高三數(shù)學(xué)（文）二輪復(fù)習(xí)（教師用書）專題三　初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

1、專題三初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用(見學(xué)生用書P12)(見學(xué)生用書P12)1對數(shù)的性質(zhì)及恒等式、換底公式(1)恒等式：alogaNN；logaaNN(a0且a1，N使式子有意義)(2)換底公式：logbNeq f(logaN,logab)(a，b，N的值均使式子有意義)(3)logablogbclogcdlogad2對數(shù)的運算性質(zhì)如果a0且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaeq f(M,N)logaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)；(4)logamMneq f(n,m)logaM；(5)logabeq f(1,logba)，即logab

2、logba1.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)函數(shù)式y(tǒng)ax(a0，a1)ylogax(a0，a1)定義域R(0，)值域(0，)R圖象a10a10a0時，y1；當(dāng)x0時，0y1過(0，1)；在(，)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x1；當(dāng)x0時，0y1時，y0；當(dāng)0 x1時，y1時，y0；當(dāng)0 x04.冪函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxeq f(1,2)yx1定義域RRRx|x0 x|xR且x0值域Ry|y0Ry|y0y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0，)時，增；x(，0減增增x(0，)時，減；x(，0)減定點(1，1)，(0，0)(1，1)，(0，0)(1，1)(0，

3、0)(1，1)(0，0)(1，1)5.函數(shù)與方程(1)函數(shù)有零點的幾個等價關(guān)系方程f(x)0有實根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點(2)函數(shù)有零點的判定如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根6用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟(1)確定區(qū)間a，b，驗證f(a)f(b)0，給定精確度.(2)求區(qū)間(a，b)的中點x1.(3)計算f(x1)：若f(x1)0，則x1就是函數(shù)的零點；若f(a)f(x1)0，則令bx1(此

4、時零點x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，則令ax1(此時零點x0(x1，b)(4)判斷是否達到精確度：即若|ab|1)，ylogax(a1)與yxa(a0)盡管都是增函數(shù)，但由于它們增長速度不同，而且不在同一個“檔次上”，因此在(0，)上，隨x的增大，總會存在一個x0，當(dāng)xx0時，有axxalogax(見學(xué)生用書P13)考點一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點精析1利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式化簡的順序是：先把根式化成分數(shù)指數(shù)，再利用分數(shù)指數(shù)冪進行計算對于對數(shù)的運算首先要利用換底公式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)，再利用對數(shù)運算性質(zhì)進行化簡2要準確把握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象，再利用圖象的形象直觀理解和

5、記憶這些函數(shù)的性質(zhì)例 11(xx卷)已知b0，log5ba，lg bc，5d10，則下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac考點：指數(shù)式與對數(shù)式的互化分析：利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式即可得出解析：因為log5ba，lg bc，所以5ab，b10c.又5d10，所以5ab10c(5d)c5cd，所以acd.答案：B點評：本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式，屬于基礎(chǔ)題例 12(x天津卷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)2|xm|1(m為實數(shù))為偶函數(shù)，記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為(

6、)Aabc BcabCacb Dcblog230，所以f(log25)f(log23)f(0)，即bac.故選B.答案：B點評：本題考查函數(shù)的奇偶性及對數(shù)的運算，考查運算求解能力和應(yīng)用意識，試題難度中等例 13(xx卷)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)xa(x0)，g(x)logax的圖象可能是()考點：冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)分析：根據(jù)題目已知條件及選項特點，可用排除法判斷求解解析：對A，沒有冪函數(shù)的圖象；對B，f(x)xa(x0)中a1，g(x)logax中0a0)中0a1，不符合題意；對D，f(x)xa(x0)中0a1，g(x)logax中0a0，且a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖

7、象正確的是()A BC D解析：由題意可知圖象過(3，1)，故有1loga3，解得a3，選項A，yax3xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(x)單調(diào)遞減，故錯誤；選項B，yx3，由冪函數(shù)的知識可知正確；選項C，y(x)3x3，其圖象應(yīng)與B項關(guān)于x軸對稱，故錯誤；選項D，yloga(x)log3(x)，當(dāng)x3時，y1，但圖象明顯當(dāng)x3時，y1，故錯誤答案：B【12】 (x武漢調(diào)研)已知指數(shù)函數(shù)yf(x)、對數(shù)函數(shù)yg(x)和冪函數(shù)yh(x)的圖象都經(jīng)過點Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)，如果f(x1)g(x2)h(x3)4，那么

8、x1x2x3()A.eq f(7,6) B.eq f(6,5)C.eq f(5,4) D.eq f(3,2)解析：設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)ax，對數(shù)函數(shù)g(x)logbx，冪函數(shù)h(x)xc，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)aeq sup6(f(1,2)eq r(a)2，geq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)logbeq f(1,2)logb22，heq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(c)2，所以a4，beq f(r(2),2)，c1，即f(x)4x，g(x)loge

9、q sdo9(f(r(2),2)x，h(x)x1.因此，令f(x1)4x14得x11；令g(x2)logeq sdo9(f(r(2),2)x24得x2eq f(1,4)；令h(x3)xeq oal(1,3)4得x3eq f(1,4)，故x1x2x3eq f(3,2).答案：D考點二函數(shù)與方程考點精析1確定函數(shù)零點存在區(qū)間及個數(shù)的常用方法：(1)利用零點存在的判定定理(2)利用數(shù)形結(jié)合法，尤其是那些兩端是不同的絕對值、分式、指數(shù)、對數(shù)以及三角函數(shù)等方程多用數(shù)形結(jié)合法求解2應(yīng)用函數(shù)零點的情況求參數(shù)或取值范圍的方法：(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)

10、問題求解(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解注意：(1)利用零點存在判定定理時要找準區(qū)間的端點，準確判斷端點處函數(shù)值的正負(2)利用數(shù)形結(jié)合法時，函數(shù)圖象的關(guān)鍵點及特征要判斷準確例 21(xx卷)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x0，3)時，f(x)eq blc|rc|(avs4alco1(x22xf(1,2).若函數(shù)yf(x)a在區(qū)間3，4上有10個零點(互不相同)，則實數(shù)a的取值范圍是_考點：函數(shù)的零點、函數(shù)圖象的作法、函數(shù)的周期性分析：將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，通過圖象解決問題解析：當(dāng)x0，3)時，f(x)eq blc|rc|(

11、avs4alco1(x22xf(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(（x1）2f(1,2)，由f(x)是周期為3的函數(shù)，作出f(x)在3，4上的圖象，如圖由題意知方程af(x)在3，4上有10個不同的根，則由圖可知aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)點評：本題考查了函數(shù)的零點問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想以及簡單的運算求解能力，是一道很好的小題例 22若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0，1時，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點個數(shù)是()A多于4個

12、 B4個C3個 D2個考點：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的周期性分析：根據(jù)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0，1時，f(x)x，我們易畫出函數(shù)f(x)的圖象，然后根據(jù)函數(shù)yf(x)log3|x|的零點個數(shù)，等價于對應(yīng)方程的根的個數(shù)，即為函數(shù)yf(x)與函數(shù)ylog3|x|的圖象交點的個數(shù)，利用圖象法得到答案解析：若函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，則函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x0，1時，f(x)x，我們可以在同一坐標系中畫出函數(shù)yf(x)與函數(shù)ylog3|x|的圖象如下圖所示： 由圖可知函數(shù)yf(x)與函數(shù)ylog3|x|的圖象共有

13、4個交點，即函數(shù)yf(x)log3|x|的零點個數(shù)是4個答案：B點評：將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，是解答本題的關(guān)鍵規(guī)律總結(jié)函數(shù)零點問題是近幾年新課標高考命題的熱點問題，有一定難度，基本上處在選擇、填空題的壓軸位置因而是我們二輪復(fù)習(xí)重點突破對象變式訓(xùn)練【21】 設(shè)函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(r(x)，x0，,4x，x0，)若函數(shù)yf(x)k存在兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：函數(shù)yf(x)k存在兩個零點，函數(shù)yf(x)與yk的圖象有兩個公共點，在同一個坐標系中作出它們的圖象，由圖象可知：實數(shù)k的取值范圍是(0，1答案：(0，1【22】 (x天津卷)已知

14、函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(avs4achs10co2(2|x|，,x2，,（x2）2，,x2，)函數(shù)g(x)3f(2x)，則函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)為()A2 B3C4 D5解析：由已知條件可得g(x)3f(2x)eq blc(avs4alco1(avs4achs10co2(|x2|1，,x0，,3x2，,x0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(cR)E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：()P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|vc|S成正比，比例系數(shù)為eq f(1,10)；()其他面的淋雨量之和，其值為eq f(1,2)，記y為E移動過程中的總淋雨

15、量，當(dāng)移動距離d100，面積Seq f(3,2)時(1)寫出y的表達式；(2)設(shè)0v10，0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用分析：(1)E移動時的總淋雨量應(yīng)該等于單位時間內(nèi)的淋雨量乘以所用的時間，可先求出單位時間內(nèi)的淋雨量的式子，再乘以時間eq f(100,v)即可(2)根據(jù)絕對值的性質(zhì)，將(1)中的函數(shù)分解為分段函數(shù)的形式，再由c的不同取值范圍討論函數(shù)的單調(diào)性，在不同的情況下，單調(diào)區(qū)間不同，總淋雨量最小值對應(yīng)的v值也不同解析：(1)由題意知，E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為eq f(3,20)|vc|eq f(1,2)，故yeq f(100

16、,v)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,20)|vc|f(1,2)eq f(5,v)(3|vc|10)(2)由(1)知，當(dāng)0vc時，yeq f(5,v)(3c3v10)eq f(5（3c10）,v)15；當(dāng)cv10時，yeq f(5,v)(3v3c10)eq f(5（3c10）,v)15.故yeq blc(avs4alco1(f(5（3c10）,v)15，0vc，,f(5（103c）,v)15，cv10.)當(dāng)0ceq f(10,3)時，y是關(guān)于v的減函數(shù)，故當(dāng)v10時，ymin20eq f(3c,2)；當(dāng)eq f(10,3)c5時，在(0，c上y是關(guān)于v的減函數(shù)，在(c，10上

17、，y是關(guān)于v的增函數(shù)，故當(dāng)vc時，ymineq f(50,c).答：(1)函數(shù)y的表達式為yeq f(5,v)(3|vc|10)(2)在0ceq f(10,3)的情況下，當(dāng)v10時，總淋雨量y最少；在eq f(10,3)c5的情況下，當(dāng)vc時，總淋雨量y最少點評：本題著重考查函數(shù)應(yīng)用能力，所建立的函數(shù)式為含有絕對值的式子解決問題的關(guān)鍵一是要能根據(jù)v的范圍將式子化簡為分段函數(shù)，二是要將常數(shù)c進行討論得出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出不同情況下的最小值點變式訓(xùn)練【31】 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)eq f(a,x3)10(x6

18、)2，其中3x0，則x22(1a)x2a0在1，1上恒成立令g(x)x22(1a)x2a，則eq blc(avs4alco1(f(2（1a）,2)1，,g（1）0，)或4(1a)28a0，x22(1a)x2a0在1，1上恒成立令g(x)x22(1a)x2a，則有eq blc(avs4alco1(a11，,g（1）0，)或4(1a)28a0，x22(1a)x2a0在1，1上恒成立，令h(x)x22(1a)x2a，則有eq blc(avs4alco1(h（1）0，,h（1）0)eq blc(avs4alco1(10，,34a0，)aeq f(3,4).當(dāng)aeq blcrc)(avs4alco1(f

19、(3,4)，)時，f(x)在1，1上是單調(diào)函數(shù).(見學(xué)生用書P121)一、選擇題1(x湖南卷)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.eq f(pq,2) B.eq f(（p1）（q1）1,2)C.eq r(pq) D.eq r(（p1）（q1）)1解析：設(shè)原來的生產(chǎn)總值為a，平均增長率為x，則a(1p)(1q)a(1x)2，解得1xeq r(（p1）（q1）)，即xeq r(（p1）（q1）)1.答案：D2(x陜西卷)設(shè)a，b，c均為不等于1的正實數(shù)，則下列等式中恒成立的是()Alogablogcblogca Blog

20、ablogcalogcbClogabclogablogac Dloga(bc)logablogac解析：對于A，logablogcblogcalogabeq f(logca,logcb)，與換底公式矛盾，所以A不正確；對于B，logablogcalogcblogabeq f(logcb,logca)，符合換底公式，所以正確；對于C，logabclogablogac，不滿足對數(shù)運算公式loga(xy)logaxlogay(x、y0)，所以不正確；對于D，loga(bc)logablogac，不滿足loga(xy)logaxlogay(x、y0)，所以不正確答案：B3定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：

21、f(x)f(x)恒成立，若x1ex2f(x1)Bex1f(x2)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增x1x2，g(x1)g(x2)，即eq f(f（x1）,ex1)ex2f(x1)答案：A4(x湖北黃岡中學(xué)等八校第一次聯(lián)考)若冪函數(shù)f(x)mx的圖象經(jīng)過點Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(1,2)，則它在點A處的切線方程是()A2xy0 B2xy0C4x4y10 D4x4y10解析：f(x)mx的圖象經(jīng)過點Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(1,2)，f(x)是冪函數(shù)，m1，eq f(1,2)，f(x)eq r(x).f(x)eq f(1,2r(x)，

22、則它在點A處的切線方程為4x4y10，故選C.答案：C5(x重慶卷)已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(f(1,x1)3，x（1，0，,x，x（0，1，)且g(x)f(x)mxm在(1，1內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A.eq blc(rc(avs4alco1(f(9,4)，2)eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2) B.eq blc(rc(avs4alco1(f(11,4)，2)eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)C.eq blc(rc(avs4alco1(f(9,4)，2)eq blc(rc(avs4alco1(0，f

23、(2,3) D.eq blc(rc(avs4alco1(f(11,4)，2)eq blc(rc(avs4alco1(0，f(2,3)解析：由g(x)f(x)mxm0，得f(x)m(x1)，分別作出函數(shù)f(x)和yg(x)m(x1)的圖象如圖由圖象可知f(1)1，g(x)表示過定點A(1，0)的直線當(dāng)g(x)過(1，1)時，meq f(1,2)，此時兩個函數(shù)有兩個交點，此時滿足條件的m的取值范圍是0meq f(1,2).當(dāng)g(x)過(0，2)時，g(0)2，解得m2，此時兩個函數(shù)有兩個交點當(dāng)g(x)與f(x)相切時，兩個函數(shù)只有一個交點，此時eq f(1,x1)3m(x1)，即m(x1)23(x

24、1)10，當(dāng)m0時，xeq f(2,3)，只有1解；當(dāng)m0，由94m0得meq f(9,4)，此時直線和f(x)相切要使函數(shù)有兩個零點，則eq f(9,4)m2或00)，3by(y0)，xyt(t0)，則24a2a3b29b2a3b1可化為2x2xy2y2xy1，即5x25tx2t2t10，令f(x)5x25tx2t2t1，則f(0)2t2t10，25t220(2t2t1)0，解得10，)若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為_解析：當(dāng)x0時，f(0)a，由題意得：axeq f(1,x)，又xeq f(1,x)2eq r(xf(1,x)2，a2.答案：(，210已知函數(shù)yeq f(|x

25、21|,x1)的圖象與函數(shù)ykx的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：函數(shù)yeq f(|x21|,x1)eq f(|x1|x1|,x1)eq blc(avs4alco1(x1，x1，,（x1），1x1，,x1，x1，)由圖可知當(dāng)一次函數(shù)ykx的斜率k滿足0k1或1k2時，直線ykx與函數(shù)yeq f(|x21|,x1)的圖象相交于兩點答案：(0，1)(1，2)三、解答題11為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)eq f(k,

26、3x5)(0 x10，k為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最??？并求最小值解析：(1)當(dāng)x0時，C8， k40， C(x)eq f(40,3x5)(0 x10)， f(x)6xeq f(2040,3x5)6xeq f(800,3x5)(0 x10)(2)f(x)2(3x5)eq f(800,3x5)10, 令t3x5，則f(x)y2teq f(800,t)10，5t35， y2eq f(800,t2).當(dāng)5t20時，y0，y2teq f(800,t)10

27、為減函數(shù)；當(dāng)200，y2teq f(800,t)10為增函數(shù) 函數(shù)y2teq f(800,t)10在t20時取得最小值，此時x5，因此f(x)的最小值為70. 隔熱層修建5 cm厚時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元12已知f(x)xeq f(1,|x|).(1)指出的f(x)值域；(2)求函數(shù)g(x)f(x)p(pR)的零點的個數(shù)(3)若函數(shù)f(x)對任意x2，1，不等式f(mx)mf(x)0時，f(x)xeq f(1,x)2；當(dāng)x0時f(x)xeq f(1,x)2.當(dāng)x0，可得f(x)在(，0)上是增函數(shù)故當(dāng)p2時，函數(shù)g(x)f(x)p(pR)的零點的個數(shù)是3.當(dāng)p2時，函數(shù)g(

28、x)f(x)p(pR)的零點的個數(shù)是2，當(dāng)p2時，函數(shù)g(x)f(x)p(pR)的零點的個數(shù)是1.(3)顯然，m0，函數(shù)f(x)xeq f(1,x)在2，1上是增函數(shù)，再由不等式f(mx)mf(x)2mxeq f(m21,mx)0時，mx0恒成立，即m2eq f(1,2x21)恒成立，而eq f(1,2x21)在2，1上的最大值為1，m1.當(dāng)m0，可得2m2x2m210恒成立，即m2eq f(1,2x21)恒成立，而eq f(1,2x21)在2，1上的最小值為eq f(1,7)，meq f(1,7)，故此時可得m1，1eq f(1,2)eq f(1,7)eq f(3,2)，1eq f(1,2)

29、eq f(1,3)eq f(1,15)2，則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為：_.考點：歸納推理分析：觀察各式左邊為eq f(1,n)的和的形式，項數(shù)分別為：3，7，15，故可猜想第n個式子的項數(shù)，不等式右側(cè)式子分別寫成eq f(2,2)，eq f(3,2)，eq f(4,2)，故猜想第n個式子，由此可寫出一般的式子解析：觀察各式左邊為eq f(1,n)的和的形式，項數(shù)分別為：3，7，15，故可猜想第n個式子中應(yīng)有2n11項，不等式右側(cè)分別寫成eq f(2,2)，eq f(3,2)，eq f(4,2)，故猜想第n個式子應(yīng)為eq f(n1,2)，按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為：1eq

30、f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2n11)eq f(n1,2)(nN*)答案：1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2n11)eq f(n1,2)(nN*)點評：本題考查歸納推理，考查觀察、分析、解決問題的能力，關(guān)鍵是猜想第n個式子與n的關(guān)系規(guī)律總結(jié)盡管合情推理得到的結(jié)果不一定正確，但它是科學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基礎(chǔ)，因而是近幾年高考重點考查對象高考對合情推理的考查，題型較為靈活，以填空題和選擇題為主，難度中等，區(qū)分度較大，因而是我們二輪復(fù)習(xí)中需要重點突破的地方，其中歸納推理問題是熱點問題變式訓(xùn)練【11】 (xx模擬)請閱讀下列材料：若兩個正實數(shù)a1，a2滿足aeq oal(

31、2,1)aeq oal(2,2)1，那么a1a2eq r(2).證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因為對一切實數(shù)x，恒有f(x)0，所以0，從而得4(a1a2)280，所以a1a2eq r(2).根據(jù)上述證明方法，若n個正實數(shù)滿足aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)1時，你能得到的結(jié)論為_解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)x1，由對一切實數(shù)x，恒有f(x)0，所以0，得a1a2aneq r(n).答案：a1a2aneq r(n)【12】 (x師大附中模擬)已知eq r(2f

32、(2,3)2eq r(f(2,3)，eq r(3f(3,8)3eq r(f(3,8)，eq r(4f(4,15)4eq r(f(4,15)，若eq r(6f(a,t)6eq r(f(a,t)(a，t均為正實數(shù))，則類比以上等式，可推測a，t的值，at_解析：觀察下列等式：eq r(2f(2,3)2eq r(f(2,3)，eq r(3f(3,8)3eq r(f(3,8)，eq r(4f(4,15)4eq r(f(4,15)，照此規(guī)律，第5個等式中：a6，ta2135，at41.答案：41考點二反證法考點精析1反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟是：(1)反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立

33、(2)歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾(3)結(jié)論：因為推理正確，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論的成立運用反證法的關(guān)鍵是導(dǎo)出矛盾2宜用反證法證明的題型：(1)一些基本命題、基本定理(2)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題(3)“否定性”命題(4)“唯一性”命題(5)“必然性”命題(6)“至多”、“至少”類命題(7)涉及“無限”結(jié)論的命題等等例 21(x陜西卷)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列考點：等比數(shù)列的概念、通項公式及反證法分析：利用等比數(shù)列的概念及通項公式推導(dǎo)前n項和公式，利用反證法證

34、明要證的結(jié)論解析：(1)設(shè)an的前n項和為Sn，當(dāng)q1時，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sneq f(a1（1qn）,1q)，Sneq blc(avs4alco1(avs4achs10co2(na1，,q1,f(a1（1qn）,1q)，,q1.)(2)假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，aeq oal(2,k1)2ak11akak2akak21，aeq oal(2,1)q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0

35、，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列點評：本題考查了等比數(shù)列的概念，通項公式與反證法，考查了利用反證法證明有關(guān)命題的能力，一般對于唯一命題，否定性命題，存在性問題或直接證明比較困難等命題的證明，都可考慮用反證法證明規(guī)律總結(jié)反證法可應(yīng)用于數(shù)學(xué)證明的各個方面，只要是直接證明有困難的，且有可能從結(jié)論的否定推出矛盾的都可以盡管在高考中較少要求用反證法證明，但有時命題者為了考查反證法掌握的程度，有意設(shè)置成宜用反證法證明的問題因此，我們必須熟練掌握這一方法變式訓(xùn)練【21】 等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11eq r(2)，S393eq r(2).(1)求數(shù)列an的通項an與

36、前n項和Sn；(2)設(shè)bneq f(Sn,n)(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列解析：(1)由已知得eq blc(avs4alco1(a1r(2)1，,3a13d93r(2)，)d2，故an2n1eq r(2)，Snn(neq r(2)(2)證明：由(1)得bneq f(Sn,n)neq r(2).假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則beq oal(2,q)bpbr，即(qeq r(2)2(qeq r(2)(req r(2)，(q2pr)eq r(2)(2qpr)0.p，q，rN*，eq blc(avs4alco1(q2pr0，

37、,2qpr0，)eq blc(rc)(avs4alco1(f(pr,2)eq sup12(2)pr，則(pr)20，pr，這與pr矛盾，所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列(見學(xué)生用書P62)例 已知a，b，c是互不相等的非零實數(shù)求證：三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一個方程有兩個相異實根考場錯解：假設(shè)三個方程都沒有兩個相異實根，則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，(*)即(ab)2(bc)2(ca)20，此不等式不能成立，所以假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實

38、根專家把脈：上面解法的錯誤在于認為“方程沒有兩個相異實根就有1，則a，b，c，d中至少有一個負數(shù)”時的假設(shè)為()Aa，b，c，d中至少有一個正數(shù)Ba，b，c，d全為正數(shù)Ca，b，c，d全都大于等于0Da，b，c，d中至多有一個負數(shù)解析：“a，b，c，d中至少有一個負數(shù)”的否定為“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法可得，應(yīng)假設(shè)“a，b，c，d全都大于等于0”答案：C6(x福建質(zhì)檢)如圖，將平面直角坐標系中的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)按如下規(guī)則標上數(shù)字標簽：原點處標0，點(1，0)處標1，點(1，1)處標2，點(0，1)處標3，點(1，1)處標4，點(1，0)處標5，

39、點(1，1)處標6，點(0，1)處標7，依此類推，則標簽為2 0132的格點的坐標為()A(1 006，1 005) B(1 007，1 006)C(1 008，1 007) D(1 009，1 008)解析：因為點(1，0)處標112，點(2，1)處標932，點(3，2)處標2552，點(4，3)處標4972，依此類推得點(n1，n)處標(2n1)2，故點(1 007，1 006)處標2 0132.故選B.答案：B7(x北京卷)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，

40、如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A3.50分鐘 B3.75分鐘 C4.00分鐘 D4.25分鐘解析：將(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分別代入pat2btc，可得eq blc(avs4alco1(0.79a3bc，,0.816a4bc，,0.525a5bc，)解得a0.2，b1.5，c2，p0.2t21.5t2，對稱軸為teq f(1.5,2（0.2）)3.75.答案：B8(x江西模擬)已知x表示不超過x的最大整數(shù)，例如3.S1eq r(1)eq r(2)eq r(3)3，S2eq r(4)eq r(5)eq r(6)eq r(7)

41、eq r(8)10，S3eq r(9)eq r(10)eq r(11)eq r(12)eq r(13)eq r(14)eq r(15)21，依此規(guī)律，那么S10()A210 B230C220 D240解析：因為S13eq f(23,2)，S210eq f(45,2)，S321eq f(67,2)，所以S10eq f(2021,2)210，故選A.答案：A9(x黃岡模擬)已知結(jié)論：在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC的重心，則eq f(AG,GD)2.若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：在棱長都相等的四面體ABCD中，若BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等，

42、則eq f(AO,OM)()A1 B2C3 D4解析：推廣到空間，則有結(jié)論： “eq f(AO,OM)3”設(shè)正四面體ABCD邊長為1，易求得AMeq f(r(6),3)，又O到四面體各面的距離都相等，所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則有req f(3V,S表)，可求得r即OMeq f(r(6),12)，所以AOAMOMeq f(r(6),4)，所以eq f(AO,OM)3.答案：C二、填空題10(x陜西卷)觀察下列等式1eq f(1,2)eq f(1,2)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,4)1eq f(1,2)eq f(1

43、,3)eq f(1,4)eq f(1,5)eq f(1,6)eq f(1,4)eq f(1,5)eq f(1,6)據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_解析：觀察可知，等式每一行的左邊分數(shù)的個數(shù)是行數(shù)的2倍且正負交替出現(xiàn)，分母為自然數(shù)；等式的右邊分數(shù)的個數(shù)等于行數(shù)，且分母的第一個數(shù)會比行數(shù)多1.這樣就可歸納出第n個等式為1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2n1)eq f(1,2n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n).答案：1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2n1)eq f(1,2n)eq f(1,n1)eq

44、f(1,n2)eq f(1,2n)11(x長沙調(diào)研)如圖甲，在ABC中，ABAC，ADBC，D是垂足，則AB2BDBC，該結(jié)論稱為射影定理如圖乙，在三棱錐ABCD中，AD平面ABC，AO平面BCD，O為垂足，且O在BCD內(nèi)，類比射影定理，探究SABC、SBCO、SBCD這三者之間滿足的關(guān)系式是_解析：連接DO并延長交BC于點E，連接AE.由AOBC，ADBC可知BC平面AED，則BCDE，BCAE.SABCeq f(1,2)BCAE，SBCOeq f(1,2)BCEO，SBCDeq f(1,2)BCDE.又AE2EOED，Seq oal(2,ABC)SBCOSBCD.答案：Seq oal(2,

45、ABC)SBCOSBCD12(x雅禮模擬)兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如下圖中的實心點個數(shù)1，5，12，22，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作a11，第2個五角形數(shù)記作a25，第3個五角形數(shù)記作a312，第4個五角形數(shù)記作a422，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則(1)a5_；(2)若an117，則n_解析：(1)觀察得知：a11312，a25a1322，a312a2332，a422a3342，anan13n2，(n2，nN*)疊加得到：an3(123n)2neq f(3n2n,2)(

46、n2，nN*)令n5，則a5a43522215235.(2)令an117，則eq f(3n2n,2)117，n9.答案：(1)35(2)9三、解答題13某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論

47、解析：(1)選擇式，計算如下：sin215cos215sin 15cos 151eq f(1,2)sin 301eq f(1,4)eq f(3,4).(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30)eq f(3,4).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2eq f(3,4)cos2eq f(r(3),2)sin cos eq f(1,4)sin2eq f(r(3),2)sin cos eq f(1,2)sin2eq f(3,4)sin2eq f(3

48、,4)cos2eq f(3,4).14(xx模擬)出租車幾何學(xué)是由十九世紀的赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)立的在出租車幾何學(xué)中，點還是形如(x，y)的有序?qū)崝?shù)對，直線還是滿足axbyc0的所有(x，y)組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣直角坐標系內(nèi)任意兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)定義它們之間的一種“距離”：|AB|x1x2|y1y2|，請解決以下問題：(1)求點A(1，3)、B(6，9)的“距離”|AB|；(2)求線段xy2(x0，y0)上一點M(x，y)到原點O(0，0)的“距離”；(3)定義：“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，點A(1，3)、B(6，9)，C(1，9)，求

49、經(jīng)過這三個點確定的一個“圓”的方程，并畫出大致圖象(所給圖形小正方形的單位是1)解析：(1)根據(jù)出租車幾何學(xué)中“距離”的定義，得|AB|x1x2|y1y2|61|93|5611.(2)點M(x，y)到原點的距離為：|MO|x0|y0|x|y|.線段xy2上的點M(x，y)滿足x0，y0，|x|x，|y|y，|MO|x|y|xy2.(3)設(shè)“圓心”坐標為N(m，n)，則由|NA|NC|，得|m1|n3|m1|n9|，所以點N在y6上又因為|NB|NC|，即|m1|n9|m6|n9|，所以點N在xeq f(7,2)上Neq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，6)，R|AN|eq b

50、lc|rc|(avs4alco1(f(7,2)1)|63|eq f(11,2).“圓N”的圖象如圖所示15(x衡陽模擬)定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和，已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，試求：(1)a18的值；(2)該數(shù)列的前n項和Sn.解析：(1)數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，由等和數(shù)列的定義易知a2n12，a2n3(nN*)，故a183.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，Sna1a2an(a1a3an1)(a2a4an)222,eq f(n,2)個2333,eq f(n,2)個32eq f(n

51、,2)3eq f(n,2)eq f(5,2)n；當(dāng)n為奇數(shù)時，SnSn1aneq f(5,2)(n1)2eq f(5,2)neq f(1,2).綜上所述：Sneq blc(avs4alco1(f(5,2)n（n為偶數(shù)），,f(5,2)nf(1,2)（n為奇數(shù)）.)專題二函數(shù)的圖象與性質(zhì)(見學(xué)生用書P7)(見學(xué)生用書P7)1函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的三要素完全相同時才表示同一個函數(shù)，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)是同一函數(shù)2函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)x1，x2a，b，(x1x2)f(x1)f(x2)0eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0f

52、(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)0eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0，,x3，)解得2x4且x3，所以定義域為(2，3)(3，4答案：C點評：本題主要考查函數(shù)定義域的求法，根據(jù)題目及選項特點，可用直接法，也可用排除法，屬基礎(chǔ)題例 12已知函數(shù)f(x)的定義域為(3，0)，則函數(shù)f(2x1)的定義域為_考點：函數(shù)的定義域及其求法分析：根據(jù)題目給出的函數(shù)f(x)的定義域，由2x1在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求解x的范圍得函數(shù)f(2x1)的定義域解析：函數(shù)f(x)的定義域為(3，0)，則由32x10，解得1x0，故函數(shù)tx2xm在區(qū)間1，2上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)l

53、g(x2xm)在區(qū)間1，2上是增函數(shù)再由函數(shù)f(x)lg(x2xm)在區(qū)間1，2上有意義，可得當(dāng)x1時，t0，即12m0，解得m0，由此可排除B，故選D.答案：D【22】 (x太原一模)已知方程eq f(|sin x|,x)k在(0，)上有兩個不同的解，(0且k0，畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示函數(shù)y|sin x|和函數(shù)ykx在(0，)上有一個交點A(，sin )，在(，2)上有一個切點B(，sin )時滿足題意，是方程的根當(dāng)x(，2)時，f(x)|sin x|sin x，f(x)cos x，在B處的切線為ysin f()(x)，將x0，y0代入方程，得sin cos ，eq f(sin ,)c

54、os .O，A，B三點共線，eq f(sin ,)eq f(sin ,)，eq f(sin ,)cos ，sin cos .答案：B考點三分段函數(shù)考點精析對于分段函數(shù)應(yīng)當(dāng)注意的是分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，其特征在于“分段”，即對應(yīng)關(guān)系在不同的定義區(qū)間內(nèi)各不相同在解決有關(guān)分段函數(shù)問題時既要緊扣“分段”這個特征，又要將各段有機聯(lián)系使之整體化、系統(tǒng)化分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫成函數(shù)的幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，且分別注明各部分的自變量的取值情況例31(x全國卷)已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(avs4achs10co2(2x12，,x1，,

55、log2（x1），,x1，)且f(a)3，則f(6a)()Aeq f(7,4) Beq f(5,4)Ceq f(3,4) Deq f(1,4)考點：分段函數(shù)的正向求值與逆向求值問題分析：分類討論處理條件f(a)3，解得a，再代入函數(shù)解析式計算f(6a)解析：當(dāng)a1時，則2a123，2a11，a無解當(dāng)a1時，f(a)log2(a1)3，a18，a7.從而f(6a)f(1)2112eq f(7,4)，故選A.答案：A點評：分段函數(shù)的求值問題應(yīng)根據(jù)自變量的值所屬區(qū)間選定相應(yīng)的解析式代入求解，即對號入座例 32設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1，1上，f(x)eq blc(avs4alc

56、o1(ax1，1x0，,f(bx2,x1)，0 x1，)其中a，bR.若feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，則a3b的值為_考點：函數(shù)的周期性，分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法分析：由于f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，由f(x)的表達式可得feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1eq f(1,2)afeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(b4,3)；再由f(1)f(1)得2ab0，解關(guān)于a，b的方程組可得到a，

57、b的值，從而得到答案解析：f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，f(x)eq blc(avs4alco1(ax1，1x6，,blc(rc)(avs4alco1(4f(a,2)x4，x6，)數(shù)列an滿足anf(n)(nN)，且數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知：數(shù)列an的通項公式為aneq blc(avs4alco1(an5，n6，,blc(rc)(avs4alco1(4f(a,2)n4，1n6，)由于數(shù)列是遞增數(shù)列，4eq f(a,2)0，即aa6，a2283a，解得a4或a7.故a的取值范圍是4a8或a7.答案：(4，8)或(，7)【32】 (x南充一模)已知函數(shù)f

58、(x)eq blc(avs4alco1(f(1,3)xf(1,6)，xblcrc(avs4alco1(0，f(1,2)，,f(2x3,x1)，xblc(rc(avs4alco1(f(1,2)，1)，)函數(shù)g(x)acoseq f(x,2)2aeq f(1,2)(a0，函數(shù)f(x)在eq blc(rc(avs4alco1(f(1,2)，1)上為增函數(shù)，f(x)eq blc(rc(avs4alco1(f(1,6)，1).當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(0，f(1,2)時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，f(x)eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,6).在0，1上f(x)0，1又g(x

59、)acos eq f(x,2)2aeq f(1,2)，當(dāng)x0，1時，cos eq f(x,2)0，1，g(x)2aeq f(1,2)，aeq f(1,2).若存在x1、x20，1，使得f(x1)g(x2)成立，說明函數(shù)g(x)的最大值與最小值中至少有一個在0，1中，02aeq f(1,2)1或0aeq f(1,2)1，解得eq f(1,4)aeq f(1,4)，或eq f(1,2)aeq f(1,2)，又a0，實數(shù)a的取值范圍是a|eq f(1,2)a0.答案：eq blcrc(avs4alco1(a|f(1,2)af(x1)，則正實數(shù)a的取值范圍是_考點：考查函數(shù)圖象的讀圖及函數(shù)求值問題，考

60、查恒成立問題等知識分析：通過分析題意，把問題轉(zhuǎn)化為x軸上區(qū)間的長度問題，尋找滿足條件的臨界值解析：(方法1)由題中圖象知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x2a或x2a時，f(x)為增函數(shù)，要使xR，f(x)f(x1)成立，因為f(4a)f(2a)a，故只需4a(2a)1，即af(x1)”等價于“函數(shù)yf(x)的圖象恒在函數(shù)yf(x1)的圖象的上方”，函數(shù)yf(x1)的圖象是由函數(shù)yf(x)的圖象向右平移一個單位得到的，如圖所示因為a0，由圖知6af(2x1)成立的x的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，1) B.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,3)