2022年二次函數(shù)典型例題

1、【典型例題】例 1. 已知拋物線yxm21與 x 軸的交點(diǎn)為A 、B（ B 在 A 的右邊）,與y 軸的交點(diǎn)為 C；（1）寫出 m 1時(shí)與拋物線有關(guān)的三個(gè)正確結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn) B 在原點(diǎn)的右邊, 點(diǎn) C 在原點(diǎn)的下方時(shí), 是否存在如存在,求出 m 的值；如不存在,請(qǐng)說明理由；BOC 為等腰三角形的情形？（3）請(qǐng)你提出一個(gè)對(duì)任意的 m 值都能成立的正確命題（說明：依據(jù)提出問題的水平層次,得分略有差異）；解： （1）當(dāng) m1時(shí),拋物線的解析式為yx22x正確的結(jié)論有：拋物線的解析式為yx22x；開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）；拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；與x 軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,0）；對(duì)稱軸為直線x1等

2、；（2）存在；當(dāng)y0時(shí),xm210,即有xm21x 1m1,x2m1A m1,0,B m1,0點(diǎn) B 在原點(diǎn)右邊OB m 12當(dāng) x 0 時(shí),y m 1 ,點(diǎn) C 在原點(diǎn)下方OC m 212 2當(dāng) m 1 m 1時(shí), m m 2 0m 2 或 m 1（不合要求,舍去）存在BOC 為等腰三角形的情形,此時(shí) m 22（3）如對(duì)任意的 m,拋物線y x m 1的頂點(diǎn)都在直線 y 1上；2對(duì)任意的 m,拋物線y x m 1與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是一個(gè)定值；對(duì)任意的m,拋物線y2xxm21與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的肯定值為2；例 2. 已知拋物線yx2m與 x 軸交于點(diǎn)A x 1,0,B

3、x2,0 x 2x 1（1）如點(diǎn)P 1,2 在拋物線y x 22 x m 上,求 m 的值；（2）如拋物線y ax 2bx m 與拋物線y x 22 x m 關(guān)于 y 軸對(duì)稱,點(diǎn)Q 1 2,q 1,Q 2 3,q 2 都在拋物線 y ax 2bx m 上,就q 1、q 2 的大小關(guān)系是 _（請(qǐng)將結(jié)論寫在橫線上,不要寫解答過程）；（3）設(shè)拋物線yx22xm的頂點(diǎn)為M,如AMB 是直角三角形,求m 的值；1解： （1）點(diǎn)P1,2,在拋物線yx22xm上0 x2x21221mm112m1（2）q1q2（3）解法 1：yx22 xmxM1,m1x 軸交于點(diǎn)A x 1,0,B x2,拋物線yx22xm開

4、口向上,且與m10 AMB 是直角三角形,又AM MB AMB 90 , AMB 是等腰直角三角形過 M 作 MN x 軸,垂足為 N,就 N（1,0）又 NM NA 1 x 1 1 mx 1 mA m,0m 22 m m 0m 0 或 m 1（不合題意,舍去）解法 2： 又 NM NA NB x 2x122 mA、 C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6,0）、x 2x122 mx 2x12x 1m解得：x 22mA m,02 m2mm0m0 或 m1（不合題意,舍去）例 3. 矩形 OABC 在直角坐標(biāo)系中的位置如下列圖,C（0,3）,直線y3x與 BC 邊相交于點(diǎn)D；4（1）求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（2）

5、如拋物線yax2bx經(jīng)過 D、A 兩點(diǎn),試確定此拋物線的表達(dá)式；（3）P 為 x 軸上方（ 2）中拋物線上一點(diǎn),求POA 面積的最大值；（4）設(shè)（ 2）中拋物線的對(duì)稱軸與直線OD 交于點(diǎn) M ,點(diǎn) Q 為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),以Q、O、M 為頂點(diǎn)的三角形與OCD 相像,求符合條件的Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；解： （1）由題知,直線y3x與 BC 交于點(diǎn) D（ x,3 4把 y3 代入y3x中得, x44D（4,3）（2）拋物線yax2bx經(jīng)過 D（4,3）、 A （6, 0）兩點(diǎn)把x4,y3；x6,y0分別代入yax2bx中得：a398416a4b3解之得：b36a6b0拋物線的解析式：y3x29x84（3）因

6、 POA 底邊 OA 6 當(dāng)SPOA 有最大值時(shí),點(diǎn) P 須位于拋物線的最高點(diǎn)a 308,拋物線頂點(diǎn)恰為最高點(diǎn)22 4 30 94 ac b 8 4 274 a 4 3 881 27 81S POA 的最大值 2 68 8（4）拋物線的對(duì)稱軸與 x 軸的交點(diǎn)Q1,符合條件CB OA ,Q OMCDORt Q OM 1Rt CDObx2 a 3,該點(diǎn)坐標(biāo)為Q1 3,0過點(diǎn) O 作 OD 的垂線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn) Q2對(duì)稱軸平行于 y 軸Q MO 2DOCRt Q MORt DOC在Rt Q Q O 和 Rt DCO 中Q O CO 3,Q 2ODCRt Q Q ORt DCOCD Q Q 2

7、4點(diǎn)Q2 位于第四象限Q2 3,43,4AOB 繞點(diǎn) O 順時(shí)針因此,符合條件的點(diǎn)有兩個(gè),分別是Q 13,0、Q 2例 4. 如圖,直線y2x2 與 x 軸、y 軸分別相交于A、B 兩點(diǎn),將旋轉(zhuǎn) 90 得到A OB 1 1 ；（1）在圖中畫出A OB1；（2）求經(jīng)過A、A 1、B 1 三點(diǎn)的拋物線的解析式；解： （1）（2）設(shè)該拋物線的解析式為：yax2bxc由題意知A、A 、B 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是1,0、0,1、2,00abc1c04 a2bca1 2b1 2c1解這個(gè)方程組得拋物線的解析式是：2ybx1x21x1A（3,0）,B（2,- 3）,并且以 x122例 5. 二次函數(shù)yaxc a0

8、 的圖像經(jīng)過點(diǎn)為對(duì)稱軸；（1）求此函數(shù)的解析式；（2）作出二次函數(shù)的大致圖像；（3）在對(duì)稱軸 x1上是否存在一點(diǎn)P,使 PAB 中 PAPB,如存在,求出P 點(diǎn)的坐標(biāo),如不存在,說明理由；解： （1）b 2 a1c0解得：a129 a3 bb4 a2 bc3c3yx22x3解析式為：（2）（3）存在作 AB 的垂直平分線交對(duì)稱軸x1于點(diǎn) P,連結(jié) PA、PB,就 PAPB 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1,m）,就222 m3m211解得： m1點(diǎn) P 的坐標(biāo)為1,例 6. 如圖,已知直線 第一象限內(nèi)作等腰直角y2x2 分別與 x 軸、 y 軸交于點(diǎn) A、B,以線段 AB 為直角邊在ABC , BAC

9、90 ,過 C 作 CD x 軸, D 為垂足；（1）求點(diǎn) A 、B 的坐標(biāo)和 AD 的長(zhǎng)；（2）求過 B、A、 C 三點(diǎn)的拋物線的解析式；解： （1）在y2 x2 中分別令 x0,y0得 A （1,0）, B（0,2）易證ACDABOAD OB 2 （2） A（1,0）, B（0, 2）,且由（ 1）得 C（3, 1）2設(shè)過 A 、B、C 三點(diǎn)的拋物線為 y ax bx ca 5617a b c 0 b6c 2 c 29 a 3 b c 1解得y 5 x 2 17 x 26 6例 7. 如圖,在直角坐標(biāo)系中,Rt AOB 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（0,2）,O（0,0）,B（ 4,0）,把AOB

10、 繞 O 點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 得到COD；（1）求 C、 D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過 C、D、B 三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）設(shè)（ 2）中拋物線的頂點(diǎn)為P,AB 的中點(diǎn)為 M ,試判定PMB 的鈍角三角形、直角三角形仍是銳角三角形,并說明理由；解： （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OCOA2,ODOB4C、D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（2, ）、D（ , ）（2）設(shè)所求拋物線的解析式為yax2bxc16a4bc04a2 bc0依據(jù)題意,得c4a1 2b1c4解得所求拋物線的解析式為y1x2x42（3）答： PMB 是鈍角三角形；如圖, PH 是拋物線y1x2x4的對(duì)稱軸29求得 M 、P 點(diǎn)的坐標(biāo)分

11、別為M （2,1）、 P（1,2 ）點(diǎn) M 在 PH 的右側(cè) PHB90 190 PMB 1 PMB 90 PMB 為鈍角三角形2 3 2 3 y x 例 8. 已知平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,點(diǎn) A 在拋物線 3 3 上,過 A 作 AB x 軸于點(diǎn) B,AD y 軸于點(diǎn) D,將矩形 ABOD 沿對(duì)角線 BD 折疊后得 A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A,重疊部 分（陰影）為BDC ；（1）求證：BDC 是等腰三角形；（2）假如 A 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 1,m）,求BDC 的面積；（3）在（ 2）的條件下,求直線 BC 的解析式,并判定點(diǎn) A 是否落在已知的拋物線上？請(qǐng) 說明理由；解： （1）由折疊知：ABD D

12、BC 四邊形 ABOD 是矩形AB DO ABD CDB CBD BDC BDC 是等腰三角形（2）點(diǎn) A （1,m）在y233x23的圖像上3m2 333333,DA1在 Rt ABD 中,AB ABD 30 CBO30COOBtanCBO3OBOC3SBCDSBDOSBCO1ODOB12231332233（3）設(shè)直線 BC 解析式為：yaxbC0,3,B1,03b3 3ab0a3 3解得b33y3x333軸于 M ,就設(shè)A的坐標(biāo)為（ x,y）,過A作 A M xA M1BA1AB3 2 ,即y3 222代入y3x3 3 ,得x1321,3點(diǎn) A的坐標(biāo)是22,得：2 3x23把x1y2 代入

13、33y2 312333232 A在此拋物線上【模擬試題】 （答題時(shí)間： 35 分鐘）一. 填空題：21. 已知拋物線 y 2 x 4 x 4,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 _ ,與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_,以其頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn) 180 ,得新的拋物線解析式是 _；2. 將拋物線y x 24 x 3 化成 y a x h 2k 的形式是 _,其對(duì)稱軸為直線 _,開口向 _；當(dāng) x_時(shí), y 隨 x 的增大而_；23. 已知拋物線 y 2 x 4 x 6,就其和 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 A（）, B（）（ A 在 B 的左側(cè)）,當(dāng) x 取_時(shí),y 0；當(dāng) x 取_ 時(shí), y 0 ；4. 二次函數(shù)y 3 x 1 22 的圖像

14、, 可由y 3 x 2的圖像先向 _平移 _個(gè)單位,再向 _平移 _個(gè)單位；5. 如圖：已知二次函數(shù)yax2bxc,其中a0,b0,c0,就它的圖像示意圖為（）6. 已知拋物線解析式是yax2與yax3在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（）二. 解答題：7. 用配方法求函數(shù)y4x21x2的頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸,拋物線與y 軸的交點(diǎn)與函數(shù)33的最值；8. 已知二次函數(shù)與x 軸交于A2,0,B4,0且過點(diǎn)C1,5,求此拋物線的函數(shù)解析式；9. 已知拋物線yx22xc經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)為A,求經(jīng)過 A ,O 的直線解析式；A1,6,B1,2,C2,3三點(diǎn),10. 已知：二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的解析

15、式；（2）畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖像；（3）指出這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸與最值；（4）依據(jù)二次函數(shù)的圖像回答當(dāng)x 為何值時(shí), y 隨 x 的增大而減??；x 為何值時(shí), y 隨 x 的增大而增大；11. 已知二次函數(shù)ymx22mxm2 ,其中m 為常數(shù),且滿意2m0,試判y 軸的交點(diǎn)在x 軸上方仍是下方,與x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；斷此拋物線的開口方向,與選做題：已知拋物線yax2bxc與 x 軸交于A5,0,B1,0,頂點(diǎn) C 到 x 軸的距離為2,求此拋物線的解析式；【試題答案】一. 填空題；1. （1,2 ）；（0,4）；y2x24x12. yx221； x2；上；2 ；增大3x1；3 或 x3. （3,0）；（ 1, 0）；4. 右； 1；上； 2 5. B 6. C 二. 解答題；7. y4x21x24331x24x631x24x4231x22231x22233頂點(diǎn)：2,23對(duì)稱軸：直線x2交 y 軸于點(diǎn)（ 0,2 ）y最大2 38. 設(shè)ya x2x5a1214a1yx2x4y2 x2x89. c0,yx22x116,0,16,0頂點(diǎn)1,1,設(shè)ykxc1kk1yx10. （ 1）設(shè)yax2bx6abca2abcb234 a2 bcc5yx22 x5,（2）yx126頂點(diǎn)1,6,0,5y -1 O 16 1 2 x -6 （3）頂點(diǎn)1,6