高中數(shù)學(xué)選修1-2配北師版-課后習(xí)題Word版第四章　習(xí)題課-復(fù)數(shù)的模及幾何意義的應(yīng)用

1、第四章DISIZHANG數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入習(xí)題課復(fù)數(shù)的模及幾何意義的應(yīng)用課后篇鞏固提升1.在如圖所示的復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2,z3對(duì)應(yīng)的向量分別是OA,OB,OC,則復(fù)數(shù)z32z1+3z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案C解析由題圖知z1=3+2i,z2=-2+2i,z3=1-2i,則z32z1+3z2=1-2i10i=-15110i,所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為-15,-110,在第三象限.故選C.2.若復(fù)數(shù)z滿足z+2z+1=0,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是()A.一條直線B.一個(gè)圓C.一個(gè)點(diǎn)D.不存在答案C解析設(shè)z=x+yi(x,yR),代入得x+yi+

2、2(x-yi)+1=0,即(3x+1)-yi=0,3x+1=0,-y=0,x=-13,y=0.z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)點(diǎn)-13,0.3.設(shè)f(z+i)=1-z,z1=1+i,z2=1-i,則f1z1+1z2=()A.1-iB.-iC.1D.-1答案B解析令z+i=t,則z=t-i,f(t)=1-i-t,1z1+1z2=11+i+11-i=1-i+1+i(1+i)(1-i)=1.故f1z1+1z2=f(1)=1-i-1=-i.4.已知z是復(fù)數(shù),z+2i,z2-i均為實(shí)數(shù)(i是虛數(shù)單位),且復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案(2,6)解析設(shè)z=x+yi(x,yR

3、),則z+2i=x+(y+2)i是實(shí)數(shù),y=-2.又z2-i=x+yi2-i=15(2x+2)+15(x-4)i是實(shí)數(shù),x=4.z=4-2i.(z+ai)2=4+(a-2)i2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.(z+ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,12+4a-a20,8(a-2)0.2a0,bR),且z1z3=z22,則|z2|的值為.答案1解析由z22=z1z3,得(a+bi)2=b+ai,即a2-b2+2abi=b+ai,a2-b2=b,2ab=a.a0,b=12,代入a2-b2=b得a2=34.又a0,a=32.|z2|=32+12i=1.6.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z,已知(1

4、+2i)z=4+3i,(1)求復(fù)數(shù)z及zz;(2)求滿足|z1-1|=|z|的復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程.解(1)z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2-i.故z=2+i.zz=2+i2-i=3+4i5=35+45i.(2)設(shè)z1=x+yi(x,yR),則|(x-1)+yi|=5,故(x-1)2+y2=5.即復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=5.7.設(shè)z=x+yi(x,yR),若1|z|2,判斷復(fù)數(shù)w=x+y+(x-y)i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合表示什么圖形,并求其面積.解|w|=(x+y)2+(x-y)2=2(x2+y2)=2|z|,而1|z|2,所以

5、2|w|2.所以w的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心,半徑為2和2的圓環(huán)面(含邊界),其面積S=22-(2)2=2.8.已知zC,|z-2i|=2,當(dāng)z取何值時(shí),|z+2-4i|分別取得最大值和最小值?并求出最大值和最小值.解如圖所示,|z-2i|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以(0,2)為圓心,2為半徑的圓.|z+2-4i|=|z-(-2+4i)|,欲求其最大值和最小值,即在圓上求出點(diǎn)M,N,使得M或N到定點(diǎn)P(-2,4)的距離最大或最小.顯然過(guò)P與圓心連線交圓于M,N兩點(diǎn),則M,N即為所求,不難求得M(1,1),N(-1,3),即當(dāng)z=1+i時(shí),|z+2-4i|有最大值,為32.當(dāng)z=-1+3

6、i時(shí),|z+2-4i|有最小值,為2.9.已知復(fù)數(shù)z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i,w=z+ai(aR),當(dāng)wz2時(shí),求a的取值范圍.解z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i=(2+4i)-(1+3i)i=1+ii=1-i.w=z+ai=1+(a-1)i,wz=1+(a-1)i1-i=1+(a-1)i(1+i)2=2-a+ai2,wz=(2-a)2+a222,a2-2a-20,1-3a1+3.故a的取值范圍是1-3,1+3.10.已知復(fù)數(shù)z1=2+i,2z2=z1+i(2i+1)-z1.(1)求z2;(2)若ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,且=cos A+2icos2C2,求|+z2|的取值范圍.解(1)z2=12(2+i)+i(2i+1)-(2+i)=1+ii-1=2i-2=-i.(2)在ABC中,A,B,C依次成等差數(shù)列,2B=A+C,A+B+C=180.B=60,A+C=120.+z2=cos A+2icos2C2-i=cos A+2cos2C2-1i=cos A+icos C,|+z2|2=cos2A+cos2C=1+cos2A2+1+cos2C2=1+12(cos 2A+