均勻設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)軟件

均勻設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)軟件UniformDesignandit’sSoftware王玉方2003年6月16日?qǐng)?bào)告的主要內(nèi)容均勻設(shè)計(jì)的概念、特點(diǎn)、原理均勻設(shè)計(jì)的具體應(yīng)用方法均勻設(shè)計(jì)軟件關(guān)鍵詞均勻設(shè)計(jì)

UniformDesign試驗(yàn)法

Experimentation均勻設(shè)計(jì)軟件

UniformDesignSoftware1什么是均勻設(shè)計(jì)均勻設(shè)計(jì)的概念均勻設(shè)計(jì)的特點(diǎn)1.1均勻設(shè)計(jì)的概念

均勻設(shè)計(jì)(UniformDesign)是一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法(ExperimentalDesignMethod),稱為均勻設(shè)計(jì)(UniformDesign)或均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)法(UniformDesignExperimentation)。所有的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法本質(zhì)上都是在試驗(yàn)的范圍內(nèi)給出挑選代表性點(diǎn)的方法，均勻設(shè)計(jì)也不例外，它是只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。它由方開(kāi)泰教授和數(shù)學(xué)家王元在1978年共同提出，是數(shù)論方法中的“偽蒙特卡羅方法”的一個(gè)應(yīng)用。1.2均勻設(shè)計(jì)的特點(diǎn)

均勻設(shè)計(jì)遵從和具有試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的共性及本質(zhì)內(nèi)容，它能從全面試驗(yàn)點(diǎn)中挑選出部分代表性的試驗(yàn)點(diǎn)，這些試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)充分均衡分散，但仍能反映體系的主要特征。例如正交設(shè)計(jì)(OrthogonalDesign)是根據(jù)正交性來(lái)挑選代表點(diǎn)的，它在挑選代表點(diǎn)時(shí)有兩個(gè)特點(diǎn):均勻分散，整齊可比?！熬鶆蚍稚ⅰ笔乖囼?yàn)點(diǎn)均衡地布在試驗(yàn)范圍內(nèi)，讓每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)有充分的代表性,“整齊可比”使試驗(yàn)結(jié)果的分析十分方便，易于估計(jì)各因素的主效應(yīng)和部分交互效應(yīng)，從而可分析各因素對(duì)指標(biāo)的影響大小和變化規(guī)律。但是，為了1.2均勻設(shè)計(jì)的特點(diǎn)（續(xù)1）照顧“整齊可比”,它的試驗(yàn)點(diǎn)并沒(méi)有能做到充分“均勻分散”;為了達(dá)到“整齊可比”，試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)目就必須比較多(例如用正交表安排每因素為q個(gè)水平數(shù)的多因素試驗(yàn),試驗(yàn)的次數(shù)為rq2,r為自然數(shù))。均勻設(shè)計(jì)只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)充分“均勻散布”而不考慮“整齊可比”,因此它的試驗(yàn)布點(diǎn)的均勻性會(huì)比正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)的均勻性更好，使試驗(yàn)點(diǎn)具有更好的代表性。由于這種方法不再考慮正交設(shè)計(jì)中為“整齊可比”而設(shè)置的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，因而大大減少了試驗(yàn)次數(shù)，這是它與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法1.2均勻設(shè)計(jì)的特點(diǎn)（續(xù)2）的最大不同之處。采用均勻設(shè)計(jì)，每個(gè)因素的每個(gè)水平僅做一次試驗(yàn)，當(dāng)水平數(shù)增加時(shí)，試驗(yàn)數(shù)隨水平數(shù)增加而增加，若采用正交設(shè)計(jì)，試驗(yàn)數(shù)則隨水平數(shù)的平方數(shù)而增加。例如用正交設(shè)計(jì)需做961次5因素31水平的試驗(yàn)，采用均勻設(shè)計(jì)只需做31次試驗(yàn)，其效果基本相同。由于均勻設(shè)計(jì)不再考慮正交試驗(yàn)的整齊可比性，因此其試驗(yàn)結(jié)果的處理要采用回歸分析方法—線性回歸或多項(xiàng)式回歸分析?；貧w分析中可對(duì)模型中因素進(jìn)行回歸顯著性檢驗(yàn)，根據(jù)因素偏回歸平方和的大小確定該因素對(duì)回歸的重要性；在各因素間無(wú)相關(guān)關(guān)系1.2均勻設(shè)計(jì)的特點(diǎn)（續(xù)3）時(shí)，因素偏回歸平方和的大小也體現(xiàn)了它對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響的重要性。這些一般都要借助計(jì)算機(jī)才能完成。2均勻設(shè)計(jì)的原理均勻設(shè)計(jì)表和使用表各部分的含義均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造方法均勻設(shè)計(jì)表的使用表的產(chǎn)生方法混合水平均勻設(shè)計(jì)表的產(chǎn)生方法2.1均勻設(shè)計(jì)表和使用表各部分的含義均勻設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)相似，也是通過(guò)一套精心設(shè)計(jì)的表來(lái)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的。均勻設(shè)計(jì)表用Un(qs)或Un*(qs)表示,其中Ｕ代表均勻設(shè)計(jì),ｎ代表要做的試驗(yàn)次數(shù),ｑ代表每個(gè)因素有ｑ個(gè)水平，ｓ代表該表有ｓ列，有＊和無(wú)＊代表的是用兩種不同類型的均勻設(shè)計(jì)表,＊類型表是由Un+1類型的表構(gòu)造形成的，后面再具體說(shuō)明其形成方法。以下用均勻設(shè)計(jì)表U11(116)、U9*(94)和它們各自的使用表介紹一下表的各部分代表的意義(表中未用列已經(jīng)刪除)：均勻設(shè)計(jì)表U11(116)和它的使用表均勻設(shè)計(jì)表U11(116)U11(116)的使用表1234561234567891011123571024610393694108481967510432661789573102548527139751821098641111111111111S列號(hào)D2150.163231450.2649413450.35285123450.428661234560.4942說(shuō)明：設(shè)計(jì)表中的列代表的是各因素的水平，但具體代表的是哪個(gè)因素的水平，需按使用表確定，使用表s一欄的數(shù)字是試驗(yàn)的因素?cái)?shù)，它后面的數(shù)字指定了各種因素?cái)?shù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)該如何選擇設(shè)計(jì)表的列；使用表中D欄代表不同因素?cái)?shù)選擇設(shè)計(jì)表的不同列時(shí)均勻設(shè)計(jì)的偏差，偏差越小，均勻性越好，試驗(yàn)成功的幾率和結(jié)果的可靠性越大。均勻設(shè)計(jì)表U9*(94)和它的使用表均勻設(shè)計(jì)表U9*(94)U9*(94)的使用表1234123456789137924683917428655556824719384629731s列號(hào)D2120.157432340.19802.2均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造方法用好格子點(diǎn)法(GoodLatticePoint)構(gòu)造均勻設(shè)計(jì)表的方法如下：(1)定義試驗(yàn)次數(shù)n,尋求比ｎ小的整數(shù)h,且使ｎ和ｈ的最大公約數(shù)為1,符合這些條件的正整數(shù)組成一個(gè)向量h=(h1,…,hm)；(2)均勻設(shè)計(jì)表的第ｊ列由uij=ihj[modn](同余運(yùn)算)產(chǎn)生，若jhi超過(guò)n,則用它減去n的一個(gè)適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，使差落在[1,n]之中。uij可以遞推來(lái)生成：u1j=hj，ui+1,j=uij+hj(若uij+hj≤n)或者ui+1,j=uij+hj-n(若uij+hj>n)，這里i=1,…,n-1。2.2均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造方法（續(xù)1）用上述方法生成的表記作Un(nm),例如n=11時(shí)，可以形成象前面介紹的U11(116)表。向量h稱為該表的生成向量，可以將Un(nm)記成Un(h)。給定n,相應(yīng)的h可以用上面的方法求得，從而m也就確定了，所以m是n的一個(gè)函數(shù)，稱為歐拉函數(shù)，記為E(n)。這個(gè)函數(shù)告訴我們均勻設(shè)計(jì)表最多可能有多少列。根據(jù)數(shù)論結(jié)果可知：(1)當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí),E(n-1)=n-1;(2)當(dāng)n為素?cái)?shù)冪時(shí),即n可表示成n=pl,這里p為素?cái)?shù),l為正整數(shù)，E(n)=n(1-1/p)，如n=9,可表為n=32,于是E(9)=9(1-1/3)=6,即U9最多可以有6列;(3)若n不屬于上述兩種情況，2.2均勻設(shè)計(jì)表的構(gòu)造方法（續(xù)2）這時(shí)

n一定可以表示為不同數(shù)的方冪積，即：n=p1l1p2l2…psls,這里p1,…,ps

為不同的素?cái)?shù)，l1,…,ls為正整數(shù)，這時(shí)E(n)=n(1-1/p1)…(1-1/ps),例如n=12可表為n=22×3,于是E(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三種情形中以n為素?cái)?shù)時(shí)最好，最多可以有n-1列，非素?cái)?shù)時(shí)表的結(jié)構(gòu)中永遠(yuǎn)不可能有n-1列，比如E(6)=2，則最多只能安排兩個(gè)試驗(yàn)因素，為此,王元和方開(kāi)泰建議，用

Un+1

表劃去最后一行構(gòu)造形成新的Un*表，如U6*(66)可有6列之多。2.3均勻設(shè)計(jì)表的使用表的產(chǎn)生方法每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表都規(guī)定了它的使用表，用于進(jìn)行試驗(yàn)各因素水平組合的具體安排。這樣做的原因是：從均勻設(shè)計(jì)表Un(nm)中選出

s列,

則可能的選擇有(ms)種，

但不同列組合起來(lái)所代表的點(diǎn)集的均勻性是不同的，所設(shè)計(jì)試驗(yàn)的效果也是不同的，因而如何選用均勻設(shè)計(jì)表中的列必須引入一個(gè)判別表的均勻性好壞的準(zhǔn)則。度量均勻性的準(zhǔn)則很多,其中偏差(discrepancy)是使用歷史最久、最為廣泛接受的方法，均勻設(shè)計(jì)也同樣采用偏差來(lái)衡量其設(shè)計(jì)表的均勻性，偏差越小，則設(shè)計(jì)表的均勻性越好。2.3均勻設(shè)計(jì)表的使用表的產(chǎn)生方法（續(xù)1）由于這個(gè)報(bào)告的目的是向大家介紹這種試驗(yàn)方法，而且關(guān)于偏差計(jì)算的內(nèi)容也很多，因而關(guān)于均勻性偏差的計(jì)算方法和具體產(chǎn)生使用表的方法在此不做介紹（有特別需要者可以參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]）使用者只需要按每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表所附的使用表進(jìn)行試驗(yàn)安排即可。比如，欲進(jìn)行一個(gè)３因素、每因素13水平的試驗(yàn)，可以選用均勻設(shè)計(jì)表U13*(134)，使用表中推薦的列為1,3,4,則所有13次試驗(yàn)時(shí)各因素的水平組合為：2.3均勻設(shè)計(jì)表的使用表的產(chǎn)生方法(續(xù)2)

均勻設(shè)計(jì)表U13*(134)和它的使用表及3因素時(shí)各次試驗(yàn)的因素水平組合方式12341234567891011121315911210483113546825113136212107777812249311110861211131912410613953S列號(hào)D2

130.09623

1340.14424

12340.2076試驗(yàn)次數(shù)序號(hào)因素1選用水平因素2選用水平因素3選用水平11911224833135448255131366121077778824991111010612111113912121061313532.4混合水平均勻設(shè)計(jì)表的產(chǎn)生方法上面介紹的是各試驗(yàn)因素水平數(shù)相等情況下的均勻設(shè)計(jì)表，若各因素的水平數(shù)不等，則需要采用混合水平的設(shè)計(jì)表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。將均水平的設(shè)計(jì)表轉(zhuǎn)換為混合水平的表的方法可采用常用的擬水平法。一個(gè)試驗(yàn)次數(shù)為n的設(shè)計(jì)表，試驗(yàn)因素中某個(gè)或幾個(gè)因素的水平數(shù)不足n,為m(n必須為m的整數(shù)倍),則將設(shè)計(jì)表中代表該因素的水平合并，具體的合并方法是：設(shè)i為該試驗(yàn)因素的第i水平(i=1,2,…,n)，將i從小到大分成m組，每組有n/m個(gè)i,用i所在的組的數(shù)值

m代替設(shè)計(jì)表中的

i,這樣就形成了混合水平設(shè)計(jì)表混合水平的設(shè)計(jì)表的例子如下：2.4混合水平均勻設(shè)計(jì)表的產(chǎn)生方法(續(xù)1)

用U10*(108)產(chǎn)生3因素的U10(10×52)的過(guò)程

用U11構(gòu)造U10→計(jì)算出U10中的3列→形成擬水平均勻設(shè)計(jì)表U10(10×52)

1234567891012345678910111234567891024681013579369147102584815926103751049382716617283941057310629518485210741963975311086421098765432111111111111111111111359123456789103596107945193431781010282765148621231234567891033565492315242174510142435128313均勻設(shè)計(jì)的應(yīng)用方法試驗(yàn)設(shè)計(jì)的共性問(wèn)題均勻設(shè)計(jì)的應(yīng)用方法具體問(wèn)題的解決方法3.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)的共性問(wèn)題試驗(yàn)設(shè)計(jì)（如正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)、D-最優(yōu)設(shè)計(jì)等）過(guò)程必然離不開(kāi)試驗(yàn)基礎(chǔ)內(nèi)容的構(gòu)思（試驗(yàn)的評(píng)價(jià)指標(biāo)；試驗(yàn)的因素、水平的選擇和試驗(yàn)次數(shù)的擬定）、試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)的分析等共性方面的問(wèn)題。試驗(yàn)的因素和水平的選擇關(guān)系到一個(gè)試驗(yàn)?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵，下列的注意事項(xiàng)和建議對(duì)使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)（當(dāng)然也包括均勻設(shè)計(jì)）的人員應(yīng)該是有益的：3.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)的共性問(wèn)題（續(xù)1）（1）因素的含義：在一個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中，影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素通常是很多的，通常固定的試驗(yàn)因素在試驗(yàn)方案中并不稱為因素，只有變化的因素才稱為因素；（2）關(guān)于因素?cái)?shù)量：在一項(xiàng)試驗(yàn)中，因素不宜選得太多(如超過(guò)10個(gè))，那樣可能會(huì)造成主次不分；相反地，因素也不宜選得太少（如只選定一、二個(gè)因素），這樣可能會(huì)遺漏重要的因素，或遺漏因素間的交互作用，使試驗(yàn)的結(jié)果達(dá)不到預(yù)期的目的；3.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)的共性問(wèn)題（續(xù)2）（3）關(guān)于各因素的水平范圍：試驗(yàn)水平范圍應(yīng)當(dāng)盡可能大一點(diǎn)。如果試驗(yàn)在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行，試驗(yàn)范圍大比較容易實(shí)現(xiàn)；如果試驗(yàn)直接在生產(chǎn)中進(jìn)行，則試驗(yàn)范圍不宜太大，以防產(chǎn)生過(guò)多次品，或產(chǎn)生危險(xiǎn)。試驗(yàn)范圍太小的缺點(diǎn)是不易獲得比已有條件有顯著改善的結(jié)果；（4）關(guān)于因素的水平數(shù)：若試驗(yàn)水平范圍允許大一些，則每一因素的水平個(gè)數(shù)最好適當(dāng)多一些；3.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)的共性問(wèn)題（續(xù)3）（5）關(guān)于因素的水平間隔：水平間隔的大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關(guān)的。如不切實(shí)際地降低試驗(yàn)的水平間隔，在試驗(yàn)范圍確定了的情況下必然會(huì)引起試驗(yàn)次數(shù)的增加；而因素水平間隔太大，其試驗(yàn)結(jié)果的中不確定性成分也必然增加；（6）因素和水平的含意可以是廣義的：例如五種棉花用于織同一種布，要比較不同棉花影響布的質(zhì)量的效應(yīng)，這時(shí)“棉花品種”可設(shè)定為一個(gè)因素，五種棉花就是該因素下的五個(gè)水平。3.2均勻設(shè)計(jì)的應(yīng)用方法均勻設(shè)計(jì)的具體應(yīng)用過(guò)程一般分以下六個(gè)步驟：(1)確定試驗(yàn)指標(biāo)、因素、因素水平范圍和因素水平數(shù)（這是關(guān)系到試驗(yàn)成功與否的關(guān)鍵）；(2)選擇合適的均勻設(shè)計(jì)表建立分次試驗(yàn)的具體因素水平組合；(3)執(zhí)行分次試驗(yàn)并取得每次試驗(yàn)的指標(biāo)值；3.2均勻設(shè)計(jì)的應(yīng)用方法（續(xù)1）(4)用分次試驗(yàn)的指標(biāo)值和取得該指標(biāo)值的各因素水平值建立試驗(yàn)指標(biāo)—各因素水平關(guān)系的回歸模型（這也是均勻設(shè)計(jì)中的最重要的環(huán)節(jié)之一)；(5)成功地建立了回歸模型后在各試驗(yàn)因素的試驗(yàn)范圍內(nèi)尋找最佳的各因素水平組合并進(jìn)行該組合的驗(yàn)證試驗(yàn)（也可和步驟６一起進(jìn)行)；(6)驗(yàn)證試驗(yàn)成功則進(jìn)一步縮小各因素的試驗(yàn)范圍，重新選擇均勻設(shè)計(jì)表（即從步驟２開(kāi)始）進(jìn)行各因素范圍縮小和水平劃分更為細(xì)致的新的一輪的試驗(yàn)，進(jìn)一步尋找最優(yōu)試驗(yàn)條件組合。一般情況下，此次最優(yōu)條件即為整個(gè)試驗(yàn)的最優(yōu)條件，試驗(yàn)結(jié)束。3.3具體問(wèn)題的解決方法試驗(yàn)次數(shù)問(wèn)題設(shè)計(jì)表的選擇回歸模型建立回歸模型優(yōu)化試驗(yàn)參數(shù)優(yōu)化使用均勻設(shè)計(jì)時(shí)需要注意的其它問(wèn)題3.3.1試驗(yàn)次數(shù)問(wèn)題均勻設(shè)計(jì)的最大特點(diǎn)是試驗(yàn)次數(shù)等于因素的最大水平數(shù)，而不是平方的關(guān)系，試驗(yàn)次數(shù)與被考察的因素的個(gè)數(shù)有關(guān)，建議試驗(yàn)次數(shù)選為因素?cái)?shù)的３倍左右為宜，這樣選擇的均勻設(shè)計(jì)表的均勻性好，也有利于以后的建模和優(yōu)化。3.3.2設(shè)計(jì)表的選擇選擇均勻設(shè)計(jì)表需要注意以下幾點(diǎn)：(1)要滿足試驗(yàn)次數(shù)的要求：即確定Un表n的問(wèn)題，關(guān)于這一點(diǎn)，見(jiàn)前面的建議；(2)表的列數(shù)要滿足試驗(yàn)因素?cái)?shù)的要求：如U6(62)表和U6*(66)表，雖然

n值相同，可前者有２列，只能安排２因素試驗(yàn)，而后者最多卻可以安排４因素試驗(yàn)。(3)Un*表比Un表有更好的均勻性，在確定了試驗(yàn)次數(shù)n的情況下,若Un*表也能滿足因素?cái)?shù)的要求，應(yīng)優(yōu)先采用Un*表：Un*表是由Un+1表劃去最后一行3.3.2設(shè)計(jì)表的選擇（續(xù)）得到的，若n為偶數(shù)，Un*表比Un表有更多的列，若n為奇數(shù),則Un*表的列通常少于Un表。(4)Un*表比Un表更容易安排試驗(yàn)：

Un表的最后一行全部由ｎ組成，而Un*表則不然。例如在化工反應(yīng)中，若所有因素的水平都按一個(gè)方向排列，則在表的最后一行的所有因素的水平值不是最高就是最低，所有高水平組合很容易出現(xiàn)反應(yīng)過(guò)分劇烈甚至爆炸，所有低水平組合則可能出現(xiàn)反應(yīng)異常甚至不能進(jìn)行的現(xiàn)象。3.3.3回歸模型建立回歸模型可分為線性回歸模型和非線性模型等。

線性回歸模型分為一元線性回歸模型和多元線性回歸模型。(1)一元線性回歸模型模型為y=a+bx,線性相關(guān)的程度常用相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量，在某一顯著性水平α下，當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大于相關(guān)系數(shù)臨界值時(shí)才可以認(rèn)為x和y有線性相關(guān)關(guān)系。注意：回歸模型不等于回歸方程，回歸方程只是回歸模型中的表達(dá)方式的部分，一個(gè)完整的模型的表述，包括它的數(shù)學(xué)表達(dá)部分—回歸方程，還有因素的組成、因素范圍和置信水平、隨機(jī)誤差等內(nèi)容，本文論述中為了直觀的原因，可能將“回歸方程”表述為“回歸模型”。

線性回歸模型（續(xù)）(2)多元線性回歸模型當(dāng)影響因變量ｙ的自變量不止一個(gè)時(shí)，比如有ｍ個(gè)x1,…,xm

這時(shí)ｙ和ｘ之間的線性回歸方程為：y=a+b1x1+b2x2+,…,+bmxm,其回歸顯著性檢驗(yàn)一般用Ｆ檢驗(yàn)，方程中各項(xiàng)在回歸中的重要性用該項(xiàng)的偏回歸平方和進(jìn)行判定。由于其回歸系數(shù)的求解需要解用來(lái)確定回歸系數(shù)的的方程組--正規(guī)方程，通常情況下僅此一項(xiàng)工作就導(dǎo)致分析過(guò)程中需要進(jìn)行大量的計(jì)算，在方程項(xiàng)數(shù)很少的情況下還可以通過(guò)人工方式在可接受的時(shí)間內(nèi)完成，否則一般都要借助計(jì)算機(jī)才能完成。

非線性回歸模型一般分為二次型回歸模型、多項(xiàng)式回歸模型等。(1)二次型回歸模型由于因素間常有交互作用，那么前面的回歸模型就不足以反映實(shí)際，于是二次型回歸模型常常為人們所采用。若有m個(gè)因素則二次型回歸模型為：回歸方程中的項(xiàng)數(shù)為m(m+3)/2，若使回歸系數(shù)的估計(jì)成為可能，則需要試驗(yàn)次數(shù)n>1+m(m+3)/2，因此進(jìn)入方程的變量必須經(jīng)過(guò)篩選，如采用前進(jìn)

非線性回歸模型（續(xù)1）法、后退法、逐步回歸法或最優(yōu)子集法等進(jìn)行變量的篩選。其回歸系數(shù)求解可經(jīng)過(guò)方程項(xiàng)的轉(zhuǎn)換按多元線性回歸的方法完成。(2)多項(xiàng)式回歸模型一般地，包含多變量的任意多項(xiàng)式可表述為：可通過(guò)類似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22

的變換，將其按多元線性回歸分析。多項(xiàng)式回歸在回歸分析中占特殊地位，因?yàn)槿魏魏瘮?shù)至少在一

非線性回歸模型（續(xù)2）個(gè)比較小的鄰域內(nèi)可用多項(xiàng)式任意逼近，因此在比較復(fù)雜的的實(shí)際問(wèn)題中，可以不問(wèn)ｙ與各因素的確切關(guān)系如何，而采用多項(xiàng)式進(jìn)行分析（一次多項(xiàng)式是多項(xiàng)式的特例）。在多項(xiàng)式回歸模型中，常用的子模型結(jié)構(gòu)如下：

非線性回歸模型（續(xù)3）（1）對(duì)數(shù)(Logarithm)：包括自然對(duì)數(shù)、常用對(duì)數(shù)和以n為底對(duì)數(shù)，數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為L(zhǎng)n(x)、Lg(x)、Logn(x)[以下將“數(shù)學(xué)表達(dá)式”和“函數(shù)”類的語(yǔ)句省略]（2）冪(Power)：整數(shù)次冪、非整數(shù)次冪，xn（3）倒數(shù)(Reciprocal)：1/x（4）三角函數(shù)(Trigonometricfunction)、反三角函數(shù)(Inversetrigonometricfunction)(涉及力學(xué)領(lǐng)域等常用，比如工件的切割、彈道軌跡等),包括有：正弦

Sin(X)、余弦

Cos(X)、正切

Tan(X)、余切

Cotan(X)、正割

Sec(X)、余割

Cosec(X)、雙曲正弦

HSin(X)、雙曲余弦

HCos(X)、雙曲正切

HTan(X)、雙曲余切

HCotan(X)、雙曲正割

HSec(X)、雙曲余割

HCosec(X)、反正弦

Arcsin(X)、反余弦

Arccos(X)、反正切

Atn(X)、反余切

Arccotan(X)、正割：Arcsec(X)、反余割：Arccosec(X)、反雙曲正弦：HArcsin(X)、反雙曲余弦：HArccos(X)、反雙曲正切：HArctan(X)、反雙曲余切：HArccotan(X)、反雙曲正割：HArcsec(X)、反雙曲余割：HArccosec(X)。（5）冪指數(shù)：anx

回歸模型建立回歸模型的建立過(guò)程在很大程度上需要結(jié)合專業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。雖然試驗(yàn)者正在用均勻設(shè)計(jì)研究的某個(gè)問(wèn)題的未知因素很多，也可能有些問(wèn)題是試驗(yàn)者全然不知道的（就象試驗(yàn)者在未建立回歸模型前肯定不知道模型的具體形式一樣),但試驗(yàn)者在試驗(yàn)中所采用具體試驗(yàn)實(shí)施操作肯定是和各種專業(yè)緊密相關(guān)的，只要試驗(yàn)者思考一下，哪個(gè)因素在什么時(shí)間、什么過(guò)程參加了什么反應(yīng)，以及對(duì)試驗(yàn)的指標(biāo)有何影響（有些時(shí)候可以比較明確地指出這個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響，而有些時(shí)候就不能斷言),那么試驗(yàn)者只要尋著這樣一個(gè)

回歸模型建立（續(xù)1）思路考慮，肯定可以找出在模型中應(yīng)該添加或不添加某個(gè)模型組成項(xiàng)的依據(jù)。下面用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明建模的思路和過(guò)程：例子：為研究石墨爐原子吸收分光光度計(jì)法測(cè)定微量元素鈀的工作條件，確定了灰化溫度x1、灰化時(shí)間x2、原子化溫度x3和原子化時(shí)間x4四個(gè)因素，其試驗(yàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)為吸光度。由原子化機(jī)理可知，灰化溫度和原子化溫度對(duì)吸光度的的影響可擬合為二次函數(shù)，即在模型中應(yīng)該有x12和x32項(xiàng),這兩個(gè)因素發(fā)生在不同時(shí)間，因而不存在交互作

回歸模型建立（續(xù)2）用,x1x3項(xiàng)可不列為考察目標(biāo)。灰化時(shí)間和原子化時(shí)間對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響比較復(fù)雜，也可用二次項(xiàng)逼近，忽略它們的交互作用，方程中應(yīng)該有x22、x42項(xiàng)。因?yàn)檫€只是根據(jù)專業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推斷，具體每個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響到底如何還屬未知，那么，各因素的一次項(xiàng)理所當(dāng)然也參加進(jìn)方程中，這樣就可以擬定出一個(gè)y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x12+b6x22+b7x32+b8x42的原始的多項(xiàng)式回歸模型。至于這個(gè)模型的表達(dá)效果到底如何，暫時(shí)可以不用理會(huì)，只是試驗(yàn)者

回歸模型建立（續(xù)3）已經(jīng)按照專業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)擬定出一個(gè)有明確意義的回歸模型了！接下來(lái)就是用多元回歸分析的方法，進(jìn)行模型的計(jì)算和按照一定的顯著性水平對(duì)模型有效性及模型中各組成項(xiàng)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程了，可以計(jì)算出原始模型的各回歸系數(shù)分別為：b0=3.836×10-1；b1=1.001×10-5；b2=-3.324×10-3；b3=-3.529×10-4；b4=1.421×10-2；b5=-3.584×10-8；b6=4.034×10-5；b7=9.852×10-8；b8=-1.076×10-3。對(duì)模型進(jìn)行回歸顯著性檢驗(yàn)，其Ｆ檢驗(yàn)值為66.620,臨界值Ｆ0.05(8,3)=8.8452，高度顯著性，復(fù)相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.9972。3.3.4回歸模型優(yōu)化若對(duì)上面例子中列入回歸方程中的項(xiàng)按某一顯著性水平（本例中取α=0.05)逐個(gè)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，就可以發(fā)現(xiàn)，x1、x22、x3、x4及x42對(duì)回歸無(wú)顯著作用，將它們從模型中剔除，則可以確立如下的回歸模型：y=b0+b1x2+b2x12+b3x22+b4x32回歸系數(shù)分別為：b0=-5.35×10-2；b1=-3.05×10-3；b2=-3.14×10-8；b3=3.53×10-5；b4=3.42×10-8。對(duì)模型進(jìn)行回歸顯著性檢驗(yàn)，其Ｆ檢驗(yàn)值為184.38，臨界值Ｆ0.05(4,7)=4.1203,同樣高度著，3.3.4回歸模型優(yōu)化（續(xù)1）復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.9972。這樣就成功地建立了一個(gè)去偽存真的精簡(jiǎn)的更能真實(shí)地表達(dá)因素和指標(biāo)間關(guān)系的回歸模型。觀察上面的回歸模型，我們還可以發(fā)現(xiàn)，原子化時(shí)間

x4這個(gè)試驗(yàn)因素在回歸模型中沒(méi)有出現(xiàn)，證明它是一個(gè)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響不顯著的因素，在后續(xù)的進(jìn)一步的試驗(yàn)條件優(yōu)化過(guò)程中，我們完全可以放棄對(duì)這個(gè)因素的觀察，只將它保持在普通狀態(tài)，使之成為一個(gè)靜態(tài)的“因素”而將它從真正對(duì)試驗(yàn)起顯著作用的行列中剔除，這樣就減輕了3.3.4回歸模型優(yōu)化（續(xù)2）試驗(yàn)的負(fù)擔(dān)，也進(jìn)一步降低了試驗(yàn)的誤差。若在其它試驗(yàn)中通過(guò)回歸模型優(yōu)化后同樣發(fā)現(xiàn)了不顯著因素，而它又是個(gè)實(shí)際消耗資源的因素，那么模型優(yōu)化的意義則更加顯著了。3.3.5試驗(yàn)參數(shù)優(yōu)化建立了回歸模型后，如何在試驗(yàn)范圍內(nèi)找到最好的試驗(yàn)因素組合？這就是所謂的參數(shù)優(yōu)化(或稱為試驗(yàn)優(yōu)化)需要解決的問(wèn)題了。需要補(bǔ)充說(shuō)明的是，之所以是在試驗(yàn)范圍內(nèi)，是因?yàn)榛貧w分析方法所建立的模型在試驗(yàn)范圍內(nèi)有效，不能說(shuō)在擴(kuò)大了范圍的情況下它還是有效的（有時(shí)，根據(jù)具體情況做適當(dāng)?shù)耐馔剖强梢缘?，但也僅僅是限定在根據(jù)每個(gè)試驗(yàn)的具體情況，這是個(gè)經(jīng)驗(yàn)，一般正式的學(xué)術(shù)方面的書(shū)籍或文獻(xiàn)在論述這個(gè)問(wèn)題時(shí)或不提倡外推或允許適度外推),否則外推則是在冒險(xiǎn)。3.3.5試驗(yàn)參數(shù)優(yōu)化（續(xù)1）

多元函數(shù)

f(x1,x2,x3,,,,xn)描述的是在多維空間中的一個(gè)響應(yīng)面，求響應(yīng)面極值的方法有很多，如間接的微分法、幾何規(guī)劃法、直接消去法、直接爬山法以及因素輪換法等，限于時(shí)間和篇幅，這里僅對(duì)微分法求函數(shù)極值進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹，更詳細(xì)的內(nèi)容和其它方法見(jiàn)參考文獻(xiàn)[5]或自行參考任何微積分或相關(guān)方面的書(shū)籍。若求得了函數(shù)的多個(gè)極值(極小值或極大值)，那么將這些極值在函數(shù)的全域范圍內(nèi)進(jìn)行比較，則可以得到我們想要的最大值或最小值，該極值點(diǎn)處各變量的值則是我們尋找的試驗(yàn)條件的最優(yōu)值。3.3.5試驗(yàn)參數(shù)優(yōu)化（續(xù)2）間接的微分法將尋求目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的問(wèn)題間接地歸結(jié)為解它的一階導(dǎo)數(shù)為零的方程組，即將函數(shù)按各自變量求一階偏導(dǎo)數(shù)并使其等于零，解由此組成的方程組即可找到函數(shù)的極值點(diǎn)，將極值點(diǎn)的各變量值代入函數(shù)中即可求得函數(shù)極值（極值分極大值和極小值，但不對(duì)等于最大值或最小值),下面給出一個(gè)此方法的例子：3.3.5試驗(yàn)參數(shù)優(yōu)化（續(xù)３）函數(shù)

y=1×103x1+4×109x1-1x2-1+2.5×105x2,其中0≤x1≤2200，0≤x2≤8。令函數(shù)關(guān)于x1和x2的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都為零,這樣得到兩個(gè)聯(lián)立方程：解此聯(lián)立方程，求得唯一的極值點(diǎn)，即得x1=1000，x2=4，

函數(shù)極值為y=3×106,

是極大值還是極小值呢？函數(shù)的限定條件是0≤x1≤2200，0≤x2≤8，3.3.5試驗(yàn)參數(shù)優(yōu)化（續(xù)４）很明顯，這幾個(gè)系數(shù)都是正數(shù)，變量取值范圍也都非負(fù)，而極值點(diǎn)的變量的值不是取各自的最大值，因此這個(gè)極值是極小值，因?yàn)楹瘮?shù)在此區(qū)間上僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以這個(gè)極值點(diǎn)的值也是此函數(shù)區(qū)間上的最小值。這是最簡(jiǎn)單且快速的適合用手工方法求解函數(shù)極值的方法。關(guān)于求函數(shù)極值和試驗(yàn)最優(yōu)條件的求解，許多已知的軟件也可以做這方面的工作，比如MatLab(MatrixLaboratory)等等。上面介紹的是求函數(shù)極值的一種方法，當(dāng)然，在實(shí)際中，任何均勻設(shè)計(jì)專門(mén)軟件都可以將這個(gè)過(guò)程自動(dòng)完成而不需要使用者自行通過(guò)類似的手工計(jì)算的方式求解試驗(yàn)最優(yōu)條件。3.3.6使用均勻中需要注意的問(wèn)題

最優(yōu)條件在試驗(yàn)范圍邊界上的問(wèn)題若試驗(yàn)優(yōu)化后發(fā)現(xiàn)個(gè)別因素的最優(yōu)條件在其試驗(yàn)范圍的邊界上，那么一般說(shuō)來(lái)這是一個(gè)試驗(yàn)范圍不足的信號(hào)，這一點(diǎn)，在初次大范圍的試驗(yàn)結(jié)束并進(jìn)行了首次試驗(yàn)優(yōu)化后就應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，無(wú)論如何也不應(yīng)該在全部試驗(yàn)都結(jié)束了才察覺(jué)到它，否則您找的最優(yōu)試驗(yàn)條件則是真真正正的“局部最優(yōu)”條件了。出現(xiàn)了這種現(xiàn)象，解決的辦法一般是在進(jìn)一步的試驗(yàn)中大力縮小該因素另外一端的范圍而適

最優(yōu)條件在試驗(yàn)范圍邊界上的問(wèn)題(續(xù))當(dāng)加寬不足一邊的試驗(yàn)范圍。之所以是適當(dāng)加寬，還是前面提到的模型適用范圍的問(wèn)題，因?yàn)檫M(jìn)一步優(yōu)化的基礎(chǔ)是試驗(yàn)者承認(rèn)了先前的那個(gè)試驗(yàn)范圍條件下建立的模型，而偏偏個(gè)別因素最優(yōu)值在邊界上，實(shí)在是有進(jìn)一步探詢的必要。否定先前的模型是沒(méi)有根據(jù)的，放棄模型不用更是不應(yīng)該的，欲發(fā)現(xiàn)真正的最優(yōu)試驗(yàn)條件，調(diào)整試驗(yàn)范圍是必須的。Ｆ檢驗(yàn)給出的顯著性與否是判斷回歸模型是否有效的當(dāng)然依據(jù)，一般情況下，回歸平方和與剩余平方和的比值越大，則模型的可信度愈高，表現(xiàn)在復(fù)相關(guān)系數(shù)或相關(guān)系數(shù)上，R2

數(shù)值就越大（一元線性回歸分析常用相關(guān)系數(shù)表述相關(guān)關(guān)系的大小，且R值可正可負(fù)）,但是建模的過(guò)程中，我們不能簡(jiǎn)單地追求高的回歸平方和與剩余平方和的比值（或大的R2

值),模型的建立一定要根據(jù)專業(yè)的知識(shí)進(jìn)行，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)重要的概念是自由度，若選進(jìn)方程中的項(xiàng)過(guò)多，使誤差自由度為１甚至為０，雖然R2

更加接近于1,模型看上去

模型好壞的判斷標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題

模型好壞的判斷標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題（續(xù)）很完美，但這時(shí)有關(guān)的結(jié)論的可靠性是很差的。一般應(yīng)保持誤差自由度（即剩余平方和自由度)≥5，這也就是為什么主張選用ｎ值大一些的設(shè)計(jì)表進(jìn)行設(shè)計(jì)或有前面的“試驗(yàn)次數(shù)選為因素?cái)?shù)的３倍左右為宜”觀點(diǎn)的原因了。以上是對(duì)均勻設(shè)計(jì)原理和應(yīng)用方法等的簡(jiǎn)單介紹，大家只要按著這樣的一條線索記憶就可以了：表的含義→安排試驗(yàn)→回歸建模→參數(shù)尋優(yōu)→繼續(xù)試驗(yàn)→最優(yōu)條件。因?yàn)榫鶆蛟O(shè)計(jì)方法需要專門(mén)的計(jì)算機(jī)軟件的支持，下面簡(jiǎn)要介紹一下均勻設(shè)計(jì)軟件方面的內(nèi)容。4均勻設(shè)計(jì)軟件對(duì)均勻設(shè)計(jì)軟件基本功能的要求均勻設(shè)計(jì)方面軟件的介紹均勻設(shè)計(jì)軟件功能的介紹4.1對(duì)均勻設(shè)計(jì)軟件基本功能的要求1、遵循均勻設(shè)計(jì)基本原理，必須產(chǎn)生可見(jiàn)的能夠用于指導(dǎo)試驗(yàn)者進(jìn)行試驗(yàn)安排的均勻設(shè)計(jì)表；2、必須能對(duì)試驗(yàn)者的原始設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)根據(jù)均勻設(shè)計(jì)表進(jìn)行排列并產(chǎn)生供試驗(yàn)者進(jìn)行試驗(yàn)的試驗(yàn)方案；3、程序必須具備回歸模型建立和模型優(yōu)化功能的模塊；4、必須具備試驗(yàn)最優(yōu)條件判定功能的模塊。下面簡(jiǎn)單闡述一下這幾個(gè)“必須”的理由：4.1對(duì)均勻設(shè)計(jì)軟件功能的基本要求(續(xù)1)(1)之所以要求產(chǎn)生可見(jiàn)的均勻設(shè)計(jì)表，是便于用戶對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)行綜合的考慮，對(duì)用戶更加深入地理解均勻設(shè)計(jì)亦有好處；(2)作為均勻設(shè)計(jì)的軟件，試驗(yàn)方案的建立必須在用戶輸入了原始設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)后由系統(tǒng)自動(dòng)生成，試驗(yàn)方案的輸出可以是多樣的，但在當(dāng)前階段，必須包括可以由打印機(jī)打印的輸出方式；(3)均勻設(shè)計(jì)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析采用回歸分析方法進(jìn)行，而且用均勻設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的多是多因素、多水平的試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)計(jì)算量非常巨大，這個(gè)工4.1對(duì)均勻設(shè)計(jì)軟件功能的基本要求(續(xù)2)作必須由計(jì)算機(jī)完成。再者，均勻設(shè)計(jì)是一種通用的試驗(yàn)法，它的建模功能必須強(qiáng)勁，為適應(yīng)多項(xiàng)式回歸分析，其函數(shù)功能必須豐富，保證滿足建立復(fù)雜和特殊模型的需求，這樣才能滿足各門(mén)類科學(xué)研究的需要；模型優(yōu)化功能也是必需的，沒(méi)有模型優(yōu)化功能，用戶所建模型的可信度就不好評(píng)價(jià)(主要是列入模型中的項(xiàng)和因?yàn)榉匠添?xiàng)的過(guò)多引入而導(dǎo)致誤差自由度降低進(jìn)而導(dǎo)致Ｆ檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性下降的問(wèn)題)。4.1對(duì)均勻設(shè)計(jì)軟件功能的基本要求(續(xù)３)(4)試驗(yàn)條件優(yōu)化是給出最優(yōu)試驗(yàn)條件的過(guò)程，在均勻設(shè)計(jì)專門(mén)軟件中應(yīng)該是必不可少的，軟件應(yīng)該具備根據(jù)回歸模型自動(dòng)給出試驗(yàn)范圍內(nèi)各因素的最優(yōu)條件組合以獲取最優(yōu)試驗(yàn)指標(biāo)的功能，不應(yīng)該要求用戶通過(guò)第三方軟件或手工計(jì)算的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。4.2均勻設(shè)計(jì)方面軟件的介紹根據(jù)幾年來(lái)我對(duì)與均勻設(shè)計(jì)方面的有關(guān)軟件的跟蹤和調(diào)查，到目前為止，已知的這方面的專業(yè)軟件有“均勻設(shè)計(jì)軟件包(UST40)”，對(duì)于這個(gè)軟件的前身，方開(kāi)泰教授在其專著[1]中也曾經(jīng)提過(guò)，該軟件于1990年開(kāi)始研制，1994年正式推出，作為均勻設(shè)計(jì)創(chuàng)始人之一的方開(kāi)泰教授給這個(gè)軟件以很高的評(píng)價(jià)，1994年４月４日的題詞稱其為“構(gòu)思精巧，面向?qū)嶋H，菜單管理，方便使用。分析細(xì)膩，國(guó)內(nèi)屈指，包裝考究，水平國(guó)際”;1998年推出的UST4.0版本的均勻設(shè)計(jì)軟件包是一個(gè)可在Windows95/98的MS-DOS環(huán)境下運(yùn)行的中文軟件，需要漢字輔助系統(tǒng)(如“成然CCDOS97”)的支持,“軟件的主要功能有：均勻設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)輸入、建立模型和參數(shù)優(yōu)化四部分”。新增加功能有“在數(shù)據(jù)處理中增加了取對(duì)數(shù)和指數(shù)的變換”。4.2均勻