北京四中中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理-知識講解（提高）

1、PAGE 第PAGE 頁碼11頁/總NUMPAGES 總頁數(shù)11頁Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.中考總復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理（提高）撰稿：趙煒 審稿：杜少波【考綱要求】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題；4.加強(qiáng)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問題以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】知識點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即：）.【要點

2、詮釋】勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是:圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變;根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.3.勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：

3、已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊,在中，則，;知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系;可運(yùn)用勾股定理解決一些實際問題.知識點二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形. 【要點詮釋】勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，為

4、三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊；勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形.3.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù);記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等;用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）知識點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：勾股定理

5、是直角三角形的性質(zhì)定理，能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解；而其逆定理是判定定理，能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論2.聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān). 在

6、解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決.【典型例題】類型一、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用【高清課堂：勾股定理及其逆定理 例2】1我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是_ 【思路點撥】根據(jù)圖形的特征得出線段之間的關(guān)系，進(jìn)而利用勾股定理求出各邊之間的關(guān)系，從而得

7、出答案【答案與解析】圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，CG=NG，CF=DG=NF，S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CGDG，=GF 2+2CGDG，S2=GF 2，S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NGNF，S1+S2+S3=10=GF 2+2CGDG+GF 2+NG 2+NF 2-2NGNF，=3GF 2，S2=【總結(jié)升華】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出S1+S2+S3=10=GF 2+2CGDG+GF 2+NG 2+NF 2-2NGNF=3GF 2是解決問題的關(guān)鍵【變式】若ABC三邊a、b、c 滿足

8、abc338=10a+24b+26c，ABC是直角三角形嗎？為什么？【答案】abc338=10a+24b+26cabc33810a24b26c =0（a10a+25）（b24b+144）（c26c+169）=0即 a=5，b=12，c=13又ab=c=169，ABC是直角三角形.2（2012北京）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，BAC=90，CED=45，DCE=30，DE=，BE=2求CD的長和四邊形ABCD的面積【思路點撥】此題涉及到的知識點有勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形【答案與解析】過點D作DHAC，CED=45，DHEC，DE=，EH=DH，EH

9、2+DH2=ED2，EH2=1，EH=DH=1，又DCE=30，DC=2，HC=，AEB=45，BAC=90，BE=2，AB=AE=2，AC=2+1+=3+，S四邊形ABCD=2（3+）+1（3+）=【總結(jié)升華】此題主要考查了解直角三角形和三角形面積求法，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形進(jìn)而得出直角邊的長度是解題關(guān)鍵舉一反三： 【變式】如圖，ABC中，有一點P在AC上移動若AB=AC=5，BC=6，則AP+BP+CP的最小值為（）A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10【答案】C.類型二、勾股定理及其逆定理與其他知識的結(jié)合應(yīng)用?！靖咔逭n堂：勾股定理及其逆定理 例7】3.王偉準(zhǔn)備用一段長30米的籬

10、笆圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米（1）請用a表示第三條邊長；（2）問第一條邊長可以為7米嗎？請說明理由，并求出a的取值范圍；（3）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數(shù)？若能，說明你的圍法；若不能，說明理由【思路點撥】（1）本題需先表示出第二條邊長，即可得出第三條邊長（2）本題需先求出三邊的長，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式組，即可求出a的取值范圍（3）本題需先求出a的值，然后即可得出三角形的三邊長【答案與解析】（1）第二條邊長為2a+2，第三條邊長為30-a-（2a+2）=28-3a（2）當(dāng)a

11、=7時，三邊長分別為7，16，7由于7+716，所以不能構(gòu)成三角形，即第一條邊長不能為7米由可解得.即a的取值范圍是（3）在（2）的條件下，注意到a為整數(shù)，所以a只能取5或6當(dāng)a=5時，三角形的三邊長分別為5，12，13由52+122=132知，恰好能構(gòu)成直角三角形；當(dāng)a=6時，三角形的三邊長分別為6，14，10由62+102142知，此時不能構(gòu)成直角三角形；綜上所述，能圍成滿足條件的小圈，它們的三邊長分別為5米，12米，13米【總結(jié)升華】本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，在解題時要能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，列出不等式組是本題的關(guān)鍵4.（2011黑龍江大慶）如圖，ABCD是一張邊AB長為2，

12、邊AD長為1的矩形紙片，沿過點B的折痕將A角翻折，使得點A落在邊CD上的點A處，折痕交邊AD于點E（1）求DAE的大?。唬?）求ABE的面積【思路點撥】（1）先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出RtABERtABE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出DAE的度數(shù)；（2）設(shè)AE=x，則ED=1x，AE=x，在RtADE中，利用sinDAE=可求出x的值，在根據(jù)RtABE中，AB=AB，利用三角形的面積公式即可求解【答案與解析】（1）ABE是ABE翻折而成，RtABERtABE，在RtABC中，AB=2，BC=1得，BAC=30，又BAE=90，DAE=60；（2）解法1：設(shè)AE=x，則ED=1-x，AE=x，

13、在RtADE中，sinDAE=，即=，得x=4-2，在RtABE中，AE=42，AB=AB=2，SABE=2（42）=4-2；解法2：在RtABC中，AB=2，BC=1，得AC=，AD=2-，設(shè)AE=x，則ED=1-x，AE=x，在RtADE中，AD2+DE2=AE2，即（2-）2+（1x）2=x2，得x=4-2，在RtABE中，AE=4-2，AB=AB=2，SABE=2（4-2）=4-2【總結(jié)升華】本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到勾股定理及矩形的性質(zhì)，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖，在A

14、BC中，已知C=90，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c是在ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個頂點在AB上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另一組對邊分別在BC上或與BC平行若各矩形在AC上的邊長相等，矩形a的一邊長是72cm，則這樣的矩形a、b、c的個數(shù)是（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D.5 .如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30，點A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時

15、間為多少秒？ 【思路點撥】（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m， 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度.（2）要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機(jī)對學(xué)校A的影響過程中所行駛的路程.因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點開始影響學(xué)校，行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校.【答案與解析】作ABMN，垂足為B 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80 （直角三角形中，30所對的直角邊等于斜邊的一半） 點 A到直線MN的距離小于100m， 這所中學(xué)會受到噪聲的影響. 如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛

16、到點C處時學(xué)校開始受到影響，那么AC100(m)， 由勾股定理得： BC210028023600， BC60m 同理，假設(shè)拖拉機(jī)行駛到點D處時學(xué)校開始不受影響，那么AD100(m)，BD60(m)， CD120(m). 拖拉機(jī)行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s 答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒 .【總結(jié)升華】勾股定理是求線段長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作垂線的方法，構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理.6如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點F在DC上，DF=2動點M

17、、N分別從點D、B同時出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點A的方向運(yùn)動（點M可運(yùn)動到DA的延長線上），當(dāng)動點N運(yùn)動到點A時，M、N兩點同時停止運(yùn)動連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時，可得FMN，過FMN三邊的中點作PWQ設(shè)動點M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運(yùn)動的時間為x秒試解答下列問題：（1）說明FMNQWP；（2）設(shè)0 x4（即M從D到A運(yùn)動的時間段）試問x為何值時，PWQ為直角三角形？當(dāng)x在何范圍時，PQW不為直角三角形？（3）問當(dāng)x為何值時，線段MN最短？求此時MN的值 【思路點撥】解決圖形運(yùn)動的問題，由于運(yùn)動過程中圖形的位置或形狀不確定，常會用到分類思想.【答案與解析】（1）由

18、題意可知P、W、Q分別是FMN三邊的中點，PW是FMN的中位線，即PWMNFMNQWP（2）由題意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，由勾股定理分別得 =，=+=+當(dāng)=+時，+=+解得 ;當(dāng)=+時，+=+此方程無實數(shù)根;=+時，=+解得 （不合題意，舍去），;綜上，當(dāng)或時，PQW為直角三角形；當(dāng)0 x或x4時，PQW不為直角三角形.（3）當(dāng)0 x4，即M從D到A運(yùn)動時，只有當(dāng)x=4時，MN的值最小，等于2；當(dāng)4x6時，=+=+=當(dāng)x=5時，取得最小值2，當(dāng)x=5時，線段MN最短，MN=【總結(jié)升華】題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位線定理等知識點的理解和掌握，難度較大，綜合性較強(qiáng)，利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識舉一反三：【變式】在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用完全相同的四個直角三角形采用拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性 問題1：以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形，探究S1+S2與S3的關(guān)系（