福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理數(shù)學(xué)證明

1、附錄2A.1:偏好，效用函數(shù)和需求函數(shù)如果消費(fèi)者的偏好是理性的.（完備的和傳遞的），連續(xù)的，那么就存在著一個(gè)能代表該偏好的連續(xù).效用函.數(shù).u:R關(guān)于偏好，以及偏好與效用效用函數(shù)關(guān)系的進(jìn)一步討論，參見馬斯-克萊爾等人，社會科學(xué)出版社，2001年版；瓦里安，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)（高級教程），經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,R。其中L表示消費(fèi)集的維度，也就是商品的種類，除非做特別說明，我們總是假定L=2，即消費(fèi)者消費(fèi)X-i和X2兩種商品。我們還假定偏好是單調(diào).的和凸的，則效用函數(shù)u是遞增的和擬凹的。給定上述假定，我們能夠得到一組形狀良好的無差異曲線，如圖2A1,消費(fèi)者的無差異曲線是一組凸向原點(diǎn)的曲線，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，其代表的效

2、用水平越高4圖2A1無差異曲線一個(gè)常用的符合上述假定的效用函數(shù)是柯布-道格拉斯效用函數(shù)，其形式是：u（%,X2）=AAX2其中A?0,0I:1,0:1。顯然，u是連續(xù)的，遞增的，凹的。一個(gè)理性的消費(fèi)者面臨的問題是在約束條件下追求效用最大化.。其約束條件為：P1X1P2X2三W其中，P1,P2為兩種商品的市場價(jià)格，W則表示消費(fèi)者的財(cái)富（或收入）。給定偏好的單調(diào)性，這一約束一定是緊的，也就是P1X1P2X2W。則消費(fèi)者的效用最大化問題可以描述為：maxxu（X1,X2）S.tp）X1p2X2=w上述問題的拉格朗日函數(shù)可以寫為：L=u（A,X2）（w-口為-P2X2）這一問題的一階條件為：TOC o

3、 1-5 h zrI、u:uP1，P2:XX2微觀經(jīng)濟(jì)理論，中國1997年版。假定效用函數(shù)是凹的，上述條件是充分必要的。兩式相除，得到：u11二Pl.p2葩/cx2上式意味著消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的條件是消費(fèi)兩種商品最后一單位的邊際效用之比等于兩種商品的價(jià)格之比。我們還定義消費(fèi)者無差異曲線斜率的絕對值為邊際替代率(MRS,表示給定效用水平保持不變(比如U),少消費(fèi)一單位商品1必須增加消費(fèi)多少單位的商品2,即MRS=-無無差異曲線的數(shù)學(xué)形式為：u(xX2)=u，表示使消費(fèi)者的效用水平達(dá)到U的所有商品組合,兩位全微分，得到一dxAdxAdU=0，這樣我們就得到，-坐二,U。這cx-iCX2糾/CX2

4、一結(jié)果表明，邊際替代率(MRS等于邊際效用之比。解上述問題，得到消費(fèi)者效用最大化的解：x*=%(口,P2,w)X；=X2(P，P2,W)上面兩個(gè)式子就是消費(fèi)者的(馬歇爾)需求函數(shù)，表示當(dāng)市場價(jià)格和財(cái)富分別為p,p2,w時(shí)，消費(fèi)者愿意消費(fèi)的(效用最大化的)商品X，和冷的數(shù)量。顯然，U(X,X2)丸為(口，P2,w),X2(P|,P2,w)為給定價(jià)格和財(cái)富水平為P,P2,w時(shí)消費(fèi)者所能達(dá)到的最大效用，我們令：v(pi,P2,w)=U:Xi(Pi,P2,W),X2(pi,P2,w)v(pi,P2,W)是-1將其稱為間接效用函數(shù)，它表示隨著價(jià)格和財(cái)富水平的變化，消費(fèi)者所能夠?qū)崿F(xiàn)的最大效用的變化。下面我

5、們給出兩個(gè)特例：特例1柯布-道格拉斯偏好消費(fèi)者的效用最大化問題為：maxxAx:X2S.tRXigP2X2=W一階條件為：AXi:(2,兔Pi和AXP2X2)。為了說明這一點(diǎn)，我們來求消費(fèi)者的最大化問題：maxx為(X2)S.tPitp2X2=w一階條件是：ivpi,(X2A:P2，得到：(X2)=P2:Pi，則X；八Li(P2,p),這意味X2僅僅是相對價(jià)格的函數(shù)，與財(cái)富水平無關(guān)。給定相對價(jià)格不變，財(cái)富的變化只會改變消費(fèi)者對X1的消費(fèi)數(shù)量，而不會改變她對X2的消費(fèi)數(shù)量。假定（X2）=lnX2，則有：X2二pvP2，%=w.口_1。擬線性偏好非常重要，在公共經(jīng)濟(jì)學(xué)，特別是公共產(chǎn)品和外部性理論中

6、有廣泛的應(yīng)用。附錄2A.2:生產(chǎn)集，生產(chǎn)函數(shù)，成本函數(shù)和生產(chǎn)可能性邊界現(xiàn)在我們考察企業(yè)的行為。企業(yè)總是在特定的技術(shù)約束下將投入品轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品，從而可行的生產(chǎn)計(jì)劃總是受到特定技術(shù)的約束。我們把在技術(shù)上可行的所有的投入和產(chǎn)出組合（生產(chǎn)計(jì)劃）的集合稱作生產(chǎn)集，通常用丫表示。如圖2A2,假定只有一種投入品乙一種產(chǎn)品y,圖中的陰影部分就是生產(chǎn)集。通常，我們假定生產(chǎn)集是一個(gè)非空的閉集，也就是說生產(chǎn)集包括它的邊界，這條邊界線所確定的函數(shù)就是生產(chǎn)函數(shù)，用y=f表示。這樣，我們就可以把生產(chǎn)集Y寫成：丫=（乙y）:y-f（z）乞0,z_0?。我們還假定生產(chǎn)集是凸的，也就是任意兩個(gè)可行的生產(chǎn)計(jì)劃的線性組合一定是可行的

7、。可以證明，對于單一產(chǎn)出的技術(shù)，生產(chǎn)集是凸的等價(jià)于生產(chǎn)函數(shù)y=f（z）是凹的11。圖2A2生產(chǎn)集為了考察企業(yè)在成本約束下的最優(yōu)投入品組合，我們現(xiàn)在假定存在兩種投入要素，乙和Z2,生產(chǎn)函數(shù)為討=f（Z1,Z2）。企業(yè)面臨的問題是給定成本約束，選擇最優(yōu)的投入品組合，使其產(chǎn)出最大化，即：maxz仁乙乙）St叫乙+灼2Z2=C其中，C為企業(yè)的最高成本約束，J,2分別為兩種投入品的市場價(jià)格。一階條件是f:】Zi二?1和汗至2二?2。假定生產(chǎn)函數(shù)是凹的，上述條件是充分必要的。兩式相除，得到：=f2關(guān)于生產(chǎn)集及其與生產(chǎn)函數(shù)的關(guān)系的進(jìn)一步討論參見馬斯-克萊爾等人，微觀經(jīng)濟(jì)理論；瓦里安，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)（高級教程）。

8、上式表明兩種要素的邊際產(chǎn)出之比（即邊際技術(shù)替代率MRTS等于要素價(jià)格之比。上述生產(chǎn)最大化問題的一個(gè)對偶問題是成本最小化問題，給定產(chǎn)出約束，即:minz“乙：；-0st其中,y為企業(yè)的最低產(chǎn)出約束。一階條件同樣是f（乙，Z2）=yf活二旳和，fZ2二：川2，將其代入約束條件，可以解得:Z1Z1（；人1,；=2y）乙=Z2（創(chuàng)，2,y）上面兩個(gè)式子就是所謂的條件.要素需求函.數(shù)。令：C（1,2,y）=pZ；=1乙（,2,y）以2（1,2,y）則“01/02,y）為企業(yè)的成本函數(shù)，表示給定要素價(jià)格和產(chǎn)出要求下的最小成本。如果生產(chǎn)函數(shù)是凹的，可以證明成本函數(shù)對于產(chǎn)量y是凸的?，F(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向企業(yè)的利潤最大

9、化問題，即在給定產(chǎn)品和投入品市場價(jià)格的前提下，選擇產(chǎn)量使利潤最大化。上述問題可以表示為：maxypy-c（1,，2,y）這一問題的一階條件是p=:y，由于目標(biāo)函數(shù)對y是凹的，這一條件是充分必要的。意味著利潤最大化的條件是選擇產(chǎn)量使邊際成本等于價(jià)格?，F(xiàn)在我們考慮兩種產(chǎn)品的情況，為了和上節(jié)一致，分別用X1和X2表示這兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)函數(shù)分別為：=flzl；z）和X2=f2（Z2,Z；）,可以分別解得兩種產(chǎn)品的要素需求函數(shù)：才*二才（嚴(yán)22，Xj）,1=1,2;j=1,2假定投入品總量分別為乙和Z2，且被完全充分利用，則有：12Z=z（1,2,xJ+Zl?1,國2公2）,1=1,2圖2A3畫出了所有可

10、能的兩種產(chǎn)品生產(chǎn)組合（我們不考慮負(fù)產(chǎn)出），稱為生產(chǎn)可能性集，其中FF曲線被稱為生產(chǎn)可能性邊界，它表示當(dāng)資源（所有投入品）被充分利用時(shí)，？兩？種產(chǎn)品所有的可能性組合，？也就是，？隨著其中一種產(chǎn)品的產(chǎn)量變化，另一種產(chǎn)品所能獲得的最大產(chǎn)量的變化軌跡。圖2A-3隹產(chǎn)可能性集我們將生產(chǎn)可能性邊界的斜率的絕對值定義為邊際轉(zhuǎn)換率（MRT,表示當(dāng)資源充分利用時(shí)，多生產(chǎn)一單位為，需要放棄多少單位的X2。一般用生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)F（X1,X2）=0來表示生產(chǎn)可能性邊界，則生產(chǎn)可能性集就可以寫作：八（X1,X2）:F（X1,X2pA0,且捲,2色。我F(XX2）是一個(gè)凸函數(shù)。對生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)兩邊dxdx?二0X：議2這意味

11、著：_F=_熱二MRT。另外，經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有一個(gè)常用的結(jié)論，就是邊帥/CX2dx1際轉(zhuǎn)換率等于邊際成本之比?，F(xiàn)在我們來證明這個(gè)結(jié)論：兩種產(chǎn)品的成本函數(shù)可以表示為：Cj（F2,Xj）二IN（F，2,Xj）說2（1,，2,Xj）,j=1,2貝U有：（斜，國2必）十。2（囲，2,X2）二叫21,國2,為）+弓2（叫，國2,%）+國22乙；（叫厲2公2）叫，國2必）十在生產(chǎn)可能性邊界上，投入品被充分利用，這意味著：_C1C2，X1)C2(X,?2,X2)=Z12Z2令上式兩邊對（X1,X2）全微分，得到：-1-2-CC,cdAdx2=0-XiX?這意味著：MRT=dx2t；CdA:X：X22.1.2福利

12、經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理：數(shù)學(xué)證明本節(jié)我們對福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理給出一個(gè)簡化的數(shù)學(xué)證明和附錄2A.1和2A.2結(jié)合起來學(xué)習(xí)。首先我們給出帕累托最優(yōu)的數(shù)學(xué)條件。假定存在兩個(gè)消費(fèi)者A和B,兩個(gè)企業(yè)分別生產(chǎn)商品X1和X2。假定有兩種投入品Z|和Z2，但投入品不能直接用于消費(fèi)。生產(chǎn)函數(shù)分別為：為=f1（Z1,Z2）和X2=f2（Z：,Z；）。我們用F（XX2）邊界。讀者應(yīng)該將本節(jié)1和2,0表示生產(chǎn)可能性我們用X1和X:表示A消費(fèi)兩種產(chǎn)品的數(shù)量，用XAB和X;表示B消費(fèi)的數(shù)量，則:ABXj+Xj=Xj,j=1,2們通常假定生產(chǎn)可能性集是一個(gè)凸集，假定全微分，得到：所謂帕累托最優(yōu)配置是指在不損害其他人的效用的前提下使

13、任何個(gè)人的效用達(dá)到最大。因此，一個(gè)帕累托最優(yōu)問題可以寫成：A/AAmax*u（為,X2）s.tuB（NB,xB）_uF（X1,x；）蘭0在單調(diào)性假設(shè)下，上述約束實(shí)際上都是緊的。這一問題的拉格朗日函數(shù)是：L=uA（X1a,x2a）-丸u-uB（xb,xb）-衛(wèi)F（X1,X；）一階條件是：(2.1);X1Fx.FjX2(2.2)(2.3)(2.4)我們假定效用函數(shù)是凹的，生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)是凸的，則上述一階條件是充分必要的。將(2.5)和(2.6)兩式相除，得到：將(2.7)和(2.8)兩式相除,(2.9)和(2.10)式意味著:出的帕累托最優(yōu)的條件。cU/ellcFcF說A/汰：一糾/CX2得到：ct

14、l/cucrcFjrFF=TCX|/C(2MRSa=MRS=MRT(參見附錄)(2.5)(2.6)，這就是我們在上一節(jié)給下面我們證明完全競爭市場的一般均衡配置條件的。一般而言，競爭性市場的本質(zhì)特征是價(jià)格接受,(以下簡稱競爭性.均衡)是滿足上述帕累托這就要求存在非常多的消費(fèi)者和生產(chǎn)者，而我們的模型只有兩個(gè)消費(fèi)者，兩個(gè)生產(chǎn)者，為此，我們可以把兩個(gè)消費(fèi)者理解為兩群消費(fèi)者，同理，把兩個(gè)生產(chǎn)者理解為兩群生產(chǎn)者。我們假定投入品稟賦屬于消費(fèi)者，分別用ZA和Zb(I=1,2)表示，滿足:ZiA-Zb假定消費(fèi)者擁有企業(yè)利潤，其利潤份額用-jA-jB1(j=1,2)o所謂競爭性均衡，是指一組資源配置和一組價(jià)格p*

15、,p;；，；，使得：(1)生產(chǎn)者利潤最大化條件：對每一個(gè)企業(yè)PjXjcj?1,go2,Xj)=maXxPjXj-我們假定成本函數(shù)是凸的，則上述條件等價(jià)于：卩*尸畛,j,2Zi(1=1,2)o討(i=A,B,j=1,2)表示，滿足：A*A*p*p*4*d*n*n*(X1,X2),(X,X2)；X1,X2；(Z1乙)，(乙Z2)j,x*滿足：cj?1A2,Xj),j=1,2將上面兩式相除，得到：1*/2*PiP2c(1,2,X1).:c(1,2,X2)=MRT(2.7：X2)(2)消費(fèi)者效用最大化條件：對每一個(gè)消費(fèi)者i,(為,X2)滿足:d(x1*,x；*)AmaXxulxlx；),s.tp*x；+p；x；mo；z；+a;z；+遲硏p*Xjc;,cc；,Xj）7我