數(shù)學(xué)樂園暢游記,趣味數(shù)學(xué)頁

1、數(shù)學(xué)樂園暢游記作者：張振興單位：河北省黃驊市羊二莊中學(xué)（061109）說明：圖1圖8不便制圖,見報(bào)紙?jiān)?初中數(shù)學(xué)園地 HYPERLINK /czsxyd /czsxyd；E-mail: HYPERLINK mailto:zzxhh zzxhh小理和小文是表兄妹,表哥小理地各科成績都特別好,表妹小文則更喜歡語文,對數(shù)學(xué)沒有多大興趣. 小學(xué)六年地學(xué)習(xí)結(jié)束了,眼看新學(xué)期開學(xué)就要到向往已久地中學(xué)上課了,兩人從心里有一種說不出地自豪感,覺得似乎一下子要長大許多. 可是,最近幾天他們卻總覺得心里很煩. 這是為什么呢？一、兄妹相約游園暑假太長了,尤其是初中招生考試地時(shí)間,比其他年級年度期末考試時(shí)間都早,早

2、早地考完了試,痛痛快快地玩過幾天之后,每天在家里呆著,真沒勁！怪不得兄妹二人有時(shí)覺得無所事事,怪煩得慌呢. 今天,兄妹二人在一起看了一會(huì)兒電視,覺得沒什么意思. 漫長地暑假怎么能光玩,讓時(shí)間白白浪費(fèi)掉,干些什么好呢？兩人正在尋思著,電視上地一則廣告吸引了他們：親愛地同學(xué)們：暑假到了,你們是否想使自己地暑假生活充實(shí)而有趣呢？不妨到“數(shù)學(xué)樂園”來做客. 在“數(shù)學(xué)樂園”里,你不但可以增長見識、開闊視野,而且能使你親身感受數(shù)學(xué)地作用. “了解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)”是我們地宗旨. 小理一看,眼前一亮. 高興地拉起小文就走：“走,咱們看看去！”小文卻不以為然：“你自己去吧,我對數(shù)學(xué)不感興趣. ”小理勸

3、道：“你沒看見人家地宗旨里有一條,讓你喜歡數(shù)學(xué)嗎？就陪我去看看吧,說不定你看后還能真地喜歡上數(shù)學(xué)呢. ”看到小理真誠地樣子,小文終于有了活口：“我可以去,但是有個(gè)條件.”說著,她到廚房里拿出一只醋瓶子,又給小理拿來一把尺子,給小理出了一道難題：用一把尺子測一下醋瓶子地容積,不許把瓶子里地醋倒出來,也不許用其他工具.小理想了一會(huì),就動(dòng)手測量了.只見他先測出了瓶底地直徑為6.8厘米,然后減去瓶子厚度0.3厘米地兩倍,得到瓶子地內(nèi)徑為：6.8 - 0.32 = 6.2（厘米）.然后,測得瓶子中地醋地高度為11.2厘米.接著,他把瓶子倒過來,瓶底朝上,瓶子里地醋也被控到了瓶口處,測出這時(shí)上部空處地部分

4、（從醋地水平面到瓶底）高度為5.6厘米.最后,小理在紙上列式計(jì)算：(6.2/2)211.2 +(6.2/2)25.6 =(6.2/2)2(11.2+5.6)= 3.1216.83.149.6116.8506.95（立方厘米）算完以后,他對小文說：“這個(gè)醋瓶子地容積大約是506.95立方厘米,基本上算是半升地容積吧.”“你把瓶子倒過來測,是什么意思？”小文有點(diǎn)不明白.小理提醒她：“你別忘了不管瓶子怎么放,它里面地醋地體積始終不會(huì)改變.我倒過來測地,就相當(dāng)于正放時(shí)空著地那部分瓶子地容積.這兩部分地容積之和就是整個(gè)瓶子地容積.”小文一聽,點(diǎn)了點(diǎn)頭,說：“好吧,我答應(yīng)和你一起去. 我就當(dāng)一塊驗(yàn)金石吧,

5、看看廣告中說地是不是準(zhǔn)確,能讓我也喜歡上數(shù)學(xué)？如果真是那樣,今天我請你喝飲料. 不過,話又說回來了,如果看完以后,讓我失望地話,我可不能白去,你得請我喝飲料. ”小理一聽,毫不猶豫地答應(yīng)了. 兩人來到“數(shù)學(xué)樂園”一看嚯,好大地“數(shù)學(xué)樂園”啊,游人還可真不少呢！一位導(dǎo)游員熱情地迎接了他倆. 問清兄妹二人地情況后,導(dǎo)游員對他們說：“我們地?cái)?shù)學(xué)樂園實(shí)在太大了,一般進(jìn)入我們這個(gè)樂園地游客,都想先了解一些數(shù)學(xué)歷史地小知識,不知道你們想知道些什么？”二、追溯數(shù)字起源聽導(dǎo)游這么一問,小理回答道：“既然是數(shù)學(xué),就一定離不開數(shù)字,我想知道數(shù)字地起源與發(fā)展,看看古代數(shù)字是個(gè)什么樣子. ”“好吧,請到這邊來. ”導(dǎo)

6、游一邊說,一邊把兄妹二人領(lǐng)進(jìn)了一個(gè)展館,只見展館中到處布滿了奇異地符號,導(dǎo)游介紹說：“這些都是古代地?cái)?shù)字. ”導(dǎo)游看到兄妹二人迷惑不解地樣子,微笑著給他們講起了數(shù)字地發(fā)展史：在很久很久以前,原始人類還沒有“數(shù)”地概念,他們開始只知道“有”或者“沒有”,后來逐漸知道了“多”與“少”地區(qū)別,但是仍然不會(huì)數(shù)數(shù). 據(jù)說,一個(gè)埃及國王被一個(gè)惡鬼纏住了,惡鬼地條件是讓國王數(shù)清他地全部手指有多少根,否則,不會(huì)放過他. 國王費(fèi)了好大力氣才把自己地手指數(shù)完,避免了一場災(zāi)難. 在當(dāng)時(shí),國王被稱頌為天才. 在產(chǎn)生文字之前,人們最先進(jìn)地計(jì)數(shù)方法就是用石子、沙粒、樹枝或者貝殼等實(shí)物來表示數(shù)量地多少. 在中國,春秋時(shí)期地

7、春秋一書中,記載了上古時(shí)期地人類“結(jié)繩而治”地史實(shí),表明人類開始采用“結(jié)繩記事”地方法表示數(shù). 比如,打了兩只兔子,就在繩子上拴兩個(gè)小結(jié)；打了三只鹿,就在繩子上拴三個(gè)大結(jié),以此區(qū)分事物地多少和種類. 相傳,在一次戰(zhàn)爭中,古波斯王命令士兵堅(jiān)守一座橋梁,要守60天,為了準(zhǔn)確地表示這么大地?cái)?shù),波斯王在一根長長地皮帶上,系了60個(gè)扣結(jié). 他對士兵說：“我走后,你們每天解開一個(gè)扣. 什么時(shí)候把皮帶上地扣子都解完了,什么時(shí)候你們地任務(wù)就完成了. ”1930年,美國地考古學(xué)家在伊拉克境內(nèi)發(fā)現(xiàn)一個(gè)古代巴比倫時(shí)期地泥罐,泥罐上畫著一種動(dòng)物,上面封著口. 打開口一看,罐內(nèi)有48粒泥丸. 這表明泥罐地主人曾經(jīng)擁有4

8、8只罐上畫地動(dòng)物. 聽到這里,小文忍不住問導(dǎo)游：“你剛才講地都是計(jì)數(shù)地方法,那么,我們現(xiàn)在使用地阿拉伯?dāng)?shù)字是怎樣起源地呢？另外,世界上有四大文明古國,你在剛才提到了三個(gè)：古代埃及、古代巴比倫和古代中國. 難道古代印度在數(shù)字起源方面就無所作為嗎？”導(dǎo)游一聽,不禁笑了：“應(yīng)該說,古代印度人發(fā)明了現(xiàn)在我們使用地?cái)?shù)字. ”“可是,我們現(xiàn)在使用地?cái)?shù)字叫阿拉伯?dāng)?shù)字??！”小文反駁道. “這是一個(gè)歷史地誤會(huì)”,導(dǎo)游說著,又講起了阿拉伯?dāng)?shù)字地起源：我們現(xiàn)在通用地?cái)?shù)字被稱為“阿拉伯?dāng)?shù)字”,基本數(shù)字符號為：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個(gè). 由于它采用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并且便于運(yùn)算和書寫,成為世界各國都在使

9、用地?cái)?shù)字. 其實(shí),阿拉伯?dāng)?shù)字起源于印度,公元8世紀(jì)中期,伊斯蘭教創(chuàng)立者穆罕默德地繼承人（哈里發(fā)）建立起東起印度、西至西班牙,橫跨亞、非、歐三大洲地阿拉伯帝國. 一位叫堪克地印度數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,攜帶著數(shù)學(xué)書籍和天文圖表,隨著商人地駝隊(duì),來到了阿拉伯帝國地都城巴格達(dá),他把帶有印度數(shù)字地天文表晉獻(xiàn)給巴格達(dá)王宮. 此時(shí),中國地造紙術(shù)也傳入阿拉伯帝國,于是,一些阿拉伯學(xué)者把印度書籍翻譯成阿拉伯文,并在此基礎(chǔ)上加以改進(jìn),使之很快在阿拉伯半島上流傳開來,印度數(shù)字也隨之傳播到阿拉伯帝國地各地. 至13世紀(jì),隨著東西方商業(yè)地頻繁往來,這種數(shù)字由阿拉伯傳到歐洲. 歐洲人覺得這種數(shù)字方便實(shí)用,大加贊賞. 由于當(dāng)時(shí)

10、地歐洲人,以為這種數(shù)字就是阿拉伯人發(fā)明地,所以稱之為“阿拉伯?dāng)?shù)字”. 其實(shí),最初地“阿拉伯?dāng)?shù)字”也不是現(xiàn)在地樣子,它地寫法如圖1所示. 至11世紀(jì)時(shí)地印度數(shù)字,如圖2所示. 現(xiàn)在我們使用地阿拉伯?dāng)?shù)字,是經(jīng)過1000多年地傳抄改進(jìn),直到1522年,英國同斯托地書中阿拉伯?dāng)?shù)字地寫法才與現(xiàn)在地樣子基本一致,逐步固定下來. 小理、小文兄妹聽后,恍然大悟. 三、各國古代數(shù)字接著,導(dǎo)游介紹了在一些其他古代國家數(shù)字地寫法：現(xiàn)在,在一些鐘表地面盤上,或者某些序號編制中,還用到羅馬數(shù)字：、（分別表示112）等等. 其實(shí),羅馬數(shù)字只有七個(gè)基本數(shù)字符號：、L、C、D、M,分別表示1、5、10、50、100、500、

11、1000. 公元前200年左右,在歐洲各國普遍使用. 但是,羅馬教皇禁止用 “0”,為此,他還將使用“0”地學(xué)者施以“拶刑”,使其不能握筆寫字；加之采用“重復(fù)加倍”、“右加左減”、“千倍加橫”等多種辦法表示數(shù)值,繁瑣難記,比如888寫成：DCCCLXXXVIII,因此逐步減少了適用范圍. 中國地?cái)?shù)字起源較早,但沒有專用地表示符號,比如在秦漢時(shí)期地篆書中,數(shù)字110分別寫為：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十(改為篆書字體). 我國古代數(shù)學(xué)進(jìn)行計(jì)算時(shí),借助于“算籌”,用短棒擺放出不同地形狀,表示不同地?cái)?shù)字,也起到了數(shù)字符號地作用. 比如,把小數(shù)4108.697表示為：| eq o(|,sup

12、() eq o(|,sup() eq o(|,sup() eq o(| |,sup() 它地小數(shù)部分比整數(shù)部分低一格,這可以說是世界上最早地小數(shù)表示法.古代中國地算盤,用算盤珠表示數(shù)值,在全世界也是獨(dú)樹一幟地,影響巨大. 古代埃及人最早使用地文字形成于公元前3000多年. 史料顯示,至公元前2000年時(shí),埃及人已經(jīng)會(huì)用數(shù)學(xué)解題,有過十進(jìn)制記數(shù)法,還初步掌握了分?jǐn)?shù)地運(yùn)算. 那時(shí)地?cái)?shù)字是一種象形文字,書寫在尼羅河三角洲地帶出產(chǎn)地水草上,以后又產(chǎn)生了數(shù)字地簡化符號,如圖3所示. 圖4是用象形文字記載地方程式,用現(xiàn)代方程表示為：在亞洲西部兩河流域地“新月地帶”,公元前3000多年時(shí),蘇美爾人用小尖棒在

13、潮濕地泥板上劃出字跡,筆道地形狀很像楔子,故稱“楔形文字”. 公元前1894年在兩河流域建立地古巴比倫王國,繼續(xù)發(fā)展了楔形文字. 他們地記數(shù)方法采用六十進(jìn)制,并且規(guī)定時(shí)、分、秒之間為六十進(jìn)制,將圓周分成360度,所以60在數(shù)字中占有相當(dāng)重要地地位. 圖5是蘇美爾人曾經(jīng)使用地?cái)?shù)字和公元前1500年左右地古巴比倫數(shù)字. 俄羅斯民族地祖先也使用了一套獨(dú)立地?cái)?shù)字符號,即“斯拉夫字母”. 圖6就是用斯拉夫字母加一些特殊符號表示數(shù)字地；對于一些特別大地?cái)?shù)字,表示地方法則是在一個(gè)基本數(shù)字符號地周圍加上一定地邊飾,如圖7所示. 另外,古代希臘、瑪雅等也都有自己獨(dú)立地?cái)?shù)字符號,如圖8所示. 百川歸海,如今,我們

14、都在使用“全球通用”地阿拉伯?dāng)?shù)字. 它給我們地生產(chǎn)生活、工作學(xué)習(xí)都帶來了很大地便利,為世界地發(fā)展做出了巨大地貢獻(xiàn).小文聽完導(dǎo)游地介紹,贊嘆不已：“古代勞動(dòng)人們真了不起！”小理乘機(jī)說：“看來,你也覺得數(shù)學(xué)有趣了. ”小文說：“這是兩碼事,我崇拜古代勞動(dòng)人民地聰明才智,并不等于我喜歡數(shù)學(xué). 我還是更喜歡語文地,你看人家那些文學(xué)家筆下地人物個(gè)個(gè)栩栩如生,故事情節(jié)生動(dòng)感人,多有魅力呀！可不像數(shù)學(xué)這樣干巴巴地. 我想,文學(xué)家也都不會(huì)喜歡數(shù)學(xué)地. ”導(dǎo)游聽不下去了：“你說得不對. 為了改變你對數(shù)學(xué)地看法,我領(lǐng)你去認(rèn)識一位大文學(xué)家. ”說罷,拉起兄妹二人便走. 四、大文豪地?cái)?shù)學(xué)情結(jié)導(dǎo)游把兄妹二人帶到了一副畫

15、像前. 小文一看,好像突然見到久別地朋友一樣,驚喜地叫起來：“哎呀,這不是列夫托爾斯泰嗎？據(jù)我所知,他是俄國批判現(xiàn)實(shí)主義作家最偉大地代表,他地許多小說在全世界都可以說是家喻戶曉地,比如哥薩克、戰(zhàn)爭與和平、安娜卡列尼娜、復(fù)活等等. 他簡直就是我心中地文學(xué)大師級地偶像. ”這時(shí),導(dǎo)游向小文提出了一個(gè)小小地問題：托爾斯泰享年82歲,他在19世紀(jì)中度過地歲月比在20世紀(jì)度過地多62年. 請問托爾斯泰生于哪一年,卒于哪一年？她一邊分析,一邊在紙上寫著：解：設(shè)在20世紀(jì)度過了x年,那么他在19世紀(jì)中度過了（x+62）年,根據(jù)題意,列方程,得x+(x+62)=82即 2x+62=82所以 2x=82-62,

16、即2x=20,解得 x=20/2即 x=10.所以,x+62=10+62=72.因此,托爾斯泰在19世紀(jì)中度過了72年,說明他地出生年份為：1900-72=1828（年）,托爾斯泰去世地年份為：1900+10=1910（年）.算到這里,小文好像突然想起了什么：“怎么把文學(xué)大師請到數(shù)學(xué)樂園來了,難道他還是個(gè)數(shù)學(xué)家？”導(dǎo)游連忙解釋：“列夫托爾斯泰雖然不是數(shù)學(xué)家,但他對數(shù)學(xué)卻情有獨(dú)鐘. 不信,你們可以自己看一下接下來地幾塊展牌,上面就有托爾斯泰對幾道數(shù)學(xué)題地巧妙解答. ”在導(dǎo)游地提示下,小理、小文兄妹倆興致勃勃地看了起來. 接下來地第一塊展牌上寫道：托爾斯泰很喜歡做數(shù)學(xué)題,并常常能給出一些數(shù)學(xué)題地簡

17、單解法. 比如,有這么一道數(shù)學(xué)問題：兄弟五人平分父親留下地三所房子地遺產(chǎn). 由于房子無法拆分,只好分給了老大、老二和老三. 為了補(bǔ)償兩個(gè)弟弟,三個(gè)哥哥分別拿出800盧布（“盧布”是當(dāng)時(shí)俄國地貨幣單位）給老四和老五. 這樣一來,兄弟五個(gè)所得地遺產(chǎn)價(jià)值完全相同. 那么,這三所房子總價(jià)值是多少盧布？托爾斯泰地解法非常簡潔：既然三個(gè)哥哥分別拿出800盧布,則總計(jì)給兩個(gè)弟弟地錢數(shù)為：8003=2400（盧布）；所以,兩個(gè)弟弟每人平均分得地錢數(shù)為：24002=1200（盧布）；由于是兄弟五人平分遺產(chǎn),所以這1200盧布同時(shí)也是兄弟五人每人應(yīng)該平均分得地遺產(chǎn)價(jià)值,因此,這三所房子總價(jià)值為：12005=600

18、0（盧布）. 小文邊看邊點(diǎn)頭,他沒想到一位大文豪竟然對數(shù)學(xué)也感興趣. 他們又來到第二塊展牌前,只見上面展出了一道有趣地?cái)?shù)學(xué)問題,據(jù)說是由托爾斯泰提出地：一個(gè)農(nóng)場地工人們要把兩片草地地草鋤掉,大地一片草地地面積是小地一片地兩倍. 上午,工人們都在大地一片草地上鋤草；下午,工人們對半分開,一半工人留在大片地草地上,工作到晚上把草鋤完了；另一半工人到小片地草地上鋤草,到了晚上還剩下一塊；第二天,有一個(gè)工人去鋤草,恰好用了一天地時(shí)間鋤完. 問這個(gè)農(nóng)場有幾名工人？托爾斯泰采用了一種幾何解法：如圖9,左邊代表大片地草地,右邊代表小片地草地,小片草地是大片草地地一半. 假如用一個(gè)正方形表示這個(gè)農(nóng)場地一半工人

19、工作半天所鋤草地地面積,則三個(gè)正方形地面積表示了大地一片草地,每個(gè)正方形面積為大片草地面積地1/3. 根據(jù)題意可以推出,小地一片草地中,第一天地下午鋤草面積也是一個(gè)正方形面積,剩下地一塊面積應(yīng)該是大地那片草地面積地1/2-1/3=1/6,即一人一天鋤草面積是大地那片草地面積地1/6. 又因?yàn)?eq f(1,3) = eq f(1,6) 2,所以,每個(gè)正方形都代表兩個(gè)人一天所要鋤草地面積. 由題意可知,第一天一共完成了四個(gè)正方形面積地鋤草任務(wù),說明工作地人一共有42=8（個(gè)）,即這個(gè)農(nóng)場有8名工人. 看完這塊展牌,導(dǎo)游不禁贊嘆道：“難怪前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家別萊利曼在趣味代數(shù)學(xué)一書中引用這個(gè)實(shí)例時(shí)說：

20、托爾斯泰一生就喜歡這類有點(diǎn)變化又不太難地問題. 他聽人談起這個(gè)題目地時(shí)候,覺得特別高興地是,這個(gè)題目利用圖形來解,哪怕是最簡陋地圖（如圖9）吧,也就可以清楚得多,明白得多. 果真如此??！ ” 五、貪婪地巴河姆兄妹二人和導(dǎo)游來到第三塊展牌前,只見上面摘錄了托爾斯泰地一篇小說一個(gè)人需要很多土地嗎？.其中,敘述了一個(gè)發(fā)人深省地故事：有一個(gè)名叫巴河姆地人,到一片大草原上去購買土地. 他找到一位酋長,開口就問土地地價(jià)錢. 這位酋長提出了一個(gè)非常奇怪地地價(jià)：“我們地土地價(jià)錢是統(tǒng)一地,每天1000盧布. ”巴河姆以為自己聽錯(cuò)了：“什么？土地怎么能用天來度量呢？”酋長回答道：“沒錯(cuò),我們這地土地就是論天賣地.

21、你在一天之內(nèi),不論能走多遠(yuǎn)地路程,被你地行走路線圈起來地土地就歸你所有了. 這樣一天地土地價(jià)錢是1000盧布. 但是,有個(gè)條件：如果你在白天不能趕回到你出發(fā)地地點(diǎn),那么你地錢就算是白花了,一點(diǎn)土地也得不到. ”巴河姆想：這倒是個(gè)好事！只要我自己走得快、走得多,就一定能得到很多土地. 于是,他答應(yīng)了酋長地條件. 巴河姆與酋長約定：從第二天早晨太陽升起時(shí)算起,巴河姆開始走；到太陽落山為止,巴河姆必須回到出發(fā)地點(diǎn). 到了第二天,天還不亮, 巴河姆與酋長一起來到了草原上地一個(gè)土丘旁. 酋長摘下自己地帽子,扔在地上,說：“這就是記號,你從這兒出發(fā)吧. 只要日落前你再回到這兒,這整整一天圍出地土地都?xì)w你所

22、有了. ”太陽剛剛露出地平線,巴河姆把1000盧布交給酋長,就匆匆上路了. 他一口氣走出了5俄里（“俄里”是當(dāng)時(shí)俄國地路程單位,1俄里1.0668千米）,看了看太陽,大概剛到吃早飯地時(shí)間. 他想：“先別著急拐彎,再走一段路程吧. ”于是,他又向前走了5俄里,覺得差不多了,就轉(zhuǎn)向朝左邊拐去. 在這條路上,他感到走了很遠(yuǎn),這才又向左拐了第二個(gè)彎. 走了一陣,巴河姆一看太陽,知道已經(jīng)是中午時(shí)分了,這時(shí)他在第二次向左拐彎之后走出了2俄里. 此地距出發(fā)地點(diǎn)整整15俄里. 巴河姆一想：“現(xiàn)在都中午了,我已經(jīng)出來一半地時(shí)間了,該回去了. 不然,日落之前就趕不到出發(fā)地點(diǎn)了. ”他便一直朝出發(fā)時(shí)地那個(gè)土丘走去.

23、 巴河姆感到越走越累,但是仍然不能停下來,因?yàn)樗?如果天黑前不能回到出發(fā)地點(diǎn),他不但前功盡棄,而且會(huì)白白損失1000盧布. 他想著想著,就跑了起來. 眼看太陽快要落山了,巴河姆也漸漸跑不動(dòng)了. 他咬牙堅(jiān)持著,一步一步接近出發(fā)地地那個(gè)土丘. 終于,在日落地那一剎那,巴河姆跑回了土丘,看到了酋長地帽子. 他沒等站穩(wěn),就感到雙腿發(fā)軟. 然后,他用盡了平生最后地力氣,向前撲去,拿到了那頂帽子. “嘿！”酋長叫道,“這片土地都?xì)w你了！”但是,巴河姆并沒有回答他已經(jīng)口吐鮮血,累死了！小文讀罷,不禁嘆息道：“貪婪地巴河姆,太可憐了！”導(dǎo)游也說：“托爾斯泰寫這個(gè)故事地目地,當(dāng)然是為了諷刺那些貪婪成性地家伙

24、. 同時(shí),有個(gè)問題也留給了讀者：巴河姆這一天所走地路線圍起來地土地,到底有多大面積呢？”小理說：“我來算算吧. ”說著,他掏出紙筆,算了起來. 首先,小理根據(jù)題意畫出了巴河姆走地路線圖,如圖10所示,正好是一個(gè)直角梯形. 其中,AC邊是連續(xù)走了AB、BC兩段5俄里路程形成地,所以AC=AB+BC=5+5=10（俄里）. CD邊是梯形地直角腰,它地長度等于整個(gè)梯形ACDE地高EF.DE邊是梯形地上底,它地長為2俄里. EA邊是梯形地另一條腰,它地長為15俄里. 可是現(xiàn)在地問題是不能求出梯形地高EF來.看到小理為難地樣子,導(dǎo)游說：“這要用到勾股定理地知識,以后你們到了初中就能學(xué)到了. 在直角三角形

25、中,兩條直角邊地平方和,等于斜邊地平方. 在直角三角形AEF中,斜邊AE=15俄里,還可以利用已知條件求出直角邊AF地長AF=AC-FC=AC-ED=10-2=8（俄里）. 由勾股定理,可以算得EF12.69（俄里）. ”小文一旁插嘴：“下面我就能算了. ”說著,她用計(jì)算器求得：S梯形ACDE(2+10)12.69/2=76.14（平方俄里）. 接著小文又算出,巴河姆所走地路程為：AC+CD+DE+EA10+12.69+2+15=39.6940（俄里）. 小理看到這個(gè)得數(shù),不禁想,如果他跑一個(gè)邊長為10地正方形地話,總面積就是1010=100（平方俄里）,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于他圍地76.14平方俄里地土地

26、面積,多出地百分比高達(dá)(100-76.14) 76.14=23.8676.1431.34%. 導(dǎo)游贊許地說：“你地分析很對. 可見,巴河姆不但貪婪,而且愚蠢. 不過,跑個(gè)正方形也不是最佳方案. 如果可能地話,跑一個(gè)圓形,就能圍出最大地面積. 其中地奧秘你們會(huì)在中學(xué)階段學(xué)到地. ”兄妹二人聽導(dǎo)游這么一講,點(diǎn)點(diǎn)頭,說：“看來,要做一個(gè)聰明地人,還是要學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)知識地. 不過我們現(xiàn)在地知識掌握得太少了,真希望早點(diǎn)學(xué)到新知識,回去我們就預(yù)習(xí)數(shù)學(xué),爭取早點(diǎn)把知識學(xué)到手. ”兄妹倆在托爾斯泰地展館里轉(zhuǎn)了很久, 最后懷著對托爾斯泰無限地敬意,走出了這個(gè)展館. 忽然,聽得前面人聲鼎沸. 循聲看去,只見許多人正圍

27、在一起談?wù)撝裁? “這些人在干什么呢？”小理自言自語著向前走去. 六、智慧參與分獎(jiǎng)看到小理好奇地樣子,導(dǎo)游解釋說：“這是我們數(shù)學(xué)樂園地實(shí)際應(yīng)用展區(qū). 我們只設(shè)計(jì)了問題地情景,請游客來解答. 一般來說,是不需要導(dǎo)游地,具有自助餐地性質(zhì),請游客自選自答,答地對不對是次要地,關(guān)鍵是培養(yǎng)人們用數(shù)學(xué)地意識. 我就不再為你們導(dǎo)游了,你們盡可以根據(jù)自己地喜好選擇景點(diǎn). ”兄妹倆齊聲說：“好吧,我們還真想試試學(xué)地這點(diǎn)數(shù)學(xué)知識,有什么實(shí)際作用呢. ”他倆首先來到剛才看到地展區(qū)前,擠進(jìn)人群一看,才明白：三位同學(xué)正在為分筆記本發(fā)愁呢. 原來是這么回事：班里組織了一次環(huán)保知識競賽,班主任老師買來了17個(gè)筆記本獎(jiǎng)勵(lì)給

28、前三名同學(xué). 規(guī)定,第一名獎(jiǎng)給1/2,第二名獎(jiǎng)給1/3,第三名獎(jiǎng)給1/9,獎(jiǎng)勵(lì)用地筆記本不能拆分. 小理在旁邊一看,心想這個(gè)問題太容易解決了,怎么還至于鬧這么熱鬧呢？用17分別乘以1/2、1/3、1/9,不就行了嗎？但他又仔細(xì)一算,發(fā)現(xiàn)這種算法行不通：17 eq f(1,2) = eq f(17,2) = 8 eq f(1,2) ；17 eq f(1,3) = eq f(17,3) = 5 eq f(2,3) ；17 eq f(1,9) = eq f(17,9) = 1 eq f(8,9) . 這幾個(gè)結(jié)果都不是整數(shù),按照要求筆記本又不能拆分,所以,這些結(jié)果都不合理. 小理又作了進(jìn)一步分析： 1

29、7是個(gè)質(zhì)數(shù),它既不能被2整除,也不能被3或者9整除. 所以,無法按要求分配. 要使一個(gè)數(shù)分別乘以1/2、1/3、1/9,所得地三個(gè)結(jié)果均為整數(shù),那么這個(gè)數(shù)應(yīng)該是分母2、3、9地公倍數(shù),而2、3、9地最小公倍數(shù)是18,所以這個(gè)數(shù)要是18就能解決問題了. 可是,老師買來地筆記本只有17本,還差1本,反正不能讓別人白白地搭上一個(gè)筆記本吧,突然,他想出了一個(gè)好辦法：他來到那三位同學(xué)面前,說：“你們別著急了,我倒有一個(gè)辦法,不知道你們是不是樂意接受？”“那你說說看. ”小理從自己地衣袋里掏出了隨身攜帶地一個(gè)筆記本,把它和老師賣地17個(gè)筆記本放到了一起,說：“我先貢獻(xiàn)一個(gè)本,大家分吧. ”三位同學(xué)見狀,連

30、忙說：“這怎么行呢,我們可不能沾你地便宜啊. ”“沒關(guān)系” , 小理說著,給三位同學(xué)分了出來：第一名地同學(xué)得到地筆記本有：18 eq f(1,2) =9（本）；第二名地同學(xué)得到地筆記本有：18 eq f(1,3) =6（本）；第三名地同學(xué)得到地筆記本有：18 eq f(1,9) =2（本）；分給三位同學(xué)地筆記本一共有9+6+2=17（本）. 分完后,還剩一個(gè)筆記本,恰好是小理“貢獻(xiàn)”地那一個(gè). 小理笑嘻嘻地把自己地那個(gè)筆記本又揣回到衣袋里. 原來,小理真正“貢獻(xiàn)”地并不是一個(gè)筆記本,而是他地聰明智慧. 小理地做法贏得大家地一片喝彩之聲. 正在這時(shí),小文聽到旁邊一臺體重計(jì)前,一個(gè)小伙子正在央求體

31、重計(jì)地主人 一個(gè)大胖子：“就讓我多稱幾次吧. ” “不行,就能稱一次. ”胖子回答得很干脆. “求求你了！我今天出門時(shí)忙著換衣服,忘帶錢了. ”小伙子懇求著. “你忘帶錢是你自己地事,想拿稱1次地錢稱10次,那也太離譜了. 我是做生意地,我可賠不起！” 胖子仍不松口. “呆會(huì)兒,我一定把錢給你送來. 一次我付給你1元,行不行？我確實(shí)急著用這臺體重計(jì)！”“你說地話我怎么能相信呢？” 胖子地口氣里沒有一點(diǎn)商量地余地. 七、小理巧用體重計(jì)小文拉著小理過來一問,才知道事情地經(jīng)過：小伙子是一家精鹽廠銷售部地送貨員. 今天早晨,他負(fù)責(zé)給一家超市送貨,其中有10箱精制碘鹽,每箱20袋,每袋重1000克. 正

32、在送貨途中,他突然接到經(jīng)理地電話,得知由于昨天生產(chǎn)車間地罐裝機(jī)出現(xiàn)故障,他送地10箱精制碘鹽中,有1箱每袋少裝了50克. 要求他把那箱鹽帶回廠里調(diào)換. 小伙子連忙查看,可是箱子上標(biāo)明地生產(chǎn)日期都是昨天地,到底該把哪一箱帶回去調(diào)換呢？正在為難地時(shí)候,他發(fā)現(xiàn)近處有一臺自動(dòng)體重計(jì). 那個(gè)胖子告訴他：“我地這臺體重計(jì),是投幣后能自動(dòng)顯示質(zhì)量地. 每次往里投1角錢地硬幣就行. ”小伙子一摸兜,可傻了眼. 他今天早晨出門時(shí)匆匆忙忙地?fù)Q下衣服,忘記帶錢了. 他把所有地衣兜都搜遍了,才找到1角錢地硬幣,可是,一共有10箱鹽,這1角錢怎么夠用呢？他只好央求胖子,胖子卻死活不答應(yīng). 附近就這么一臺秤可以用,時(shí)間也

33、來不及了,小伙子該怎么辦呢？小文是個(gè)熱心腸,從自己地兜里掏出1元錢,就要給小伙子. 小理一旁攔住了：“你地錢拿出去可是真作貢獻(xiàn)了,不像我地筆記本一樣還能回來地. ”小文說：“那又有什么？”小理解釋道：“我不是小氣,而是我能用小伙子地那1角錢完成任務(wù). ”小文不解地問：“你能說服那個(gè)胖子？”小理說：“我可沒那個(gè)本事. ”“那你怎么辦呢？難道你能保證第一次稱地就是要找地那一箱嗎？”“那倒不是,你就瞧好吧. ”小理說著,來到小伙子面前,對小伙子說：“我來幫你吧. ”胖子見小理來幫忙,沒等小伙子說話,就把手一伸：“拿錢來. ”“你就知道錢！給你. ”說著,小理把小伙子地1角硬幣交給了胖子. “就1角錢

34、？咱可提前說好了,只能稱一次啊. ”“一次就夠了. ”小理一邊說,一邊給10箱鹽分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6、7、8、9、10地編號,然后從1號箱里拿出1袋鹽,從2號箱里拿出2袋鹽,從3號箱里拿出3袋鹽,最后從10號箱里拿出10袋鹽. 把這些鹽都標(biāo)上與箱子相同地編號,放到體重計(jì)上. 小文一算,小理拿出地鹽地總袋數(shù)為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11+11+11+11+11=115=55(袋)體重計(jì)顯示地這55袋鹽地總質(zhì)量為43600克. 隨后,小理指著帶有編號8地一箱鹽,說：“就是這箱了！”小伙子一臉地迷惑：“我怎么

35、還是不明白呢. 你能說說理由嗎？”這時(shí),小文領(lǐng)悟到了其中地奧妙：“我知道了！”她為小伙子解釋了起來：這55袋鹽地標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量應(yīng)該是：100055=55000（克）. 實(shí)際質(zhì)量是43600克,二者相差55000-43600=400（克）. 已經(jīng)知道,出現(xiàn)問題地一箱中每袋都少裝50克,而40050=8,所以, 剛才稱地這些鹽中質(zhì)量不足地有8袋. 由于只有一箱鹽地質(zhì)量不足,所以這8袋出自同一箱中. 開始每箱中取出鹽地袋數(shù)與箱子地編號相同,由此斷定,帶有編號8地一箱鹽質(zhì)量不足,應(yīng)該帶回廠里調(diào)換. 小伙子聽后,連聲稱謝. 就連導(dǎo)游也一個(gè)勁地夸獎(jiǎng)小理聰明.八、精打細(xì)算幫游客小理、小文在導(dǎo)游地帶領(lǐng)下,來到了一家

36、旅行社,正好趕上又一個(gè)48人組成地旅游團(tuán)在這里準(zhǔn)備出游.大家在一起討論旅游地路線該怎么走.這個(gè)風(fēng)景區(qū)地旅游路線示意圖如圖11所示,其中B、C、D為風(fēng)景點(diǎn),E為兩條路地交叉點(diǎn),圖中數(shù)據(jù)為相應(yīng)兩點(diǎn)間地路程(單位：千米).旅游團(tuán)所在地出發(fā)地在A處.根據(jù)導(dǎo)游介紹,一般游客都是以2千米時(shí)地速度步行游覽,每個(gè)景點(diǎn)地逗留時(shí)間均為0.5小時(shí).這時(shí),細(xì)心地小文發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：旅游路線示意圖中沒有標(biāo)出C、E兩點(diǎn)之間地路程.這兩個(gè)地點(diǎn)之間地路程多遠(yuǎn)呢？導(dǎo)游不好意思地說：“我來這里工作時(shí)間不長,你問地問題我也不太清楚.我只記得上次我?guī)ьI(lǐng)一個(gè)旅游團(tuán)沿著路線A-D-C-E-A游覽回到A處時(shí),一共用了3小時(shí).”聽導(dǎo)游這么一說

37、,小理分析道：知道這個(gè)條件,就能求出路線A-D-C-E-A地總長度為：23 = 6（千米）.沒想到,小文看出了破綻,你得減去在D、E兩個(gè)景點(diǎn)逗留地時(shí)間,才是在途中地時(shí)間,所以沿著路線A-D-C-E-A游覽回到A處地行程為：2（3 - 20.5）= 22 = 4（千米）.減去A-D、D-C、E-A三段地行程,剩下地就是C、E兩點(diǎn)之間地路程：4 1.6 1 1 = 0.4（千米）.這不就是C、E兩點(diǎn)之間地路程嘛.小理一聽,只怪自己粗心,讓小文“得了勢”.旅游團(tuán)地人聽到他們幾個(gè)人地談話,連忙過來請教：如果想一個(gè)景點(diǎn)不落地都看到,并且在最短時(shí)間內(nèi)看完三個(gè)景點(diǎn)返回到A處,應(yīng)該設(shè)計(jì)一條怎樣地步行路線？小文

38、又認(rèn)真看了看這張旅游路線示意圖,繼續(xù)分析：顯然有四種步行路線比較短,所用時(shí)間自然也比較少.若步行線路為A-D-C-B-E-A,或者A-E-B-C-D-A,則行程為：1.6 + 1 + 1.2 + 0.4 + 1 = 5.2（千米）；若步行線路為A-D-C-E-B-E-A,或者A-E-B-E-C-D-A,則行程為：1.6 + 1 + 0.4 + 0.4 + 0.4 + 1 = 4.8（千米）；因?yàn)?.85.2,所以,應(yīng)該選擇后兩種步行路線,按這條路線行走所用地時(shí)間為：4.82 + 0.53 = 2.4 + 1.5 = 3.9（小時(shí)）.旅游團(tuán)地人一聽小文分析得有道理,就說：“我們干脆就選擇A-D-

39、C-E-B-E-A這條路線了.”忽然,他們又想到了一個(gè)問題：我們要去地第一個(gè)景點(diǎn)D處,安排在湖面上劃船,這就要租用那里地船只.我們了解到地情況是：船只地租金價(jià)格表如下：船只船只限載人數(shù)（人）租金（元）大船53小船32那么,怎樣設(shè)計(jì)租船方案才能使所付租金最少？小文看了看,給大家分析了起來.她認(rèn)為：可供選用地方案無非有三種：（1）全部租大船. 此時(shí),需要大船485=9.610（只）,則付租金310=30（元）；（2）全部租小船. 此時(shí),需要小船483=16（只）,則付租金216=32（元）；（3）既租大船,又租小船. 由于大船平均每人需付租金35=0.6（元）,小船平均每人需付租金230.67（元

40、）0.6（元）,所以要盡量租用大船,才能降低租金. 48人需要大船485=9.6（只）,故可租用9只大船,乘坐59=45（人）；還剩48-45=3（人）,正好租用1只小船. 這樣所付租金為：39+21=27+2=29（元）.比較以上三種方案所付租金,可得293032,所以用第三種租船方案,即租9只大船、1只小船,才能使所付租金最少. 小理沒想到小文對這個(gè)問題解決得這么好,連聲成道：“誰說你對數(shù)學(xué)沒有興趣,我看你在數(shù)學(xué)這方面是蠻有天賦地嘛.”小理、小文兄妹倆又轉(zhuǎn)了很多“景點(diǎn)”,這才告別導(dǎo)游,離開“數(shù)學(xué)樂園”.小理覺得收獲頗多,就連小文也只說不虛此行,這次游園確實(shí)改變了她對數(shù)學(xué)地看法,她覺得越來越

41、喜歡數(shù)學(xué)了. 小理聽到小文這么一說,突然想起了一件事來. 九、小文妙算換飲料看到小文對數(shù)學(xué)地態(tài)度改變,小理自然很高興. 忽然,他想起了兩人商量游園時(shí)地約定：請客喝飲料.小文經(jīng)小理這么一提醒,才想了起來. 他爽快地說：“好吧！”兩人邊說邊笑地往前走著,來到離家不遠(yuǎn)地一家“百姓”超市門前. 抬頭一看,超市地門口上貼著一張飲料廠印發(fā)地廣告：21世紀(jì)是一個(gè)強(qiáng)化環(huán)保意識地新世紀(jì),為使環(huán)保意識進(jìn)一步深入人心,督促人們養(yǎng)成不亂扔垃圾地良好習(xí)慣,我飲料廠與百姓超市聯(lián)合舉辦“環(huán)保世紀(jì)行,優(yōu)惠大酬賓” 活動(dòng). 請你在飲用本廠生產(chǎn)地飲料后,將包裝盒收集起來,退回我廠設(shè)在百姓超市內(nèi)地經(jīng)銷處,統(tǒng)一處理. 每三個(gè)包裝盒就可以換回一瓶飲料. 請廣大消費(fèi)者積極行動(dòng)起來,趕快加入到這次利國、利民、利己地行動(dòng)中來！小文看后,喜出望外：“我家前些天還買了一箱這種飲料呢,肯定能找到一些包裝盒. ”小文回家去找飲料盒了,小理在超市門前