人教版高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)-立體幾何背景問題

1、數(shù)學(xué)文化立體幾何背景問題2022高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI內(nèi)容索引一二三幾何體體積中的數(shù)學(xué)文化幾何體表面積中的數(shù)學(xué)文化球的切、接問題中的數(shù)學(xué)文化幾何體體積中的數(shù)學(xué)文化1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著增刪算法統(tǒng)宗中有如下問題:“有個(gè)金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六兩,試問金球幾許金?”意思是:有一個(gè)空心金球,它的直徑12寸,球壁厚0.3寸,1立方寸金重1斤,試問金球重是多少斤? (注:取3,寸、斤是我國(guó)古代計(jì)量單位)()A.125.77B.864C.123.23D.369.69C由題意知,大球半徑R=6,空心球的半徑r=6-0.3=5.7

2、,則其體積 (63-5.73)123.23(立方寸).又1立方寸金重1斤,則金球重123.23斤,故選C.2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中有如下問題:“今有筑城,上廣二丈,下廣五丈四尺,高三丈八尺,長(zhǎng)五千五百五十尺,秋程人功三百尺.問:須工幾何?”意思是:“現(xiàn)要筑造底面為等腰梯形的直棱柱的城墻,其中底面等腰梯形的上底為2丈、下底為5.4丈、高為3.8丈,直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為5 550尺.如果一個(gè)秋天工期的單個(gè)人可以筑出300立方尺,問:一個(gè)秋天工期需要多少個(gè)人才能筑起這個(gè)城墻?”(注:丈、尺是我國(guó)古代計(jì)量單位,一丈等于十尺)()A.24 642B.26 011C.52 022D.78 033B3.中

3、國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載:“今有羨除”.劉徽注:“羨除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示,四邊形ABCD,ABFE,CDEF均為等腰梯形,ABCDEF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距離為3,CD與AB間的距離為10,則這個(gè)羨除的體積是()A.110B.116C.118D.120D4.斗拱是中國(guó)古典建筑最富裝飾性的構(gòu)件之一.如圖是斗拱構(gòu)件之一的“斗”的幾何體,由棱臺(tái)與長(zhǎng)方體形凹槽(長(zhǎng)方體去掉一個(gè)長(zhǎng)相等,寬和高分別為原長(zhǎng)方體一半的小長(zhǎng)方體)組成.若棱臺(tái)兩底面面積分別是400 cm2,900 cm2,高為9 cm,長(zhǎng)方體形凹槽的高為12 cm,“斗”的密

4、度是0.50 g/cm3.那么這個(gè)“斗”的質(zhì)量是()A.3 990 gB.3 010 gC.6 900 gD.6 300 gC圖 圖D6.我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖,將底面直徑都為2b,高皆為a的橢半球體和被挖去同底等高的圓錐的圓柱放置于同一平面上,用平行于平面且與平面距離為d的平面截這兩個(gè)幾何體,可得到圓和圓環(huán)兩個(gè)截面且面積相等.據(jù)此,短半軸長(zhǎng)為1,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3的橢球體的體積是.4 幾何體表面積中的數(shù)學(xué)文化7.阿基米德是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家

5、、物理學(xué)家和天文學(xué)家.他推導(dǎo)出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),后人按照他生前的要求,在他的墓碑上刻著圓柱內(nèi)切球的圖案.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,若球的體積為36,則圓柱的表面積為()A.36B.45C.54D.63C因?yàn)榍虻捏w積為36,設(shè)球的半徑為r,則 ,所以r=3,又圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,所以圓柱的底面圓半徑為r=3,高為h=2r=6,因此圓柱的表面積為S=2r2+2r2r=6r2=54.8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中,將四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”.現(xiàn)有一鱉臑P-AB

6、C如圖所示,PB底面ABC,ACBC, PB=AC=4,其體積為8,則其表面積為()B9.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題: “今有倉(cāng),廣三丈,袤四丈五尺,容粟一萬(wàn)斛,問高幾何?”其意思為:有一個(gè)長(zhǎng)方體的糧倉(cāng),寬3丈,長(zhǎng)4丈5尺,可裝粟一萬(wàn)斛.已知1斛粟的體積為2.7立方尺,1丈為10尺,則該糧倉(cāng)的高是尺.若將這些粟裝入一個(gè)圓柱形糧倉(cāng)內(nèi),且使這個(gè)圓柱形糧倉(cāng)的表面積(含上下兩底)最小,那么它的底面半徑是尺.20 設(shè)長(zhǎng)方體高為h,根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式可得10 0002.7=3045h,解得h=20尺.設(shè)圓柱形糧倉(cāng)的底面半徑為R,高為H,表面積為S.根據(jù)題意可知,長(zhǎng)方體糧倉(cāng)的體

7、積等于圓柱形糧倉(cāng)的體積,球的切、接問題中的數(shù)學(xué)文化三、球的切、接問題中的數(shù)學(xué)文化10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個(gè)方錐,方錐的底面內(nèi)接于半球的底面,方錐的頂點(diǎn)在半球的球面上,若方錐的體積為18,則半球的表面積為()A.9B.18C.27D.36C11.蹴鞠(如圖所示),又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等.蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義,鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球,因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng),類似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.將鞠看作球體,已知其表面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,滿足A

8、B=CD=5,BD=AC=6,AD=BC=7,則該鞠的表面積為()A.55B.60C.63D.68A將三棱錐A-BCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體AEBF-GDHC,使得三棱錐A-BCD的各棱為長(zhǎng)方體AEBF-GDHC的面對(duì)角線,設(shè)EA=x,EB=y,ED=z,該鞠的半徑為R,由勾股定理可得AB2=x2+y2=25,AC2=y2+z2=36,AD2=x2+z2=49,上述三個(gè)等式相加得2(x2+y2+z2)=25+36+49=110,因此,該鞠的表面積為S=4R2=(2R)2=55. 12.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,如此共可截去八個(gè)三棱錐,得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體,它們的棱長(zhǎng)都相等,其中八個(gè)為正三角形,六個(gè)為正方形,稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若棱長(zhǎng)為2的二十四等邊體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A13.九章算術(shù)中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.在塹堵ABC-A1B1C1中,ACBC, AA1=2,當(dāng)陽(yáng)馬B-ACC1A1的體積為 時(shí),塹堵ABC-A1B1C1的外接