方x22x+1=4+1（x1）2=5x=1x1=1+，x2=1（2015大連）解方程：x26x4=0（2）解：移項得x26x=4，配方得x26x+9=4+9，即（x3）2=13，開方得x3=，x1=3+，x2=314. 【答案與解析】 15. 【答案與解析】 解：x2+4x+4y24y+1=x2+4x+4+4y24y+14=（x+2）2+（2y1）24，又（x+2）

27、2+（2y1）2的最小值是0，x2+4x+4y24y+1的最小值為4當x=2，y=時有最小值為4蘇教版九年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法知識講解（提高） 【學習目標】1. 理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，能熟練應用公式法解一元二次方程；2. 正確理解因式分解法的實質，熟練運用因式分解法解一元二次方程；3. 通過求根公式的推導，培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性，滲透分類的思想【要點梳理】要點一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，當時，.2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：

28、 當時，原方程有兩個不等的實數(shù)根； 當時，原方程有兩個相等的實數(shù)根； 當時，原方程沒有實數(shù)根.3.用公式法解一元二次方程的步驟 用公式法解關于x的一元二次方程的步驟： 把一元二次方程化為一般形式； 確定a、b、c的值（要注意符號）； 求出的值； 若，則利用公式求出原方程的解； 若，則原方程無實根.要點詮釋：（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選用.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為： 當時，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實根： 當時，右端是零因此，方程有兩個相等的實根： 當時，右端是負數(shù)因此，方程沒有實根.要點二、因式分解法解一元二次

29、方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點詮釋： （1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：必須將方程的右邊化為0；方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式

30、.【典型例題】類型一、公式法解一元二次方程1解關于x的方程【答案與解析】(1)當m+n0且m0，n0時，原方程可化為 m0，解得x1(2)當m+n0時， ， ， ， ，【總結升華】解關于字母系數(shù)的方程時，應該對各種可能出現(xiàn)的情況進行討論舉一反三：【388515：用公式法解含有字母系數(shù)的一元二次方程-例2練習】【變式】解關于的方程；【答案】原方程可化為 2 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)4m； 【答案與解析】方程整理為， ， a1，b-2，c-13， ， ， ，【總結升華】先將原方程化為一般式，再按照公式法的步驟去解.舉一反三：【388515：用因式分解法解含字

31、母系數(shù)的一元二次方程-例5（3）】【變式】用公式法解下列方程： 【答案】 類型二、因式分解法解一元二次方程3（2016荊門）已知3是關于x的方程x2（m+1）x+2m=0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰ABC的兩條邊的邊長，則ABC的周長為（）A7B10C11D10或11【思路點撥】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通過因式分解法解方程求得該方程的兩根，即等腰ABC的兩條邊長，由三角形三邊關系和三角形的周長公式進行解答即可【答案】D【解析】解：把x=3代入方程得93（m+1）+2m=0，解得m=6，則原方程為x27x+12=0，解得x1=3，x2=4，因為這個方程的兩個根恰好

32、是等腰ABC的兩條邊長，當ABC的腰為4，底邊為3時，則ABC的周長為4+4+3=11；當ABC的腰為3，底邊為4時，則ABC的周長為3+3+4=10綜上所述，該ABC的周長為10或11故選：D【總結升華】本題考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三邊的關系舉一反三：【變式】解方程（2015茂名校級一模）（1）x2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0 x-3=0，x+1=0 x1=3,x2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0 x-1=0，3x-1=0 x1=1,x2=.4如果，請你求出的

33、值【答案與解析】設， z(z-2)3 整理得：， (z-3)(z+1)0 z13，z2-1 ， z-1(不合題意，舍去) z3 即的值為3【總結升華】如果把視為一個整體，則已知條件可以轉化成一個一元二次方程的形式，用因式分解法可以解這個一元二次方程此題看似求x、y的值，然后計算，但實際上如果把看成一個整體，那么原方程便可化簡求解。這里巧設再求z值，從而求出的值實際就是換元思想的運用 易錯提示:忽視，而得或蘇教版九年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1. （2016天津）方程x2+x12=0的兩個根為

34、（）Ax1=2，x2=6Bx1=6，x2=2Cx1=3，x2=4Dx1=4，x2=32整式x+1與整式x-4的積為x2-3x-4，則一元二次方程x2-3x-40的根是( ) Ax1-1，x2-4 Bx1-1，x24 Cx11，x24 Dx11，x2-43如果x2+x-10，那么代數(shù)式的值為( ) A6 B8 C-6 D-84若關于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+20的常數(shù)項為0，則m的值等于( ) A1 B2 C1或2 D05若代數(shù)式的值為零，則x的取值是( ) Ax2或x1 Bx2且x1 Cx2 Dx-16（2015廣安）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2-7x+10=

35、0的兩根，則該等腰三角形周長是( ) A12 B9 C13 D12或9二、填空題7已知實數(shù)x滿足4x2-4x+10，則代數(shù)式的值為_8已知yx2+x-6，當x_時，y的值是249若方程可以分解成（x-3）與(x+4)的積的形式，則m_，n_10若規(guī)定兩數(shù)a、b通過“”運算，得到4ab，即ab4ab，例如2642648 (1)則35的值為 ； (2)則xx+2x-240中x的值為 ； (3)若無論x是什么數(shù)，總有axx，則a的值為 11（2014秋王益區(qū)校級期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程x45x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設x2=y，那么x4=y2

36、，于是原方程可變?yōu)閥25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4當y=1時，x2=1，x=1；當y=4時，x2=4，x=2；原方程有四個根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的過程中，利用法達到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉化思想（2）方程（x2+x）24（x2+x）12=0的解為 12（2016柘城縣校級一模）三角形兩邊的長分別是8和6，第3邊的長是一元二次方程x216x+60=0的一個實數(shù)根，則該三角形的面積是 三、解答題13. 用公式法解下列方程： （2） 14(2015春北京校級期中)用適當方法解下列方程： （1）（2x-3）2=25 (2)x2-4x+2=0 (3)x

37、2-5x-6=015(1)利用求根公式計算，結合你能得出什么猜想? 方程x2+2x+10的根為x1_，x2_，x1+x2_，x1x2_ 方程x2-3x-10的根為x1_，x2_，x1+x2_，x1x2_ 方程3x2+4x-70的根為x1_，x2_，x1+x2_，x1x2_ (2)利用求根公式計算：一元二次方程ax2+bx+c0(a0，且b2-4ac0)的兩根為x1_，x2_，x1+x2_，x1x2_ (3)利用上面的結論解決下面的問題： 設x1、x2是方程2x2+3x-10的兩個根，根據(jù)上面的結論，求下列各式的值： ； 【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D【解析】x2+x12=（x+4）（x

38、3）=0，則x+4=0，或x3=0，解得：x1=4，x2=3故選D2【答案】B；【解析】 ， 的根是，3【答案】C 【解析】 ， 4.【答案】B； 【解析】由常數(shù)項為0可得m2-3m+20， (m-1)(m-2)0，即m-10或m-20， m1或m2，而一元二次方程的二次項系數(shù)m-10， m1，即m25【答案】C；【解析】且， 6【答案】A ； 【解析】x2-7x+10=0，x1=2，x2=5，此等腰三角形的三邊只能是5，5，2，其周長為12二、填空題7【答案】2； 【解析】用因式分解法解方程得原方程有兩個等根，即，所以8【答案】5或-6； 【解析】此題把的值代入得到關于的一元二次方程，解之即

39、可如：根據(jù)題意，得，整理得，解得，9【答案】 1 ； -12 ； 【解析】， m1，n-1210【答案】(1)60；(2) ，；(3) 【解析】(1)3543560；(2) +24， ，；(3) ， 只有，等式才能對任何值都成立 11【答案】(1) 換元； 降次； (2) x1=3，x2=2【解析】解：（1）換元，降次（2）設x2+x=y，原方程可化為y24y12=0，解得y1=6，y2=2由x2+x=6，得x1=3，x2=2由x2+x=2，得方程x2+x+2=0，b24ac=142=70，此時方程無實根所以原方程的解為x1=3，x2=212.【答案】24或8【解析】解：x216x+60=0，

40、（x6）（x10）=0，解得：x1=6，x2=10，當x=6時，則三角形是等腰三角形，如圖：AB=AC=6，BC=8，AD是高，BD=4，AD=2，SABC=BCAD=82=8；當x=10時，如圖，AC=6，BC=8，AB=10，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，C=90，SABC=BCAC=86=24該三角形的面積是：24或8故答案為：24或8三、解答題13.【答案與解析】 （1） （2），即，令Aab，B，Cab ， ， ，14.【答案與解析】解：（1）直接開平方得：2x-3=5， 2x-3= 5或2x-3=-5 x1= 4，x2= -1（2）a=1,b=-4,c=2, =b2-

41、4ac=16-8=8. （3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0 x-6= 0或 x+1=0 x1= 6，x2= -1.15.【答案與解析】 (1)兩根之和等于一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù) -1 ； -1 ； -2 ； 1. ； ； 3 ；-1. ； 1 ； ； .(2) ； ； ；. (3)，蘇教版九年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系知識講解（提高） 【學習目標】1. 會用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；2. 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系以及

42、在各類問題中的運用.【要點梳理】要點一、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.【388528 ：根系關系】2.一元二次方程的根與系數(shù)的關系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a0， 0.要點詮釋：1.一元二次方程 的根的判別式正反都成立利用其可以解決以下問題：(1)不解

43、方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質確定根的范圍；(3)解與根有關的證明題 2. 一元二次方程根與系數(shù)的應用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關未知數(shù)系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程要點四、列一元二次方程解應用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.3.解決應用題的一般步驟：審 (審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；設 (設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示

44、相關的量)；列 (根據(jù)題目中的等量關系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗 (檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；答 (寫出答案，切忌答非所問).4.常見應用題型數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.要點詮釋：列方程解應用題就是先把實際問題抽象為數(shù)學問題（列方程），然后由數(shù)學問題的解決而獲得對實際問題的解決.【典型例題】類型一、一元二次方程的有關概念1已知（m1）x|m|+1+3x20是關于x的一元二次方程，求m的值.【答案與解析】依題意得|m|+12，即|m|1，解得m1，又m10，m1，故m1.【總結升華】依題意可知m10與|

45、m|+12必須同時成立，因此求出滿足上述兩個條件的m的值即可.特別是二次項系數(shù)應為非零數(shù)這一隱含條件要注意.舉一反三：【變式】若方程是關于的一元二次方程，求m的值【答案】 根據(jù)題意得 解得所以當方程是關于的一元二次方程時，類型二、一元二次方程的解法2解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)【答案與解析】 (1)原方程可化為：， 即(2x-6)2-(5x-10)20， (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)0， 即(7x-16)(-3x+4)0， 7x-160或-3x+40， ， (2)， ， (x-3)5(x-3)-(x+3)0， 即(x-3)(4x-18)0， x-30或4x

46、-180， ，(3)， 即， 【總結升華】 (1)方程左邊可變形為，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右邊分解后為(x-3)(x+3)，與左邊中的(x-3)2有公共的因式，可移項后提取公因式(x-3)后解題；(3)的左邊具有完全平方公式的特點，可用公式變?yōu)?2x+1+2)20再求解舉一反三：【變式】解方程： (1)3x+15-2x2-10 x； (2)x2-3x(2-x)(x-3)【答案】(1)移項，得3x+15+(2x2+10 x)0， 3(x+5)+2x(x+5)0， 即(x+5)(3+2x)0， x+50或3+2x0， ， (2)原方程可化為x(x-3)(2-x)(x-3)，移項，

47、x(x-3)-(2-x)(x-3)0， (x-3)(2x-2)0， x-30或2x-20， ，類型三、一元二次方程根的判別式的應用3關于x的方程有實數(shù)根則a滿足（ ）Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da5【答案】A；【解析】當，即時，有，有實數(shù)根；當時，由0得，解得且綜上所述，使關于x的方程有實數(shù)根的a的取值范圍是答案：A【總結升華】注意“關于x的方程”與“關于x的一元二次方程”的區(qū)別，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必須分類討論，而后者隱含著二次項系數(shù)不能為0【388528 ：一元二次方程的根的判別式】4 為何值時，關于x的二次方程（1）滿足 時,方程有兩個不等的實數(shù)

48、根； （2）滿足 時,方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）滿足 時,方程無實數(shù)根.【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】求判別式，注意二次項系數(shù)的取值范圍.【總結升華】根據(jù)判別式及k0求解.類型四、一元二次方程的根與系數(shù)的關系5（2016涼山州）已知x1、x2是一元二次方程3x2=62x的兩根，則x1x1x2+x2的值是（）ABCD【思路點撥】由x1、x2是一元二次方程3x2=62x的兩根，結合根與系數(shù)的關系可得出x1+x2=，x1x2=2，將其代入x1x1x2+x2中即可算出結果【答案】D【解析】解：x1、x2是一元二次方程3x2=62x的兩根，x1+x2=，x1x2=2，x1x1x2+x2

49、=（2）=故選D【總結升華】本題考查了根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是得出x1+x2=，x1x2=2本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出兩根之和與兩根之積是關鍵舉一反三：【變式】已知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根、 (1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由【答案】(1)根據(jù)題意，得(2k-3)2-4(k-1)(k+1)，所以由k-10，得k1.當且k1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根； (2) 不存在如果方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，則，解得當時，判別式-50，方程沒有實數(shù)根所以不存在實數(shù)k，使方

50、程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)類型五、一元二次方程的應用6（2015青島模擬）隨著青奧會的臨近，青奧特許商品銷售逐漸火爆甲、乙兩家青奧商品專賣店一月份銷售額分別為10萬元和15萬元，三月份銷售額甲店比乙店多10萬元已知甲店二、三月份銷售額的月平均增長率是乙店二、三月份月平均增長率的2倍，求甲店、乙店這兩個月的月平均增長率各是多少？【答案與解析】解：設乙店銷售額月平均增長率為x，由題意得：10（1+2x）215（1+x）2=10，解得 x1=60%，x2=1（舍去）2x=120%答：甲、乙兩店這兩個月的月平均增長率分別是120%、60%【總結升華】此題考查了一元二次方程的應用，為運用方程解決實際問題的

51、應用題型舉一反三：【變式】某工程隊在我市實施棚戶區(qū)改造過程中承包了一項拆遷工程。原計劃每天拆遷1250m2，因為準備工作不足，第一天少拆遷了20。從第二天開始，該工程隊加快了拆遷速度，第三天拆遷了1440m2.求：(1)該工程隊第一天拆遷的面積；(2)若該工程隊第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增加的百分數(shù)相同，求這個百分數(shù).【答案】（1）1000m2；（2）20%.蘇教版九年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習一元二次方程全章復習與鞏固鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1. 關于x的一元二次方程（a1）x2x|a|10的一個根是0，則實數(shù)a的值為（） A.1 B.0 C.1

52、 D.1或12已知a是方程x2+x1=0的一個根，則的值為（）A.B. C.1 D.13（2015德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有實數(shù)解，則a的取值范圍是（）Aa1Ba4Ca1Da14已知關于的方程有實根，則的取值范圍是（ ）A B且 C D5如果是、是方程的兩個根，則的值為（ ） A1 B17 C6.25 D0.256（2016臺州）有x支球隊參加籃球比賽，共比賽了45場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（）Ax（x1）=45Bx（x+1）=45Cx（x1）=45Dx（x+1）=457. 方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一個公共根，則a的值是() A0 B1

53、 C2 D38. 若關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，且滿足則k的值為（）A.1或 B.1 C. D.不存在二、填空題9關于x的方程的解是x1=2，x2=1（a，m，b均為常數(shù)，a0），則方程的解是 .10已知關于x的方程x2+2(a+1)x+(3a2+4ab+4b2+2)0有實根，則a、b的值分別為 11已知、是一元二次方程的兩實數(shù)根，則(-3)(-3)_12當m=_時，關于x的方程是一元二次方程；當m=_時，此方程是一元一次方程. 13把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是_；若多項式x2-ax+2a-3是一個完全平方式，則a=_.14（2015綏化）若關于

54、x的一元二次方程ax2+2x1=0無解，則a的取值范圍是.15已知，那么代數(shù)式的值為_.16當x=_時，既是最簡二次根式，被開方數(shù)又相同.三、解答題17. （2016南充）已知關于x的一元二次方程x26x+（2m+1）=0有實數(shù)根（1）求m的取值范圍；（2）如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且2x1x2+x1+x220，求m的取值范圍 18設(a，b)是一次函數(shù)y(k-2)x+m與反比例函數(shù)的圖象的交點，且a、b是關于x的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，其中k為非負整數(shù)，m、n為常數(shù)（1）求k的值；（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式19. 長沙市某樓盤準備以每平方米5000元的均價對外銷售

55、，由于國務院有關房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望為了加快資金周轉，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售 (1)求平均每次下調的百分率；(2)某人準備以開盤均價購買一套100平方米的房子，開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：打9.8折銷售；不打折，送兩年物業(yè)管理費，物業(yè)管理費是每平方米每月1.5元，請問哪種方案更優(yōu)惠?20已知某項工程由甲、乙兩隊合做12天可以完成，共需工程費用13 800元，乙隊單獨完成這項工程所需時間是甲隊單獨完成這項工程所需時間的2倍少10天，且甲隊每天的工程費用比乙隊多150元.(1)甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需要多少天？(2

56、)若工程管理部門決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成此項工程，從節(jié)約資金的角度考慮，應該選擇哪個工程隊？請說明理由.【答案與解析】一、選擇題1【答案】A； 【解析】先把x0代入方程求出a的值，然后根據(jù)二次項系數(shù)不能為0，把a1舍去2【答案】D；【解析】先化簡，由a是方程x2+x1=0的一個根，得a2+a1=0，則a2+a=1，再整體代入即可解：原式=，a是方程x2+x1=0的一個根，a2+a1=0，即a2+a=1，原式=1故選D3【答案】C； 【解析】 關于x的一元二次方程有實根， =b24ac=44a0，解之得a1故選C4.【答案】D； 【解析】0得，方程有實根可能是一元二次方程有實根，也可能是

57、一元一次方程有實根.5【答案】C；【解析】.6.【答案】A【解析】有x支球隊參加籃球比賽，每兩隊之間都比賽一場，共比賽場數(shù)為x（x1），共比賽了45場，x（x1）=45，故選A7【答案】C； 【解析】提示：先求公共根m=-1,再把這個公共根m=-1代入原來任意一個方程可求出a=2.8【答案】C； 【解析】由題意，得：.二、填空題9【答案】x1=4，x2=1【解析】解：關于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均為常數(shù)，a0），則方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=22=4，x2=12=1故答案為：x1=4，x2=110.【答案】a1，【解析】 判別式2(a+

58、1)2-4(3a2+4ab+4b2+2) 4(a2+2a+1)-(12a2+16ab+16b2+8) -8a2-16ab-16b2+8a-4 -4(2a2+4ab+4b2-2a+1) -4(a2+4ab+4b2)+(a2-2a+1) -4(a+2b)2+(a-1)2 因為原方程有實根，所以-4(a+2b)2+(a-1)20，(a+2b)2+(a-1)20，又 (a+2b)20，(a-1)20， a-10且a+2b0， a1，11【答案】-6；【解析】 、是一元二次方程的兩實數(shù)根， +4，-3 12【答案】-3；13【答案】；2或6.【解析】即.a=2或6.14.【答案】a1；15.【答案】-2

59、；【解析】原方程化為：.16.【答案】-5；【解析】由x2+3x=x+15解出x=-5或x=3,當x=3時，不是最簡二次根式，x=3舍去.故x=-5.三、解答題17.【答案與解析】解：（1）根據(jù)題意得=（6）24（2m+1）0，解得m4；（2）根據(jù)題意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，而2x1x2+x1+x220，所以2（2m+1）+620，解得m3，而m4，所以m的范圍為3m418. 【答案與解析】(1)因為關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以 解得k3且k0，又因為一次函數(shù)y(k-2)x+m存在，且k為非負整數(shù)，所以k1(2)因為k1，所以原方程可變形為，于是由根與系數(shù)的關系知a+b

60、4，ab-2，又當k1時，一次函數(shù)過點(a，b)，所以a+bm，于是m4，同理可得n-2，故所求的一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為與19. 【答案與解析】(1)設平均每次下調的百分率是x 依題意得5000(1-x)24050 解得x110%，x2(不合題意，舍去) 答：平均每次下調的百分率為10% (2)方案優(yōu)惠：4050100(1-0.98)8100(元)；方案優(yōu)惠：1.51001223600(元) 81003600 選方案更優(yōu)惠.20. 【答案與解析】(1) 設甲隊單獨完成需x天，則乙隊單獨完成需要(2x10)天. 根據(jù)題意,有， 解得x1=3，x2=20. 經(jīng)檢驗均是原方程的根，x1=