高一數(shù)學(xué)算法初步知識點與題型總結(jié)

1、第十一章 算法初步與框圖一、知識網(wǎng)絡(luò)算法初步算法與程序框圖算法語句算法案例算法概念框圖的邏輯結(jié)構(gòu)輸入語句賦值語句循環(huán)語句條件語句輸出語句順序結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)第一節(jié) 算法與程序框圖知識回顧1算法的概念：算法通常是指按一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟2.程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形.3.程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)是順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)4.算法的描述方式有：自然語言、程序框圖、程序語言5.算法的基本特征：明確性：算法的每一步執(zhí)行什么是明確的；順序性：算法的“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù)；有限性：算法必須在有限步

2、內(nèi)完成任務(wù)，不能無限制的持續(xù)進行；通用性：算法應(yīng)能解決某一類問題.典例精析例1.如圖所示是一個算法的程序框圖，則該程序框圖所表示的功能是 解析：首先要理解各程序框的含義,輸入a,b,c三個數(shù)之后,接著判斷a,b的大小,若b小，則把b賦給a,否則執(zhí)行下一步，即判斷a與c的大小，若c小，則把c賦給a, 否則執(zhí)行下一步，這樣輸出的a是a,b,c三個數(shù)中的最小值.所以該程序框圖所表示的功能是求a,b,c三個數(shù)中的最小值.評注: 求a,b,c三個數(shù)中的最小值的算法設(shè)計也可以用下面程序框圖來表示.例2.下列程序框圖表示的算法功能是（ ）（1）計算小于100的奇數(shù)的連乘積（2）計算從1開始的連續(xù)奇數(shù)的連乘積

3、（3）計算從1開始的連續(xù)奇數(shù)的連乘積，當乘積大于100時，計算奇數(shù)的個數(shù)（4）計算成立時的最小值解析：為了正確地理解程序框圖表示的算法，可以將執(zhí)行過程分解，分析每一步執(zhí)行的結(jié)果.可以看出程序框圖中含有當型的循環(huán)結(jié)構(gòu),故分析每一次循環(huán)的情況,列表如下:第一次:；第二次:；第三次:,此時不成立,輸出結(jié)果是7,程序框圖表示的算法功能是求使成立時的最小值.選D.評注:通過列表,我們能清楚了解程序的每一步中的各個變量是怎樣變化的,這正是程序運行的本質(zhì)所在.本題若要求編寫求使成立時的最小值的程序框圖或程序時,很容易弄錯輸出的結(jié)果，應(yīng)注意.例3.在音樂唱片超市里，每張唱片售價為25元，顧客如果購買5張以上（

4、含5張）唱片，則按九折收費，如果購買10張以上（含10張）唱片，則按八折收費，請設(shè)計算法步驟并畫出程序框圖，要求輸入張數(shù)x，輸出實際收費y(元).分析:先寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，有，再利用條件結(jié)構(gòu)畫程序框圖解：算法步驟如下:第一步，輸入購買的張數(shù),第二步，判斷是否小于5，若是，計算；否則，判斷是否小于10，若是，計算；否則，計算.第三步，輸出. 程序框圖如下:評注:凡必須先根據(jù)條件做出判斷，然后再決定進行哪一個步驟的問題，在畫程序框圖時，必須引入判斷框，采用條件結(jié)構(gòu)設(shè)計算法.如果變量分三級(或以上)時,就需要用到條件結(jié)構(gòu)的嵌套,不能忽視結(jié)果中“是”、“否”的書寫，否則不知道執(zhí)行哪一條路徑.一般

5、地,分段的分段函數(shù),需要引入個判斷框.條件結(jié)構(gòu)有以下兩種基本類型.否是輸出X否例4.畫出求的值的程序框圖.分析:這是一個有規(guī)律的數(shù)列求和問題,每次都進行了相同的運算,故應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)進行算法設(shè)計.解:程序框圖如下:(1)當型循環(huán)(2)直到型循環(huán)評注: (1) 解題關(guān)鍵是選擇好計數(shù)變量和累加變量的初始值,并寫出用表示的數(shù)列的通項公式是 ；(2)循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些有規(guī)律的重復(fù)計算的算法中,如累加求和,累乘求積等問題.在循環(huán)結(jié)構(gòu)中,要注意根據(jù)條件,設(shè)計合理的計數(shù)變量、累加(積)變量以及它們的初始值等,特別要注意循環(huán)結(jié)構(gòu)中條件的表述要恰當、精確，以免出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán).（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)分為兩類：一類

6、是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示；另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示. 變式訓(xùn)練畫出求的值的程序框圖.解：程序框圖如下:例5.某工廠2005年的生產(chǎn)總值為200萬元，技術(shù)改進后預(yù)計以后后每年的年生產(chǎn)總值都比上一年增長5%.設(shè)計一個程序框圖，輸出預(yù)期年生產(chǎn)總值超過300萬元的最早年份及2005年到此年份之前(不包此年份)的年生產(chǎn)總值的和.分析:本例可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn). (1) 確定“循環(huán)體”:設(shè)a為某年的年生產(chǎn)總值,n為年份,S為年產(chǎn)值的總和,則循環(huán)體為(2)初始化變量:n的初始值為2005,a的初始值為200,S的初始值為0.(3)設(shè)定循環(huán)控制條件:解: 程序框圖如下:評注:本問題的關(guān)健是設(shè)計好

7、循環(huán)體,注意與之間的對應(yīng)關(guān)系.本題若將放在之后,則輸出時須重新賦值，否則的值為超過300萬的年份的下一年.本題也可用當型循環(huán)結(jié)構(gòu)來表示.變式訓(xùn)練：設(shè)計一個程序框圖，求使的最小的值，并輸出此時的值.解：程序框圖如下：基礎(chǔ)自測一、選擇題1下列說法正確的是（ ）A算法就是某個問題的解題過程；B算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果；C解決某一個具體問題算法不同結(jié)果不同；D算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以很大，否則無法實施1解析：選項A ，算法不能等同于解法；選項B，例如：判斷一個正整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，結(jié)果為“是質(zhì)數(shù)”和“不是質(zhì)數(shù)”兩種；選項C，解決某一個具體問題算法不同結(jié)果應(yīng)該相同，否則算法構(gòu)造的有問題；選項D，算法可以

8、為很多次，但不可以無限次2、如圖所示的程序框圖中，則第3個輸出的數(shù)是( ) A1 B. C.2 D. 2.解析：前3個分別輸出的數(shù)是1，2.故選C.開始結(jié)束是否輸出3如圖給出的是求的值的一個程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是 （ ）A.i10? B.i20? D.i10？選4.閱讀右邊的程序框圖，若輸入的是100，則輸出的變量和的值依次是（ ）A2550，2500B2550，2550C2500，2500D2500，25504.解析：依據(jù)框圖可得，.選A. 52006年1月份開始實施的個人所得稅法規(guī)定：全月總收入不超過元的免征個人工資、薪金所得稅，超過元部分需征稅設(shè)全月總收入金額為元，前三級稅

9、率如下左表所示：級數(shù)全月應(yīng)納稅金額稅率1不超過元部分5%2超過至元部分10%3超過至元部分15%開始結(jié)束輸入x輸出0輸出輸出0 x1600?1600 x2100?2100，等于=，小于=，小于等于=，不等于.常用函數(shù)：絕對值A(chǔ)BS，平方根SQR，取整INT.4.算法案例（1）輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)都是求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法.（1）輾轉(zhuǎn)相除法就是對于給定的兩個正整數(shù)，用大數(shù)除以小數(shù)，若余數(shù)不為0，則將小數(shù)和余數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，反復(fù)執(zhí)行此步驟，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù).（2）更相減損術(shù)就是對于給定的兩個正整數(shù)，若它們

10、都是偶數(shù)，則將它們反復(fù)除以2(假設(shè)進行了k次)，直到它們至少有一個不是偶數(shù)后，將大數(shù)減小數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成一對新數(shù)，繼續(xù)上面的減法，反復(fù)執(zhí)行此步驟，直到差和較小的數(shù)相等，此時相等的數(shù)再乘以原來約簡的即為所求兩數(shù)的最大公約數(shù).（2）秦九韶算法秦九韶算法是求多項式值的優(yōu)秀算法.設(shè)，改寫為如下形式：設(shè)這樣求n次多項式的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值.當多項式中有些項不存在時，可將這幾項看做，補齊后再利用秦九韶算法進行計算.對于一個n次多項式，只需做n次乘法和n次加法運算即可.（3）進位制K進制數(shù)的基數(shù)為k，k進制數(shù)是由之間的數(shù)字構(gòu)成的.將十進制的數(shù)轉(zhuǎn)化為k進制數(shù)的方法是除k取余法.典例精析例

11、1寫出用循環(huán)語句描述求的值的算法程序.解：算法程序如下：（1）當型循環(huán)（2）直到型循環(huán) 評注: 在編寫算法的程序時，可先畫出程序框圖，抓住程序框圖表示算法這個核心.注意分別用當型循環(huán)和直到型循環(huán)語句編寫的程序中，循環(huán)條件的區(qū)別與聯(lián)系. 例2、某市對排污水進行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內(nèi)排出的污水量噸收取的污水處理費元，運行程序如下所示：請寫出y與m的函數(shù)關(guān)系，并求排放污水150噸的污水處理費用.解： 這個程序反映的是一個分段函數(shù)因為所以，故該廠應(yīng)繳納污水處理費1400元.評注: 解決分段函數(shù)要用條件語句來處理.本題可畫出程序框圖幫助理解.例3求三個數(shù)72,120,168的最大公

12、約數(shù).解法1:用輾轉(zhuǎn)相除法先求120,168的最大公約數(shù),因為所以120,168的最大公約數(shù)是24.再求72,24的最大公約數(shù),因為,所以72,24的最大公約數(shù)為24,即72,120,168的最大公約數(shù)為24.解法2:用更相減損術(shù)先求120,168的最大公約數(shù),168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24所以120,168的最大公約數(shù)為24.再求72,24的最大公約數(shù),72-24=48，48-24=2472,24的最大公約數(shù)為24,即72,120,168的最大公約數(shù)為24.評注: 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)均是求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法,要理解和掌握它們的操作步

13、驟.變式:試寫出求正整數(shù)的最小公倍數(shù)的算法程序.解:或例4.用秦九韶算法求多項式在時的值.分析：先改寫多項式，再由內(nèi)向外計算.評注: 用秦九韶算法求多項式值,關(guān)健是正確將多項式改寫,然后由內(nèi)向外計算求得.本題也可簡寫為下式：例5.完成下列進制的轉(zhuǎn)化解: (2)用8反復(fù)去除101,直到商為0止,所得的余數(shù)(從末位讀起)就是十進制數(shù)101的8進制表示所以評注:將進制的數(shù)轉(zhuǎn)化為進制的數(shù)的方法是先將進制的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制的數(shù)，再將這個數(shù)轉(zhuǎn)化為進制的數(shù).變式訓(xùn)練：下面是把二進制數(shù)化為十進制數(shù)的一個程序框圖,判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是( )解: ,故判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件.選C.基礎(chǔ)自測一、選擇題1下列給出的賦值

14、語句中正確的是（ ）A B C D 1. 解析:賦值語句的功能.選 B 2 當時，下面的程序輸出的結(jié)果是 ( )A B C D 2解析： . 選 C 3運行下列程序：當輸入56，42時，輸出的結(jié)果是56 42 84 143.解析:該程序的功能是用輾轉(zhuǎn)相除法求正整數(shù)的最大公約數(shù)，故選D4下邊程序運行后輸出的結(jié)果為( ) A B C D 4.解析:.選 D 二、填空題5 三個數(shù)的最大公約數(shù)是_ 5 解析:.填6.閱讀下列程序:當程序輸入值為123時,問運行的結(jié)果是_.6.解析:算術(shù)運算符和MOD分別用取商和余數(shù).該程序的功能是把一個三位數(shù)各位上的數(shù)字顛倒過來.所以運行的結(jié)果是321.7已知n次多項式，如果在一種算法中，計算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，計算的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算的值共需要 次運算.下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：（k0，