微積分第三版教學課件第二章第五節(jié)

1、第五節(jié) 函數(shù)的微分與函數(shù)的線性逼近一、微分的定義本節(jié)要點二、微分的計算三、微分的意義與應用溫度變化的影響, 其邊長從 一、微分的定義 1.引例 首先我們來看一個具體的例變化到 問此薄片的面 分析: 當邊長為 時, 相應的積改變了多少？子:一塊正方形的金屬薄片受而當邊長增加到 時, 薄片面積的改變量為從中可以看出 由兩部分構成: 第一部分 是變量可以近似地用第一部分來代替. 由于第一部分是線性函數(shù), 而且當 越小時, 近似程度也越好. 這給的線性函數(shù): 第二部分 當 是 的高階無窮小. 由此可見: 如果邊長的改變很微小, 則面積的改近似計算帶來了很大的方便.面積為 還有其它許多具體問題中的出現(xiàn)的

2、函數(shù) 都具有這樣的特征: 與自變量的增量 相對應的函數(shù)的增量 可以表達為 的線性函數(shù) 與 的高階無窮小 的兩部分和. 由此, 我們引入以下概念. 2.微分的定義定義 設函數(shù) 在 的某個鄰域內有定義, 當自變量在 處取得增量 （點 仍在該鄰域 ）時,高階無窮小（當 ）, 那么稱函數(shù) 在點是可微的, 稱為函數(shù) 在點 相應于自變量其中 是與 有關的而與 無關的常數(shù), 是 的如果相應的函數(shù)增量 可以表示為的增量 微分, 記為 即 3.可微的條件定理 函數(shù) 在點 處可微的充要條件是函數(shù)證 必要性: 設函數(shù) 在點 處可微分, 則由定義, 對給定的自變量的增量 相應函數(shù)的增量為即 在點 處可導且有注意到 即

3、有 充分性: 設函數(shù) 在 處可導，即有由極限與無窮小的關系: 得其中 為無窮小. 從而即: 函數(shù) 在 處可微分, 且有 如果函數(shù) 在區(qū)間 內每一點可微, 則稱分就稱為函數(shù)的微分, 也記為 由前公式得:通常把自變量 的的增量稱為自變量的微分, 記為 上式兩端除以自變量的微分, 得:為區(qū)間內的可微函數(shù): 函數(shù) 在 內的任意一點微于是函數(shù)的微分可記為因此, 導數(shù)又稱為微商.二、微分公式與運算法則 由前面的可微的充分必要條件, 可得下面的基本公式: 1.基本公式 導數(shù)公式微分公式 2.運算法則（表中 、 ） 函數(shù)的和、積、商的求導法則 函數(shù)的和、積、商的微分法則 3.復合函數(shù)的微分法則 設 , 則復合

4、函數(shù) 的所以復合函數(shù)的微分為由于 故上式又可寫成:導數(shù)為:總是正確的, 這一性質稱為微分形式不變性.比較兩式, 可以看到無論 是中間變量或是直接變量, 表達式例1 求函數(shù) 在 處的微分.解 因函數(shù)為初等函數(shù), 故為可微函數(shù). 由計算公式得:例2 求函數(shù) 當 時的微分.解 例3 求函數(shù) 的微分.解 由微分公式三、微分的幾何意義 由微分的定義, 當函數(shù) 在 處可微時, 有當 時, 并且誤差僅是 的高階無窮小. 注意到當 時, 故此即說明 是 的主要部分, 故稱微分 是 的線性主部.當 很小時，因此, 曲線 從圖中可以看到, 對取定的 值, 當自變量 有微小的增量 時, 得到曲線 上的相應點 是曲線

5、T）在 處的切線, 由此得:在點 附近的局部范圍可由它在這點處的切線近似代替.四、近似計算 由微分公式得到如下的近似計算公式:或注意到, 若記 則有(5)因此(5)式的右端就是曲線 在點處的切線表達式因此(5)或(5)通常稱為函數(shù) 的一次近似或線性近似, 其近似誤差 是 的高階無窮小. 越小, 則近似程度就越高.例4 在 的鄰近, 求解 在(5)中, 取 即有因 由此得的一次近似.下面的圖形表明了上述問題.下面的圖形表明了上述問題.當 很小時, 還可得到其它函數(shù)的一次近似式. 我們把常用的幾個函數(shù)的一次近似式列于下表:例5 近似計算 解 由上面的一次近似式, 此時 因而有解 鍍層的體積等于兩個同心球體的體積之差. 故故要用的銅大約為例6 在半徑為 的金屬球表面上鍍一層厚度為的 銅, 估計要用銅多少克(銅的密度為 )? 在生產(chǎn)實踐中, 需要測量各種數(shù)據(jù). 但是有的數(shù)據(jù)不易直接測量, 此時就需要通過測量其它數(shù)據(jù)后再經(jīng)過計算得出所需要的數(shù)據(jù). 由于測量儀器的精度, 測量的條件與方法等諸因素的限制, 測得的數(shù)據(jù)往往都帶有一定的誤差, 相應的計算結果也會產(chǎn)生一定的誤差. 這種誤差稱為間接測量誤差. 下面討論如何利用函數(shù)的微分來估計間接測量誤差. 絕對誤差和相對誤差 設某個量的精確值為 其近似值為 稱 為 設某個量的精確值為 測量值為 若能確定數(shù)值使 則 稱為絕對