Matlab與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)講義

1、- PAGE 52 -Matlab 與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)講義第一章Matlab 初步Matlab 是 Mathworks 公司于 1984 年推出的數(shù)值計(jì)算軟件.其三大核心功能為：數(shù)值計(jì)算符號(hào)計(jì)算繪圖能夠在很多領(lǐng)域進(jìn)行應(yīng)用，如：數(shù)值分析數(shù)值和符號(hào)計(jì)算工程與科學(xué)繪圖控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與仿真數(shù)字圖像處理技術(shù)數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真財(cái)務(wù)與金融工程第一節(jié)Matlab 的界面與運(yùn)行一、Matlab 的界面Matlab 的界面上共有五個(gè)窗口：1、命令窗口(Commandwindow)在命令窗口中可以直接輸入命令,以實(shí)現(xiàn)計(jì)算或繪圖的功能.2、起始面板(Launch Pad)該窗口中顯示 Matlab 總包和已安

2、裝的工具箱的幫助、演示、GUI 工具和產(chǎn)品主頁(yè) 4 個(gè)方面的內(nèi)容.3、工作空間(workspace)該窗口顯示當(dāng)前 Matlab 的內(nèi)存中使用變量的信息，包括變量名、變量數(shù)組大小，變量字節(jié)大小和變量類型.可以雙擊變量名，打開(kāi)數(shù)組編輯器窗口(ArrayEditor)，顯示變量的具體內(nèi)容，也可以修改數(shù)據(jù).4、命令歷史(CommandHistory)該窗口顯示所有執(zhí)行過(guò)的命令.其作用在于：查看曾經(jīng)執(zhí)行的命令；重復(fù)利用原來(lái)輸入的命令行.在命令歷史窗口中直接雙擊命令，就可以執(zhí)行該命令行.5、當(dāng)前目錄(CurrentDirectory)該窗口顯示當(dāng)前工作目錄下所有文件的文件名、文件類型和最后修改時(shí)間 .可

3、以在窗口上方的小窗口中修改工作目錄.二、Matlab 的運(yùn)行方式兩種運(yùn)行方式：1、命令行方式在命令窗口中輸入命令，按回車(chē)鍵程序?qū)⑦\(yùn)行.這種方式的缺點(diǎn)是難以處理比較復(fù)雜的問(wèn)題和有大量數(shù)據(jù)的問(wèn)題.2、M 文件方式M 文件方式是指一個(gè)以 m 為擴(kuò)展名的 M 文件中輸入一系列命令和數(shù)據(jù)，然后讓 Matlab 來(lái)執(zhí)行.建立 M 文件的步驟為：點(diǎn)擊 FileNew M-file；在 M 文件編輯窗口中輸入程序內(nèi)容；點(diǎn) File Save，以 m 為擴(kuò)展名存盤(pán).注意：1、M 文件名有兩種類型：腳本 M 文件和函數(shù) M 文件.其中函數(shù) M 文件的文件名必須與函數(shù)名一致(在后面將具體講解).2、M 文件可以在命

4、令行中隨時(shí)調(diào)用執(zhí)行，也可以在 M 文件編輯窗口中的Debug菜單中選擇 Run 執(zhí)行.第二節(jié)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算一、運(yùn)算表加法運(yùn)算，適用于兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)同階矩陣相加.減法運(yùn)算*乘法運(yùn)算.*點(diǎn)乘運(yùn)算，用于數(shù)組(或矩陣)之間的運(yùn)算，表示對(duì)應(yīng)元素相乘/除法運(yùn)算./點(diǎn)除運(yùn)算，用于數(shù)組(或矩陣)之間的運(yùn)算，表示對(duì)應(yīng)元素相除乘冪運(yùn)算.點(diǎn)乘冪運(yùn)算，用于數(shù)組(或矩陣)之間的運(yùn)算，表示對(duì)應(yīng)元素作冪運(yùn)算反斜杠表示左除，用于矩陣之間的運(yùn)算在計(jì)算中“( )”表示運(yùn)算優(yōu)先級(jí)。 1 11 4 1例 1 作數(shù)學(xué)運(yùn)算: 4 100 2 83 2 9 9 100(1/4)*(1/9)(-1/2)+8(-1/3)*(4/9)(1/2)%表

5、示回車(chē)鍵注意：命令中的%及其后面的內(nèi)容不必輸入，它是對(duì)命令的解釋和說(shuō)明。二、數(shù)學(xué)函數(shù)Matlab 提供了若干函數(shù)，在編寫(xiě)程序時(shí)可以直接按照以下格式調(diào)用，注意其中的括號(hào)不能省略.函數(shù)名稱函數(shù)名稱abs(x)x 絕對(duì)值sqrt(x)開(kāi)平方exp(x)以 e 為底的指數(shù)log(x)自然對(duì)數(shù)log2(x)以 2為 底的數(shù)log10(x)以 10 為底的數(shù)min(x)最小值max(x)最大值sum(x)元素的總和sign(x)符號(hào)函數(shù)rem(x,y)x 除以y 的余數(shù)fix(x)取整round(x)最接近 x 的整gcd(x,y)整數(shù) x，y 的最大公因數(shù)數(shù)g,c,d=gcd(x,y)求 g,c,d 滿

6、足lcm(x,y)整數(shù) x，y 的最小公倍g=cx+dy數(shù)sin(x)正弦函數(shù)asin(x)反正弦函數(shù)cos(x)余弦函數(shù)acos(x)反余弦函數(shù)反 正tan(x)正切函數(shù)atan(x)切數(shù)sinh(x)雙曲正弦asinh(x)反雙曲正弦cosh(x)雙曲余弦acosh(x)反雙曲余弦tanh(x)雙曲正切atanh(x)反雙曲正切real(z)復(fù)數(shù) z 的實(shí)部imag(z)復(fù)數(shù) z 的虛部abs(z)復(fù)數(shù) z 的模conj(z)復(fù)數(shù) z 的共軛angle(z)復(fù)數(shù) z 的幅角factorial(n)求 n 的階乘combntns(x,m)perms(x)nchoosek(n,m) prod(

7、n:m)列舉出從 n 個(gè)元素中取出 m 個(gè)元素的組合。其中，x 是含有 n 個(gè)元素的向量給出向量 x 的所有排列從 n 各元素中取 m 個(gè)元素的所有組合數(shù)求排列數(shù)：m*(m-1)*(m-2)*(n+1)*n1例 2、作數(shù)學(xué)運(yùn)算sin 24 e3 3ln(2 5) 10sin(1/10)+24+exp(3)+3*log(2+sqrt(5) 三、Matlab 中的數(shù)1、實(shí)數(shù)Matlab 中的實(shí)數(shù)只有一種數(shù)據(jù)格式，那就是雙精度數(shù)值，其有效值是十進(jìn)制16 位，范圍是 10 的308 次冪，即實(shí)數(shù)有七種顯示格式，以 為例，見(jiàn)下表:Matlab 命令顯 示 形 式說(shuō)明2.225110 3081.79771

8、0+308formatlong3.1415926535897916位十進(jìn)制數(shù)format elong3.14159265358979e+016位十進(jìn)制加指數(shù)format eshort3.1416e+0005位十進(jìn)制數(shù)加指數(shù)formatshort3.1416二位整數(shù), 四位小數(shù)formatbank3.14兩位小數(shù)formathex400921fb54442d1816位十六進(jìn)制數(shù)formatrat355 / 113有理數(shù)分?jǐn)?shù)近似Matlab 在默認(rèn)情況下以 format short 格式顯示.2、復(fù)數(shù)虛數(shù)符號(hào) Matlab 啟動(dòng)時(shí)定為 i,j，連寫(xiě)在數(shù)字后面可以不用乘號(hào) .例如a=1+2i，b=c

9、os(2)+sin(2)*i如果用戶在程序中另外給 i,j 賦值，則它們的虛數(shù)意義就失效.例 3在不同的數(shù)據(jù)顯示顯示下計(jì)算 5+sin75+sin(7) ans=5.6570format rat5+sin(7) ans=3117/551format long5+sin(7) ans= 5.65698659871879第三節(jié)變量一、變量Matlab 中參與計(jì)算的數(shù)據(jù)需要存放在一個(gè)儲(chǔ)存空間中，每個(gè)儲(chǔ)存空間都給予一個(gè)名稱，就是變量的名稱。Matlab 中變量的命名規(guī)則是：變量名必須是不含空格的單個(gè)詞；變量名區(qū)分大小寫(xiě)；變量名最多不超過(guò) 19 個(gè)字符；變量名必須以字母打頭；變量名中不允許使用標(biāo)點(diǎn)符號(hào)；

10、不要使用內(nèi)部函數(shù)名。變量賦值格式：變量名=數(shù)給變量賦值時(shí)滿足新值代替舊值的規(guī)則.二、特殊變量(常量)在 Matlab 中一些特殊的變量，如下：特殊變量ans pi eps flops inf NaN i，jnargin nargout realminrealmax取值用于結(jié)果的缺省變量名圓周率計(jì)算機(jī)的最小數(shù)，和 1 相加時(shí)產(chǎn)生一個(gè)比 1 大的數(shù)浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)無(wú)窮大，如 1/0不定量，如 0/0i=j=1所用函數(shù)的輸入變量數(shù)目所用函數(shù)的輸出變量數(shù)目最小可用正實(shí)數(shù)最大可用正實(shí)數(shù)三、常見(jiàn)基本操作：Matlab 命令who 變量名whosclearsave 變量名load clcshift +enter解

11、釋查詢變量的信息查詢所有變量的信息刪除所有變量保存指定變量載入數(shù)據(jù)文件中的變量察除所有命令換行編寫(xiě)命令，但不執(zhí)行命令四、標(biāo)點(diǎn)符號(hào)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)需要在英文狀態(tài)下輸入，常見(jiàn)的有，；%命令分隔符號(hào)，顯示的結(jié)果命令分隔符號(hào)，不顯示的結(jié)果它后面為注釋文字()續(xù)行符號(hào)（使用時(shí)前面加空格）運(yùn)算優(yōu)先級(jí)例 1a=20;b=3;c=a+b,d=a*b運(yùn)行結(jié)果：c =23d =60例 2 交換兩個(gè)變量的取值a=1;b=2;c=a; a=b; b=c; a,b 運(yùn)行結(jié)果：a =2b =1第四節(jié)符號(hào)運(yùn)算數(shù)值運(yùn)算是指實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算。在運(yùn)算中，如果有變量不被賦值像字母一樣運(yùn)算，這種運(yùn)算為符號(hào)運(yùn)算.符號(hào)運(yùn)算需要先將變量符號(hào)化。一、

12、創(chuàng)建符號(hào)變量命令格式 1：sym(變量)命令格式 2：syms變量 1變量 2變量 n例 1sqrt(2) ans =1.4142sqrt(sym(2) ans =2(1/2)二、創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式方法 1：sym(表達(dá)式)方法 2：先創(chuàng)建符號(hào)變量，再用符號(hào)變量及運(yùn)算符表示表達(dá)式例 2建立符號(hào)表達(dá)式 ax2+by+c，并求 x=1，y=2 的值syms a b c x y u=a*x2+b*y+c, x=1;y=2;eval(u) 運(yùn)行結(jié)果：u = a*x2+b*y+cans =a+2*b+c其中命令 eval 表示計(jì)算符號(hào)表達(dá)式的值，但并不改變 u 本身的值.三、符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算1、四則運(yùn)算與冪

13、運(yùn)算與數(shù)值的運(yùn)算一致.2、合并同類項(xiàng)命令格式：collect(S)%其中S 為符號(hào)表達(dá)式,以默認(rèn)變量(離x 最近的變量)作為輸出變量collect(S,v)%以變量 v 作為輸出變量例 3syms x ys=x2*y+y*x-x2-2*x;collect(s) ans =(y-1)*x2+(y-2)*xcollect(s,y) ans =(x2+x)*y-x2-2*x3、因式分解命令格式:factor(S)說(shuō)明：其中 S 為符號(hào)表達(dá)式.例 4 syms a b x y s=5*a*x+5*b*x+3*a*y+3*b*y; factor (s) ans = (a+b)*(5*x+3*y)4、符號(hào)

14、表達(dá)式的簡(jiǎn)化命令格式: simple(S)說(shuō)明：其中 S 為符號(hào)表達(dá)式，有些時(shí)候要用兩次.例 5syms xS=2*cos(x)2-1; simple(S) 運(yùn)行結(jié)果：simplify: 2*cos(x)2-1 radsimp:2*cos(x)2-1 combine(trig):cos(2*x) factor:2*cos(x)2-1 expand:2*cos(x)2-1 combine:cos(2*x) convert(exp):2*(1/2*exp(i*x)+1/2/exp(i*x)2-1 convert(sincos):2*cos(x)2-1 convert(tan):2*(1-tan(1

15、/2*x)2)2/(1+tan(1/2*x)2)2-1 collect(x):2*cos(x)2-1 ans = cos(2*x)5、復(fù)合運(yùn)算命令格式:compose(f,g) 計(jì)算 fg(x)例 6syms x f=1/(1+x2);g=sin(x);compose(f,g) ans =1/(1+sin(x)2)6、反函數(shù)運(yùn)算命令格式:finverse(f) 或者 finverse(f，v)說(shuō)明： finverse(f，v)中，返回變量為 v 的函數(shù) f 的反函數(shù)，未指定時(shí)， 默認(rèn)為 x.例 7syms x f=x2;finverse(f) Warning: finverse(x2) is

16、not unique. In D:matlabtoolboxsymbolicsymfinverse.m at line 43 ans =x(1/2)7、替換求值命令格式:subs(S,old,new)或者 subs(S, new)說(shuō)明：將符號(hào)表達(dá)式 S 中的變量 old 用 new 代替.若沒(méi)有指定變量 old，則默認(rèn)將 x 代替為 new.例 8syms x y s=x2*y+x*sin(y); subs(s,x,2) ans =4*y+2*sin(y)subs(s,y,pi) ans = x2*pi四、符號(hào)型與數(shù)值型數(shù)據(jù)的顯示命令格式 1：x=double(S)說(shuō)明：顯示符號(hào)表達(dá)式 S 的

17、雙精度數(shù)值型數(shù)據(jù)，不改變 S 本身的值.命令格式 2：s=sym(x，選型)說(shuō)明：顯示數(shù)值型數(shù)據(jù)的符號(hào)型數(shù)據(jù)，不改變 x 本身的值. 選項(xiàng)可以是：r或f或e，它們分別表示有理數(shù)形式，雙精度形式，指數(shù)顯示.例 9a=sym(2/5) a = 2/5 double(a) ans =0.4000 sym(0.007,r) ans = 7/1000命令格式 3：vpa(S,n)%顯示表達(dá)式 S 的 n 個(gè)有效數(shù)字，S 是符號(hào)型或數(shù)值型例 10 vpa(pi,20) ans = 3.1415926535897932385五、建立函數(shù)的 4 種方法Matlab 中常用的函數(shù)類型有 4 種，不同的命令適用不

18、同的函數(shù)，效果也不一樣。1、函數(shù) M 文件函數(shù) M 文件是 M 文件類型之一，它的作用是定義新函數(shù).函數(shù) M 文件建立步驟如下：點(diǎn)擊 FileNew M-file；在 M 文件編輯窗口中輸入程序內(nèi)容；點(diǎn) File Save，以 m 為擴(kuò)展名存盤(pán)，且文件名等于函數(shù)名.其中在 M 文件編輯窗口中，程序第一行格式為：function因變量名=函數(shù)名(自變量名)(x 120)2 1202下面各行為從自變量計(jì)算因變量的語(yǔ)句，并將最終結(jié)果賦給因變量.(x 20)2 1002例 11定義函數(shù) f (x) 第一步建立函數(shù)：在 M 文件編輯窗口中輸入程序： function yy=ff(x)，并求 f (100

19、)yy=sqrt(x-20)2+1002)+sqrt(x-120)2+1202)以 ff.m 為文件名存盤(pán).第二步計(jì)算在 Matlab 命令窗口中輸入程序：ff(120) 2、符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)就是關(guān)于自變量 x 的符號(hào)表達(dá)式例 12建立函數(shù) y x2 x 1 ，并求當(dāng) x 1 時(shí)， y 的值。syms x y=x2+x+1; x=1;eval(y) ans =33、字符串函數(shù)字符串量本質(zhì)上就是以符號(hào)量為元素的向量。例 13建立函數(shù) y x2 x 1 ，并求當(dāng) x 1 時(shí)， y 的值。syms xy=x2+x+1;%y 是一個(gè)字符串量x=1;eval(y) ans =34、inline 函數(shù)建立

20、格式：函數(shù)名=inline(函數(shù)表達(dá)式，自變量 1，自變量 2)函數(shù)名=inline(函數(shù)表達(dá)式)%自變量默認(rèn)為 x 注：inline 函數(shù)與函數(shù) M 文件基本一致，優(yōu)點(diǎn)在于更方便。例 14建立函數(shù) y x2 x 1 ，并求當(dāng) x 1 時(shí)， y 的值。ff=inline(x2+x+1);ff(1) ans =3第五節(jié)數(shù)組與矩陣初步本節(jié)僅介紹數(shù)組與矩陣的創(chuàng)建和簡(jiǎn)單運(yùn)算，其更深入的介紹見(jiàn)附錄線性代數(shù)部分. Matlab 的基本運(yùn)算單位是矩陣，即便是一般實(shí)數(shù)也是一行一列的矩陣， 所以對(duì)矩陣的處理很重要。一、基本概念定義：稱 m 行 n 列的數(shù)表 aaa 11121n aaa21222n為矩陣，稱 1

21、 行 n 列的數(shù)表aaam1m2mna , a 1n或者 n 行 1 列的數(shù)表 a 1 a n為數(shù)組(或向量)。數(shù)組是特殊的矩陣。二、創(chuàng)建1、數(shù)組的創(chuàng)建有兩種方式：直接輸入例 1x=1，2，3，5，-5，8 %元素之間也可以用空格隔開(kāi)x =1235-58等差元素?cái)?shù)組數(shù)組的元素構(gòu)成等差數(shù)列，則使用下列命令：x=a：b%創(chuàng)建從 a 開(kāi)始，以 1 為公差，到b 結(jié)束的行向量x=a：d：b%創(chuàng)建從 a 開(kāi)始，以d 為公差，到b 結(jié)束的行向量x=linspace(a，b，n）%創(chuàng)建從 a 開(kāi)始，到b 結(jié)束，有n 個(gè)元素的行向量例 2 a=2:5 a =2345b=2:3:10b =258 c=linsp

22、ace(1,5,3) c =1352、矩陣的創(chuàng)建逗號(hào)或空格用于分隔某一行的元素，分號(hào)用于區(qū)分不同的行. 除了分號(hào)，在輸入矩陣時(shí)，按 Enter 鍵也表示開(kāi)始新一行. 輸入矩陣時(shí)，嚴(yán)格要求所有行有相同的列.例 3 A=1 2 3 4；5 6 7 8；9 10 11 12 B=111122223333 A =123456789101112B =111122223333三、運(yùn)算設(shè) a=a1,a2,an, c 是標(biāo)量，則a+c=a1+c,a2+c,an+c a.*c=a1*c,a2*c,an*ca./c= a1/c,a2/c,an/c (右除） a.c= c/a1,c/a2,c/an (左除） a.c

23、= a1c,a2c,ancc.a= ca1,ca2,can 設(shè) a=a1,a2,an, b=b1,b2,bn，則a+b= a1+b1,a2+b2,an+bn a.*b= a1*b1,a2*b2,an*bna./b= a1/b1,a2/b2,an/bn a.b=b1/a1,b2/a2,bn/an a.b=a1b1,a2b2,anbn矩陣之間的、.*、./、.運(yùn)算與數(shù)組一致。凡點(diǎn)運(yùn)算都是指對(duì)應(yīng)元素分別運(yùn)算。例 4 a=1,2,3;b=4,5,6;a+b,a.*b,a.bans =579ans =41018ans =132729 c=1,2,3;4,5,6;d=4,5,6;7,8,9;c+d,c.*

24、d,c.dans=579111315ans=41018284054ans=1327291638439062510077696四、元素的調(diào)用1、數(shù)組元素的調(diào)用x(i)%表示數(shù)組 x 的第 i 個(gè)元素.x(a,b,c)%表示數(shù)組 x 中第 a 個(gè)、第b 個(gè)、第c 個(gè)元素組成的數(shù)組2、矩陣元素的調(diào)用A(i)%表示矩陣 A 的第 i 個(gè)元素，矩陣元素的順序?yàn)閺牡谝涣械脑亻_(kāi)始計(jì)數(shù)，然后第二列，依次類推A(i,j)%表示矩陣 A 的第 i 行，第 j 列元素A(i，：)%表示矩陣 A 的第 i 行元素A(：，j)%表示矩陣 A 的第 j 列元素A(a:b,c:d)%表示矩陣 A 的第 a 行至第 b 行

25、，第 c 列至第 d 列組成的新矩陣第二章程序設(shè)計(jì)對(duì)于簡(jiǎn)單的問(wèn)題，可以直接調(diào)用命令解決，但對(duì)于復(fù)雜一些，特別是計(jì)算過(guò)程較長(zhǎng)的問(wèn)題，就需要編程計(jì)算了。Matlab 可以像 c 語(yǔ)言一樣進(jìn)行程序編寫(xiě)和設(shè)計(jì).關(guān)系操作符說(shuō)明邏輯操作說(shuō)明一、關(guān)系與邏輯符小于且大于否定=大于或等于= =等于=不等于利用關(guān)系與邏輯的符號(hào)，可以編寫(xiě)很多數(shù)學(xué)表達(dá)式.二、循環(huán)語(yǔ)句循環(huán)語(yǔ)句最好以 M 文件的方式編寫(xiě)和運(yùn)行.1、for 循環(huán)命令格式： orx=數(shù)組命令串；end在for 和end 語(yǔ)句之間的命令串按數(shù)組中的每一列執(zhí)行一次. 在每一次迭代中，x 被指定為數(shù)組的下一列，即在第 k 次循環(huán)中，x=數(shù)組中的第 k 個(gè)元素.n

26、例 1對(duì) n=1,2,20,分別求 x = sin n 的值.10程序如下：forn=1:20 x(n)=sin(n*pi/10);% 將每一次的運(yùn)算值付給向量的一個(gè)元素，以方便調(diào)用end x例 2求數(shù)列an 1 的前 100 項(xiàng)和。n2s=0;n=100;fork=1:ns=s+1/k2;end s運(yùn)行結(jié)果：s =1.6350例 3建立一個(gè)求階乘的函數(shù) M 文件，并求10 1。(2n)!在 M 文件窗口中輸入： functiony=jc(x) p=1;for k=1:xp=p*k; endy=p;以 jc 為文件名保存，在命令窗口中輸入： s=0;n=10;for k=1:ns=s+jc(2

27、*k);n1end s運(yùn)行結(jié)果：s = 2.4393e+0182、While 循環(huán)命令格式： while條件命令串；end只要條件為真，就執(zhí)行while 和 end 語(yǔ)句之間的命令串. 它與 for 循環(huán)以固定次數(shù)求一組命令相反，while 循環(huán)以不定的次數(shù)求一組語(yǔ)句的值.例 4 求滿足不等式1 1 1 10 的最小 n 的值。2n s=0;n=0;while s1y=x2+1;endif xx= 0：0.001：2*pi;%0.001 為向量元素的公差，越小越點(diǎn)越多，圖形越真實(shí)y1=sin(x); y2=cos(x);plot(x,y1,r,x,y2, co) 例 2在0, 上畫(huà) y=cos

28、 x 的圖形. 程序如下：ezplot(cos(x) ,0,pi) 也可以這樣編寫(xiě)：syms x y=cos(x);ezplot(y,0,pi) 例 3在0,2 上畫(huà) x cos3t ， y sin3t 星形圖.程序如下： ezplot(cos(t)3,sin(t)3,0,2*pi) 例 4在-2，0.5，0，2上畫(huà)隱函數(shù)ex sin(xy) 0 的圖. 程序如下：ezplot(exp(x)+sin(x*y),-2,0.5,0,2) 例 5在區(qū)間1,1 畫(huà)出函數(shù) y sin 1 的圖形.x程序如下：fplot(sin(1/x),-1,1) 例 6作出極坐標(biāo)方程為r 2(1 cos t) 的曲線

29、的圖形.程序如下：t=0:0.1:2*pi;r=2*(1-cos(t);polar(t,r) 例 7分別作出取整函數(shù) y x 和函數(shù) y x x 的圖形程序如下：subplot(1,2,1),ezplot(fix(x),subplot(1,2,2),ezplot(x-fix(x) 例 8畫(huà)冪函數(shù) y xk, k 1,2,3,4 的圖像. 程序如下： hold on, x=-1:0.1:4;for k=1:4 y=x.k; plot(x,y), endhold offcos x, x 0,例 9作出分段函數(shù) f (x) 5, x 0,的圖形程序如下：ex 10, x 0,x1=-2:0.1:0;

30、x2=0:0.1:2;y1=cos(x1);y2=exp(x2)+10;plot(x1,y1,x2,y2) 為畫(huà)出分解點(diǎn)出的情況，可以繼續(xù)輸入命令： hold on,plot(0,cos(0),ro), plot(0,exp(0)+10,ro),plot(0,5,r*) 也可以先建立函數(shù) M 文件，在調(diào)用 fplot 命令繪圖(對(duì)于函數(shù)圖像跳躍程度比較劇烈的必須使用這種方法)。第二節(jié)三維繪圖基本命令：1、plot3plot3 (x,y,z,s)% x,y,z 是維數(shù)相同的向量，它們的元素分別表示空間點(diǎn)的坐標(biāo)，s 表示連線的顏色、線形和點(diǎn)的形狀.plot3(x,y,z)%x,y,z 同型矩陣，對(duì)

31、應(yīng)每一列表示一條曲線，可以做出若干條曲線.2、meshgridU,V=meshgrid(x,y)%x，y 為向量，x，y 可以構(gòu)成網(wǎng)格點(diǎn)陣，命令產(chǎn)生的矩陣 U 的元素為點(diǎn)陣的橫坐標(biāo)，V 的元素為點(diǎn)陣的縱坐標(biāo)，見(jiàn)下圖所示 x 的 5 個(gè)值與y 的 4 個(gè)值產(chǎn)生 45 的兩個(gè)點(diǎn)陣 U,V，其矩陣元素分別來(lái)自 x，y3、meshmesh(X,Y,Z)%X,Y,Z 是維數(shù)相同的矩陣，它們的元素分別表示空間點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)，所得曲面是將點(diǎn)用平面連接的曲面(網(wǎng)格曲面).meshc(X,Y,Z)%除了 mesh (X,Y,Z)的功能外，還在曲面下方畫(huà)出等高線4、surfsurf(X,Y,Z)% X,Y,Z 是維

32、數(shù)相同的矩陣，它們的元素分別表示空間點(diǎn)的坐標(biāo)，所得曲面是將點(diǎn)用平滑的曲面連接的曲面.surfc(X,Y,Z)%除了 surf(X,Y,Z)的功能外，還在曲面下方畫(huà)出等高線5、ezmesh 和 ezsurfezmesh(f(x,y)%畫(huà)出函數(shù) z=f(x,y)，這是字符串型函數(shù)繪圖ezsurf(f(x,y)%同上ezmesh(x,y,z)%作出參數(shù)曲面 x=x(s,t),y= y(s,t),z= z(s,t),其中 s，t 默認(rèn)范圍是-2*pis2*pi，-2*pit2*pi,x，y，z 都是符號(hào)表達(dá)式ezmesh(x,y,z,s1 s2 t1 t2)%作用同上，只是 s，t 的范圍改為 s1s

33、s2，t1t7) 那么輸出結(jié)果ii =24678910例 1在區(qū)間0，10畫(huà)出參數(shù)曲線 x=sint,y=cost,z=t.程序如下： t=0:pi/50:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t,ro) 例 2作出函數(shù) z x2 y2 的圖像,并作出 10 條等高線.程序如下： x=-3:0.1:3;y=x;X,Y=meshgrid(x,y); Z=X.2+Y.2;subplot(1,2,1),mesh(X,Y,Z),subplot(1,2,2), clabel(contour(X,Y,Z,10) 例 3 作出橢球面 x2 y 2 z 2 1 的圖形491程序如下：x=2*c

34、os(s)*sin(t);y=3*cos(s)*cos(t);z=sin(s); ezmesh(x,y,z) 注意：沒(méi)有直接作出曲面 F(x,y,z)=0 圖像的命令。例 4作出單葉雙曲面 x2 y 2 z 2 1 的圖形149程序如下：x=-3:0.01:3;y=-3:0.01:3;x,y=meshgrid(x,y); z=sqrt(9*(x.2+y.2/4-1);ii=find(imag(z)=0);% imag(z)表示 z 的虛部z(ii)=NaN;z1=-z;mesh(x,y,z), hold on, mesh(x,y,z1) 注意：本例也可以用例 12 的方法來(lái)做。例 5作出錐面

35、z x2 2 y2 和 z x2 y2 5相交的圖形程序如下：x,y=meshgrid(-2:0.01:2);z1=x.2-2*y.2; z2=x.2+y.2-5; mesh(x,y,z1); hold on mesh(x,y,z2);ii=find(abs(z1-z2)n=1:100;y=n.(1./n);plot(y,ro) 圖像如下：可以看出極限是 1.從數(shù)值計(jì)算來(lái)看：for n=1:1:10 x(n,1)=n;x(n,2)=n(1/n);x(n,3)=n(1/n)-1;end x運(yùn)行結(jié)果(x 的第二列是數(shù)列的項(xiàng)，第三列是項(xiàng)與 1 的差)： x =1.00001.000002.00001

36、.41420.41423.00001.44220.44224.00001.41420.41425.00001.37970.37976.00001.34800.34807.00001.32050.32058.00001.29680.29689.00001.27650.276510.00001.25890.2589例 2、數(shù)列1 3 計(jì)算數(shù)列的前 30 項(xiàng)的近似值. 作散點(diǎn)圖, 觀x0 1, xn 2 xn1 x.n1 察點(diǎn)的變化趨勢(shì).程序如下：x(1)=sqrt(2); for n=1:30 x(n+1)=sqrt(2+x(n); endplot(x,ro) 可以看出數(shù)列取值趨近于 2.ab例

37、3、求極限lim x(1 )x sin( )xxx程序如下：syms a b x; y=x*(1+a/x)x)*sin(b/x);limit(y,x,inf) 例 4、求極限limx0ex3 11 cosx sin x程序如下：syms x;y=(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x);limit(y,x,0,right) 例 5函數(shù) y e2 x ln(x2 1)tan(x) ，求 y, y syms xy=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y), y3= diff(y,3) 例 6求函數(shù) f ( x) sin ax cos bx 的一階導(dǎo)數(shù). 并

38、求 f 1 . a b syms x a by=sin(a*x)*cos(b*x);y1=diff(y),x=1/(a+b);y11=eval(y1) 例 7函數(shù)，求2 z 2 z 2 zz ax2 y3 b sin(xy)syms a b x y z=a*x2*y3+b*sin(x*y);x2,y2,xyzxx=diff(z,x,2), zyy=diff(z,y,2), zxy=diff(diff(z,x),y) 例 8參數(shù)式函數(shù) x a(t sin t) ,求 dysyms a t y a(1 cos t)dxx=a*(t+sin(t);y=a*(1-cos(t); diff(y,t)/d

39、iff(x,t) 例 9隱函數(shù)exy x y 1 ，求 dydxsyms x yz=exp(x*y)+x+y-1;-diff(z,x)/diff(z,y) 例 10 求下列積分dxx2 1 x2（1） 1dx ;（2） 1dx ;(3) 3.sin2 x cos2 xsyms x ax2 a21y1=1/(sin(x)2*cos(x)2);y2=1/(x2-a2);y3=1/(x2*sqrt(1+x2); i1=int(y1,x),i2=int(y2,x),i3=int(y3,x,1,sqrt(3) 例 11計(jì)算積分 1 e x2dx 。0方法一： y=exp(-x.2);quad(y,0,1

40、) 方法二：x=0:0.01:1;y=exp(-x.2);trapz(x,y) 例 12計(jì)算重積分 D1 x2 y2 d D 是由圓周 x2 y2 1 及坐標(biāo)軸在第一象1 x2 y2限圍成的閉區(qū)域。syms x yz=sqrt(1-x2-y2)/(1+x2+y2); int(int(z,y,0,sqrt(1-x2),x,0,1) 顯示結(jié)果：Warning: Explicit integral could not be found.換為極坐標(biāo)下計(jì)算：syms t rz=sqrt(1-r2)/(1+r2)*r;int(int(z,r,0,1),t,0,2*pi) 例 13計(jì)算1 dy 1xydx

41、的近似值。1 x30y2下載 quad2dggen.m 及相關(guān)文件(可在機(jī)房老師處拷貝)裝到 matlab/work 目錄下.命令格式：quad2dggen(fun,x1,x2,y1,y2)%計(jì)算積分 y 2 dy x 2 f (x, y)dxy1x1quad2dggen(fun,x1,x2,y1,y2,c)%同上，c 為精度注意：該命令只能計(jì)算 y-型區(qū)域的二重積分。其中 fun,x1,x2 均為向量型的 inline 函數(shù) fun=inline(x.*y./sqrt(1+x.3); x1=inline(y.2); x2=inline(1); quad2dggen(fun,x1,x2,0,1

42、) 例 14求 y2 ds ， x 3cos t, y 3sin t, t 2,2 Lsyms t x=3*cos(t);y=3*sin(t);z=y2*sqrt(diff(x,t)2+diff(y,t)2); int(z,t,-2*pi,2*pi) 第二節(jié)泰勒多項(xiàng)式、級(jí)數(shù)1、泰勒多項(xiàng)式函數(shù) y f (x) 的泰勒多項(xiàng)式是指形如a a x a x2 a xn012n的多項(xiàng)式，其中a f (k ) (0) , k 0,1, n 。而關(guān)于 x x的泰勒多項(xiàng)式是指形如kk !a0 a (x x ) a (x x )2 a (x x )n01020n0的多項(xiàng)式，其中a kf (k ) (x )0k !

43、, k 0,1, n。其中n稱為泰勒多項(xiàng)式的階數(shù)。階數(shù)越高泰勒多項(xiàng)式越和函數(shù)本身接近。命令格式：taylor(fun,x,n)%符號(hào)函數(shù)關(guān)于 x 的 n-1 階泰勒多項(xiàng)式taylor(fun)%符號(hào)函數(shù)關(guān)于 x 的 5 階泰勒多項(xiàng)式taylor(fun,x,n,x )%符號(hào)函數(shù)關(guān)于x-x 的n-1 階泰勒多項(xiàng)式00例 1設(shè)函數(shù) f (x) x arctan x ln 1 x2 ，求關(guān)于 x 的 10 階泰勒多項(xiàng)式；關(guān)于 x-2 的 10 階泰勒多項(xiàng)式。syms xy=x*atan(x)-log(sqrt(1+x2); y1=taylor(y,x,11), y2=taylor(y,x,11,2)

44、 例 2設(shè) y sin x ，求該函數(shù)的 3 階、8 階、15 階泰勒多項(xiàng)式，并畫(huà)出圖形觀察它們與 y sin x 的關(guān)系。 syms x y=sin(x);subplot(2,2,1),ezplot(y), k=2;for n=4,9,16yy=taylor(y,x,n),subplot(2,2,k),ezplot(yy),k=k+1;end2、級(jí)數(shù)求和命令格式：sum(x)%計(jì)算向量 x 的元素的和symsum(an,n,a,b)%計(jì)算通項(xiàng)為an 的數(shù)列對(duì)變量n 從a 到b 項(xiàng)的和例 3求和1 3 99x=1:2:99;sum(x) 例 4求和(1) 100 n3 ；(2) 1(2n 1)

45、(2n 1)n1n 1symsnx;(3) xnn0an=n3;bn=1/(2*n-1)*(2*n+1);cn=xn symsum(an,n,1,100),symsum(bn,n,1,inf), symsum(cn,n,0,inf) 第三節(jié)方程與微分方程一、一般方程1、圖解法畫(huà)出函數(shù)圖象，然后盡量放大圖像，可以觀察根的大小。例 1 解方程ex 2x 10 hold on,ezplot(exp(x),-100,100),ezplot(-2*x+10,-100,100)放大之后為：可以看出根在 1.8221.823 之間。2、多項(xiàng)式求根命令格式：x=roots(A)說(shuō)明：x 為根向量，A 為多項(xiàng)式

46、系數(shù)向量，按降冪排列.最高次數(shù)小于 5 可以求出根的準(zhǔn)確形式，次數(shù)大于或等于 5 很多方程只能求近似形式.例 2解方程 x3 9x 10 0a=1,0,9,-10;roots(a) 3、代數(shù)方程求根所謂代數(shù)方程是指通常指“整式方程”，即由多項(xiàng)式組成的方程。命令格式：x=solve(F)對(duì)方程 F=0 的默認(rèn)變量求解x=solve(F，v)對(duì)方程 F=0 的指定變量 v 求解x=solve(F1，F(xiàn)n)對(duì) n 個(gè)方程的默認(rèn)變量求解x=solve(F1，F(xiàn)n,v1,，vn)對(duì) n 個(gè)方程的 n 個(gè)指定變量求解說(shuō)明：1、solve 命令適合于符號(hào)方程，默認(rèn)未知量為x，沒(méi)有 x 則指在字母表中離x 最

47、近的字母；2、solve 命令主要求解代數(shù)方程或代數(shù)方程組，也可以用于超越方程的求解，但能力有限。例 3解方程 x2 ax 4b 0syms a b xF=x2-a*x-4*b;solve(F,x) x 3y 0例 4解方程組x2 y2 1syms x yf1=x+3*y;f2=x2+y2-1; x,y=solve(f1,f2,x,y)4、超越方程求根超越方程指除多項(xiàng)式函數(shù)方程之外的方程，一般超越方程只能求近似解，對(duì)于超越方程組在很多情況下連近似解也求不出來(lái).一元方程的情形命令格式：x=fzero(fun,x )0 x=fzero(fun,x ,tol)0 x=fzero(fun,a,b)說(shuō)明

48、：fzero(fun,x )表示在 x 的附近收索方程 fun=0 的根，tol 表示求根的00精度， fzero(fun,a,b) 表示在a,b上收索方程 fun=0 的根，要求函數(shù) fun在區(qū)間端點(diǎn)異號(hào). 函數(shù) fun 的形式為字符串型或者 M 文件型均可。例 5求方程 x cos2 x 在 1 附近的根。fzero(x-cos(x)2 ,1) 多元方程組的情形命令格式：x=fsolve(fun,x )0 x=fsolve(fun,x ,tol)0 x=fsolve(fun,a,b) x y2例 6 解方程組在點(diǎn)(1,2) 附近的根。 y cos xfun=x(1)-x(2)2,x(2)-

49、cos(x(1); fsolve(fun,1,2) 二、微分方程1、符號(hào)解命令格式：dsolve(方程 1,方程 2,方程n,初始條件,自變量)例 7求微分方程 dy y2的解.dxdsolve(Dy=y2, x) d2 y 4 dy 29 y 0 dx2例 8求微分方程組dx的解. y(0) 0, y (0) 15y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),ezplot(y,-1,2)%本命令是畫(huà)出解在區(qū)間1,2 上的圖像說(shuō)明：其中 Dy 表示 y 的一階導(dǎo)數(shù)，D2y 表示 y 的二階導(dǎo)數(shù) dt dx 2x 3y 3z dt例 9求微分方程組dy

50、4x 5 y 3z 的通解.dz 4x 4 y 2z dtx,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2* z, t)；x=simple(x),% 該行的作用是將 x 化簡(jiǎn)y=simple(y),% 該行的作用是將 y 化簡(jiǎn)z=simple(z) % 該行的作用是將 z 化簡(jiǎn)2、數(shù)值解很多復(fù)雜微分方程的符號(hào)解是求不出來(lái)的，這時(shí)只能求數(shù)值解(近似解).求數(shù)值解實(shí)際上是求出其積分曲線上若干點(diǎn)的坐標(biāo)(近似的)，為方便直觀，通常將這些離散的點(diǎn)畫(huà)出來(lái).命 令 格 式 ： t，x=ode45(equ,t0,tf,x0) 說(shuō)明：1、t 表示自變

51、量值；x 表示函數(shù)值；equ 表示由待解方程寫(xiě)成的 M 文件名； t0、tf 為自變量的初值和終值；x0 表示函數(shù)的初值2、在解含 n 個(gè)未知數(shù)的方程組時(shí)，x0 和 x 均為 n 維向量，M 文件中的待解方程組應(yīng)以 x 的分量形式寫(xiě)出.3、高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.d2 x例 10求 dt 2dxd 的解.1000(1 x2 )x0tx(0) 2; x (0) 0分析：令 x = dx , x x1 dt2則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組： dx1 1000(1 x2 )x x dt212 ，初始條件 x (0) 0, x (0) 2dx122xdt1Matlab 解法如下：1

52、、 建 立 M 文 件 equ.m 如 下 ： function dxdt=equ(t,x) dxdt(1)=1000*(1-x(2)2)*x(1)+x(2);dxdt(2)= x(1);2、取 t0=0，tf=3000，輸入命令： t,x=ode45(equ,0 3000,0 2);plot(t,x(:,1),o) %畫(huà)出解的圖像第五章優(yōu)化問(wèn)題求極值問(wèn)題，就是優(yōu)化問(wèn)題，它一般由目標(biāo)函數(shù)和約束條件兩部分構(gòu)成。優(yōu)化問(wèn)題實(shí)踐性很強(qiáng)，廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)管理、軍事指揮和科學(xué)試驗(yàn)等各種領(lǐng)域。第一節(jié)多元函數(shù)的建立優(yōu)化問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)，往往是多元函數(shù)，因此需要建立多元函數(shù)。其建立的方式與一元函數(shù)的方式一致，下面

53、通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明。例 1定義二元函數(shù) z 5x2 4 y3 sin(xy) ,當(dāng) x 1, y 2 時(shí)，求 z 的值. 建立方法一：syms x yz=5*x2+4*y3+sin(x*y), x=1;y=2;eval(z) 建立方法二：z=5*x(1)2+4*x(2)3+sin(x(1)*x(2), x=1,2;eval(z) 例 2定義二元函數(shù) z 5x2 4 y3 sin(xy) ，并求當(dāng) x=1，y=2 時(shí)的函數(shù)值.除了使用上面的方法，還可以用 M 文件的方法建立，步驟如下： 1、建立 M 文件：functionz=f1(x,y) z=5*x2+4*y3+sin(x*y)；以 f1.m 為

54、文件名保存.2、在 Matlab 命令區(qū)輸入命令：z=f1(1,2) 第二節(jié) 無(wú)約束條件的優(yōu)化一、一元函數(shù)的情形求一元函數(shù) y f (x) 在區(qū)間a, b 內(nèi)的極小值。命令格式：x=fminbnd(fun,a,b)x,fval=fminbnd(fun,a,b)說(shuō)明：1、函數(shù) fun 的格式可以為：字符串型、M 文件型、inline 函數(shù)2、x 為在區(qū)間a, b 內(nèi)函數(shù) fun 的極小值點(diǎn)，fval 為在極小值；3、函數(shù) fminbnd 的算法基于黃金分割法和二次插值法，要求目標(biāo)函數(shù)y f (x) 連續(xù)，并可能只給出局部最優(yōu)解.例 1 求 y = 2 e x sin x 在 0 x f=2*ex

55、p(-x)*sin(x);fplot(f,0,8);%作出函數(shù)圖象xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8)%求出函數(shù)最小值點(diǎn)，和最小值f1=-2*exp(-x)*sin (x);a,b=fminbnd (f1, 0,8); xmax=a, ymax=-b%求出函數(shù)最大值點(diǎn)，和最大值運(yùn)行結(jié)果：xmin = 3.9270ymin = -0.0279xmax =0.7854ymax =0.6448二、多元函數(shù)的情形命令格式 1：x= fminunc(fun,X0) x，fval= fminunc(fun,X0） 命 令 格 式 2： x=fminsearch(fun,X0)x，fval=

56、 fminsearch(fun,X0)說(shuō)明：1、fminunc 是采用擬牛頓法尋優(yōu)；fminsearch 是用單純形法尋優(yōu). 2、X0 是初始點(diǎn)，它最好位于極值點(diǎn)的附近.3、可能得到局部最優(yōu)解.4、對(duì)于求解二次以上的問(wèn)題，fminunc 函數(shù)比 fminsearch 函數(shù)有效，但對(duì)于高度非線性不連續(xù)問(wèn)題時(shí)，fminsearch 函數(shù)更具穩(wěn)鍵性。例 2 求 f (x , x ) 2x 3 4x x 3 10 x x x 2 的最小值。1211 21 22解：在 Matlab 中實(shí)現(xiàn)如下： f=2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2; x0=0,0;x,fm

57、in=fminsearch(f,x0) 或著：1、在 Matlab 編輯器中編輯 M 文件： function f=fun(x)f=2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2; 2、命令窗口運(yùn)行： x0=0,0;x,fmin=fminsearch(fun,x0) 第三節(jié)線性規(guī)劃與二次規(guī)劃帶有約束條件類優(yōu)化問(wèn)題分為兩種情況，一是線性規(guī)劃；二是非線性規(guī)劃。對(duì)于線性規(guī)劃，Matlab 能夠完全有效地解出，而非線性規(guī)劃，也有強(qiáng)大解決功能。一、線性規(guī)劃線性規(guī)劃是帶有約束條件類優(yōu)化問(wèn)題中最常見(jiàn)的一類，它一般形式為：minz c x c x1 1n n a x a x b

58、不等式約束條件11 1 a x1n n1 a x bs.t. m1 1mn nm等式約束條件 e x e xd11 1 e x1n n1變量上、下界 e x d m1 1mn nml x m , i 1,2, n可以用矩陣的形式表示為：iiiminz cX AX bs.t. AeqX beqvlb x vub其中： X 為 n 維未知列向量， c 為目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)向量， A 是不等式約束的系數(shù)矩陣，b 是常數(shù)項(xiàng)向量， Aeq 是等式約束的系數(shù)矩陣，beq 常數(shù)項(xiàng)向量，vlb, vub 分別是自變量取值的下界和上界約束的常數(shù)向量.命 令 格 式 ： x=linprog（c，A，b） x=linp

59、rog（c，A，b，Aeq,beq）x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） x,fval = linprog(.)x,fval,exitflag = linprog(.) x,fval,exitflag,output = linprog(.) x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(.) 說(shuō)明：x = linprog(c,A,b) 求解問(wèn)題 min c*x，約束條件為 A*x0表示目標(biāo)函數(shù)收斂于解 x 處；=0表示已經(jīng)達(dá)到函數(shù)評(píng)價(jià)或迭代的最大次數(shù)； f

60、=-5;-4;-6; A=1 -1 1;3 2 4;3 2 0; b=20;42;30; lb=zeros(3,1); x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,lb) Optimization terminated successfully.x =0.000015.00003.0000fval =-78.0000exitflag = 1output =iterations: 6cgiterations: 0 algorithm: lipsollambda =ineqlin: 3x1 double eqlin: 0 x1 double upper: