2022年人教A版數(shù)學(xué)必修五第2章《等差等比數(shù)列》教案

1、名師精編 優(yōu)秀教案等差數(shù)列與等比數(shù)列（1）一、課前檢測(cè)、創(chuàng)設(shè)情境設(shè)數(shù) 列a n的前 n 項(xiàng)和為S 已知a15,a n1S n3 n,n* N 設(shè)b nS n3 n,求數(shù)列b n的通項(xiàng)公式；n 3,即S n12 S nn 3,解： 依題意,S n1S na n1S n由此得S n13 n12S n3 n3n2n；因此,所求通項(xiàng)公式為bnS n-二、學(xué)問梳理、復(fù)習(xí)回憶1. 在解決等差數(shù)列問題時(shí),如已知,a1,an,d,S ,n 中任意三個(gè),可求其余兩個(gè)；解讀：2. 補(bǔ)充的一條性質(zhì)1）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列有：s 奇a nnn1s 奇s 偶a na 中,s 2n12 n1 a ns 偶2）項(xiàng)數(shù)為

2、偶數(shù)2n 的等差數(shù)列有：s 奇s 偶, s 偶s 奇nds 2nn a na n1a n1解讀：an1and（定義）3. 等差數(shù)列的判定： an 為等差數(shù)列2an1anan2數(shù)” ）anAnB（關(guān)于n的“ 一次函數(shù)” ）即：anan1andd 為常數(shù)）SnAn2Bn（缺常數(shù)項(xiàng)的“ 二次函2anan1an1n,2nN*anknbs nAn2Bn；解讀：名師精編 優(yōu)秀教案4. 三個(gè)數(shù)成等差可設(shè)：a,ad,a2d 或 ad ,a,ad；四個(gè)數(shù)成等差可設(shè)：a3d,ad,a d,a3d. 解讀：5等差數(shù)列與函數(shù)：1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1+n

3、-1d=d n+ a1-d, a n 是關(guān)于 n 的一次式；從圖像上看,表示等差數(shù)列的各點(diǎn)（ n, a ）勻稱排列在一條直線上,由兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì),不難得出,任兩項(xiàng)可以確定一個(gè) 等差數(shù)列 .k=d= an a 1,d= a n a m,由此聯(lián)想點(diǎn)列（n,an）所在直線的n 1 n m斜率 . 2）點(diǎn) n, S n 在沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù) S n pn 2qn 上；其中,公差不為 0. 解讀：6. 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和最值的求法（結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)懂得）1）如等差數(shù)列a n的首項(xiàng)a 10,公差d0,就前 n 項(xiàng)和S 有最大值；n（）如已知通項(xiàng)a ,就S 最大a n10；a n0（）如

4、已知S n2 pnqn ,就當(dāng) n 取最靠近q的非零自然數(shù)時(shí)S 最大；2p2）如等差數(shù)列a n的首項(xiàng)a 10,公差d0,就前 n 項(xiàng)和S 有最小值（）如已知通項(xiàng)a ,就S 最小a n10；a n0（）如已知S n2 pnqn ,就當(dāng) n 取最靠近q的非零自然數(shù)時(shí)S 最??；n2p解讀：名師精編 優(yōu)秀教案7. 等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式、性質(zhì)等定義通項(xiàng)公式求和公式等差數(shù)列a n為等差數(shù)列an+1-a n=d（常數(shù)）,nN+2an=an-1+an+1（ n2,nN+）1）a =a +（n-1 ）d=a +（n-k ）d；a =dn +a -dknb2）推廣： an=am+（ nm）d. 3）

5、變式： a1=an（n1）d,d=ana 1,d=anam,由此聯(lián)想點(diǎn)列 （ n,n1nman）所在直線的斜率. 1）Snna 12anna1n n1 ddn2a1dnAn2Bn2222）變式：a12an=Sn = na1a2nan=a1+（n1）d =an+（n1） （2d ） . 2等差中項(xiàng)重要性質(zhì)其它性質(zhì)1）等差中項(xiàng)： 如 a、b、c 成等差數(shù)列, 就 b 稱 a 與 c 的等差中項(xiàng), 且 b=a2c；a、b、 c 成等差數(shù)列是2b=a+c 的充要條件 .2 ）推廣： 2a =a nmanm1 mnlkamana lak 反 之 不 一 定 成 立 ； 特 別 地 , 當(dāng)mn2p 時(shí) ,

6、 有aman2a ；特例： a1+an=a2+an-1=a3+an-2= ；2 下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng) ak,ak+m,ak+2m, 組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列,公差為md. 3 s n,s 2ns n,s 3ns 2n成等差數(shù)列；4 dana1amanmnn1mn5 d0a n為遞增數(shù)列增減d0an為常數(shù)列性d0a n為遞減數(shù)列1 an=am+（nm）d. 2 如數(shù)列 an 是公差為d 的等差數(shù)列,就數(shù)列 an+b （ 、b 為常數(shù)）是公差為 d 的等差數(shù)列； 如 bn 也是公差為d 的等差數(shù)列, 就 1an+2bn（1、2 為常數(shù)）也是等差數(shù)列且公差為1d+2d. 3 an=an+b,即

7、 an 是 n 的一次型函數(shù),系數(shù)a 為等差數(shù)列的公差； Sn=an 2+bn,即 Sn 是 n 的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；三、典型例題分析、引導(dǎo)名師精編優(yōu)秀教案探究、當(dāng)堂檢測(cè)題型 1 等差數(shù)列的基本運(yùn)算例 1 在等差數(shù)列 a n 中,1 已知 a1510,a45 90,求 a60；2 已知 S1284,S20 460,求 S28；3 已知 a610,S55,求 a8和 S8解： 1 方法一：a15a114 d810a 1882a 60 a159d 1308 13033a45a 144 d90d方法 2 danama45 a 153,anamn mda60a4560 45d 9015nm4515

8、32 不妨設(shè) SnAn 2Bn,122A12B84A217202A20B460BS n2n21 7n S 282 28217 28 1092 3 S6S5a651015,又 S66a 1a66 a110156 a 110即 a1 5 而 da6 a13Sn n22261a8a62 d 16 S88 a 1a8 442變式訓(xùn)練 1設(shè) an 為等差數(shù)列, Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和,已知 S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和,求 Tn. 解： 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d,就 Sn=na1+ 1 n（n1）d. S7=7,S15=75,27 a 1 21 d ,7即 a 1

9、 3 d ,1解得 a1=2, d=1. 15 a 1 105 d 75 , a 1 7 d 5 .Sn =a1+ 1 （n1）d=2+ 1 （n1）= n 5 . n 2 2 2Sn 1Sn = 1 . 數(shù)列 Sn 是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為2,公差為 1 . n 1 n 2 n 2Tn= 1 n 29 n. 4 4小結(jié)與拓展： 基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng),公比為基本量,借助于消元思想及解方程組思想等；等差數(shù)列中,已知五個(gè)元素 兩個(gè) . a1,an,n,d,Sn 中的任意三個(gè),便可求出其余題型 2 等差數(shù)列的判定與證明名師精編優(yōu)秀教案例 2 已知數(shù)列 an 滿意 2an1an an2 nN

10、 * ,它的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 a35,S636. 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；解： 2an1anan2, an 是等差數(shù)列,設(shè) an的首項(xiàng)為 a1,公差為 d,由 a35,S636 得a12d5,解得 a11,d2. an2n1. 6a1 15d36n 變式訓(xùn)練 2 在數(shù)列 an 中, a11,an 12an2. 設(shè) bnan 2 n 1,證明：數(shù)列 bn 是等差數(shù)列；證明： 由已知 an 12a n2n得 bn1an1 n 2a n22 2nan n11 bn 1. 2anan1（n又 b1a11,因此 b n 是首項(xiàng)為 1,公差為 1 的等差數(shù)列小結(jié)與拓展： 證明數(shù)列 an 是等差數(shù)

11、列的兩種基本方法是：1）利用定義,證明2）為常數(shù)； 2）利用等差中項(xiàng),即證明 題型 3 等差數(shù)列的性質(zhì)2an=an1+an+1（n2）. 例 3 設(shè)等差數(shù)列na的首項(xiàng)及公差均是正整數(shù),前n 項(xiàng)和為S ,且a 11,a 46,S 312,就a 2022=_ _ _答案： 4020 變式訓(xùn)練 3 在等差數(shù)列 an 中,已知 log2 a5a9 3,就等差數(shù)列 an 的前 13 項(xiàng)的和S13 _. 答案： 52 解： log 2 a5a9 3, a5a92 38. S1313 a1a13 213 a5a9213 8252. 小結(jié)與拓展： 解決等差（比）數(shù) 列的問題時(shí),通常考慮兩類方法：基本量法,即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于 a1 和 d（q）的方程；奇妙運(yùn)用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)（如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)）. 一般地,運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì),可化繁為簡(jiǎn) . 四、歸納與總結(jié)（以同學(xué)為主,師生共同完成）1. “ 巧用性質(zhì)、削減運(yùn)算量” 在等差、等比數(shù)列的運(yùn)算中特別重要,但用“ 基本量法” 并樹立“ 目標(biāo)意識(shí)” ,“ 需要什么,