第6章-非線性有限元法(幾何非線性)課件

第六章

非線性有限元法（幾何非線性）

1、變形體的運(yùn)動(dòng)描述x3x1x2P0t0=0tn+1=tn+Δtn

tn

PnPn+1A0An+1

An

變形體上的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以隨不同的坐標(biāo)選取以下幾種描述方法：1、全拉格朗日列式法（T.L列式法—TotalLagrangianFormulation)：

選取t0=0時(shí)刻未變形物體的構(gòu)形A0作為參照構(gòu)形進(jìn)行分析。2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法—UpdatedLagrangianFormulation）：

選取tn時(shí)刻的物體構(gòu)形An作為參照構(gòu)形。由于An隨計(jì)算而變化，因此其構(gòu)形和坐標(biāo)值也是變化的，即與t有關(guān)。tn為非線性增量求解時(shí)增量步的開始時(shí)刻。3、歐拉描述法(EulerianFormulation)：

獨(dú)立變量是質(zhì)點(diǎn)當(dāng)前時(shí)刻的位置xn+1與時(shí)間tn+1。幾何非線性的有限元方程一般采用T.L或U.L列式法建立?。?、變形梯度張量x3x1x2P’P初始/未變形變形后位移ux’x1、首先采用Lagrangian方法，將一個(gè)物體的加載過程劃分為一系列平衡狀態(tài)。位移方程初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間坐標(biāo)關(guān)系為：2、然后，考慮材料方向矢量，這個(gè)矢量描述物體內(nèi)一段無限小的單元。x3x1x2式中，F(xiàn)ij稱為變形梯度張量。初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間材料方向矢量的關(guān)系：２、變形梯度張量由位移方程，得：由二階張量特性，變形梯度張量的三個(gè)不變量為：由于Fij表示從初始狀態(tài)到變形后狀態(tài)的一個(gè)映射，其逆映射Fij-1一定存在，即：或?qū)憺椋后w積映射:面積映射：變形前面積dA’Ni(初始面積法向矢量)變形后面積dAni(變形后面積法向矢量)映射Fij逆映射F-1ijFij是一個(gè)二階張量。３、應(yīng)變與變形測(cè)度由于變形梯度張量Fij中包含了剛體運(yùn)動(dòng)，因此不能直接用于定義應(yīng)變測(cè)度。而材料方向矢量則不包含剛體運(yùn)動(dòng)，因此它的平方值可以作為衡量從某一狀態(tài)到變形后狀態(tài)的一個(gè)測(cè)度，定義為：初始狀態(tài):一個(gè)應(yīng)變測(cè)度應(yīng)該能反映出材料一段長(zhǎng)度發(fā)生的改變。因此，應(yīng)變張量可以由下式定義：x3x1x2變形后狀態(tài)：提醒：由于Green應(yīng)變張量表達(dá)式中的變形梯度張量對(duì)應(yīng)于初始狀

態(tài)，因此該應(yīng)變張量也應(yīng)在初始狀態(tài)下計(jì)算。３、應(yīng)變與變形測(cè)度２、Almanshi應(yīng)變張量1、Green應(yīng)變張量Green應(yīng)變張量采用Lagrangian運(yùn)動(dòng)描述方法，即按初始狀態(tài)下的構(gòu)形定義應(yīng)變張量。式中，eij稱為Green應(yīng)變張量或Green-Lagrangian應(yīng)變張量。Almanshi應(yīng)變張量采用Eular運(yùn)動(dòng)描述方法，即按當(dāng)前狀態(tài)下的構(gòu)形定義應(yīng)變張量。式中，Eij稱為Almanshi應(yīng)變張量或Almanshi–Eular應(yīng)變張量。由于大變形問題有限元方程主要采用T.L列式法或U.L列式法建立，因此應(yīng)在初始狀態(tài)下定義應(yīng)變張量，即采用Green應(yīng)變張量?？梢宰C明Green應(yīng)變張量和Almanshi應(yīng)變張量都是二階對(duì)稱張量。３、應(yīng)變與變形測(cè)度2、Green–Lagrangian應(yīng)變張量eij與小應(yīng)變張量εij的關(guān)系將變形梯度張量表達(dá)式代入到Green應(yīng)變張量公式中，得：式中：為小變形應(yīng)變張量；2、Green變形張量也可寫為：為非線性二次項(xiàng)1、Green應(yīng)變張量為小應(yīng)變張量與一個(gè)非線性二次項(xiàng)之和，這意味所有大變形分析都是非線性的。式中，Cij是Cauchy變形張量由于Cauchy變形張量是正定對(duì)稱陣，因此該張量有三個(gè)實(shí)特征值；這些特征值的平方根記為材料的主軸拉伸。４、大變形的應(yīng)力測(cè)度1、柯西應(yīng)力張量(Cauchy’sstresstensor)取三維空間笛卡兒坐標(biāo)系，在t時(shí)刻的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中截取一個(gè)四面體素，斜面的法線為n，另外三個(gè)面元與所取坐標(biāo)面平行。由四面體素的平衡條件得出其上的應(yīng)力為：這里σij=σji便是柯西應(yīng)力張量，它是二階對(duì)稱張量。①、柯西(Cauchy)應(yīng)力張量是一種采用歐拉描述法(是以質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)坐標(biāo)xk和時(shí)間t作為自變量描述)定義在t時(shí)刻的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形上的應(yīng)力張量σij，又稱歐拉應(yīng)力張量。②、在大變形(有限變形)情況下，由于變形前的初始構(gòu)形和變形后的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形差別較大，柯西(Cauchy)應(yīng)力張量難于適應(yīng)?？挛鲬?yīng)力是定義在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形（變形后狀態(tài)下）的單位面積上的力，是與變形相關(guān)的真實(shí)應(yīng)力。3、大變形的應(yīng)力測(cè)度2、一階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量一階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量的定義是建立在總力相等的基礎(chǔ)上。即：在參考狀態(tài)下該應(yīng)力張量能給出與變形后狀態(tài)下柯西應(yīng)力張量相同的力。變形后狀態(tài)下：稱為一階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量或名義應(yīng)力參考后狀態(tài)下：變形前面積dA’Ni(參考面積法向矢量)變形后面積dAni(變形后面積法向矢量)將面積映射關(guān)系：代入上式，得：同樣，柯西應(yīng)力張量也可以由一階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量表示：從該式可以看出，一階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量提供了以參考狀態(tài)表示實(shí)際力的形式。但是，直接應(yīng)用一階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量可能存在以下兩個(gè)困難：1、從能量角度上，Tij不適合與Green應(yīng)變張量共同使用。因?yàn)門ij乘以Green應(yīng)變張量不會(huì)產(chǎn)生與Cauchy應(yīng)力張量與小應(yīng)變張量相同的能量密度。2、Tij不對(duì)稱，因而較難應(yīng)用到有限元分析中。４、大變形的應(yīng)力測(cè)度3、二階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量如不采用變形后狀態(tài)dP推導(dǎo)應(yīng)力張量，而是將作用在變形后狀態(tài)下的dP映射到未變形狀態(tài)上（映射是采用逆變形梯度張量），即：這樣可以定義另一個(gè)應(yīng)力張量S，它給出了未變形狀態(tài)下作用在未變形面積上的總力：現(xiàn)在，變換柯西應(yīng)力張量，使：將面積映射關(guān)系代入上式：(1)(2)(3)(4)對(duì)比(2)、(4)式可得：Sij稱為二階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量或偽應(yīng)力同樣，由上式可得：二階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量Sij

的性質(zhì)：Sij是對(duì)稱陣；

Sij在能量角度下與Green應(yīng)變張量協(xié)調(diào)，即：

該表達(dá)式的優(yōu)點(diǎn)在于等式右邊是在參考狀態(tài)下計(jì)算的。Sij與Tij有以下關(guān)系：二階Piola-Kirchoff應(yīng)力張量的物理意義是明確的：真實(shí)的力元可以看成是由Sij定義的力元經(jīng)與變形相同的方式被“拉長(zhǎng)和轉(zhuǎn)動(dòng)”后得到的。４、大變形的應(yīng)力測(cè)度4、三個(gè)應(yīng)力張量的比較張量作用力作用面積柯西應(yīng)力張量σij

變形后狀態(tài)下的力變形后狀態(tài)下的面積一階P-K應(yīng)力張量變形后狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積二階P-K應(yīng)力張量未變形狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積因此，雖然二階P-K應(yīng)力張量有其應(yīng)用上的優(yōu)點(diǎn)，但其本身的物理意義很難理解。它主要是起到求解大變形問題的橋梁作用，通過它計(jì)算出柯西應(yīng)力張量。５、幾何非線性有限元方程的建立如前所述，幾何非線性的有限元方程一般采用T.L或U.L列式法建立：1、全拉格朗日列式法（T.L列式法)：

選取t0=0時(shí)刻未變形物體的構(gòu)形A0作為參照構(gòu)形進(jìn)行分析。2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法）：

選取tn時(shí)刻的物體構(gòu)形An作為參照構(gòu)形。由于An隨計(jì)算而變化，因此其構(gòu)形和坐標(biāo)值也是變化的，即與t有關(guān)。tn為非線性增量求解時(shí)增量步的開始時(shí)刻。即增量分析。x3x1x2P0t0=0tn+1=tn+Δtn

tn

PnPn+1A0An+1

An

圖示物體同時(shí)作用有體積力fib和面力fiS，在時(shí)刻tn+1=tn+Δtn的平衡方程可以按虛功原理建立：提醒：該方程此時(shí)不可解，因?yàn)閼?yīng)力和應(yīng)變?cè)谧冃魏鬆顟B(tài)下表示未知。５、幾何非線性有限元方程的建立2、在外力作用點(diǎn)和方向都不改變的條件下，也可以將體積力fib和面力fiS定義到初始狀態(tài)下：提醒：上式給出的虛功方程是從變形后狀態(tài)下的虛功方程轉(zhuǎn)換而來，因此是準(zhǔn)確的，但是已經(jīng)完全定義在初始狀態(tài)下了。為了求解，需將以上變形后狀態(tài)下表示的虛功方程轉(zhuǎn)換到初始狀態(tài)下表達(dá)。1、采用二階Piola應(yīng)力張量和Green應(yīng)變張量將虛應(yīng)變能轉(zhuǎn)換到初始狀態(tài)下表示：將以上關(guān)系代入到虛功方程中：得：(a)５、幾何非線性有限元方程的建立表示該張量對(duì)應(yīng)的時(shí)刻：1代表初始狀態(tài)時(shí)刻，2為變形后狀態(tài)時(shí)刻；如該標(biāo)識(shí)缺省，則表示從初始狀態(tài)變化到變形后狀態(tài)該張量的增量。代表定義該張量所對(duì)應(yīng)的構(gòu)形：1為初始狀態(tài)構(gòu)形，2為變形后狀態(tài)構(gòu)形；如該標(biāo)識(shí)缺省，則為初始狀態(tài)構(gòu)形。在利用增量法（修正拉格朗日列式法）求解時(shí)，為了分析的方便，在張量符號(hào)的左側(cè)引入上下標(biāo)，分別該張量對(duì)應(yīng)時(shí)刻以及定義該張量的構(gòu)形：當(dāng)引入以上表示后，按t1+Δt時(shí)刻構(gòu)形建立的虛功方程可以寫為：或?qū)憺椋菏街?，表示外力所做的虛功。５、幾何非線性有限元方程的建立引入此前Green應(yīng)變張量表達(dá)式，可得：再將變形后狀態(tài)下Kirchoff應(yīng)力張量表示為未變形狀態(tài)的Kirchoff應(yīng)力張量加上一個(gè)應(yīng)力增量：(a)(b)注意，式(b)中為作用在未變形構(gòu)形上并以未變形狀態(tài)下表示的Kirchoff應(yīng)力張量，實(shí)際上就是柯西應(yīng)力張量：。虛功方程：(c)５、幾何非線性有限元方程的建立為tn時(shí)刻初始構(gòu)形上外力所做虛功。將以上(a)、(c)兩式代入到虛功方程中，可得：即變形后狀態(tài)下的虛功方程為：式中：為tn+Δt時(shí)刻初始構(gòu)形上外力所做的虛功。這里，虛功方程中由于包含了非線性二次項(xiàng)，因此方程是非線性方程。這個(gè)方程還不能直接求解。為了求解這個(gè)方程，需要將方程線性化。6、非線性平衡增量方程的線性化通常，可以假定應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力增量之間以下線性本構(gòu)關(guān)系：12將以上關(guān)系代入到虛功方程中，得：然而上式依然包含有非線性二次項(xiàng)，不可直接求解。