必修二立體幾何初步知識(shí)點(diǎn)整理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)必修二立體幾何初步知識(shí)點(diǎn)整理一、基礎(chǔ)知識(shí)（理解去記）（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體. 圍成多面體的各個(gè)多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。 旋轉(zhuǎn)體把一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。（2）柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征 1.棱柱 1.1棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何

2、體叫做棱柱。1.2相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關(guān)系： = 1 * GB3 = 2 * GB3 四棱柱 底面為平行四邊形 平行六面體 側(cè)棱垂直于底面 直平行六面體 底面為矩形 長(zhǎng)方體 底面為正方形 正四棱柱 側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等 正方體1.3棱柱的性質(zhì)： = 1 * GB3 側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形； = 2 * GB3 兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形； = 3 * GB3 過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形； = 4 * GB3 直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面與對(duì)角面是矩形。補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn) 長(zhǎng)方體的性質(zhì)： = 1 * GB3 長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)

3、上三條棱的平方和；【如圖】 = 2 * GB3 （了解）長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱所成的角分別是，那么，； = 3 * GB3 （了解）長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與過(guò)頂點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所成的角分別是，則，.1.4側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等矩形組成的以底面周長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)為鄰邊的矩形.1.5面積、體積公式：（其中c為底面周長(zhǎng)，h為棱柱的高）2.圓柱2.1圓柱以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱. 2.2圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過(guò)軸的截面（軸截面）是全等的矩形.2.3側(cè)面展開(kāi)圖：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是以底面周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)為鄰

4、邊的矩形.2.4面積、體積公式：S圓柱側(cè)=；S圓柱全=，V圓柱=S底h=（其中r為底面半徑，h為圓柱高）3.棱錐3.1棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。 正棱錐如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2棱錐的性質(zhì)： = 1 * GB3 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比； = 2 * GB3 正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形； = 3 * GB3 正棱錐中六個(gè)元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面邊

5、長(zhǎng)一半，構(gòu)成四個(gè)直角三角形。）（如上圖：為直角三角形）3.3側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是有n個(gè)全等的等腰三角形組成的。3.4面積、體積公式：S正棱錐側(cè)=，S正棱錐全=，V棱錐=.（其中c為底面周長(zhǎng)，側(cè)面斜高，h棱錐的高）4.圓錐4.1圓錐以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。4.2圓錐的性質(zhì)： = 1 * GB3 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比； = 2 * GB3 軸截面是等腰三角形；如右圖： = 3 * GB3 如右圖：.4.3圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，

6、以母線長(zhǎng)為半徑的扇形。4.4面積、體積公式：S圓錐側(cè)=，S圓錐全=，V圓錐=（其中r為底面半徑，h為圓錐的高，l為母線長(zhǎng)）5.棱臺(tái)5.1棱臺(tái)用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱(chēng)為棱臺(tái).5.2正棱臺(tái)的性質(zhì)： = 1 * GB3 各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形； = 2 * GB3 正棱臺(tái)的兩個(gè)底面以及平行于底面的截面是正多邊形； = 3 * GB3 如右圖：四邊形都是直角梯形 = 4 * GB3 棱臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成棱錐研究.如右圖：，注意考慮相似比.5.3棱臺(tái)的表面積、體積公式：側(cè)，（其中是上，下底面面積，h為棱臺(tái)的高）6.圓臺(tái)6.1圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底

7、面與截面之間的部分叫做圓臺(tái). 6.2圓臺(tái)的性質(zhì)： = 1 * GB3 圓臺(tái)的上下底面，與底面平行的截面都是圓； = 2 * GB3 圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形； = 3 * GB3 圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐來(lái)研究。如右圖：，注意相似比的應(yīng)用.6.3圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)；6.4圓臺(tái)的表面積、體積公式：，V圓臺(tái)，（其中r，R為上下底面半徑，h為高）7.球7.1球以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.或空間中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球；7.2球的性質(zhì)： = 1 * GB3 球心與截面圓心的連線垂直于截面； = 2 * GB3

8、 （其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r）7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長(zhǎng)方體，球與正方體等的內(nèi)接與外切.注：球的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題解決.7.4球面積、體積公式：（其中R為球的半徑）（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖根據(jù)最近幾年高考形式上看，三視圖的考察已經(jīng)淡化，所以同學(xué)只需了解即可1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。2.三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形；正視圖光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側(cè)視圖光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影

9、圖；注：（1）俯視圖畫(huà)在正視圖的下方，“長(zhǎng)度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫(huà)在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡(jiǎn)記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長(zhǎng)，俯、側(cè)一樣寬”. （2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。3.直觀圖： 3.1直觀圖是觀察著站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形。 3.2斜二測(cè)法：step1：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，（即取 ）；step2：畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；step3：在坐標(biāo)系中畫(huà)直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x

10、軸上）的線段保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段長(zhǎng)度減半。結(jié)論：一般地，采用斜二測(cè)法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的倍.解決兩種常見(jiàn)的題型時(shí)應(yīng)注意：（1）由幾何體的三視圖畫(huà)直觀圖時(shí)，一般先考慮“俯視圖”.（2）由幾何體的直觀圖畫(huà)三視圖時(shí)，能看見(jiàn)的輪廓線和棱畫(huà)成實(shí)線，不能看見(jiàn)的輪廓線和棱畫(huà)成虛線。二 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面的基本性質(zhì)1.平面無(wú)限延展，無(wú)邊界1.1三個(gè)定理與三個(gè)推論公理1：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。用途：常用于證明直線在平面內(nèi).圖形語(yǔ)言： 符號(hào)語(yǔ)言：公理2：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面. 圖形語(yǔ)言：推論1：直線與直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面.

11、圖形語(yǔ)言：推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面. 圖形語(yǔ)言：推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面. 圖形語(yǔ)言：用途：用于確定平面。公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線（兩個(gè)平面的交線）.用途：常用于證明線在面內(nèi)，證明點(diǎn)在線上.圖形語(yǔ)言： 符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言，文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化：（二）空間圖形的位置關(guān)系1.空間直線的位置關(guān)系：平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表述：等角定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。異面直線：（1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線異面直線； （2）判定定理：連平面內(nèi)的一

12、點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線。圖形語(yǔ)言： 符號(hào)語(yǔ)言：異面直線所成的角：（1）范圍：；（2）作異面直線所成的角：平移法.如右圖，在空間任取一點(diǎn)O，過(guò)O作，則所成的角為異面直線所成的角。特別地，找異面直線所成的角時(shí)，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(diǎn)（如線段中點(diǎn)，端點(diǎn)等）上，形成異面直線所成的角.2.直線與平面的位置關(guān)系： 圖形語(yǔ)言： 3.平面與平面的位置關(guān)系：（三）平行關(guān)系（包括線面平行，面面平行）1.線面平行： = 1 * GB3 定義：直線與平面無(wú)公共點(diǎn). = 2 * GB3 判定定理：（線線平行線面平行）【如圖】 = 3 * GB3 性質(zhì)定理：（線面

13、平行線線平行）【如圖】 = 4 * GB3 判定或證明線面平行的依據(jù)：（ = 1 * roman i）定義法（反證）：（用于判斷）；（ = 2 * roman ii）判定定理：“線線平行面面平行”（用于證明）；（ = 3 * roman iii）“面面平行線面平行”（用于證明）；（4）（用于判斷）；2.線面斜交： = 1 * GB3 直線與平面所成的角（簡(jiǎn)稱(chēng)線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角。【如圖】 于O，則AO是PA在平面內(nèi)的射影， 則就是直線PA與平面所成的角。范圍：，注：若，則直線與平面所成的角為；若，則直線與平面所成的角為。3.面面平行： = 1 *

14、GB3 定義：； = 2 * GB3 判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面互相平行；符號(hào)表述： 【如下圖 = 1 * GB3 】 圖 = 1 * GB3 圖 = 2 * GB3 推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線，那么這兩個(gè)平面互相平行符號(hào)表述： 【如上圖 = 2 * GB3 】判定2：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行.符號(hào)表述：.【如右圖】 = 3 * GB3 判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理及推論（常用）（3）判定2 = 4 * GB3 面面平行的性質(zhì)：（1）（面面平行線面平行）；（2）；（面面平行線線平行

15、）（3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。【如圖】（四）垂直關(guān)系（包括線面垂直，面面垂直）1.線面垂直 = 1 * GB3 定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。 符號(hào)表述：若任意都有，且，則. = 2 * GB3 判定定理：（線線垂直線面垂直） = 3 * GB3 性質(zhì)：（1）（線面垂直線線垂直）；（2）； = 4 * GB3 證明或判定線面垂直的依據(jù)：（1）定義（反證）；（2）判定定理（常用）；（3）（較常用）；（4）；（5）（面面垂直線面垂直）常用； = 5 * GB3 三垂線定理及逆定理：（ = 1 * ROMAN I）斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的

16、垂線段與斜線段中，（1）斜線相等射影相等；（2）斜線越長(zhǎng)射影越長(zhǎng)；（3）垂線段最短。【如圖】；（ = 2 * ROMAN II）三垂線定理及逆定理：已知，斜線PA在平面內(nèi)的射影為OA， = 1 * GB3 若，則垂直射影垂直斜線，此為三垂線定理； = 2 * GB3 若，則垂直斜線垂直射影，此為三垂線定理的逆定理； 三垂線定理及逆定理的主要應(yīng)用：（1）證明異面直線垂直；（2）作、證二面角的平面角；（3）作點(diǎn)到線的垂線段；【如圖】3.2面面斜交 = 1 * GB3 二面角：（1）定義：【如圖】范圍： = 2 * GB3 作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（2）三垂線法（常用）；（3）垂面法.3.3面面垂直（1）定義：若二面角的平面角為，則；（2）判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.（線面垂直面面垂直）（3）性質(zhì)： = 1 * GB3 若，二面角的一個(gè)平面角為，則； = 2 * GB3 （面面垂直線面垂直）； = 3 * GB3 . = 4 * GB3 二、基礎(chǔ)題型（必懂）1、概念辨析題：（1）此題型一般出現(xiàn)在填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等。（2）對(duì)于判斷線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系等方面的問(wèn)題，必須在熟練掌握有關(guān)的定理和性質(zhì)的前提下，利用長(zhǎng)方體，正方體，實(shí)物等為模型來(lái)進(jìn)行判斷。你認(rèn)為正確的命題需要證明它，你