北大隨機(jī)過(guò)程課件：第3章第3講生滅過(guò)程

1、幾種重要的馬爾科夫過(guò)程幾種重要的馬爾科夫過(guò)程泊松過(guò)程純?cè)鲋颠^(guò)程，尤爾過(guò)程生滅過(guò)程分析方法：馬爾可夫過(guò)程：定義、性質(zhì)數(shù)學(xué)描述：跳躍率矩陣、Q,狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖，狀態(tài)列欠最、轉(zhuǎn)移概率矩陣、轉(zhuǎn)移概率行欠鼠、轉(zhuǎn)移概率列欠竜,基本規(guī)律：前進(jìn)方程、后退方程、?？?布朗克方程過(guò)程分析：暫態(tài)（拉氏變換、母函數(shù)）、穩(wěn)態(tài)（條件）典型過(guò)程的分析，1泊松過(guò)程定義2純?cè)鲋颠^(guò)程，尤爾過(guò)程定義跳躍率微分方程拉氏變換求解3生滅過(guò)程定義跳躍率前進(jìn)微分方程利用母函數(shù)求解?？似绽士朔匠蹋约熬档母？似绽士朔匠谭€(wěn)態(tài)解4馬爾可夫過(guò)程舉例：利用微分方程求同解，利用穩(wěn)態(tài)方程求穩(wěn)態(tài)解純?cè)鲋颠^(guò)程：尤爾過(guò)程舉例電話(huà)的話(huà)音模型簡(jiǎn)單排隊(duì)問(wèn)題可靠性問(wèn)題電

2、話(huà)交換問(wèn)題1泊松過(guò)程2純?cè)鲋颠^(guò)程2.1定義2.2分析2.2例：尤爾過(guò)程3生滅過(guò)程3.1定義：生滅過(guò)程3.2跳躍強(qiáng)度矩陣3.3前進(jìn)微分方程3.4福克普朗克方程3.4研究穩(wěn)態(tài)/TS的解4舉例1泊松過(guò)程泊松過(guò)程的狀態(tài)為。丄乂,。在任意狀態(tài)F,在+時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)一次事件的概率是久+O(AZ),出現(xiàn)兩次事件的概率是0()。2(/)=兄是常數(shù)，則為齊次泊松過(guò)程，2(/)是時(shí)間的函數(shù)，則為非齊次泊松過(guò)程。2純?cè)鲋颠^(guò)程2.1定義純?cè)鲋颠^(guò)程是泊松過(guò)程的推廣。純?cè)鲋颠^(guò)程的狀態(tài)為0丄,2,/，。在狀態(tài)n卜,在(+/時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)一次事件的概率是血(/)/+o(AZ),出現(xiàn)兩次事件的概率是o(/)。2.2分析純?cè)鲋颠^(guò)

3、程轉(zhuǎn)移概率的方程：2”(f)A/+0(d),k=n+1+/)=/處)=/?)=1-An(/)AZ+0(d),k=n0(d),otherwise設(shè)初始狀態(tài)是m狀態(tài),當(dāng)人（。=人時(shí):T”04Ar-H0An+1000Q=0000-A00純増値過(guò)程狀態(tài)概率的微分方程:讐叫.0即:小dt=-4%,（0他dt=_K）+A-i求解微分方程、用拉氏變換方法求解微分方程。S叫G）=一人叫G）+1,則可以轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(n+1)或狀態(tài)(n-1)；如果處0狀態(tài)，則只能轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1。在t時(shí)刻處J：n狀態(tài)，在(/,/+/)時(shí)間間隔內(nèi)，由狀態(tài)n轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(n+1)的概率為兄”(/)/+0(),由狀態(tài)n轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(n-1)的概

4、率為“(/)/+0()：在(/,/+/)時(shí)間間隔內(nèi)，由狀態(tài)n轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的概率為O(AZ)a2”()=%3.2跳甌強(qiáng)度矩陣SooQoiq(n、5Ao0、Q=9iocln912=1-(A1+2J2k丿0由此可得，“M=久owo”*叫+1=兄”叫，”1上述方程稱(chēng)為生滅過(guò)程的穩(wěn)態(tài)平衡流方程。久。A“1“222“2“12”()=%考慮到歸一化條件,曲=1,H=0可以確定存在極限分布的條件、以及相應(yīng)條件卜各個(gè)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率。4舉例例1純?cè)鲋颠^(guò)程：尤爾過(guò)程舉例例2電話(huà)的話(huà)音模型，設(shè)話(huà)音的正常發(fā)音時(shí)間是一負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變最，平均發(fā)音時(shí)間為1/A,它停止發(fā)音的間歇時(shí)間也是一個(gè)負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量，它的平均

5、間歇時(shí)間為1/卩。求話(huà)音發(fā)音時(shí)間和間歇時(shí)間的分布函數(shù)。解1:繪出狀態(tài)圖、標(biāo)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移強(qiáng)度,分析t=0時(shí)正在發(fā)音，在t=x時(shí)仍在發(fā)音的概率,分析t=0時(shí)正在發(fā)音,在t=x時(shí)停止發(fā)音的概率密度,分析t=0時(shí)停止發(fā)音，在t=x時(shí)仍在停止發(fā)音的概率,分析t=0時(shí)停止發(fā)音，在t=x時(shí)開(kāi)始發(fā)音的概率密度。解2：利用前進(jìn)和后退方程來(lái)解（同上題）。例3簡(jiǎn)單排隊(duì)問(wèn)題（見(jiàn)卜一節(jié)）例4可靠性問(wèn)題，（見(jiàn)卜一節(jié)）設(shè)有一個(gè)系統(tǒng)由M個(gè)元件組成，每個(gè)元件的正常工作時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。如果系統(tǒng)在時(shí)刻t有n個(gè)元件失效，則在（+）時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)新的失效元件的概率是久+失效元件可以修復(fù)，在（/+/）時(shí)間間隔內(nèi)修復(fù)一個(gè)元件的概率是/+?（/）o假設(shè)在（/+AZ）時(shí)間間隔內(nèi)有二個(gè)或二個(gè)以上的元件失效或同時(shí)修復(fù)二個(gè)或二個(gè)以上元件的概率是某系統(tǒng)要正常工作至少要有k個(gè)元件正常工作，