人教版高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)-　解三角形

1、4.6解三角形第四章2022高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI課標(biāo)要求1.借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.備考指導(dǎo)應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考必考考點(diǎn)之一,一般作為解答題出現(xiàn),且常具有一定的開(kāi)放性.此外,應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題也是新高考的熱點(diǎn),復(fù)習(xí)時(shí)要注意與三角恒等變換的綜合應(yīng)用,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩

2、查】 1.余弦定理(1)余弦定理(2)余弦定理的推論 2.正弦定理 3.三角形的元素與解三角形(1)三角形的元素三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.問(wèn)題思考在ABC中,已知a,b和A時(shí),三角形解的個(gè)數(shù)是否確定? 不確定,解的情況如下: 三角形解的個(gè)數(shù)也可由三角形中“大邊對(duì)大角”來(lái)判定. 5.余弦定理、正弦定理的實(shí)際應(yīng)用(1)基線(xiàn)在測(cè)量過(guò)程中,我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線(xiàn)段叫做基線(xiàn).在測(cè)量過(guò)程中,要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線(xiàn)長(zhǎng)度,使測(cè)量具有較高的精確度.一般來(lái)說(shuō),基線(xiàn)越長(zhǎng),測(cè)量的精確度越高.(2)實(shí)際測(cè)

3、量中的有關(guān)名稱(chēng)、術(shù)語(yǔ)三角形中常用的結(jié)論(1)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;(2)在ABC中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,ABab sin Asin Bcos Asin B的充分不必要條件是AB.()(4)在ABC中,a2+b20,解得b=3,故選D.4.一船以15 km/h的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向,這時(shí)船與燈塔的距離為 km.5.在ABC中,若acos A=bcos B,則這個(gè)三角形的形狀為.等腰三角形或直角三角形 由正弦定理,得sin Acos

4、 A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或 故ABC為等腰三角形或直角三角形.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1利用正弦定理、余弦定理解三角形解題心得1.已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多樣,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R為ABC的外接圓的半徑)能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化.2.已知兩邊和它們的夾角、已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知三邊都能直接運(yùn)用余弦定理解三角形,在運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用.3.已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對(duì)角,該三

5、角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角進(jìn)行判斷.4能力形成點(diǎn)2與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題(1)若是求多邊形的面積,則可通過(guò)作輔助線(xiàn)或其他途徑構(gòu)造三角形,轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.(2)若所給條件為邊角關(guān)系,則需要運(yùn)用正弦定理、余弦定理求出某兩邊及其夾角,利用三角形的面積公式進(jìn)行求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccos C.(1)求角A的大小.解 (1)因?yàn)?2b-c)(b2-a2+c2)=2abccos C, 由余弦定理,可得(2b-c)cos A=acos C,由正弦定理,可得2sin Bcos A-sin

6、Ccos A=sin Acos C,因?yàn)锳+B+C=,所以2sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A=sin(C+A)=sin B,能力形成點(diǎn)3判斷三角形的形狀例3在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asin A=(2b-c)sin B+ (2c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若 ,試判斷ABC的形狀.解 (1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C及正弦定理,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,0A180,A=60. 解題心得要判斷三角形的形狀,應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考.主要

7、有以下兩條途徑(1)“角化邊”:把已知條件(一般是邊的一次式,角的正弦、余弦)轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系,通過(guò)因式分解、配方等得到邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形形狀.(2)“邊化角”:把已知條件(邊的二次式、兩邊的積、角的余弦)轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形形狀,此時(shí)要注意A+B+C=這個(gè)結(jié)論.注意:(1)在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,以免漏解.(2)要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,試判斷ABC

8、的形狀. 能力形成點(diǎn)4正弦定理、余弦定理與三角變換的綜合問(wèn)題解題心得1.在三角形中進(jìn)行三角變換要注意隱含條件A+B+C=,使用這個(gè)隱含條件可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù).2.在解三角形問(wèn)題中,因?yàn)槊娣e公式 中既有邊又有角,所以要和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來(lái);要靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,為三角變換提供條件.能力形成點(diǎn)5正弦定理、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例5如圖,一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西方向行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山腳C在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測(cè)得此山腳C在西偏北75的方向上,山頂D的仰角為30,則此山的高度CD= m.解題心得利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)

9、際問(wèn)題的一般思路(1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,再逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出求救信號(hào),海軍艦艇在A處獲悉后,立即測(cè)出該漁船在方位角為45、距離為10 km的C處,并測(cè)得漁船正沿方位角為105的方向,以10 km/h的速度行駛,海軍艦艇立即以 的速度前去營(yíng)救,求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間.第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升三角形

10、中的邊角關(guān)系設(shè)ABC的三邊是a,b,c,它們所對(duì)的角分別是A,B,C,則有a=bcos C+ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A.證明:如圖,在ABC中,ADBC,則bcos C=CD,ccos B=BD,故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B,同理可證b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.典例1在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ABC為銳角三角形,且滿(mǎn)足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是()A.a=2bB

11、.b=2aC.A=2BD.B=2A答案:A解析:(方法一)因?yàn)閟in B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B,即cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A,即C=90或2b=a.因?yàn)锳BC為銳角三角形,所以0C90,故2b=a.故選A.(方法三)由正弦定理及sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,得b+2bcos C=2acos C+ccos A=acos C+(acos C+ccos A)=acos C+b,即2bcos C=acos C.因?yàn)锳BC為銳角三角形,所以cos C0,則2b=a.典例2已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ ccos A,則B=.解析:(方法一)由2bcos B=acos C+ccos A及正弦定理,得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,則2sin Bcos B=sin(A+C).A+B+C=,A+C=-B,2sin