概率統(tǒng)計(jì)4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)方差及其性質(zhì)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)矩和協(xié)方差矩陣第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式 數(shù)學(xué)期望的概念 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望引例:甲乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出試問哪個人的射擊水平較高？【分析】甲乙的平均環(huán)數(shù)可求得：因此，甲的射擊水平要比乙的好。 X 為甲所得環(huán)數(shù) Y 為乙所得環(huán)數(shù)本質(zhì)上，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望其形式為求和；簡稱期望或均值，記為 E(X).即難 點(diǎn)：隨機(jī)變量 X 可能取值為可列無限多時；若級數(shù)絕對收斂，設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 則稱此級數(shù)為 X 的數(shù)學(xué)期望。定義1:一、數(shù)學(xué)期望的概念為了

2、刻畫隨機(jī)變量的均值，我們引入數(shù)學(xué)期望. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為的數(shù)學(xué)期望。簡稱期望或是均值，記 E( X ).定義2：如果絕對收斂，則稱積分為隨機(jī)變量 X 的即本質(zhì)上，連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望其形式為積分；難 點(diǎn): 數(shù)學(xué)期望涉及積分，熟練積分的計(jì)算。即令函數(shù)Y = g ( X ) ,絕對收斂，則設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 則稱此級數(shù)為 g(X）的數(shù)學(xué)期望。定義3:若級數(shù)事實(shí)上，離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望即為函數(shù)取值與概率的乘積和；注：上述4個定義為一維隨機(jī)變量或是函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為定義4：如果則稱積分為隨機(jī)變量 g(X)的數(shù)學(xué)期望，即令函數(shù)Y

3、 = g ( X ) ,絕對收斂，定義5:設(shè)(X , Y)是二維隨機(jī)變量,g(X , Y)是二元連續(xù)函數(shù) 設(shè)( X , Y )為離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為則 Z 的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f (x,y),則 Z 的數(shù)學(xué)期望為【解】求1/4 1/8 1/4 3/8-1 0 1 2已知 X 的分布律為例1：1.利用公式法求解隨機(jī)變量或函數(shù)的期望典型例題分析【解】由得例2：某項(xiàng)任務(wù)完成所需時間 T該項(xiàng)任務(wù)若在100天之內(nèi)完成則得獎金10000元，若在100天至115天內(nèi)完成，則得獎金1000 元 ,115天,罰款5000,求完成任務(wù)獲得的平均獎金數(shù)。,規(guī)定：若超過設(shè)Y 是

4、完成該任務(wù)所獲獎金數(shù)，則 Y 可能取值為10000,1000,-5000；從而 Y 的分布律為10000 -5000 1000已求出:【解】設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為例3：求【解】設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為例4：則隨機(jī)變量X的分布律為隨機(jī)變量 Y 的分布律為另解令 Z = XY，可能取值為 0 0.1 0.2 0.4 0.1 0.1 0.1-3 -2 -1 0 1 2 3【解】設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為例5：求【解】設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為例5：求注：二、幾種常用分布的期望(1) 0-1分布(2) 二項(xiàng)分布(3) 泊松分布(4) 幾何分布(5) 超幾何分布1.常見離散型

5、隨機(jī)變量的期望2.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的期望(1)均勻分布(2)指數(shù)分布(3)正態(tài)分布典型例題分析2.常見隨機(jī)變量的期望【解】例6:設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為對X 獨(dú)立重復(fù)觀測4次，記Y 為觀測值大于的次數(shù)，其中由題意可知，所以：【解】例7:設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的泊松分布，則且由題意可知，所以：【解】由題意可知，所以：各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立,當(dāng)?shù)谝粋€不合格產(chǎn)品出現(xiàn)時，例8:某生產(chǎn)流水線上每個產(chǎn)品不合格的概率為設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時已生產(chǎn)的產(chǎn)品的個數(shù)為 X ，則1. 設(shè) C 是常數(shù)，則E(C)=C;2. 若 C 是常數(shù)，則E(CX )=CE(X );3.三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4. 設(shè)X與Y獨(dú)立，

6、則 E(XY )=E(X )E(Y );證明: 設(shè)（當(dāng)Xi 獨(dú)立時）注意:該性質(zhì)不是充要條件。推廣：例9、任意擲5顆骰子，X5顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和,求E(X).【解】1 2 3 4 5 6典型例題分析3.利用性質(zhì)法求解期望例10、二項(xiàng)分布【解】則而，則所以,，求E(X)。X表示n重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù).注意：分割隨機(jī)變量的原則。例11:將n封不同的信，隨機(jī)放入n個寫好地址的信封，用X表示裝對信件的個數(shù)，求EX?！窘狻縿t01例 12:第二節(jié) 方 差 方差的性質(zhì) 方差的定義和計(jì)算公式 常見分布的方差 一、方差的定義 方差的算術(shù)平方根為X的方差。記為 D(X)或Var (X)。定義:設(shè)X 是一個隨

7、機(jī)變量，若 則稱稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。存在，記為注：方差實(shí)際上就是X的函數(shù) g (X)=X-E(X)2 的期望。方差反映了隨機(jī)變量的取值與平均值的偏離程度。證明： 推論：常用計(jì)算公式：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求D(X )。 例1:【解】典型例題分析1.已知概率分布求解方差【解】例2:已知, 則方法一同理可得所以：【解】例2:已知, 則方法二：先求出邊緣概率密度，同理可得所以：再求方差.【提示】作業(yè):若, 則令二、幾種常用分布的方差(1) 0-1分布(2) 二項(xiàng)分布(3) 泊松分布(4) 幾何分布(5) 超幾何分布1.常見離散型隨機(jī)變量的方差2.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的方差(1)均勻分布(2)指數(shù)分布

8、(3)正態(tài)分布已知例3求的次數(shù)，對X 獨(dú)立觀察 4 次，Y 表示X 的觀察值大于【解】由題意可知1.設(shè)C是常數(shù),則D(C) =0 ; 2.若C是常數(shù),則 D(CX )=C 2D(X ); 3. 若X與Y 獨(dú)立，則三、方差的性質(zhì)證注：這條性質(zhì)同樣不是一個充要條件。推廣：若X1,X2, Xn 相互獨(dú)立,則4、D(X )=0例4設(shè) X 的可能取值為且，求 X 的分布律。【解】設(shè) X 的分布律為所以【解 】 Z 為正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合，所以仍然服從正態(tài)分布，且其參數(shù)為故例5設(shè) X , Y 是兩個相互獨(dú)立的且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量 ,且，則求隨機(jī)變量服從什么分布？Z N(-7,5)第三節(jié) 協(xié)方差和相關(guān)

9、系數(shù) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1、定義 設(shè)二維隨機(jī)變量 則稱它為X與Y的協(xié)方差，即稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)。若存在，一、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義記為2、常用計(jì)算公式證:1、為常數(shù)3、2、二、協(xié)方差的性質(zhì)證：三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1)2)的充要條件是X與Y以概率1成線性關(guān)系即其中為常數(shù)定理1 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)存在，則說明：，X 與Y 的線性關(guān)系越顯著；，X 與Y 的線性關(guān)系越不顯著；2）3）4）定義、相關(guān)系數(shù)則稱與不相關(guān);相關(guān)系數(shù)之間線性關(guān)系的一種度量.是X與Y下列命題等價：1）【解】典型例題分析1.利用公式法求解協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)例1:箱內(nèi)有6個球,其中紅、白、黑

10、球分別為1,2,3個，現(xiàn)從箱中隨機(jī)的取出2球，記 X 為取出的紅球的個數(shù)，Y為取出的白球的個數(shù)，求 cov（X,Y）。隨機(jī)變量（X ,Y）的聯(lián)合分布律為例2設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且【解】Cov(X,Z)=2, D(X)=4, D(Z)=22.利用性質(zhì)法求解協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)例3將一枚硬幣重復(fù)擲 n 次，以 分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，求的相關(guān)系數(shù)?！窘狻繚M足故獨(dú)立不相關(guān)注：例：X N(0,1),證明X與Y不相關(guān)。證：= 0X與Y不相關(guān)。但是，顯然，X與Y 不是相互獨(dú)立的。不相關(guān)： X 與Y 之間沒有線性關(guān)系，并不表示它們之間沒有任何關(guān)系。獨(dú)立： X 與Y 之間沒有任何關(guān)系。例3設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為問 X 和 Y 是否相互獨(dú)立，是否不相關(guān)？【解】 先求關(guān)于X 和Y 的邊緣概率密度 因?yàn)閄 和 Y 不相互獨(dú)立。3.討論獨(dú)立性與不相關(guān)性 求X 和Y 的相關(guān)系數(shù) 所以故X 和 Y 不相關(guān)。= 0.若(X,Y )服