2022年九類常見遞推數(shù)列求通項公式方法

1、遞推數(shù)列通項求解方法an類型一：an1panq （p1）思路 1（遞推法）：a npa n1qp pa n2qqp p pa n3qqq pn1a 1q1pp2pn2a 1pq1pn11qp；思路 2（構(gòu)造法）：設(shè)a n1p a n,即p1q 得pq1,數(shù)列是以1a為首項、 p 為公比的等比數(shù)列,就a npq1a 1q1pn1,即pa na 1pq1pn11qp；例 1 已知數(shù)列a n滿意an2a n13且a 11,求數(shù)列a n的通項公式；解：方法 1（遞推法）：a n2 a n1322a n2332 2 2a n3333 3；3是以a 1342n1312222n21231n 211322n1

2、方法 2（構(gòu)造法）：設(shè)a n12a n,即3 ,數(shù)列a n為首項、 2 為公比的等比數(shù)列,就an3n 4 21n 21,即an2n13；類型二：an1anf n 思路 1（遞推法）：a nan1f n1a n2f n2f n1an3f n3a nf n2f n1n1an1f n1,依次類推有：a n12f n2、a 1f n；i1思路 2（疊加法）：a na n2an3f n3、 、a2a 1f1,將各式疊加并整理得an1a 1n1f n,即n12i1a na 1f n；i1n1n例 2 已知a 11,anan1n ,求a ；解：方法 1（遞推法）：ana n1na n2n1nan3n a 1

3、23n2n1ninnn n1；12a n3n2、 、方法 2（疊加法）：a nan1n ,依次類推有：a n1a n2n1、a n2nnnnn n1；a 2a 12,將各式疊加并整理得ana 1n,a na 1n2i2i2i類型三：an1f n an思路 1（遞推法）：a nf n1an1f n1f n2an2f n1f n2f n3a n3f1f2f3f n2f n1a ；f n2、思路 2（疊乘法）：an1f n1,依次類推有：a n1f3a na n2an2f n3、 、a 2f1,將各式疊乘并整理得anf1f2aa 1a 1n3f n1a ；f n2f n1,即anf1f2f3f n2

4、n3例 3 已知a 11,ann1an1,求a ；ann1n2n1解：方法 1（遞推法）：ann1an1n1nn2an2n1n1n1nn1321；n n方法 2（疊乘法）：a n n 1,依次類推有：a n 1 n 2、a n 2 n 3、 、a 3 2、a n 1 n 1 a n 2 n a n 3 n 1 a 2 4a 2 1,將各式疊乘并整理得 a n n 1 n 2 n 32 1,即a 1 3 a 1 n 1 n n 1 4 3a n n 1 n 2 n 32 1 2；n 1 n n 1 4 3 n n 1類型四：a n 1 pa n qa n 1思路（特點根法） ：為了便利,我們先假

5、定 a 1 m 、a 2 n ；遞推式對應(yīng)的特點方程n 1為 x 2px q ,當特點方程有兩個相等實根時,a n cn d p c 、 d 為待定系2數(shù),可利用 1a m 、a 2 n 求得 ；當特點方程有兩個不等實根時 1x 、2x 時,n 1 n 1a n ex 1 fx 2 e 、 f 為待定系數(shù),可利用 1a m 、a 2 n 求得 ；當特點方程的根為虛根時數(shù)列 a n 的通項與上同理,此處暫不作爭論；例 4 已知 a 1 2、a 2 3 , a n 1 6 a n 1 a , 求 a ；2 2解：遞推式對應(yīng)的特點方程為 x x 6 即 x x 6 0,解得 x 1 2、x 2 3；

6、n 1 n 1設(shè) a n ex 1 fx 2,而 a 1 2、a 2 3,即e f 2,解得 e 95,即 a n 92 n 1 1 3 n 1；2 e 3 f 3 1 5 5f5n類型五：a n 1 pa n rq（p q 0）思路（構(gòu)造法） ：a n pa n 1 rq n 1,設(shè) a nn a nn 11,就q qppqpqnrqn1,從而解得qr；那么a n1r是以1a1prq為首項,1pqnpqqq為公比的等比數(shù)列；q12n1,求a ；an1例 5 已知a 11,ana n,解得,21解：設(shè)anan1,就22n2n11 2nn 22n313是以1 211為首項,1 2為公比的等比數(shù)列

7、,即a n111n1,an2n31；362n362類型六：an1panf n （p0且p1）思路（轉(zhuǎn)化法） ：a npan1f n1,遞推式兩邊同時除以pn得anan1f nn1,我們令a nb n,那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型二進行求解了；pnpn1ppn例 6 已知a 12,an14an2n1,求a ；解：an4a n12n,式子兩邊同時除以4 n 得a na n11n,令a nn4b ,就n 4n 412b nb n11n,依此類推有b n1b n21n1、b n2b n31n2、 、222b 2b 112,各式疊加得b nb 1in1n,即222b nb 1in1n1in1nin1n11n

8、22222122na n 4 nb n 4 n1 14 n2 n；2類型七：a n 1 pa n r（a n 0）思路（轉(zhuǎn)化法） ：對遞推式兩邊取對數(shù)得 log m a n 1 r log m a n log m p ,我們令b n log m a ,這樣一來,問題就可以轉(zhuǎn)化成類型一進行求解了；2例 7 已知 a 1 10,a n 1 a n,求 a ；2解：對遞推式 a n 1 a n 左右兩邊分別取對數(shù)得 lg a n 1 2lg a ,令 lg a n b ,就n 1b n 1 2 b ,即數(shù)列 b n 是以 b 1 lg10 1 為首項, 2 為公比的等比數(shù)列,即 b n 2,因而得

9、a n 10 b n 10 2 n 1；類型八：a n 1pa c an n d（c 0）思路（轉(zhuǎn)化法） ：對遞推式兩邊取倒數(shù)得 1 pa n d,那么 1 d 1 p,a n 1 c a n a n 1 c a n c令 b n 1,這樣,問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進行求解了；a n例 8 已知 a 1 4,a n 1 2 a n,求 a ；2 a n 1解：對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得 1 2 a n 1即 1 1 11,令1 b n 就a n 1 2 a n a n 1 2 a n a nb n 1 1b n 1；設(shè) b n 1 1b n,即 2 ,數(shù)列 b n 2 是以1 2 7為2 2 4

10、4n 2 n 1首項、1 為公比的等比數(shù)列,就 b n 2 7n 1,即 b n 2n 1 7,a n n 22；2 2 2 2 7類型九：a n 1c a a an n d（b c 0、ad bc 0）思路（特點根法）：遞推式對應(yīng)的特點方程為 x ax b 即 cx 2 d a x b 0；當cx d特點方程有兩個相等實根 x 1 x 2 時,數(shù)列 1 即 1 為等差數(shù)列,我a n a n a d2 c們可設(shè)a n 1 1a d a n 1a d（為待定系數(shù),可利用 a 、a 求得）；當特點方程2 c 2 c有兩個不等實根 1x 、x 時,數(shù)列 a n x 1 是以 a 1 x 1 為首項的

11、等比數(shù)列,我們可設(shè)a n x 2 a 1 x 2a n x 1 a 1 x 1 n 1（為待定系數(shù),可利用已知其值的項間接求得）；當特點方程a n x 2 a 1 x 2的根為虛根時數(shù)列 a n 通項的爭論方法與上同理,此處暫不作爭論；例 9 已知 a 1 1,a n 4 a n 1 3（n 2）,求 a ；2 a n 1 2解：當 n 2 時,遞推式對應(yīng)的特點方程為 x 4 x 3即 x 22 x 3 0,解得x 2x 1 1、x 2 3；數(shù)列 a n 1 是以 a 1 x 1 21 為首項的等比數(shù)列,設(shè)a n 3 a 1 x 2 2a n 11 n 1,由 a 1 1得 a 2 2 就 3

12、,3 ,即 a n 11 3 n 1,a n 3 2 a n 3n 1 , n 1從而 a n3 3n 1 11,a n 23n n1 1 , n 2；3 1常見遞推數(shù)列通項公式的求法重、難點：1. 重點：遞推關(guān)系的幾種形式；2. 難點：敏捷應(yīng)用求通項公式的方法解題；【典型例題】例 1 a n 1 ka n b 型；（1）k 1 時,a n 1 a n b a n 是等差數(shù)列,a n b n a 1 b （2）k 1 時,設(shè) a n 1 m k a n m a n 1 ka n km mbm比較系數(shù)：km m bk 1 a n b a 1 bk 1 是等比數(shù)列,公比為 k ,首項為 k 1b

13、b n 1 b n 1 ba n a 1 k a n a 1 kk 1 k 1k 1 k 1例 2 a n 1 ka n f n 型；（1）k 1 時,a n 1 a n f n ,如 f n 可求和,就可用累加消項的方法；a n 1 a n 1例：已知 a n 滿意 a 1 1,n n 1 求 a n 的通項公式；解：an1ann11 1n11n121121a nAnBnnanan1n111an1an2nnan2an3n13n12 11an對這（n1）個式子求和得：ana 1nn（2）k1時,當fnanb就可設(shè)an1A n1 Bkan1kank1 Ank1BAk1Aab解得：Aka1,Bkb

14、1ka121k1BAa nAnB 是以a1AB為首項, k 為公比的等比數(shù)列anAnBa 1ABkn1ana1AB kn1AnB將 A 、B 代入即可（3）fn qn（q0, 1）an1kan1等式兩邊同時除以qn1得qn1qqnq令Cnan就Cn1kCn1Cn可歸為an 1kanb型qnqq例 3 an1fnan型；（1）如fn 是常數(shù)時,可歸為等比數(shù)列；（2）如fn 可求積,可用累積約項的方法化簡求通項；例：已知：a 11,an2 n1an1（n2）求數(shù)列an的通項；32 n1ana n1a n2a 3a22 n12 n32 n5533解：a n1a n2a n3a 2a 12 n12 n

15、12 n3752 na na 1231211nn例 4 ankman1型；ma n1考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有1k1111k11kana nmananm令Cn1就Cn可歸為an 1kanb型；an練習：1. 已知an滿意1a3,an12 an1求通項公式；解：設(shè)an11m2anm an12 anm*m11是以 4 為首項, 2 為公比為等比數(shù)列anann142n1an2n11N）求通項公式；2. 已知a的首項1a1,an1an2n（n解：an2a n32n3 an且1a2求數(shù)列通項公式；an2 nn1n3. 已知an中,a n1n2解：a nan211a na n41 2,求an的通項；a1nnn n

16、4. 數(shù)列中,a n2n1,1a12na n解：1n2n11anbn1a1121111b nbn11n 2a n2nan1annbn1b n1ann2n設(shè)bbn112nbn2bn31 11an2n22nan的通項公式；2n2bn1112n22n22nn15. 已知：a 11,n2時,anan11,求2解：設(shè)anAnB1an1A n1 B4632a n1 2A21A41 2B1 2AB6a 1解得：14n6 是以 3 為首項, 2為公比的等比數(shù)列an4n6an314n631n122n【模擬試題】1. 已知an中,1a3,an1an2n,求a ；1（n2）2. 已知an中,1a1,an3 an12

17、（n2）求a ；3. 已知an中,1a1,an2an12n（n2）求a ；4. 已知an中,1a4,an4a41（n2）求a ；n5. 已知an中,1a1,其前n項和S 與a 滿意an22 2 S nS n（1）求證：1為等差數(shù)列（2）求an的通項公式S n6. 已知在正整數(shù)數(shù)列an中,前n項和S 滿意Snn1an2 2的前 n 項和的最小值8（1）求證：an是等差數(shù)列（2）如bn1a30求bn21. 解：由an1an12n,得an2an122n1an2n2a 12n1aan2n1nan1an22n2 n2 12n1ana 1122. 解：由an13a n12得：an13 an113n1123n11an13即an1 是等比數(shù)列1 an11 1a 1an3n1ana13. 解：an由ann2an12n得anan11a n成等差數(shù)列,a n1 n12n2n1n 2n 22n22n14. 解：an12242 an2 112an2 n1an12（n1）ananan12 an2an1111）設(shè)b n121an2212an22（nanbn1n即bn11 21n1bn是等差數(shù)列an2a1222n5. 解：S n1S n112 2 S nS n1